■媒介変数表示とx軸,y軸方向の変化

■媒介変数表示で与えられた関数では,dy/dxが求められるだけでなく,  
dx/dt,dy/dtなどを用いて,グラフの性質をさらに詳しく調べることができます。


■右の表1は,媒介変数tにより,
x=t2+t-2 ・・・(1)
y=-t2+3t ・・・(2)
で表される関数についてt=-3からt=4.5までtを0.5ずつ増加させてx,yの値を求めたものです。

■また,この表から表計算ソフト(Microsoft ExcelTR)を用いてグラフにしたものが右の図1です。(グラフの種類で棒グラフ,円グラフなどと並んで散布図というものがあり,これを選ぶと表中のx,y座標をもつ点をプロットできます。)

■この点を結んでなめらかな曲線にしたものが右の図2です。
なお,表1を目で追うとxの値の変化に従って,図の水色矢印の向きに曲線上を動くことが分かります。

■図2において,y軸との交点ア,イ,x軸との交点ウ,エ,xが減少から増加に変化する点オ,yが増加から減少に変化する点カの座標は次のように求めることができます。
(1)においてx=0よりt=-2,1
これよりy=-10,2

ア:(0,-10) t=-2
イ:(0,2)  t=1
(2)においてy=0よりt=0,3
これよりx=-2,10
ウ:(-2,0) t=0
エ:(10,0) t=3
表1


dx/dt=2t+1だからx方向の増減が変化するのはt=-1/2のとき
このときx=-9/4,y=-7/4

オ:(-9/4,-7/4) t=-1/2
dy/dt=-2t+3だからy方向の増減が変化するのはt=3/2のとき
このときx=7/4,y=9/4
カ:(7/4,9/4) t=3/2
図1
図2
.
[問題1]
右の図は,媒介変数表示
x=t2-6t+8
y=t2
で表されるグラフの概形(およその形)を描いたものです。
この図において,次の各点の座標を求めなさい。
y軸との交点
ア () (アのy座標<イのy座標とします。)
イ () 
x軸との接点(かつ,y方向の増減が変化する点)
エ () 
x方向の増減が変化する点
ウ () 
[問題2]
右の図は,媒介変数表示
x=t2-4
y=-t2-2t+8
で表されるグラフの概形(およその形)を描いたものです。
この図において,次の各点の座標を求めなさい。
y軸との交点
ア () 
(もう1つは原点です。)
x軸との交点
イ () 
(もう1つは原点です。)
x方向の増減が変化する点
ウ () 
y方向の増減が変化する点
エ () 
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