(例題対比)放物線の頂点の座標 → 携帯版は別頁

[標準形]
○ y=a(x−p)2+q のグラフは y=ax2 のグラフを x 軸の正の向きに py 軸の正の向きに q だけ平行移動したもので,その頂点の座標は (p , q) である. 図1→

○ 2次関数のグラフ(放物線)は左右対称になっており,この対称軸を放物線のという.
 y 軸に平行( x 軸に垂直 )な直線の方程式は,x=p の形で表わされるので,放物線の軸の方程式は右図のように x=1 , x=2 , x=3 などと書かれる. 図2→
 放物線の軸の方程式 x=p における p の値は頂点の x 座標に等しい.そこで,頂点の座標が分かれば軸の方程式も分かる.

[例題1] 次の2次関数の軸の方程式と頂点の座標を求めよ.
(1) y=2(x−3)2+4
(答案)
____x=3,頂点 (3 , 4) …(答)

(2) y=3(x+4)2+5
(答案)
____x=−4,頂点 (−4 , 5) …(答)
x 座標の符号に注意. y=3(x−(- 4))2+5)と読む.

(3) y=−4(x−5)2−6
(答案)
____x=5,頂点 (5 , -6) …(答)
x2 の係数 - 4 はグラフの「形」(上に凸)だけに関係しており頂点の座標には関係ない.)

(4) y= (x−3)2
(答案)
____x=3,頂点 (3 , 0) …(答)
(頂点が x 軸上にあるとき,このような式になる.y= (x−3)2+0 と読む.)

(5) y=− x2+4
(答案)
____x=0,頂点 (0 , 4) …(答)
(頂点が y 軸上にあるとき,このような式になる.
y=− (x−0)2+4 と読む.)

[問題1] 次の2次関数の軸の方程式と頂点の座標を求めよ.
(1) y=3(x−5)2+2
________軸の方程式 x=,頂点の座標 (, )

採点する やり直す
(2) y=−3(x−2)2+6
________軸の方程式 x=,頂点の座標 (, )

採点する やり直す
(3) y=4(x+3)2+1
________軸の方程式 x=,頂点の座標 (, )

採点する やり直す
図1
図2
※ 軸は「直線の方程式」として表わし,単に 12 とは書かずに,x=1x=2 などと書く.



(4) y=− (x− )2

___軸の方程式 x= ,頂点の座標 ( ,− )


採点する やり直す
(5) y=−5(x+3)2
___軸の方程式 x=,頂点の座標 (, )

採点する やり直す
(6) y=−x2−3
___軸の方程式 x=,頂点の座標 (, )

採点する やり直す
[展開形]
 2次関数が展開形で書かれているときは,これを平方完成して標準形に直せば軸の方程式,頂点の座標が分かる.

ax2+bx+c=a(x2+ x)+c

________________=a{ (x+ )2 }+c

________________=a(x+ )2−a +c

________________=a(x+ )2

※ 実際に問題を解くときには,この公式を丸暗記するのでなく,具体的な係数に応じて平方完成の変形をするとよい.(上の結果を公式として丸暗記するのは大変だから)

[例題2] 次の2次関数の軸の方程式と頂点の座標を求めよ.

(1) y=2x2+4x+7
(答案)
____y=2x2+4x+7=2(x2+2x)+7
___________________=2{ (x+1)2−1}+7
___________________=2(x+1)2−2+7
___________________=2(x+1)2+5
___________________x=−1,頂点 (−1 , 5) …(答)

[問題2] 次の2次関数の軸の方程式と頂点の座標を求めよ.
(1) y=3x2−6x+4
________軸の方程式 x=,頂点の座標 (, )

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(2) y=−2x2+8x
________軸の方程式 x=,頂点の座標 (, )

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(3) y=−x2−x+3

軸の方程式 x=− ,頂点の座標 (− , )


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(4) y=− x2+4x
軸の方程式 x=,頂点の座標 (, )

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