微分方程式の作り方

== 微分方程式の作り方 == ≪このページ内の目次≫

1.1　常微分方程式

　独立変数が１つである未知関数を含んでいる式を常微分方程式という．また，その方程式に含まれる最高階の導関数の階数が $n$ のとき， $n$ 階常微分方程式という．

【例1.1.1】
$x$ が独立変数， $y=f(x)$ が未知関数のとき，
$\frac{dy}{dx}=y$
は１階常微分方程式
【例1.1.2】
$x$ が独立変数， $y=f(x)$ が未知関数のとき，
$\frac{d^2y}{dx^2}+ 2\frac{dy}{dx}+ 3y=0$
は２階常微分方程式

　与えられた微分方程式に関数とその導関数を代入したとき，変数の恒等式になっている場合に，この関数を微分方程式の解という．

【例1.1.3】
　関数 $u(x)=Ce^{kx}$ （ $k$ は与えられた定数， $C$ は任意定数）･･･①を，常微分方程式
$\frac{du}{dx}=ku$ ･･･②
に代入すると，
$kCe^{kx}=kCe^{kx}$
という恒等式になるので，①は常微分方程式②の解といえる．
【例1.1.4】
　関数 $u(x)=2x$ ･･･①を，常微分方程式
$\frac{du}{dx}=2$ ･･･②
に代入すると，
$2=2$
という恒等式になるので，①は常微分方程式②の解といえる．

　階数の個数の任意定数を含む解を常微分方程式の一般解という．

【例1.1.5】
　関数 $y=Ae^{2x}+ Be^{3x}$ （ $A,\hspace{2}B$ は任意定数）･･･①を，常微分方程式
$\frac{d^2y}{dx^2}-5\frac{dy}{dx}+ 6y=0$ ･･･②
に代入すると，
$(4Ae^{2x}+ 9Be^{3x})$
$-5(2Ae^{2x}+ 3Be^{3x})$
$+ 6(Ae^{2x}+ Be^{3x})$
$=(4A-10A+ 6A)e^{2x}+(9B-15B+ 6B)e^{3x}$
$=0$
という恒等式になるので，①は常微分方程式②の解といえる．また，②が2階微分方程式で①が2個の任意定数を含んでいるから，①は②の一般解といえる．
【例1.1.6】
　関数 $y=Ce^{x}$ （ $C$ は任意定数）･･･①を，常微分方程式
$\frac{dy}{dx}=y$ ･･･②
に代入すると，
$Ce^x=Ce^x$
という恒等式になるので，①は常微分方程式②の解といえる．また，②が1階微分方程式で①が1個の任意定数を含んでいるから，①は②の一般解といえる．

　任意定数に特定の値を与えて得られる解を特解（特殊解）という．

【例1.1.7】
　一般解が $u(x)=Ce^{x}$ （ $C$ は任意定数）であるときに， $u(0)=1$ となるように，定数 $C$ を定めたもの $u(x)=e^{x}$ は１つの特解である．また， $u(0)=2$ となるように，定数 $C$ を定めたもの $u(x)=2e^{x}$ はもう1つの特解である．

　例えば，2階常微分方程式の一般解から2個の任意定数を定めて特解を求める際に
$f(a),\hspace{3}f\apos(a)$
のように1点 $x=a$ における階数よりも低い微分係数 $f\apos(a)$ と関数値 $f(a)$ を制約条件とするものを初期条件といい，初期条件が与えられた微分方程式を解く問題を初期値問題という．

【例1.1.8】
　一般解 $u(x)=Ax^2+ Bx$ に対して，初期条件 $u(1)=1,\hspace{2}u\apos(1)=2$ を満たす解は

$u(1)=1\rightarrow A+ B=1$
$u\apos(1)=2\rightarrow 2A+ B=2$
より， $A=1,\hspace{2}B=0$ と定まるから

$u(x)=x^2$ である．
【例1.1.9】
　一般解 $u(x)=Ae^x+ Be^{-x}$ に対して，初期条件 $u(0)=2,\hspace{2}u\apos(0)=0$ を満たす解は

$u(0)=2\rightarrow A+ B=2$
$u\apos(0)=0\rightarrow A-B=0$
より， $A=1,\hspace{2}B=1$ と定まるから

$u(x)=e^x+ e^{-x}$ である．

　例えば，2階常微分方程式の一般解から2個の任意定数を定めて特解を求める際に
$f(a)$ の値と $f(b)$ の値
$f\apos(a)$ の値と $f\apos(b)$ の値
のように，複数個の点 $x=a,\hspace{2}b$ における微分係数や関数値を制約条件とするものを境界条件といい，境界条件が与えられた微分方程式を解く問題を境界値問題という．

【例1.1.10】
　一般解 $u(x)=Ax^2+ Bx$ に対して，境界条件 $u(1)=1,\hspace{2}u(-1)=1$ を満たす解は

$u(1)=1\rightarrow A+ B=1$
$u(-1)=2\rightarrow A-B=1$
より， $A=1,\hspace{2}B=0$ と定まるから

$u(x)=x^2$ である．
【例1.1.11】
　一般解 $u(x)=A\sin x+ B\cos x$ に対して，境界条件 $u(0)=1,\hspace{2}u(\frac{\pi}{2})=1$ を満たす解は

$u(0)=1\rightarrow B=1$
$u(\frac{\pi}{2})=1\rightarrow A=1$
より， $A=1,\hspace{2}B=1$ と定まるから

$u(x)=\sin x+ \cos x$ である．

1.2　常微分方程式の作り方

　一般解が与えられているとき，その解に対応する常微分方程式を求めるには，「任意定数の個数に等しい階数の導関数を求めて任意定数を消去します」．

【例1.2.1】
　関数 $u=Ax$ の任意定数は１個だから，この一般解に対応する微分方程式を求めるには，１階導関数を求めて
$u=Ax$ ･･･①
$u\apos=A$ ･･･②
の２つの式から任意定数 $A$ を消去します．
$u=u\apos x$ ･･･（答）

【例1.2.2】
　関数 $u=Ax+ B$ の任意定数は２個だから，この一般解に対応する微分方程式を求めるには，２階導関数を求める
$u=Ax+ B$ ･･･①
$u\apos=A$ ･･･②
$u\apos\apos=0$ ･･･③
の３つの式から任意定数 $A,\hspace{2}$ を消去します．
変な感じもしますが，必ず２階導関数を使わなければならないので，①②の面目丸つぶれでも，③式を微分方程式とします．
$u\apos\apos=0$ ･･･（答）

実際に，③式が一般解になっていることを確かめるには，③式を２回積分してみるとよい．
$u\apos=\int 0dx=A$
$u=\int Adx=Ax+ B$

【例題1.2.3】
　次の式から任意定数 $A,\hspace{2}B,\hspace{2}C$ を消去して，微分方程式を作ってください．
(1) $y=Ce^x$
(2) $y=Ae^x+ B$

（解答）
(1)　任意定数が１個だから「必ず１階導関数 $y\apos$ を使って」（必要ならば関数 $y$ や変数 $y$ も使ってよい）表す．
$y=Ce^x$ ･･･①
$y\apos=Ce^x$ ･･･②
より，任意定数 $C$ を消去します
$y\apos=y$ ･･･（答）

(2)　任意定数が２個だから「必ず２階導関数 $y\apos\apos$ を使って」（必要ならば関数 $y$ ，1階導関数 $y\apos$ や変数 $x$ も使ってよいが，これらが必ず含まれなければならない訳ではない）表す．
$y=Ae^x+ B$ ･･･①
$y\apos=Ae^x$ ･･･②
$y\apos\apos=Ae^x$ ･･･③
③式の任意定数 $A$ を消去します
$y\apos\apos=y\apos$ ･･･（答）
（この解答を見ると，消去の際に①を使っていないように見えるが，「2階導関数を使ってあればよく」，①の面目丸つぶれでもよい！）

【例題1.2.4】
　次の式から任意定数 $A,\hspace{2}B,\hspace{2}C$ を消去して，微分方程式を作ってください．
(1) $y=\frac{C}{x}$
(2) $y=Ax+\frac{B}{x}$

（解答）
(1)
$y=\frac{C}{x}$ ･･･①
$y\apos=-\frac{C}{x^2}$ ･･･②
より，任意定数 $C$ を消去します
$y\apos=-\frac{y}{x}$ ･･･（答）

(2) 2階導関数を使います
$y=Ax+\frac{B}{x}$ ･･･①
$y\apos=A-\frac{B}{x^2}$ ･･･②
$y\apos\apos=\frac{2B}{x^3}$ ･･･③
より
$y\apos\apos+\frac{y\apos}{x}-\frac{y}{x^2}=0$ ･･･（答）

1.3　偏導関数

　 $u$ が2変数 $x,\hspace{2}y$ の関数であるとき
$\frac{\partial u}{\partial x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{u(x+\Delta x,\hspace{2}y)-u(x,\hspace{2}y)}{\Delta x}$
を $u$ の $x$ に関する偏導関数といい
$u_x,\hspace{5}\frac{\partial u}{\partial x},\hspace{5}\frac{\partial u}{\partial x}(x,\hspace{2}y)$
などの記号で表す．偏導関数を求めることを偏微分するという．

$u$ の $y$ に関する偏導関数も同様にして
$\frac{\partial u}{\partial y}=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{u(x,\hspace{2}y+\Delta y)-u(x,\hspace{2}y)}{\Delta y}$
で定義され
$u_y,\hspace{5}\frac{\partial u}{\partial y},\hspace{5}\frac{\partial u}{\partial y}(x,\hspace{2}y)$
などの記号で表される．

【例 1.3】
(1)　関数 $u(x,\hspace{2}y)=x^2y+ xy^3$ の $x$ に関する偏導関数を求めてください
(2)　 $v(x,\hspace{2}y)=2\sin x+ 3\cos y$ のとき， $v_y$ を求めてください
(3)　 $w=\frac{2xy}{x^2+ y^2}$ のとき， $\frac{\partial w}{\partial x}$ を求めてください

（解答）
(1) $y$ を定数と見なして， $x$ で微分します．
$\frac{\partial u}{\partial x}=2xy+ y^3$ ･･･（答）
(2) $x$ を定数と見なして， $y$ で微分します．
$\frac{\partial v}{\partial y}=-3\sin y$ ･･･（答）
(3)
$\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{2y(x^2+ y^2)-2xy\times 2x}{(x^2+ y^2)^2}$
$=\frac{2y(y^2-x^2)}{(x^2+ y^2)^2}$ ･･･（答）

1.4　高階偏導関数

　 $u_x$ をさらに $x$ で微分したものを $u_{xx}$ で表します．すなわち
$u_{xx}=\frac{\partial u_x}{\partial x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{u_x(x+\Delta x,\hspace{2}y)-u_x(x,\hspace{2}y)}{\Delta x}$
または
$u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)$ $=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\frac{\partial u}{\partial x}(x+\Delta x,\hspace{2}y)-\frac{\partial u}{\partial x}(x,\hspace{2}y)}{\Delta x}$
同様にして，他の第2階導関数も次のように定義される．

$u_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)$ $=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{u_x(x,\hspace{2}y+\Delta y)-u_x(x,\hspace{2}y)}{\Delta y}$
$u_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)$ $=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{u_y(x+\Delta x,\hspace{2}y)-u_y(x,\hspace{2}y)}{\Delta x}$
$u_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)$ $=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{u_y(x,\hspace{2}y+\Delta y)-u_y(x,\hspace{2}y)}{\Delta y}$
なお，なんとなく「眺めていると」次のような錯覚を持つかもしれないが，そのように定義されているのではない．
$u_{xy}=\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}$ $u_{yx}=\frac{\partial^2 u}{\partial y\partial x}$
正しくは，次のように定義されている．（順序が違う）
$u_{xy}=\frac{\partial^2 u}{\partial y\partial x}$ $u_{yx}=\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}$
※この教材で扱うような多くの関数は，「第2階導関数がすべて存在してかつ連続」（ $C^{\infty}$ 級といわれる）という条件を満たしているので， $u_{xy}=u_{yx}$ が成り立つが，定義としてはこれらは別である．

【例 1.4】
(1)　関数 $u=e^x\sin y$ について，第2階偏導関数 $u_{xx}$ を求めてください
(2)　関数 $u=\frac{x-y}{x+ y}$ について，第2階偏導関数 $\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}$ を求めてください
(3)　関数 $u=2x^2y-3xy^2$ について，第2階偏導関数 $\frac{\partial^2 u}{\partial y\partial x}$ を求めてください

（解答）
(1) $u_x=e^x\sin y$
$u_{xx}=e^x\sin y$ ･･･（答）
(2) $\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{-(x+ y)-(x-y)}{(x+ y)^2}=-\frac{2x}{(x+ y)^2}$
$\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}=-\frac{2(x+ y)^2-2x\times 2(x+ y)}{(x+ y)^4}=\frac{2(x-y)}{(x+ y)^3}$ ･･･（答）
(3) $\frac{\partial u}{\partial x}=4xy-3y^2$
$\frac{\partial^2 u}{\partial y\partial x}=4x-6y$ ･･･（答）

1.5　偏微分方程式

　独立変数が２つ以上である未知関数を含んでいる式を偏微分方程式という．また，その方程式に含まれる最高階の導関数の階数が $n$ のとき， $n$ 階偏微分方程式という．

【例1.5.1】
$x,\hspace{2}y$ が独立変数， $u(x,\hspace{2}y)$ が未知関数のとき，
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}$
は１階偏微分方程式
【例1.5.2】
$x,\hspace{2}t$ が独立変数， $u(x,\hspace{2}t)$ が未知関数のとき，
$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ （ $c$ は定数）
は２階偏微分方程式

　偏微分方程式の未知関数とその導関数が1次式（定数倍と和差のみで結ばれていて，未知関数相互，未知関数と導関数，導関数と導関数の積などがない形）であるとき，線形偏微分方程式という．線形でない偏微分方程式は非線形偏微分方程式と呼ばれる．

【例1.5.3】
$x,\hspace{2}y$ が独立変数， $u(x,\hspace{2}y)$ が未知関数のとき，
$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}+ u=f(x,\hspace{2}y)$ （ $f(x,\hspace{2}y)$ は既知）
は１階線形偏微分方程式
【例1.5.4】
$x,\hspace{2}y$ が独立変数， $u(x,\hspace{2}y)$ が未知関数のとき，
$u^2-2\frac{\partial u}{\partial x}=0$
は１階非線形偏微分方程式

　偏微分方程式の未知関数とその導関数の定数倍，または関数倍の和差のみで結ばれているものを同次偏微分方程式という．同次でない偏微分方程式は非同次偏微分方程式と呼ばれる．

【例1.5.5】
$x,\hspace{2}y$ が独立変数， $u(x,\hspace{2}y)$ が未知関数のとき，
$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}+ u=0$
は同次偏微分方程式
【例1.5.6】
$x,\hspace{2}y$ が独立変数， $u(x,\hspace{2}y)$ が未知関数のとき，
$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}+ u=f(x,\hspace{2}y)$ （ $f(x,\hspace{2}y)$ は既知）

　関数 $u(x,\hspace{2}y)=(x-y)^2$ ･･･①を，偏微分方程式
$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=0$ ･･･②
に代入すると，
$2(x-y)-2(x-y)=0$
という恒等式になるので，①は偏微分方程式②の解といえる．

　階数の個数の任意関数を含む解を偏微分方程式の一般解という．

常微分方程式の一般解が階数の個数の「任意定数」を含むのに対して，偏微分方程式の一般解は階数の個数の「任意関数」を含むところが重要

【例1.5.7】
　関数 $u=F(2x+ y)$ （ $F$ は微分可能な任意の関数）･･･①を，偏微分方程式
$\frac{\partial u}{\partial x}-2\frac{\partial u}{\partial y}=0$ ･･･②
に代入すると，
$2F\apos(2x+ y)-2F\apos(2x+ y)=0$
という恒等式になるので，①は偏微分方程式②の解といえる．また，②が１階偏微分方程式で①が１個の任意関数を含んでいるから，①は②の一般解といえる．
$F$ が任意の関数（ただし微分可能）であるとは，例えば次のような関数はすべてこの偏微分方程式の解になるということである．
$u=3(2x+ y)+ 4$
$u=(2x+ y)^2$
$u=\frac{1}{2x+ y}$
$u=\sin(2x+ y)$
【例1.5.8】
　関数 $u=F(x-kt)+ G(x+ kt)$ （ $k$ は与えられた定数， $F,\hspace{2}G$ は2階微分可能な任意の関数）･･･①を，偏微分方程式
$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=k^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ ･･･②
に代入すると，
$k^2F\apos\apos(x-kt)+ k^2G\apos\apos(x+ kt)$
$=k^2\{F\apos\apos(x-kt)+ G\apos\apos(x+ kt)\}$
という恒等式になるので，①は偏微分方程式②の解といえる．また，②が２階偏微分方程式で①が2個の任意関数を含んでいるから，①は②の一般解といえる．
$F,\hspace{2}G$ が任意の関数（ただし2階微分可能）であるとは，例えば次のような関数はすべてこの偏微分方程式の解になるということである．
$u=(x-kt)^3+ 2(x+ kt)^2$
$u=\frac{2}{x-kt}+ \log(x+ kt)$
$u=\sin(x-kt)+ \cos(x+ kt)$

1.6　偏微分方程式の作り方

【例 1.6.1】
　 $f(x)$ を微分可能な関数とするとき，次の関係式から任意関数 $f(x)$ を消去して， $z$ に関する偏微分方程式を作ってください．
$z=f(x+ y)$

（解答）

　任意関数が1個あるので，１階偏微分方程式にします．
　元の問題と，２つの１階偏導関数を使って $f(x)$ と $f\apos(x)$ を消去した式を作ります．

$z=f(x+ y)$ ･･･①
$\frac{\partial z}{\partial x}=f\apos(x+ y)$ ･･･②
$\frac{\partial z}{\partial y}=f\apos(x+ y)$ ･･･③
②③より
$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial y}$ ･･･（答）

【例 1.6.2】
　 $f(x)$ を微分可能な関数とするとき，次の関係式から任意関数 $f(x)$ を消去して， $z$ に関する偏微分方程式を作ってください．
$z=f(x^2+ y^2)$

（解答）

　任意関数が1個あるので，１階偏微分方程式にします．
　元の問題と，２つの１階偏導関数を使って $f(x)$ と $f\apos(x)$ を消去した式を作ります．

$z=f(x^2+ y^2)$ ･･･①
$\frac{\partial z}{\partial x}=f\apos(x^2+ y^2)\cdot 2x$ ･･･②
$\frac{\partial z}{\partial y}=f\apos(x^2+ y^2)\cdot 2y$ ･･･③
②③より
$y\frac{\partial z}{\partial x}=x\frac{\partial z}{\partial y}$ ･･･（答）

【例 1.6.3】
　 $f(x)$ を微分可能な関数とするとき，次の関係式から任意関数 $f(x)$ を消去して， $z$ に関する偏微分方程式を作ってください．
$z=f(xy)$

（解答）

　任意関数が1個あるので，１階偏微分方程式にします．
　元の問題と，２つの１階偏導関数を使って $f(x)$ と $f\apos(x)$ を消去した式を作ります．

$z=f(xy)$ ･･･①
$\frac{\partial z}{\partial x}=f\apos(xy)\cdot y$ ･･･②
$\frac{\partial z}{\partial y}=f\apos(xy)\cdot x$ ･･･③
②③より
$x\frac{\partial z}{\partial x}=y\frac{\partial z}{\partial y}$ ･･･（答）

【例 1.6.4】
　 $f(x)$ を微分可能な関数とするとき，次の関係式から任意関数 $f(x)$ を消去して， $z$ に関する偏微分方程式を作ってください．
$z=e^{ax}f(bx+ cy)$ 　（ $a,\hspace{2}b,\hspace{2}c\ne 0$ は定数）

（解答）

　任意関数が1個あるので，１階偏微分方程式にします．
　元の問題と，２つの１階偏導関数を使って $f(x)$ と $f\apos(x)$ を消去した式を作ります．

$z=e^{ax}f(bx+ cy)$ ･･･①
$\frac{\partial z}{\partial x}=ae^{ax}f\apos(bx+ cy)+ e^{ax}f\apos(bx+ cy)\cdot b$ ･･･②
$\frac{\partial z}{\partial y}=e^{ax}f\apos(bx+ cy)\cdot c$ ･･･③
①③を②に代入
$\frac{\partial z}{\partial x}=az+ \frac{b}{c}\frac{\partial z}{\partial y}$
$c\frac{\partial z}{\partial x}-b\frac{\partial z}{\partial y}=acz$ ･･･（答）

【例 1.6.5】
　 $f(x)$ を2回微分可能な関数とするとき，次の関係式から任意関数 $f(x)$ を消去して， $z$ に関する偏微分方程式を作ってください．
$z=f(x+ y)+ g(x-y)$

（解答）

　任意関数が2個あるので，２階偏微分方程式にします．
　元の問題と，１階偏導関数，２階導関数を使って $f(x),\hspace{2}f\apos(x),\hspace{2}f\apos\apos(x)$ ， $g(x),\hspace{2}g\apos(x),\hspace{2}g\apos\apos(x)$ を使わない関係式を作ります．

$z=f(x+ y)+ g(x-y)$ ･･･①
$\frac{\partial z}{\partial x}=f\apos(x+ y)+ g\apos(x-y)$ ･･･②
$\frac{\partial z}{\partial y}=f\apos(x+ y)-g\apos(x-y)$ ･･･③
$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=f\apos\apos(x+ y)+ g\apos\apos(x-y)$ ･･･④
$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=f\apos\apos(x+ y)+ g\apos\apos(x-y)$ ･･･⑤
④⑤より
$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$ ･･･（答）

【例 1.6.6】
　 $f(x)$ を2回微分可能な関数とするとき，次の関係式から任意関数 $f(x)$ を消去して， $z$ に関する偏微分方程式を作ってください．
$z=f(x)g(y)$

（解答）

$z=f(x)g(y)$ ･･･①
$\frac{\partial z}{\partial x}=f\apos(x)g(y)$ ･･･②
$\frac{\partial z}{\partial y}=f(x)g\apos(y)$ ･･･③
$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=f\apos(x)g\apos(y)$ ･･･④
①×④=②×③だから
$z\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial z}{\partial y}$ ･･･（答）

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