■不等式の証明(2乗比較) → 携帯版は別頁
 根号が付いている式のように,そのままでは大小を比較しにくい場合には「両方とも正の数」である限り,元の2数に代えて2乗してしたもので大小を比較することができます.
【2乗比較】
a>0, b>0のとき,
a2>b2ならばa>b
(解説)
a2−b2=(a+b)(a−b)
だから,a>0, b>0のときa+b>0だから
a>bならばa2>b2…(1)
a2>b2ならばa>b…(2)
のいずれも成り立ちます.
 特に(2)を利用すると,元の式の大小を直接比較しにくいときに,それぞれの式の2乗で比較することができます.
(ただし,この2乗比較が使えるのは,「2数とも正」という前提が満たされているときに限ります.負の数については,2乗が大きくても元の数が小さい場合があります.)
【例1】
a, b>0のとき,次の不等式が成り立つことを証明してください.
+>
このままでは根号が付いているため引き算しても簡単になりませんので,2乗して比較することを考えます.
2乗比較するためには,はじめ,途中または最後のいずれかの段階で「元の式の両辺とも正であること」を述べる必要があります.下記の(※)の部分
(証明)
(+)2−()2=a+2+b−(a+b)=2>0
だから
(+)2>()2
+>0, >0だから …(※)
+> (証明終り)
※以下の問題は暗算ではできません.手元に計算用紙を置いて,きっちり証明してから答えてください.

【問1】
a>b>0のとき,次の不等式は「つねに成り立つ」「必ずしも成り立たない」「絶対成り立たない」のいずれであるか答えてください.
>
(解答)…正しいものを選んでください.
【問2】
a>0, b>0のとき,次の不等式は「つねに成り立つ」「必ずしも成り立たない」「絶対成り立たない」のいずれであるか答えてください.
(解答)…正しいものを選んでください.
【問3】
a>b>0のとき,次の不等式は「つねに成り立つ」「必ずしも成り立たない」「絶対成り立たない」のいずれであるか答えてください.
2+>
(解答)…正しいものを選んでください.
【問4】
a>0, b>0のとき,次の不等式は「つねに成り立つ」「必ずしも成り立たない」「絶対成り立たない」のいずれであるか答えてください.
+>
(解答)…正しいものを選んでください.
【問5】
a>0, b>0のとき,次の不等式は「つねに成り立つ」「必ずしも成り立たない」「絶対成り立たない」のいずれであるか答えてください.
+>
(解答)…正しいものを選んでください.
【問6】
a>1, b>1のとき,次の不等式は「つねに成り立つ」「必ずしも成り立たない」「絶対成り立たない」のいずれであるか答えてください.
+1>+
(解答)…正しいものを選んでください.
【問7】
0<a<1のとき,次の不等式は「つねに成り立つ」「必ずしも成り立たない」「絶対成り立たない」のいずれであるか答えてください.
1−a<
(解答)…正しいものを選んでください.
【問8】
a>0のとき,次の不等式は「つねに成り立つ」「必ずしも成り立たない」「絶対成り立たない」のいずれであるか答えてください.
a+1<
(解答)…正しいものを選んでください.
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