曲線の長さ

(1-1)　サイクロイド

$x=a(t-\sin t)$
$y=a(1-\cos t)$
a>0 , 0≦t≦2π

（答案）
$\frac{dx}{dt}=a(1-\cos t)$
$\frac{dy}{dt}=a\sin t$
だから
$(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2=a^2(1-\cos t)^2+a^2\sin^2 t$
$=a^2(1-2\cos t+\cos^2t+\sin^2t)$
$=a^2(2-2\cos t)$
$=2a^2(1-\cos t)$
$=2a^2\cdot 2\sin ^2 \frac{t}{2}$

$0\leq t \leq 2\pi$ のとき $0\leq \frac{t}{2} \leq \pi$ だから
$0\leq \frac{t}{2}\leq \pi$ → $\sin \frac{t}{2}\geq 0$
$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}=2a\sin \frac{t}{2}$
したがって
$L=\int_0^{2\pi}2a\sin \frac{t}{2}dt$
$=2a\left[-2\cos \frac{t}{2}\right]_0^{2\pi}$
$=2a(-2\cos \pi+ 2\cos 0)=8a$

（参考）　a=1の場合のサイクロイド

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