■部分積分

■部分積分の公式
f(x)g(x)dx=f(x)g(x)−f(x)g(x)dx …(1)
特に
f(x)dx=xf(x)−xf(x)dx …(2)
(証明)
(1)←
積の微分法の公式により
(f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x)
両辺を積分すると
f(x)g(x)=f(x)g(x)dx+f(x)g(x)dx
よって
f(x)g(x)dx=f(x)g(x)−f(x)g(x)dx

(2)←
(1)においてg(x)=1とおくと,g(x)=x (積分定数Cは省略)
f(x)×1dx=f(x)×x−f(x)×xdx
したがって
f(x)dx=xf(x)−xf(x)dx

(部分積分法の使い方)
(1)←
f(x)g(x)dxが計算しにくく

f(x)g(x)dxが上記よりも簡単に計算できるとき

部分積分法の公式により,より計算しやすい積分に直すことができる.

(2)←
f(x)dxが計算しにくく,xf(x)dxが簡単に計算できるときは

(2)が使える.
(覚え方)
f(x)g(x)dx=f(x)g(x)−f(x)g(x)dx …(1)

2×2=4通りの関数の積のうちで
f(x)g(x), f(x)g(x), f(x)g(x), f(x)g(x),
• 関数の積
f(x)g(x)は積分記号 の外にある
• 関数と微分との積
f(x)g(x), f(x)g(x)は積分記号の中にある
• 微分同士の積
f(x)g(x)は登場しない.

1.xsinxdx
f(x)=xとおくf(x)=1 ←簡単になる
g(x)=sinxとおくg(x)=−cosx ←求まる
xsinxdx=x(−cosx)1·(−cosx)dx
=−xcosx+cosxdx
=−xcosx+sinx+C
一般に,被積分関数が多項式と三角関数の積になっているとき,多項式をf(x)に選ぶとf(x)は次数が低くなって簡単になる.
逆に選んだ場合,次の変形になり,論理的には正しいが役に立たない..
f(x)=sinxとおくf(x)=cosx
g(x)=xとおくg(x)=
sinx xdx=sinx cosx dx
cosx dx
は,多項式の次数が高くなるため,元の積分よりも一層込み入ったものになる.

2.xexdx
f(x)=xとおくf(x)=1 ←簡単になる
g(x)=exとおくg(x)=ex ←求まる
xexdx=xex1·exdx=xex−ex+C

上の例1と同様に,被積分関数が多項式と指数関数の積になっているときは,多項式をf(x)に選ぶとf(x)は次数が低くなって簡単になる.
逆に選んだ場合,次の変形になり,論理的には正しいが役に立たない..
f(x)=exとおくf(x)=ex
g(x)=xとおくg(x)=
ex xdx=ex ex dx
ex dx
は,多項式の次数が高くなるため,元の積分よりも一層込み入ったものになる.

3.xlogxdx
f(x)=logxとおくf(x)= ←簡単になる
g(x)=xとおくg(x)= ←求まる

xlogxdx =logxdx =logx−x dx
=logx−+C


上記2つの例とは異なり,通常はlog xの不定積分を覚えないので, g(x)=log xと置かない方がよい. このような置き方をすると
log x dx

を求めなければならなくなるからである.次の変形を見よ.
f(x)=xとおくf(x)=1 ←簡単になる
g(x)=log xとおくg(x)=??? ←求まらない

4.logxdx ← 公式(2)の例
f(x)=logxとおくf(x)= ←簡単になる
g(x)=1このテクニック
を覚える!
g(x)=x

1·logxdx=xlogxx dx=x logx−dx
=x logx−x+C

ここまでの要点
(多項式)×(三角関数または指数関数)
→ 多項式の次数を下げるために,多項式をf(x)とおく
(多項式)×(対数関数)
対数関数の積分を避けるために,対数関数をf(x)とおく
問題1次の積分を求めよ.
(正しいものを選べ.
暗算では難しいので,計算用紙を使ってもよい.)

(1) xcos2xdx

xsin2x+cos2x+C xsin2xcos2x+C

xcos2xsin2x+C xcos2x+sin2x+C
(2) xsin2xdx

xsin2x+cos2x+C xsin2xcos2x+C

xcos2xsin2x+C xcos2x+sin2x+C
(3) xe2xdx

(2x+1)e2x+C (2x−1)e2x+C

(2x+1)e−2x+C (2x−1)e−2x+C
(4) xe−2xdx

(2x+1)e2x+C (2x−1)e2x+C

(2x+1)e−2x+C (2x−1)e−2x+C
(5) log(x+1)dx

(x+1)log(x+1)+C (x+1)log(x+1)−x+C

xlog(x+1)−x+C (x−1)log(x+1)+C
(6) x2logxdx

xlogx−x+C logx−x3+C

logx−x3+C logx−x3+C
■部分積分の繰り返し
• (多項式と関数の積)
→階段を下りるように多項式を順次微分していく.
(例1.参照)
• (求めたい関数が自分自身で表されたら
[同じ式が2回出てきたら])
→未知の積分を=Iとおいて方程式のように解くとよい
(例2.参照)
例1.
x2sinxdx

f(x)=x2f(x)=2x ←簡単になる
g(x)=sinxg(x)=−cosx ←求まる
x2sinxdx=x2·(−cosx)2x·(−cosx)dx
About . repeat integration by parts such that
s(x)=2xs(x)=2 ←簡単になる
t(x)=−cosxt(x)=−sinx ←求まる
=−x2cosx−{2x(−sinx)−2(−sinx)dx}
=−x2cosx+2xsinx+2cosx+C
=(−x2+2)cosx+2xsinx+C


もっと複雑な場合は,次のような表を作る.
f(n)(x)f(x)n階微分,g(−n)(x)g(x)n階積分とする
x3sinxdx
(矢印は積を作る向き. 0が登場すれば終了)
符号 微分 積分
+ f(x)=x3 g(1)(x)=sin x
f(1)(x)=3x2 g(x)=−cos x
+ f(2)(x)=6x g(−1)(x)=−sin x
f(3)(x)=6 g(−2)(x)=cos x
+ f(4)(x)=0 g(−3)(x)=sin x
x3sinxdx

=x3(−cos x)−3x2(−sin x)+6x(cosx)−6(sinx)+C
例2.
exsinxdx
f(x)=exf(x)=ex
g(x)=sinxg(x)=−cosx
exsinxdx=ex(−cosx)ex(−cosx)dx
部分積分を繰り返す
s(x)=exs(x)=ex
t(x)=−cosxt(x)=−sinx
ex(−cosx)ex(−cosx)dx
=ex(−cosx)−(ex(−sinx)ex(−sinx)dx)
=−excosx+exsinx−exsinxdx →(*)
次のような1次方程式の解き方を思い出すとよい.
x=6−x → 2x=6 → x=3
これと同様に,もし積分 (I) が自分自身 (I)で表されていれば
I=f(x)−I → 2I=f(x) → I=
I=exsinxdx
I=−excosx+exsinx−I
2I=−excosx+exsinx
I=(−excosx+exsinx)+C (解)
(積分定数は最後に付ければよい.)
注意
 もし、ある関数(例えばex)を微分したのであるならば,その微分も微分しなければならなず,他方の関数(例えば sin x)を積分したのであればその積分をさらに積分しなければならない.
 さもなければ(もし途中で微分の向きと積分の向きを逆にしてしまうと)何も得られず努力は水の泡となる.
fg’dx=fg−f’gdx=fg−(fg−fg’dx)
fg’dx=fg−fg+fg’dx
0=0
問題2次の積分を求めよ.
(正しいものを選べ.
暗算では無理なので,各自で計算用紙を使うとよい.)

(1) x2cosxdx

x2sinx+2xcosx+2sinx+C x2sinx+2xcosx−2sinx+C

x2cosx+2xsinx+2cosx+C x2cosx−2xsinx+2cosx+C
(2) x2cos2xdx

(4x2−1)cos2x+sin2x+C

(4x2+1)cos2x−sin2x+C

(2x2−1)sin2x+cos2x+C

(2x2+1)sin2x−cos2x+C
(3) x2e2xdx

(2x2−2x+1)+C

(−2x2+2x−1)+C

(2x2−2x+1)+C

(−2x2+2x−1)+C
(4) (x+1)2e2xdx

(2x2+2x+1)+C

(−2x2+2x−1)+C

(2x2−2x−1)+C

(2x2+2x+1)+C
(5) excosxdx

(sinx+cosx)+C

(sinx−cosx)+C

(cosx−sinx)+C

(sinx+cosx)+C
(6) excos2xdx

(2sin2x+cos2x)+C

(2sin2x−cos2x)+C

(cos2x−2sin2x)+C

(2sin2x+cos2x)+C
(7) exsin2xdx

(2sin2x+cos2x)+C

(2sin2x−cos2x)+C

(sin2x+2cos2x)+C

(sin2x−2cos2x)+C
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