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■場合分けのまとめ方
 実際に出会う問題では、積の法則や和の法則を単独で用いることは少なく、これらを組み合わせて使います。
 そのとき、場合分けした「各々の場合を積の法則で処理し」「全体を和の法則でまとめる」という流れが基本です。
【例1】
 3つのさいころABCを同時に投げるとき、出た目の和が16になる場合の数は何通りありますか。
(解答)
右図1のようにA+Bの和とCの表を作ると
(ア)A+Bの和が12になるのは1通り
このときCの目が4になるのは1通り
A+B=12となるのは1通り
(イ)A+Bの和が11になるのは2通り
その各々についてCの目が5になるのは1通り
A+B=11となるのは2通り
(ウ)A+Bの和が10になるのは3通り
   その各々についてCの目が6になるのは1通り
A+B=10となるときは3通り
(*)A+Bの和が9以下のときは、該当する場合なし
以上により、1+2+3=6通り

 この問題のように、場合分けした結果は次のようにまとめます。
「細分したものを積の法則で」「全体のまとめを和の法則で」処理します。
分かれば何でもないことですが・・・
 数学に自信をなくしている人では、上記の(ア)(イ)(ウ)の結果を、さらに「積の法則でまとめる」間違いが多く見られます。
 ⇒ (ア)(イ)(ウ)のような「場合分け」は重複しないように分けているので、これらは「同時には成り立ちません」。したがって、「和の法則」を使う場面になっています。

※ (より進んだ学習をしている人への参考)
 例1の問題を「異なる3つのものABCから重複を許して16個取る組合せの総数」として解くことはできません。
 重複組合せで求めると、例えばA=7B=8C=1のように1つの目が7以上の場合も数えることになり、不適当です。
図1
A+B 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
C
1
2
3
4
5
6



【例2】
 4つのさいころABCDを同時に投げるとき、出た目の和が22になる場合の数は何通りありますか。
図2のようにA+BC+Dの表を作ると
(ア)A+Bが10になるのは3通り
このときC+Dが12になるのは1通り
3×1=3通り
(イ)A+Bが11になるのは2通り
その各々についてC+Dが11になるのは2通り
2×2=4通り
(ウ)A+Bが12になるのは1通り
   その各々についてC+Dが10になるのは3通り
1×3=3通り
(*)A+Bが9以下のときはC+Dで該当する場合なし、A+Bが13以上のときはA+Bで該当する場合なし
以上により、3+4+3=10通り
A+B 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
C+D 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12


【例3】
 Aのテーブルには大人2人と子供3人、Bのテーブルには大人3人と子供2人が席についています。ABの間でメンバを1人すつ入れ替えるとき、各テーブルの大人・子供の人数が変わる場合は何通りありますか。
(解答)
(ア)AからBへ大人が行くのが2通り
その各々についてBからAへ子供が行くのが2通り
2×2=4通り
(イ))AからBへ子供が行くのが3通り
その各々についてBからAへ大人が行くのが3通り
3×3=9通り
以上により、4+9=13通り
問題13つのさいころA, B, Cを同時に投げるとき,出た目の和が15になる場合の数を求めてください.
通り

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問題24つのさいころA, B, C, Dを同時に投げるとき,出た目の和が23になる場合の数を求めてください.
通り

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問題3Aの袋にはハートのカードが2枚とスペードのカードが3枚入っており,Bの袋にはハートのカードが3枚とスペードのカードが2枚入っている.Aの袋から1枚取り出してBの袋に入れ,よくかきまわしてBの袋から1枚取り出してAの袋に戻すとき,Aの袋にハートのカードが2枚とスペードのカードが3枚入っている場合の数は何通りありますか.(カードはすべて区別します.)
通り

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問題4袋の中に赤玉が3個,黄玉が2個,青玉が4個入っている.この中から「同時に2個」取りだしたとき,同じ色が出る場合の数は何通りありますか.
通り

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