曲線の長さ

(1.3)　

$x=t^2$
$y=\frac{t^3}{3}$
0≦t≦1

（参考）
　グラフの概形は右図
（答案）
$\frac{dx}{dt}=2t$
$\frac{dy}{dt}=t^2$
だから
$\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2=4t^2 + t^4=t^2(t^4 + 4)$

$s=t^2+ 4$ とおいて置換積分を行うと

$t$	$0\rightarrow 1$
$s$	$4\rightarrow 5$

$\frac{ts}{dt}=2t$

$L=\int_0^1 (t\sqrt{t^2+ 4})dt$
$=\int_4^5 ts^{\frac{1}{2}}\frac{ds}{2t}=\frac{1}{2}\int_4^5 s^{\frac{1}{2}}ds$
$=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3} \Bigl[s^{\frac{3}{2}} \Bigr]_4^5$
$=\frac{1}{3}(5\sqrt{5}-4\sqrt{4})$
$=\frac{1}{3}(5\sqrt{5}-8)$ …（答）

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