tanx, cotxに関する不定積分携帯版
tanx, cotxに関する不定積分】
○[ dx → log|f(x)|+C
tanx dx=−log|cosx|+C…(*4.1)
cotx dx=log|sinx|+C…(*4.2)
dx=−log|cosx−sinx|+C…(*4.3)
dx=||+C…(*4.4)
○[(tan x)’==tanx
tan2x dx=tanx−x+C…(*4.5)
tan3x dx=tan2x+log|cosx|+C…(*4.6)
tan4x dx=tan3x−tanx+x+C…(*4.7)
○[(cot x)’=−=−cotx
cot2x dx=−cotx−x+C…(*4.8)
cot3x dx=−cot2x−log|sinx|+C…(*4.9)
cot4x dx=−cot3x+cotx+x+C…(*4.10)
○[部分積分を行うもの]
x tan2x dx=−x2+xtanx+log|cosx|+C…(*4.11)
○[部分積分で漸化式を作って次数を下げていくもの]
In=tannx dx (n≧2)とおくと
In=tann−1x−In−2…(*4.12)
※この漸化式から一般項を求めようとせずに,
I0→I2→I4→...
I1→I3→I5→...
と順次求めるために使う.
(解説)
(*4.1)(*4.2)←
被積分関数の分子が分母の微分になっているとき
すなわち dxの形の不定積分は
f(x)=tとおく置換積分により,=f’(x) → dx=
dx===log|t|+C
したがって
dx=log|f(x)|+C
となって,直ちに不定積分が求められます.
 これにより
tanx dx=dx=−dx
=−log|cosx|+C…(*4.1)
cotx dx=dx=dx
=log|sinx|+C…(*4.2)
(*4.3)←
===−
分子が分母の微分になっているから
dx=−log|cosx−sinx|+C
(*4.4)←
三角関数の相互関係から
1+tan2x=だから
dx=dx=Iとおく
ここで,tanx=tとおく置換積分を行うと,=だから
I=cos2x dt=−dt
=−()dt=−(log|t−1|−log|t+1|)+C
=−log||+C=log||+C=||+C
(*4.5)←
tan2x dx=dx=dx
=(−1)dx=tanx−x+C
(*4.6)←
tan3x dx=tan2xtanx dx=(−1)tanx dx
=tanxdx−tanx dx
第1項は,tanx=tとおく置換積分を行うと,=だから
t cos2x dx=t dt=t2+C’=tan2x+C’
第2項は,上記の通りlog|cosx|+C”となるから
tan3x dx=tan2x+log|cosx|+C
(*4.7)←
tan4x dx=tan2x tan2x dx=tan2x(−1)dx
=tan2xdx−tan2x dx
第1項は,tanx=tとおく置換積分を行うと,=だから
t2cos2x dt=t2 dt=t3+C’=tan3x+C’
第2項は,上記の通りtanx−x+C”となるから
tan4x dx=tan3x−tanx+x+C
(*4.8)←
cot2x dx=dx=dx
=(−1)dx=−cotx−x+C
(*4.9)←
cot3x dx=cot2xcotx dx=(−1)cotx dx
=cotxdx−cotx dx
第1項は,cotx=tとおく置換積分を行うと,=−だから
t sin2x dx=−t dt=−t2+C’=−cot2x+C’
第2項は,上記の通りlog|sinx|+C”となるから
cot3x dx=−cot2x−log|sinx|+C
(*4.10)←
cot4x dx=cot2x cot2x dx=cot2x(−1)dx
=cot2xdx−cot2x dx
第1項は,cotx=tとおく置換積分を行うと,=−だから
t2sin2x dt=−t2 dt=−t3+C’=−cot3x+C’
第2項は,上記の通りcotx−x+C”となるから
cot4x dx=−cot3x+cotx+x+C
(*4.11)←
x tan2x dx=Iとおく
f(x)=xf’(x)=1
g’(x)=tan2xg(x)=tanx−x
I=x(tanx−x)−(tanx−x)dx
=xtanx−x2tanx+x2
上記の(*4.1)の結果から
tanx dx=−log|cosx|+Cだから
I=−x2+xtanx+log|cosx|+C
(*4.12)←
In=tannx dx=tann−2x tan2x dx
=tann−2x(−1)dx=tann−2xdx−In−2
第1項は,tanx=tとおく置換積分を行うと,=だから
tn−2cos2x dt
=tn−2 dt=tn−1+C=tann−1x+C
となるから
In=tann−1x−In−2
[例]
I0=tan0x dx= dx=x+C
I2=tan1x−I0=tanx−x+C
I4=tan3x−I2=tan3x−(tanx−x)+C
=tan3x−tanx+x+C
I1=tan1x dx=−log|cosx|+C
I3=tan2x−I1=tan2x+log|cosx|+C
I5=tan4x−I3=tan4x−(tan2x+log|cosx|)+C
=tan4x−tan2x−log|cosx|+C
なお,負の値に対して,I−n=tan−nx dx=cotnx dx=Jn
を求めるためには,この漸化式を逆向きに使えばよい.上記の証明は,n<0のときでも成り立つから.(ただし,ここでは負の指数は逆三角関数ではなく,逆数(分数)を表すものとする)
In=tann−1x−In−2
から
In−2=tann−1x−In
In=tann+1x−In+2
だから
Jn=I−n=tan−n+1x−I−n+2=cotn−1x−Jn−2
[例]
J0=cot0x dx= dx=x+C
J2=−cotx−J0=−cotx−x+C…(*4.8)
J4=−cot3x−J2=−cot3x+cotx+x+C…(*4.10)
J1=cotx dx=log|sinx|+C…(*4.2)
J3=−cot2x−J1=−cot2x−log|sinx|+C…(*4.9)
J5=−cot4x−J3=−cot4x+cot2x+log|sinx|+C
 以下の問題は,この頁のどこかに書かれている内容か,または,それを少しだけ変形したものです.正しい番号を選択してください.
[問題1]
次の不定積分を求めてください.
.tan2 dx

1tan+C 22tan+C
3tan3+C 4tan3+C



[問題2]
次の不定積分を求めてください.
.tan dx

1log|cos|+C 2log|cos|+C
3−3log|cos|+C 4log|cosx|+C



[問題3]
次の不定積分を求めてください.
.
1log|sinx|+C 2log|sinx|+C
3log|cosx|+C 4log|cosx|+C



[問題4]
次の不定積分を求めてください.
.cot3x dx
1tan2x+log|cosx|+C
2cot2x−log|sinx|+C
3−3 cot2x +C
43 cot2x +C



[問題5]
次の不定積分を求めてください.
.dx
1log|cosx+sinx|+C
2log|cosx−sinx|+C
3||+C
4||+C



[問題6]
次の不定積分を求めてください.
.cot2x dx
12 log|cos2x|+C
22 log|sin2x|+C
3log|cos2x|+C
4log|sin2x|+C



[問題7]
次の不定積分を求めてください.
.x tan2x dx
1tan3x−x tan2x+x2tanx+C
22xtan3x+tan2x+2xtanx+C
3x2−xtanx−log|sinx|+C
4x2+xtanx+log|cosx|+C



[問題8]
次の不定積分を求めてください.
.tan4x dx
1tan3x−tanx+x+C
2tan2x+log|cosx|+C
3tanx−x+C
4cot3x+cotx+x+C



[問題9]
In=tannx dxとおくとき,
次のどの漸化式が成り立ちますか.
1I6=tan4x−I5
2I6=−tan4x−I5
3I6=tan5x−I4
4I6=−tan5x−I4



[問題10]
Jn=cotnx dxとおくとき,
次のどの漸化式が成り立ちますか.
1J5=cot4x−J3
2J5=−cot4x−J3
3J5=cot5x−J4
4J5=−cot5x−J4



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