•真数が特別な値になっているときは，計算機や数表を使わなくても対数の値が求められます．
•一般の場合には，対数の値は計算機や数表がなければ求められません．

底がa>0, a≠1の条件を満たしているとき

(1)

loga1=0

(2)

logaa=1

※この頁に登場する基本的な問題は，社会生活で登場する実用的な計算と比較すると，「めったに登場しない特別な値」を扱っていることになります．
　社会生活で登場する統計データについて対数の値を求めるには，この頁で述べる程度の基本が分かった上で，Excelなどを用いて計算します．Excelなどで求められる値は近似値です．

≪参考≫Excelの表計算関数
底がa，真数がxのときの対数の値
常用対数（底が10のときの対数）
=log10(a)
自然対数（微分積分などを行うときに使う e=2.718...を底とする対数）
=ln(a)

	A	B	C（式→値）
1	底	真数	対数の値
2	2	3	=log(B2,A2)→1.585
3	10	5	=log(B3,A3)→0.699
4	1.45	3.72	=log(B4,A4)→3.536
5		2	=log10(A5)→0.301
6		3.14	=ln(A6)→1.144

#よくある間違い#
公式(1)は
loga0が0になると言っているのではない.
loga1が0になるということ.

例　log20←こんなものはない.

(1)log55 Help

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

− − −
− − −

(2)log51 Help

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

− − −
− − −

a>0, a≠1, M,N>0のとき

(3)	logaM+logaN=logaMN

(4)	logaM−logaN=loga

#よくある間違い#
公式(3)は
logaM+logaNがlogaM×logaNになると言っているのではない.
logaM+logaNがlogaMNになると言っている.

例　log102+log103はlog102×log103に等しくない．
　log102+log103はlog10(2×3)に等しい．
公式(4)は
logaM−logaNがになると言っているのではない.
logaM+logaNがlogaになるということ.
例　log102−log103はに等しくない．
　log102+log103はlog10 に等しい．

(3)←（証明）

指数の形		対数の形
M=ax, N=ay とおく	⇔	x=logaM, y=logaN …(A)
↓
MN=axay=ax+y	⇔	x+y=logaMN …(B)
(A)(B)よりlogaM+logaN=logaMN

(4)←（証明）

指数の形		対数の形
M=ax, N=ay とおく	⇔	x=logaM, y=logaN …(A)
↓
==ax−y	⇔	x−y=loga …(B)
(A)(B)よりlogaM−logaN=loga

※変形は「分ける」のでなく「集める」方が多い
(3)(4)(5)
　　通常の教科書、歴史上の意義：右辺→左辺
　　高校生が出会う問題：　　　　左辺→右辺

　通常、教科書や参考書においては(3)(4)(5)は、左辺と右辺が逆になっています。しかし、高校レベルの対数計算、対数方程式、対数不等式などを解く上では、左辺を右辺に変形する場面の方が多く、このページでは、通常の書き方と左右を逆にしています。

　対数の歴史から言えば、かけ算、割り算（累乗）の計算が足し算、引き算などに直せること、すなわち、右辺を左辺に直して計算できることが重要でしたが、今日では対数を用いずに、電子計算機で多きな桁数のかけ算、割り算などができます。

(例外)
「log₅18をlog₅2とlog₅3で表せ」というような問題では「分ける」方向で変形しますが、高校生が出会う問題の中ではわずかな量です。

(3)log102+log105 Help

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

− − −
− − −

(4)log412−log43 Help

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

− − −
− − −

(5)log46−log430+log45 Help

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

− − −
− − −

(6)log215−log26−log210 Help

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

− − −
− − −

a>0, a≠1, M>0のとき

(5)	logaM n=n logaM

このlogaM nはloga(M n)の略です．
(logaM )nを表すときは（　）を省略しません．．

(5)←（証明）

指数の形		対数の形
M=ax とおく	⇔	x=logaM …(A)
↓
M n=(ax)n=anx	⇔	nx=logaM n …(B)
(A)(B)よりlogaM n=n logaM

#よくある間違い#
公式(5)は
(logaM) nがn logaMになると言っているのではない.
loga(M n)すなわちlogaM nがn logaMになるということ.

例　(log23) 4が4 log23になると言っているのではない.
log2(3 4)すなわちlog23 4が4 log23になるということ.

(7)log525 Help

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

− − −
− − −

(8)log5 Help

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

− − −
− − −

(9)log7 7 Help

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

− − −
− − −

(10)log6 Help

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

− − −
− − −

(11)log10 +log10 Help

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

− − −
− − −

(12)log3 −3log3 Help

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

− − −
− − −