曲線の長さ

(3.1)心臓形（カージオイド）

$r=a(1+ \cos \theta)$
a>0 , 0≦θ≦2π

（答案）
$\frac{dr}{d\theta}=a(-\sin \theta)$
$r^2+ (\frac{dr}{d\theta})^2=a^2(1+ \cos \theta)^2 + a^2\sin^2\theta$
$=a^2(1+ 2\cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2\theta)$
$=a^2(2+ 2\cos \theta)$
$=2a^2(1+ \cos \theta)$
ところで，三角関数の２倍角公式により
$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha - 1$
$1+ \cos 2\alpha=2\cos^2\alpha$
だから
$1+ \cos \theta=2\cos^2 \frac{\theta}{2}$
$r^2+ (\frac{dr}{d\theta})^2=2a^2\cdot 2\cos^2 \frac{\theta}{2}=4a^2\cos^2\frac{\theta}{2}$
したがって
$L=2a\int_0^{2\pi} \sqrt{cos^2\frac{\theta}{2}}d\theta$
ここで

x≧0のとき $\sqrt{x^2}=x$
x<0のとき $\sqrt{x^2}=-x$
に注意すると

(1)　0≦θ≦πのとき
$0\leq \frac{\theta}{2} \leq \frac{\pi}{2}$ → $\cos \frac{\theta}{2}\geq 0$ だから
$L_1=2a\int_0^{\pi} \sqrt{cos^2\frac{\theta}{2}}d\theta=2a\int_0^{\pi}cos \frac{\theta}{2}d\theta$
$=4a\left[ sin \frac{\theta}{2} \right]_0^{\pi}=4a(1-0)=4a$

(2)　π≦θ≦2πのとき

グラフからx軸に関して（上下に）対称であることを考えると，下半分も同じ長さになることが使えるが，単純に計算で示すには次のようにやればよい．

$\frac{\pi}{2} \leq \frac{\theta}{2} \leq \pi$ → $\cos \frac{\theta}{2}\leq 0$ だから
$L_2=2a\int_{\pi}^{2\pi} \sqrt{cos^2\frac{\theta}{2}}d\theta=2a\int_{\pi}^{2\pi}(-cos \frac{\theta}{2})d\theta$
$=4a\left[ -sin \frac{\theta}{2} \right]_{\pi}^{2\pi}=4a(0+ 1)=4a$

　(1)(2)で求めた上半分の長さ $L_1$ と下半分の長さ $L_1$ を足すと
$L=L_1+L_2=8a$ …（答）

（参考１）
　次の図はa=1の場合のグラフ

（参考２）
　極方程式r=1+cosθ (0≦θ≦π)で表される曲線の長さを求めよ．

（京都大学2009年）

→　上記の答案でa=1 , 0≦θ≦πとすると，L1=4…（答）

［別解］･･･「高校では極座標の曲線の長さの公式は習わない」ことを前提にすると，これを回避する方法があるはず

x=rcosθ=(1+cosθ)cosθ
y=rsinθ=(1+cosθ)sinθ
として，媒介変数表示の場合の曲線の長さを求めるとよい．
$\frac{dx}{d\theta}=-\sin\theta\cdot\cos\theta+(1+\cos\theta)(-\sin\theta)$
$=-\sin\theta-2\sin\theta\cos\theta$
$=-\sin\theta-\sin 2\theta$
$\frac{dy}{d\theta}=-\sin\theta\cdot\sin\theta+(1+\cos\theta)\cos\theta$
$=\cos\theta+ \cos^2 \theta-\sin^2\theta$
$=cos\theta+\cos 2\theta$
$(\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2$
$=\sin\theta^2 + 2\sin\theta\sin 2\theta + \sin^2 2\theta$
$+\cos\theta^2 + 2\cos\theta\cos 2\theta + \cos^2 2\theta$
$=2+ 2(\sin\theta\sin 2\theta + \cos\theta\cos 2\theta)$
$=2+ 2\cos\theta$

（∵） $\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta=\cos(\alpha-\beta)$
だから
$\cos2\theta \cos\theta + \sin2\theta \sin\theta=\cos(2\theta-\theta)=\cos\theta$

$=2(1+ \cos \theta)=2\cdot 2\cos^2 \frac{\theta}{2}$
以下の記述は上の答案と同様
0≦θ≦πのとき
$0\leq \frac{\theta}{2} \leq \frac{\pi}{2}$ → $\cos \frac{\theta}{2}\geq 0$ だから
$L=2\int_0^{\pi} \sqrt{cos^2\frac{\theta}{2}}d\theta=2\int_0^{\pi}cos \frac{\theta}{2}d\theta$
$=4\left[ sin \frac{\theta}{2} \right]_0^{\pi}=4(1-0)=4$

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