【微分係数の定義】…数学U,数学Vで登場する
の値を, 平均変化率 は線分 (1)を |
数学Uでできる微分係数の応用問題
【例1】
関数
≪考え方のポイント≫
(解答)の形が使えるように,足したり引いたりします. (←緑色の経路)
(別解) (←青色の経路)
(参考) 最初から最後まで |
【問題1.1】
解説を読む
関数 |
【問題1.2】
解説を読む
関数 |
【問題1.3】
解説を読む
関数 |
【ここまでの問題に対する類題と答】 関数 (1) (2) (3) (4) (5) 関数 |
【問題1.4】
解説を読む
関数 |
【問題1.5】
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関数 を (2005年福岡教育大)
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【連続の定義1】
詳しく言えば
が成り立つとき,
【連続の定義2】
さらに詳しく言えば
の3つとも成り立つとき,
【連続の定義3】
※(1.11) (1.12) (1.1) 左側極限値と右側極限値が等しいとき,その値を極限値という.(左右の極限値が等しくなければ極限値が存在しないという) (1.2) (1.3) の5つとも成り立つとき, |
(解説) 【連続の定義1】を詳しく書いたものが【連続の定義2】なので,この詳しい方を解説します. 次の図(A)〜(D)において,中塗りの赤で示した点は, これに対して,白抜きの赤丸で示した点は, そのそも,「極限値」 次の図(A)(B)では, 次の図(C)(D)(E)では, (C)では極限値 (D)では関数値 (E)では関数値
(E)のように
(F)は
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【例2】
(2.1)
関数値は代入するだけで求まる 極限値は これらが一致するから,連続 (*)は代入したものだから,すぐ分かるが,(**)の極限値をていねいに計算すれば とすればよいが,多項式,指数関数,対数関数,三角関数などは分母が0になる場合など「特定のあやしい箇所」を除けば定義域において連続であることは教科書に書かれているから,極限値の計算の代わりに関数値を使ってもよい.上記の(**)の計算は関数値の計算と同様に単位代入しただけのものである.
(2.2)
関数値は代入して求める 極限値 ア) イ) ア)イ)より だから |
(2.3)
![]() について, 関数値は代入するだけで求まる 極限値は
(2.4)
![]() について, 関数値は代入して求める 極限値 ア) イ) ア)イ)より 右側極限値と左側極限値が一致しないから,極限値が存在しない.ゆえに,不連続 |
(2.5)
そもそも関数値
右側極限値
は分母→+0,分子→−1だから,−∞ 左側極限値 は分母→−0,分子→−1だから,+∞ これらが一致しないから,極限値が存在しない.よって不連続ともいえる
(2.6)
![]() について, だから したがって連続 |
(2.7)
関数値 右側極限値 左側極限値 これらが一致しないから,極限値が存在しない.よって不連続(図のように右側連続であるが左側連続でない.結局,連続でない)
(2.8)
について, 初項が ア) イ) 公比は |
【問題2.1】
解説を読む
![]() について, |
【問題2.2】
解説を読む
![]() について, |
【連続の定義1】
または が成り立つとき, 【微分可能の定義】 または (2)または(2’)で定義される微分係数
【連続と微分可能の関係】
(A)の解説![]()
(B)連続であっても微分可能とは限らない
(C)不連続ならば,微分可能ではない が成り立つから となり, (B)の解説 右側微分係数 左側微分係数 このように,左右で微分係数が一致しないから, 微分係数
一般に,折り目のあるグラフ(
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(C)の解説 論理的な証明だけなら,対偶を使うと簡単に示せます. すなわち(A)「微分可能ならば連続である」の対偶により(C)「不連続なら微分可能でない」が証明できたことになります. であるから,微分係数 分母→0のときに分子は0に近付かないから,この極限値が存在しないことになる. 例えば,図(C1)で, ![]() の場合を考えてみると, は ![]() 図(C2)のように,右側だけが連続となっている場合, 右側微分係数 となって,左右の微分係数が一致しないから,微分係数は存在しません. |
【例3.1】
関数 だから連続…(答) [微分可能性] ア) イ) ア)イ)より,微分係数が定まらないから微分不可能…(答)
一般に,折り目(
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【例3.2】
関数 だから したがって,連続…(答) [微分可能性] ア) イ) ア)イ)より 微分可能…(答)
一般に,「なめらかな」「つるつるの」グラフは,「連続」かつ「微分可能」になる
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【例3.3】
![]() について, (解答) 関数値は代入して求める 極限値 ア) |
イ) ア)イ)より 右側極限値と左側極限値が一致しないから,極限値が存在しない.ゆえに,不連続 [微分可能性] 不連続だから,微分不可能です.
一般に,「跳びがある」「ギャップがある」関数は不連続で,不連続な関数は微分不可能です.
また,「穴が開いている」「定義されない点がある」関数も高校では不連続とするので,微分も不可能になります. |
【問題3.1】
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![]() 微分可能であるためには,連続でなければならないから 関数値 左側極限値 これらが一致すべきことから 微分係数が左右で一致すべきことから (*1)(*1)より ※この問題は, だから,接線の方程式は |
【問題3.2】
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![]() について,
※この関数は【例2.6】と同じものです.
[連続性を調べる] だから したがって連続 [微分可能性を調べる] これは, 以上により,微分不可能 |
【問題3.3】
解説を読む
![]() について,
※【問題3.2, 3.3】は昔から多くの教科書,参考書で取り上げられている
[連続性を調べる] だから したがって連続 [微分可能性を調べる] ここで【問題3.1】でやったように であるから したがって,微分可能 ※ これに対して【問題3.2】では,下端と上端 |
【問題3.4】
解説を読む
(2014年大阪府立大学)
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