３点を通る円

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== ３点を通る円の方程式 ==

【要点1】
平面上の３点A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)が同一直線上にないとき，これらの３点を通る円の方程式は
x2+y2+lx+my+n=0･･･(1)
の形で求めることができる．

（解説）
　点P(x0, y0)を中心とする半径rの円の方程式は
(x−x0)2+(y−y0)2=r2(r>0)･･･(2)
と書くことができる．
　(2)式を変形すると
x2−2x0x+x02+y2−2y0y+y02−r2=0(r>0)
x2+y2−2x0x−2y0y+(x02+y02−r2)=0(r>0)
ここで，−2x0=l, x−2y0=m, x02+y02−r2=nとおくと，円の方程式(2)は次の形に書き直せることが分かる．
x2+y2+lx+my+n=0･･･(1)

　もう少し正確に言えば，(2)式は必ず円を表すが，(1)式を(2)の形に変形したときに，例えば
(x−3)2+(y−4)2=−1
のように右辺r2の値が負の数になるものは，円にはならないから，(1)の形の式が「つねに」円を表すとは言えない．右辺r2を求めたときに，正の数になる場合だけ円になる．［ちょうどr2=0となる場合は，点を表す］

【例題1】

x2+y2−2x+4y+n=0が円を表すように定数nの値の範囲を定めてください．

(x−1)2+(y+2)2=5−n
と変形できるから，5−n>0すなわちn<5のとき円を表す･･･（答）

• n=5のとき，(x−1)2+(y+2)2=0はx=1, y=−2の場合だけ成り立つ．すなわち，(x−1)2+(y+2)2=0は，点(1, −2)を表す．
• n>5のとき，(x−1)2+(y+2)2=−1, −2, −3などは，どのような実数x, yを持ってきても成り立たないから，平面上でどのような図形も表さない．強いて言えば，x, yは虚数になるから，実数x, yだけを使って描かれる実数xy平面上で成り立つ点はない．

【問題1】

x2+y2+ax+by+c=0が円を表すために実数a, b, cが満たすべき条件を定めてください．

解答を見る

$(x+\frac{a}{2})^2-\frac{a^2}{4}+(y+\frac{b}{2})^2-\frac{b^2}{4}+ c=0$
$(x+\frac{a}{2})^2+(y+\frac{b}{2})^2=\frac{a^2+ b^2-4c}{4}$
と変形できるから， $a^2+ b^2-4c\gt 0$ のとき円を表す･･･（答） →解答を隠す←

【例題2】

3点A(−5, 7), B(1,−1), C(2, 6)を通る円の方程式を求めて，その中心の座標と半径を述べてください．

（解答）
　求める円の方程式をx2+y2+lx+my+n=0･･･①とおく

①が点A(−5, 7)を通るから
25+49−5l+7m+n=0
−5l+7m=−74−n･･･(1)
同様にして，①が点B(1,−1)を通るから
1+1+l−m+n=0
l−m=−2−n･･･(2)
同様にして，①が点C(2, 6)を通るから
4+36+2l+6m+n=0
2l+6m=−40−n･･･(3)
連立方程式(1)(2)(3)を解いて，定数l, m, nを求める．
まず，(1)−(2), (2)−(3)により，nを消去して，２変数l, mにする．

−5l+7m=−74−n･･･(1)
l−m=−2−n･･･(2)
2l+6m=−40−n･･･(3)
(1)−(2), (2)−(3)

−6l+8m=−72･･･(4)
−l−7m=38･･･(5)
(4)−(5)×6
50m=−300
m=−6
これを(5)に戻すと
−l+42=38
−l=−4
l=4
これらを(2)に戻すと
4+6=−2−n
n=−12
結局
x2+y2+4x−6y−12=0･･･（答）
また，この式を円の方程式の標準形に直すと
(x+2)2+(y−3)2=25
と書けるから，中心(−2, 3)，半径5の円･･･（答）

【問題2】

3点A(3, −1), B(8, 4), C(6, 8)を通る円の方程式を求めて，その中心の座標と半径を述べてください．

解答を見る

　求める円の方程式をx2+y2+lx+my+n=0･･･①とおく
①が点A(3, −1)を通るから
9+1+3l−m+n=0
3l−m=−10−n･･･(1)
同様にして，①が点B(8, 4)を通るから
64+16+8l+4m+n=0
8l+4m=−80−n･･･(2)
同様にして，①が点C(6, 8)を通るから
36+64+6l+8m+n=0
6l+8m=−100−n･･･(3)
連立方程式(1)(2)(3)を解いて，定数l, m, nを求める．
まず，(1)−(2), (2)−(3)により，nを消去して，２変数l, mにする．

3l−m=−10−n･･･(1)
8l+4m=−80−n･･･(2)
6l+8m=−100−n･･･(3)
(1)−(2), (2)−(3)

−5l−5m=70･･･(4)
2l−4m=20･･･(5)

l+m=−14･･･(4’)
l−2m=10･･･(5’)
(4’)−(5’)
3m=−24
m=−8
これを(4’)に戻すと
l−8=−14
l=−6
これらを(1)に戻すと
−18+8=−10−n
n=0
結局
x2+y2−6x−8y=0･･･（答）
また，この式を円の方程式の標準形に直すと
(x−3)2+(y−4)2=25
と書けるから，中心(3, 4)，半径5の円･･･（答）
→解答を隠す←

【要点2】
　３点を通る円（三角形の外接円）の方程式を求める問題は，【要約1】の方法で解くのが基本で，教科書や参考書ではほとんど【要約1】の方法で解いている．
　しかし，他にも解き方はあり，三角形の外接円の中心や半径は，
(A) 中学校のときに習った「垂直２等分線の交点」と考えても求めることができ，
(B) 「２点間の距離の公式」を使って３点から等距離にある点の座標を求めてもよい．

　上記の【例題1】の問題を，(A)中学校のときに習った「垂直２等分線の交点」を求める方法で解いてみると，次のようになる．

【例題2’】
3点A(−5, 7), B(1,−1), C(2, 6)を頂点とする三角形ABCの外心Oの座標を求めてください．

（解答）
　A(−5, 7), C(2, 6)の中点Pの座標は
$(\frac{-5+ 2}{2},\hspace{2}\frac{7+ 6}{2})=(\frac{-3}{2},\hspace{2}\frac{13}{2})$
　線分ACの傾きは $\frac{6-7}{2+ 5}=-\frac{1}{7}$
だから線分ACに垂直な直線の傾きは7
　したがって，ACの垂直２等分線の方程式は
$y-\frac{13}{2}=7(x+\frac{3}{2})$
$y=7x+ 17$ ･･･(1)
　同様にして，B(1, −1), C(2, 6)の中点Qの座標は
$(\frac{1+ 2}{2},\hspace{2}\frac{-1+ 6}{2})=(\frac{3}{2},\hspace{2}\frac{5}{2})$
　線分BCの傾きは $\frac{6+ 1}{2-1}=7$
だから線分BCに垂直な直線の傾きは $-\frac{1}{7}$
　したがって，BCの垂直２等分線の方程式は
$y-\frac{5}{2}=-\frac{1}{7}(x-\frac{3}{2})$
$y=-\frac{1}{7}x+\frac{19}{7}$ ･･･(2)
(1)(2)からyを消去すると
$7x+ 17=-\frac{1}{7}x+\frac{19}{7}$
$49x+ 119=-x+ 19$
$50x=-100$
$x=-2$
これを(1)に戻すと
$y=3$
よって，三角形ABCの外心Oの座標はO(−2, 3)･･･（答）

　このとき，外接円の半径は， $r=OA=\sqrt{(-5+ 2)^2+ (7-3)^2}=5$
　三点ABCを通る円の方程式（外接円の方程式）は
$(x+ 2)^2+(y-3)^2=5^2$

　上記の【例題1】の問題を，(B)「２点間の距離の公式」を使って３点から等距離にある点の座標で解いてみると，次のようになる．

【例題2”】
3点A(−5, 7), B(1,−1), C(2, 6)を頂点とする三角形ABCの外心Oの座標を求めてください．

（解答）
三角形ABCの外心Oの座標O(x, y)とおくと
AO2=CO2だから
(x+5)2+(y−7)2=(x−2)2+(y−6)2
x2+10x+25+y2−14y+49
=x2−4x+4+y2−12y+36
14x−2y=−34
y=7x+17･･･①

【例題1’】の(1)と【例題1”】の①は全く同じものになる

同様にして，BO2=CO2だから
(x−1)2+(y+1)2=(x−2)2+(y−6)2
x2−2x+1+y2+2y+1
=x2−4x+4+y2−12y+36
2x+14y=38
$y=-\frac{1}{7}x+\frac{19}{7}$ ･･･②

【例題1’】の(2)と【例題1”】の②は全く同じものになる

①②を解くとx=−2, y=3
O(−2, 3)･･･（答）

　外接円の半径と外接円の方程式は，例題1’と同様にして求まる

【問題3】

3点A(2, 5), B(6, 1), C(6, 3)を頂点とする三角形ABCの外心Oの座標を求めてください．

解答を見る

(B)「２点間の距離の公式」を使って３点から等距離にある点O(x, y)を求める場合

AO2=BO2だから
(x−2)2+(y−5)2=(x−6)2+(y−1)2
x2−4x+4+y2−10y+25
=x2−12x+36+y2−2y+1
8x−8y=8
x−y=1･･･①
同様にして，BO2=CO2だから
(x−6)2+(y−1)2=(x−6)2+(y−3)2
x2−12x+36+y2−2y+1
=x2−12x+36+y2−6y+9
4y=8
y=2･･･①
①②よりx=3, y=2
　外心の座標は，O(3, 2)･･･（答）

　外接円の半径は， $AO=\sqrt{(3-2)^2+(2-5)^2}=\sqrt{10}$
　３点を通る円の方程式は，
$(x-3)^2+(y-2)^2=10$
これを展開形（一般形）で書けば
$x^2+ y^2-6x-4y+ 3=0$

→解答を隠す←

(A)「垂直２等分線の交点」を求める方法で解く場合
　A(2, 5), B(6, 1)の中点Pの座標は
$(\frac{2+ 6}{2},\hspace{2}\frac{5+ 1}{2})=(4,\hspace{2}3)$
　線分ABの傾きは $\frac{1-5}{6-2}=-1$
だから線分ABに垂直な直線の傾きは1
　したがって，ABの垂直２等分線の方程式は
$y-3=x-4$
$y=x-1$ ･･･(1)
　同様にして，B(6, 1), C(6, 3)の中点Qの座標は
$(\frac{6+ 6}{2},\hspace{2}\frac{1+ 3}{2})=(6,\hspace{2}2)$
　線分BCはy軸に平行
だから線分BCに垂直な直線の傾きは0
　したがって，BCの垂直２等分線の方程式は
$y=2$ ･･･(2)
(1)(2)から三角形ABCの外心の座標はO(3, 2)･･･（答）

　外接円の半径，３点を通る円の方程式も同様にしてもとめられる

→解答を隠す←

（の方程式の展開形［一般形］で求める場合
　求める円の方程式をx2+y2+lx+my+n=0･･･①とおく
①が点A(2, 5)を通るから
4+25+2l+5m+n=0
2l+5m=−29−n･･･(1)
同様にして，①が点B(6, 1)を通るから
36+1+6l+m+n=0
6l+m=−37−n･･･(2)
同様にして，①が点C(6, 3)を通るから
36+9+6l+3m+n=0
6l+3m=−45−n･･･(3)
連立方程式(1)(2)(3)を解いて，定数l, m, nを求める．
まず，(1)−(2), (2)−(3)により，nを消去して，２変数l, mにする．

2l+5m=−29−n･･･(1)
6l+m=−37−n･･･(2)
6l+3m=−45−n･･･(3)
(1)−(2)
−4l+4m=8
−l+m=2･･･(4)
(2)−(3)
−2m=8
m=−4･･･(5)
(4)(5)から
l=−6, m=−4
これを(1)に戻すと
n=3
結局
x2+y2−6x−4y+3=0･･･（答）

また，この式を円の方程式の標準形に直すと
(x−3)2+(y−2)2=10
と書けるから，中心(3, 2)，半径 $\sqrt{10}$ の円になる

→解答を隠す←

【問題4】

3点A(−2, 5), B(4, 1), C(3, 6)を通る円の方程式を求め，三角形ABCの外心の座標，外接円の半径も求めてください．

解答を見る

（途中経過略）
円の方程式の標準形は(x−1)2+(y−3)2=13
円の中心(1, 3)，半径 $\sqrt{13}$
円の方程式の一般形はx2+y2−2x−6y−3=0
→解答を隠す←

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