== 曲線の長さ ==
【公式】
○媒介変数表示で表される曲線x=f(t) , y=g(t)の区間α≦t≦βにおける曲線の長さは

x ,y直交座標で表される曲線y=f(x)の区間a≦x≦bにおける曲線の長さは

○極座標で表される曲線r=f(θ)の区間α≦θ≦βにおける曲線の長さは

※極座標で表される曲線の長さの公式は,高校向けの教科書や参考書には掲載されていないが,媒介変数表示で表される曲線と解釈すれば解ける.([→例]
(解説)
 ピタグラスの定理(三平方の定理)により,横の長さがΔx,縦の長さがΔyである直角三角形の斜辺の長さΔL

したがって





x ,y直交座標ではx=tとおけば上記の公式が得られる.
により


図で言えばだから



○極座標でr=f(θ)のとき,媒介変数をθに選べば


となるから








極座標でrが一定ならば,弧の長さはdL=rdθで求められるが,一般にはrも変化する.
そこで,
の形になる

■以下の問題を全部を解く必要はない.できそうな,または,気になる問題をそれぞれの○から2題ほど解けばよい.
詳細の[ ? ]の欄をクリックすれば,解説が出ます
○媒介変数表示
 問題詳細
(1.1) サイクロイド


a>0 , 0≦t≦2π
8a [?]
(1.2) アステロイド


a>0 , 0≦t≦2π
6a [?]
(1.3)

0≦t≦1
[?]
(1.4)

0≦t≦1
[?]
x ,y直交座標
 問題詳細
(2.1) 懸垂曲線(カテナリ−)

0≦x≦1
[?]
(2.2)
0≦x≦1
[?]
(2.3)

a>0
2πa [?]
(2.4) 放物線

の長さをとし,放物線

の長さをとするとき,の関係は?
L2=2L1 [?]

○極座標
 問題詳細
(3.1) 心臓形(カージオイド)

a>0 , 0≦θ≦2π
8a [?]
(3.2) 半円


πa [?]
 問題詳細
(3.3) 対数螺旋(等角螺旋,
ベルヌーイの螺旋)


[?]
(3.4) 関数
で定義するとき,アルキメデスの螺旋

の長さをで表すと?
aF(4π) [?]

(1-1) サイクロイド


a>0 , 0≦t≦2π
(答案)


だから





のときだから


したがって



(1-2) アステロイドの全長


a>0 , 0≦θ≦2π
x軸についても,y軸についても対称となるから,

の区間の長さを4倍すればよい.
(答案)


だから




のとき
だから





(1.3) 


0≦t≦1
(答案)


だから

とおいて置換積分を行うと




…(答)

(1.4) 


0≦t≦1
(首都東京大学2005年)
(答案)


だから



…(答)


x ,y直交座標
(2.1) 懸垂曲線(カテナリ−)

0≦x≦1
(参考)

の曲線は懸垂曲線(カテナリー)と呼ばれ,均質なロープを吊るすとこの曲線ができる.ここではa=1の簡単な場合を扱う.
(答案)

だから





したがって




(2.2) 

0≦x≦1
(答案)

だから

したがって




(2.3) 円

a>0
(答案)
 円はx軸,y軸に関して対称だから,第1象限にある長さL1を求めて,それを4倍すればよい.
 第1象限では



だから
x=sin θとおいて置換積分を行うと





…(答)
(2.4) 
放物線

の長さをとし,放物線

の長さをとするとき,の関係は?
(答案)

とおくと

…(1)


とおくと

…(2)

x=2tとおく置換積分を行うと
x0 → 2
t0 → 1
(2)を変形すると


…(答)
(参考1)
の積分計算を行うと

になりますが,この「公式」を覚えるのは大変ですし,高校生が覚える必要もないでしょう.また,三角関数を経由して置換積分で求めるのも長い道のりになります.
 ここでは,定積分を数値に直さずに比較だけを行う問題にしました.
(参考2)

上の点をとすると
となる点

すなわち

上にあります.
 したがって,これら2つの曲線は原点を中心として相似比1:2の相似図形になります.相似図形については,面積比(例えば右図の水色の図形[下は重なって見えていない]と桃色の図形)は1:4ですが,辺の長さの比は1:2になります.この辺の長さの比は,この問題のように曲線になっていても相似比と一致します.

○極座標
(3.1)心臓形(カージオイド)

a>0 , 0≦θ≦2π
(答案)





ところで,三角関数の2倍角公式により


だから


したがって

ここで
x≧0のとき
x<0のとき
に注意すると

(1) 0≦θ≦πのとき
だから



(2) π≦θ≦2πのとき
グラフからx軸に関して(上下に)対称であることを考えると,下半分も同じ長さになることが使えるが,単純に計算で示すには次のようにやればよい.
だから



 (1)(2)で求めた上半分の長さと下半分の長さを足すと
…(答)

(参考)
 極方程式r=1+cosθ (0≦θ≦π)で表される曲線の長さを求めよ.
(京都大学2009年)
→ 上記の答案でa=1 , 0≦θ≦πとすると,L1=4…(答)

[別解]・・・「高校では極座標の曲線の長さの公式は習わない」ことを前提にすると,これを回避する方法があるはず
x=rcosθ=(1+cosθ)cosθ
y=rsinθ=(1+cosθ)sinθ
として,媒介変数表示の場合の曲線の長さを求めるとよい.











(∵)
だから


以下の記述は上の答案と同様
0≦θ≦πのとき
だから


(3.2) 半円


 円周角の定理を思い出すと,直径の上に立つ円周角は90°になるから,直径2acosθを掛けた2acosθ=OPとなればPは円周上にある.
 したがって,この問題の結果は小学校以来学んでいる半円の長さπaになるはずであるが,これを極座標での曲線の長さの計算で確かめることになる.
(答案)



だから

(3.3) 対数螺旋(等角螺旋)


(参考)
のグラフは対数螺旋(または等角螺旋)と呼ばれ,巻貝,ヒマワリの種,台風の渦巻き,渦状銀河など自然界の多くの渦巻き状のものにこの形が見られる.
 ただし,蚊取り線香やアナログレコードのように線が等間隔に並んでいるものはアルキメデスの螺旋と呼ばれる別の渦巻きになる
 この問題ではa=1 , b=1の場合を扱っている
(答案)


だから

…(答)


(3.4) 
関数
で定義するとき,アルキメデスの螺旋

の長さをで表すと?
(答案)




…(答)
(参考1)
の積分計算を行うと

になりますが,この「公式」を覚えるのは大変ですし,高校生が覚える必要もないでしょう.また,三角関数を経由して置換積分で求める計算をすると曲線の長さを求める問題よりも積分の方にほとんどの時間を取られてしまいます.
 ここでは,定積分で定義される関数を利用して問題を簡潔にしました.
(参考2)
 アルキメデスの螺旋は1回転すると半径がずつ増えるので,渦巻きが等間隔に並びます.
r1=aθ
r2=a(θ+2π)=aθ+2πa
 このような図形は,蚊取り線香やアナログレコードに見られます.
 右図はの場合のグラフ

問題次の曲線の長さを求めてください.


(1) の部分の長さ.
2 4 π

(2) 極座標で表される曲線の長さ.
2 4 π

(3) 媒介変数で表される曲線



の長さ
(4) 極座標で表される曲線


の長さ

(5) 媒介変数で表される曲線



の長さ
(6) 極座標で表される曲線


の長さ
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