□基本チェック

■　交点と定数の大小

･･･このページの確認問題は，問題というよりは，文章を読むときに表面的に流れてしまうことを防ぐための「目覚まし」程度のもので，実際には前後の文脈から即答できるものばかりです。
【要約】
　ｙ=ax2+bx+c(a>0)がｘ軸と
１　定点(a,0)の両側で交わる条件は　　f(a)<0　［条件は１つだけ］
２　定点(a,0)の右側の２点で交わる条件は 　f(a)>0，　D>0，　軸のｘ座標>a ［条件は３つ］
■［基本］　定点の両側で交わる
→（簡単：条件は１つ）
1【例】
y = x2 -2ax + 1 のグラフがｘ軸の ｘ＜１，ｘ＞1 の部分でそれぞれ交わるように定数ａの値の範囲を定めなさい。
【答案】
f(x) = x2 -2ax + 1 とおくと，
f(1) ＜ 0　が必要十分条件となる。（右図参照）
1 - 2a + 1 < 0 より
a > ・・・(答)
【要点】
下に凸のグラフでは
■［基本］　定点よりも右の２点で交わる
→（複雑：条件は３つ）
2【例】
y = x2 -2ax + 9 のグラフがｘ軸の ｘ＞1の 部分と２交点をもつようにａの値の範囲を定めなさい。

【考え方】
f(x) = x2 -2ax + 9 とおく。
条件　f(1) > 0 ・・・(1)　だけでは，右の×印のように題意に合わないものが含まれる(接する場合も)

条件　D/4 = a2 - 9 > 0・・・(2)　を付け加えると
ｘ軸と共有点を持たない場合を取り除ける。

条件　軸　x = a > 1・・・(3)　を付け加えると
x < 1 に２交点をもつ場合が取り除ける。

【答案】
f(1) > 0 ・・・(1) より，10 - 2a > 0　→　a < 5
D/4 = a2 - 9 > 0・・・(2)　より a < -3，a > 3
軸　x = a > 1・・・(3)　より a > 1

< a < 5 ・・・答
【要点】

(1)

(2)
(3)
■　定点よりも左の２点で交わる
3【例】
y = x2 -2ax + 9 のグラフがｘ軸の ｘ＜1 の部分と２交点をもつようにａの値の範囲を定めなさい。
【答案】
f(1) > 0 ・・・(1) より，10 - 2a > 0　→　a < 5
D/4 = a2 - 9 > 0・・・(2)　より a < -3，a > 3
軸　x = a ＜ 1・・・(3)　より
a < 1
以上より
a < ・・・答
上の場合と比較すると，
f(k) > 0 ・・・(1)　は同様
Ｄ > 0 ・・・(2)　は同様
軸 < k　・・・(3)　とする。
■　２定点の間に１つの交点をもつ
・・（簡単）
4【例】
y = x2 -2ax + 9 のグラフがｘ軸の 1<x<3 の部分と1つの交点をもつようにａの値の範囲を定めなさい。

【考え方】
右図のように
f(1)>0かつf(3)<0・・(1)の場合または
f(1)<0かつf(3)>0・・・(2)の場合
がある。

【答案】
f(x) = x2 -2ax + 9 とおく
f(1) > 0，f(3)<0 より
3 <a < 5
f(1) < 0 ，f(3) > 0 からｊは解なし。

以上より

<a < 5・・・答
上から下に行けば交わる
（下から上でもよい）

２次関数ではf(1)>0かつf(3)<0のとき
ｘ軸とただ1回交わる。２回以上交わる図は書けない。
f(1)<0かつf(3)>0のときも同様

※ f(a)・f(b) < 0 という形に公式化するやり方もありますが，覚えるまでもないでしょう。
■　２定点の間に２交点をもつ
・・（複雑）
5【例】
y = x2 -2ax + 4 のグラフがｘ軸の 1 < x < 3 の部分と２交点をもつようにａの値の範囲を定めなさい。

【考え方】
f(1)>0，f(3)>0だけでは右図のＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄのような場合がある。
D/4>0を追加してもＣ，Ｄの場合が残るので，最後に軸の制限を追加する。

【答案】
f(x) =x2 -2ax + 4  とおく
f(1) > 0 → 5 - 2a>0
f(3) > 0 → 13 - 6a > 0
D/4 > 0 → a2 - 4 > 0 
軸  1 < a <3
より　 < a < 13/6・・答
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