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【図形の高校入試問題11】 《三角形の面積比の求め方》
【要点1】
〇 相似図形の面積比は相似比の２乗 (例1) 右図の△ABEは△DCEと相似で、相似比は \(s:t\) △ABEと△DCEの面積比は \(s^2:t^2\)
(例2)右図の△AEDは△BECと相似で、相似比は \(p:q\) △AEDと△BECの面積比は \(p^2:q^2\)
（※対応する辺の長さの比を相似比として使う）（※対応する辺の順序は，角度の順序で確かめる）
【要点2】
〇 高さが等しい２つの三角形の面積比は底辺の長さの比 (例3) 右図の△ABDと△ADCは，高さが等しく，底辺の長さの比は \(s:t\) △ABDと△ADCの面積比は \(s:t\)
(例4)右図の△ABEと△BCEは，高さ（点Bから線分ACにひいた垂線の長さ）が等しく，底辺の長さの比は \(p:q\) △ABEと△BCEの面積比は \(p:q\)
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【要点3】
〇 1つの頂点を共有している２つの三角形の面積比は，頂点を挟む辺の長さの積の比に等しい (例5) 右図の△ABCと△ADEの面積比は， \(pq:rs\) (∵) \(\displaystyle\mathrm{\triangle ADC}=\frac{r}{p}\mathrm{\triangle ABC}\)
\(\displaystyle\mathrm{\triangle ADE}=\frac{s}{q}\mathrm{\triangle ADC}=\frac{sr}{pq}\mathrm{\triangle ABC}\)
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【問題1】
解答を見る右の図のように，AD∥BCの台形ABCDがあります。辺BC上に点E，辺CD上に点Fを，BD∥EFとなるようにとります。また，線分BFと線分EDとの交点をGとします。BG:GF=5:2となるとき，△ABEの面積Sと△GEFの面積Tの比を，最も簡単な整数の比で表しなさい。 （2021年広島県公立高校入試問題）
• △ABEと△DBEは，底辺が共通で，高さが等しいから，面積が等しい．
• 次に，△DBEの面積は，△DBGと△GBEに分けられる • △DBGと△EFGは，相似比5:2の相似図形だから，面積比は
← 【要点1】
\(\displaystyle\mathrm{\triangle DBG}:\mathrm{\triangle EFG}=5^2:2^2=25:4\)
\(\displaystyle\mathrm{\triangle DBG}=\frac{25}{4}T\)
• △GBEと△EFGは，底辺の長さが5:2で高さが等しいから，面積比は
← 【要点2】
\(\displaystyle\mathrm{\triangle GBE}:\mathrm{\triangle EFG}=5:2\)
\(\displaystyle\mathrm{\triangle GBE}=\frac{5}{2}T\)
これらを加えると\(\displaystyle S=\frac{25}{4}T+\frac{5}{2}T=\frac{35}{4}T\)
\(\displaystyle S:T=35:4\) …（答）
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【問題2】
解答を見る右の図のように，AB=2cm, AD=4cmの長方形ABCDがある。線分BCを延長した直線上に，∠BDE=90°となるように点Eをとり，2点D, Eを結ぶ。線分AEと線分BDとの交点をF，線分AEと線分CDとの交点をGとするとき，(1)～(4)に答えなさい。 (1) 略
(2) △ABD∽△DEBを証明しなさい。
(3) 頂点Dから線分AEにひいた垂線と線分AEとの交点をHとする。線分DHの長さを求めなさい。
(4) 四角形BCGFの面積を求めなさい。
（2021年徳島県公立高校入試問題）
(2)
△ABDと△DEBについて • ∠DAB=∠BDE(=90°)
• ∠BDA=∠EBD（平行線の錯角）
対応する2つの角がそれぞれ等しいから，△ABD∽△DEB…（証明終）
\(5\)
\(\sqrt{29}\)
\(2\sqrt{5}\)
\(\sqrt{5}\)
(3)• 直角三角形△ABDについて，三平方の定理により \(\small\mathrm{BD}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)
• (2)の結果から，BD:DA=EB:BD\(\small 2\sqrt{5}:4=\mathrm{EB}:2\sqrt{5}\)
\(\small 4\mathrm{EB}=20\)
\(\small \mathrm{EB}=5\)
• 直角三角形△ABEについて，三平方の定理により
\(\small\mathrm{AE}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{29}\)
DHを１辺とする三角形と，それに相似な三角形を見つけると，相似比を使って，DHが求まる
• △ADH∽△EBA（直角と他に1組の角が等しい）だから
\(\small \mathrm{AD:DH=EA:AB}\)
\(\small 4:\mathrm{DH}=\sqrt{29}:2\)
\(\small \sqrt{29}\mathrm{DH}=8\)
\(\displaystyle\small \mathrm{DH}=\frac{8}{\sqrt{29}}=\frac{8}{29}\sqrt{29}\hspace{2px}(cm)\)…（答）
\(5\)
\(\sqrt{29}\)
\(2\sqrt{5}\)
\(\sqrt{5}\)
\(\frac{8}{5}\)
(4)
△BCD=2×4÷2=4 から
• AB:GC=BE:CEだから
\(\displaystyle \mathrm{\triangle DFG=\frac{FD\cdot GD}{BD\cdot CD}\triangle BCD}\) を引けばよい \(\small 2:\mathrm{GC}=5:1\)
\(\displaystyle \small \mathrm{GC}=\frac{2}{5}\)
\(\displaystyle \small \mathrm{DG}=2-\frac{2}{5}=\frac{8}{5}\)
\(\displaystyle \small \mathrm{\frac{DG}{DC}}=\frac{4}{5}\)
• △ABF∽△GDFだから
\(\small \mathrm{DF:FB=DG:BA}\)
\(\small \mathrm{DF:FB}=\frac{8}{5}:2=8:10=4:5\)
\(\displaystyle \small \mathrm{\frac{DF}{DB}}=\frac{4}{9}\)
• △BCD=2×4÷2=4
← 【要点3】
\(\displaystyle \mathrm{\triangle DFG=\frac{FD\cdot GD}{BD\cdot CD}\triangle BCD}=\frac{4}{5}\times\frac{4}{9}\times 4=\frac{64}{45}\)
四角形BCGF\(=\displaystyle 4-\frac{64}{45}=\frac{180-64}{45}=\frac{116}{45}\hspace{2px}(cm^2)\)…（答）
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【問題3】
解答を見る右の図のように，線分ABを直径とする円Oがある。円Oの円周上に∠CAB=45°となるような点Cをとり，点Aと点Cを結ぶ。線分OB上に点Dをとり，線分CDを点Dの方向へ延長したときの円Oとの交点をEとする。点Aと点E，点Bと点Eをそれぞれ結ぶ。このとき，次の(1)･(2)の問いに答えよ。 (1) △AEC∽△DEBを証明せよ。
(2) 円Oの半径を6cm，CD=2cmとするとき，次の①･②の問いに答えよ。
① 線分ACの長さを求めよ。
② 点Bと点Cを結ぶ。このとき，四角形AEBCの面積は，三角形DEBの面積の何倍か。
（2021年高知県公立高校入試問題）
(1)
△AECと△DEBについて • 同一の弧\(\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{AE}}\) に対する円周角は等しいから ∠ECA=∠EBD
• ∠CAB=45°で△ABCは直角三角形だから
AC=BC
∠AEC=∠CEB
2組の角がそれぞれ等しいから，△AEC∽△DEB…(証明終)(2) ① ∠CAB=45°で△ABCは直角三角形，OA=6cmだから AC=\(\small 6\sqrt{2}\hspace{3px}(cm)\)…（答）
\(6\sqrt{2}\)
\(8\)
\(4\)
②右図において， • (1)の結果から，△AEC∽△DEBで，相似比は AC:DB=\(6\sqrt{2}:4=3:\sqrt{2}\)
← 【要点1】
\(\displaystyle T+V=\frac{9}{2}S\)
• △AED:∽△DEB=2:1だから
← 【要点2】
\(\displaystyle V=2S\)
\(\displaystyle T=\frac{5}{2}S\)
• △ADC:∽△DBC=2:1だから
← 【要点2】
\(\displaystyle W=\frac{1}{2}T=\frac{5}{4}S\)
以上から，AEBCの面積は
\(\displaystyle T+V+W+S=(\frac{5}{2}+2+\frac{5}{4}+1)S=\frac{27}{4}S\)
\(\displaystyle \frac{27}{4}\)倍…（答）
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【問題4】
解答を見る右の図のように，∠ACB=90°である直角二等辺三角形ABCと，∠ADC=90°である直角二等辺三角形ACDがある。辺AB上に点Eを，AEの長さがEBの長さより短くなるようにとり，線分EB上に点Fを，∠ACF=∠ADEとなるようにとる。点Gは，DEの延長とCFの延長との交点であり，辺ACと線分DEとの交点をHとする。 このとき，次の各問いに答えなさい。 (1) △BCF∽△CDHであることを証明しなさい。
(2) AB=12cm, AE=2cmのとき，AC=BC=\(\small 6\sqrt{2}\)cm, CF=\(\small 3\sqrt{5}\) cmである。このとき，線分DHと線分HGの長さの比DH:HGを求めなさい。答えは最も簡単な整数比で表すこと。
（2021年熊本県公立高校入試問題）
(1) ==基本★==
△BCFと△CDHについて • ∠HCD=∠EBC=45°…(#1) • ∠ACF=∠ADEだから ∠CDH=90°−∠ADE
∠BCF=90°−∠ACF
により
∠CDH=∠BCF…(#1)
(#1)(#2)により，2組の角がそれぞれ等しいから，△BCF∽△CDH…（証明終）
\(6\)
\(6\)
\(6\sqrt{2}\)
\(3\sqrt{5}\)
\(2\)
(2) ==計算多い★★★==
※前の問題が簡単な問題であるとき，その結果は後の問題のヒントになっていることが多い
• (1)の結果から，△BCF∽△CDHであるから BC:CF=CD:DH
\(\small 6\sqrt{2}:3\sqrt{5}=6:\mathrm{DH}\)
\(\displaystyle \small \mathrm{DH}=\frac{3\sqrt{5}\times 6}{6\sqrt{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{10}\)
• 次に，対応する2組の角がそれぞれ等しいことから，△DHC∽△EHAも証明できるから
AH:HC=2:6=1:3
\(\displaystyle \small \mathrm{AH}=\frac{1}{4}\mathrm{AC}=\frac{1}{4}\times 6\sqrt{2}=\frac{3}{2}\sqrt{2}\)
\(\displaystyle \small \mathrm{HC}=\frac{3}{4}\mathrm{AC}=\frac{3}{4}\times 6\sqrt{2}=\frac{9}{2}\sqrt{2}\)
• 次に，対応する2組の角がそれぞれ等しいことから，△DAH∽△CGHも証明できるから
DH:HA=CH:HG
\(\displaystyle \small \frac{3}{2}\sqrt{10}:\frac{3}{2}\sqrt{2}=\frac{9}{2}\sqrt{2}:\mathrm{HG}\)
\(\displaystyle \small \mathrm{HG}=\frac{3}{2}\sqrt{2}\times\frac{9}{2}\sqrt{2}\times\frac{2}{3\sqrt{10}}=\frac{9}{\sqrt{10}}=\frac{9}{10}\sqrt{10}\)
\(\displaystyle \small \mathrm{DH:HG}=\frac{3}{2}\sqrt{10}:\frac{9}{10}\sqrt{10}=5:3\)…（答）
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【問題5】
解答を見る右の図のように，ABを斜辺とする2つの直角三角形ABCとABDがあり，辺BCとADの交点をEとする。また，AC=2cm, BC=3cm, CE=1cmとする。 このとき，次の(1)～(4)の各問いに答えなさい。 (1) 線分AEの長さを求めなさい。
(2) △AEC∽△BEDであることを証明しなさい。
(3) △ABEの面積を求めなさい。
(4) 点Eから辺ABに垂線をひき，その交点をFとする。
このとき，(ア)，(イ)の問いに答えなさい。 (ア) 線分EFの長さを求めなさい。
(イ) △ECFの面積をS1，△BEDの面積をS2とするとき，S1:S2を最も簡単な整数の比で表しなさい。
（2021年佐賀県公立高校入試問題）
(1) ==基本★==
△AECは∠C=90°の直角三角形だから，三平方の定理により \(\mathrm{AE}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\hspace{2px}(cm)\)…(答)
(2) ==基本★==△AECと△BEDについて，2つの角がそれぞれ等しいことを示す： • ∠ECA=∠EDB=90°
• ∠CEA=∠DEB(対頂角)
以上から，△AECと△BEDは，2つの角がそれぞれ等しいから相似である…(証明終)(3) ==基本★== 底辺の長さBE=2cm，高さCA=2cmだから，面積は 2×2÷2=2 (cm2)…(答)
(4)(ア) ==基本★==(3)の結果から，△ABEの面積は，2×2÷2=2 (cm2)であるが，これを，\(\small \mathrm{AB}=\sqrt{13}\)とEFを用いて表すと，EFの長さが求まる \(\small\sqrt{13}\mathrm{EF}\div 2=2\)
\(\displaystyle \small\mathrm{EF}=\frac{4}{\sqrt{13}}=\frac{4}{13}\sqrt{13}\hspace{3px}(cm)\)…(答)
(イ) ==計算量あり★★==
\(\sqrt{5}\)
\(\frac{4}{13}\sqrt{13}\)
\(2\)
\(\sqrt{13}\)
FからBCに降ろした垂線の足をGとおくと，△EFG∽△ABCにより
\(\small\mathrm{FG}=\frac{4}{13}\sqrt{13}\times\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{12}{13}\)
\(\small\mathrm{\triangle ECF}=1\times\frac{12}{13}\div 2=\frac{6}{13}\)
△BED∽△AEC，相似比は\(\mathrm{BE:AE=2:\sqrt{5}}\)により，
← 【要点1】
面積比は\(4:5\)\(\small\mathrm{\triangle BED}=1\times\frac{4}{5}=\frac{4}{5}\)
\(\small\mathrm{\triangle ECF:\triangle BED}=\frac{6}{13}:\frac{4}{5}=15:26\)…(答)
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【問題6】
解答を見る右の図１のように，△ABCの辺AB上に，∠ABC=∠ACDとなる点Dをとります。また，∠BCDの二等分線と辺ABとの交点をEとします。AD=4cm, AC=6cmであるとき，次の各問に答えなさい。 (1) 線分BEの長さを求めなさい。
(2) 右の図２のように，線分∠BACの二等分線と辺BCとの交点をF，線分AFと線分EC, DCとの交点をそれぞれG, Hとします。
このとき，△ADHと△ACFが相似であることを証明しなさい。 (3) 図２において，△ABCの面積が18cm2であるとき，△GFCの面積を求めなさい。
（2021年埼玉県公立高校入試問題）
• ∠ABC=∠ACDを使って，△ABC∽△ACDを示し，それにより，BDを求める
• 次に，CEが∠BCDの二等分線であることを使って，BE:EDを求める (1) ==基本★== △ABCと△ACDについて • ∠ABC=∠ACD
• ∠CABは共通
以上により，２組の角がそれぞれ等しいから，△ABC∽△ACD1) したがって，CA:AB=DA:AC 6:AB=4:6
\(\displaystyle\small\mathrm{AB}=\frac{36}{4}=9\)
BD=5
2) AC:CD=AB:BC6:CD=9:BC
9CD=6BC
\(\mathrm{CD=\frac{2}{3}BC}\)
角の二等分線に関する定理によりBE:ED=3:2
BE=3(cm)…(答)
(2) ==基本★==• (1)の経過において，△ABC∽△ACDが証明されているから ∠ADH=∠ACF
• AFは∠BACの二等分線であるから
∠DAH=∠CAF
したがって，△ADHと△ACFは，２組の角がそれぞれ等しいから，相似である…(証明終)(3) ==計算量多い★★== • AFは∠BACの二等分線であるから EG:GC=EA:AC=6:6=1:1
• AFは∠BACの二等分線であるから
EF:GC=BA:AC=9:6=3:2
• \(\small\mathrm{\triangle EBC=\frac{3}{9}\triangle ABC}\)• \(\displaystyle\small\mathrm{\triangle GFC=\frac{2}{5}\times\frac{1}{2}\triangle EBC}\) \(\displaystyle\small\mathrm{\triangle GFC=\frac{2}{5}\times\frac{1}{2}\times\frac{3}{9}\triangle ABC}\)
\(\displaystyle\small=\frac{2}{5}\times\frac{1}{2}\times\frac{3}{9}\times 18=\frac{6}{5}\hspace{3px}(cm^2)\)…(答)
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【問題7】
解答を見る図Ⅰにおいて，A, B, Cは点Oを中心とする円の周上の異なる3点である。3点A, B, Cを結んでできる△ABCはAB=ACの二等辺三角形であり，頂角∠ABCは鋭角である。Dは，Bから線分ACにひいた垂線と線分ACとの交点である。Eは，直線OCと円Oとの交点のうちCと異なる点である。Fは，線分ECと線分ABとの交点である。EとAとを結ぶ。 次の問いに答えなさい。 (1) △EAC∽△CDBであることを証明しなさい。
(2) AD=5cm, DC=2cmであるとき，
① 線分BDの長さを求めなさい。
② 線分AFの長さを求めなさい。
（2025年大阪府公立高校入試問題B）
(1) ==基本★==
△EACと△CDBについて，2組の角がそれぞれ等しいことを示す • ∠EAC=∠CDB=90°…(#1)
• ∠AEC=∠ABC
（同一の弧\(\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{AC}}\) に対する円周角は等しい） ∠ABC=∠DCB
（二等辺三角形の両底角は等しい） これらから，∠AEC=∠DCB…(#2)
(#1)(#2)により，2組の角がそれぞれ等しいから，△EAC∽△CDB…（証明終）(2)① ==基本★== △ABDは，∠D=90°の直角三角形だから，三平方の定理により \(\mathrm{AB^2=AD^2+BD^2}\)
\(7^2=5^2+\mathrm{BD^2}\)
\(\mathrm{BD}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\hspace{2px}(cm)\)…(答)
【復習】
右の図で，\(a,b\)から\(h\)を求める問題は，昔からよく出るので，解けるようにしておく方がよい
結果を覚えるのではなく，比例計算の「方法」を参考にする！
\(0\lt k\lt 1\) は小数とする\((h=)ak=b(1-k)\) だから \(ak+bk=b\) \(k=\frac{b}{a+b}\) \(h=ak=\textcolor{red}{\frac{ab}{a+b}}\)
\(\frac{7}{\sqrt{6}}\)
\(2\sqrt{6}\)
\(2\)
\(5\)
\(x\)
(2)② ==計算量多い★★★==(1)の結果から，△EAC∽△CDBであるから \(\mathrm{AC:AE=DB:DC}\)
\(7:\mathrm{AE}=2\sqrt{6}:2\)
\(2\sqrt{6}\mathrm{AE}=14\)
\(\mathrm{AE}=\frac{7}{\sqrt{6}}\)
平行線や垂線を引くと，魔法のように解けることがある！
FからADに引いた垂線の足をGとすると，△ABD∽△AFGであるから \(\mathrm{FG}=\frac{x}{5}\mathrm{BD}=\frac{2\sqrt{6}x}{5}\)
△AEC∽△GFCであるから\(\mathrm{FG}=\frac{7-x}{7}\mathrm{AE}=\frac{7-x}{7}\times\frac{7}{\sqrt{6}}=\frac{7-x}{\sqrt{6}}\)
これらから，\(x\) が求まる\(\frac{2\sqrt{6}x}{5}=\frac{7-x}{\sqrt{6}}\)
\(12x=5(7-x)\)
\(17x=35\)
\(x=\frac{35}{17}\)
次に，\(\mathrm{FG}\) が求まる\(\mathrm{FG}=\frac{2\sqrt{6}}{5}\times\frac{35}{17}=\frac{14}{17}\sqrt{6}\)
最後に，△AFGに三平方の定理を使うと，\(\mathrm{AF}\) が求まる\(\mathrm{AF}^2=(\frac{35}{17})^2+(\frac{14}{17}\sqrt{6})^2\)
\(=(\frac{7}{17})^2\{5^2+2\sqrt{6})^2\}=\frac{7^4}{17^2}\)
\(\mathrm{AF}=\frac{49}{17}\hspace{3px}(cm)\)…(答)
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【問題8】
解答を見る図４のように，AC⊥BD, AD=3cm, DE=\(\small\sqrt{5}\) cmとする。また，BA∥CFとなるように円Oの周上に点Fをとり，直線BDと直線CFの交点をGとする。 このとき，△ABEと△CGEの面積の比を求め，最も簡単な整数の比で表しなさい。 （2021年和歌山県公立高校入試問題）
\(3\)
\(\sqrt{5}\)
\(2\)
• まず，△ABE∽△CGEであることを示す
← 【要点1】
これにより，求める面積比は，相似比AE:ECの２乗で求められる• 次に，△AED∽△DECであることを示す これにより，相似比AE:ED=DE:ECからECが求まる • はじめに，直角三角形△AEDについて，三平方の定理により \(\mathrm{AE}=\sqrt{3^2-(\sqrt{5})^2}=2\)
• BA∥CFにより，平行線の錯角は等しいから
∠ABE=∠CGE
∠BAE=∠GCE
２組の角がそれぞれ等しいから，△ABE∽△CGEが言える• ∠ADC=90°だから ∠ADE=∠DCE
∠DAE=∠CDE
２組の角がそれぞれ等しいから，△AED∽△DECが言えるしたがって AE:ED=DE:EC
\(2:\sqrt{5}=\sqrt{5}:\mathrm{EC}\)
\(\mathrm{EC}=\frac{5}{2}\)
求める面積比は，相似比AE:ECの２乗だから
\(\mathrm{\triangle ABE:\triangle CGE}=2^2:(\frac{5}{2})^2=16:25\)…(答)
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【問題9】
解答を見るAB=10cm, AB<ADの長方形ABCDを，右の図１のように，折り目が点Cを通り，点Bが辺AD上にくるように折り返す。点Bが移った点をEとし，折り目を線分CFとすると，AF=4cmであった。 このとき，次の問いに答えなさい。 1 △AEF∽△DCEであることを証明せよ。
2 線分AEの長さを求めよ。
3 右の図２のように，折り返した部分をもとにもどし，線分CEと線分BDとの交点をGとする。このとき，四角形BGEFの面積を求めよ。
（2021年愛媛県公立高校入試問題）
\(2\sqrt{5}\)
\(4\sqrt{5}\)
\(6\sqrt{5}\)
1 ==基本★==△AEFと△DCEはいずれも直角三角形 さらに ∠DEC+∠FEA=90°
∠AFE+∠FEA=90°
だから
∠DEC=∠AFE
よって，直角と他に1組の角が等しいから，△AEF∽△DCE…(証明終)2 ==基本★== 三平方の定理により \(\mathrm{AE}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{20}\) \(=2\sqrt{5}\hspace{3px}(cm)\)…(答)
四角形BGEFは台形ではない
3 ==基本★==すなわち，FE∥BDではないから，面積を直接計算せずに，長方形ABCDから△AFE，△ECD，△BCGの面積をひく 1の結果により \(\mathrm{FA:AE=ED:DC}\)
\(4:2\sqrt{5}=\mathrm{ED}:10\)
\(\mathrm{ED}=\frac{40}{2\sqrt{5}}=4\sqrt{5}\)
\(\mathrm{BC}=2\sqrt{5}+4\sqrt{5}=6\sqrt{5}\)
それぞれの面積を求めると• 四角形ABCD \(10\times 6\sqrt{5}=60\sqrt{5}\)
• △AFE
\(4\times 2\sqrt{5}\div 2=4\sqrt{5}\)
• △ECD
\(10\times 4\sqrt{5}\div 2=20\sqrt{5}\)
• △BCG
△EGD∽△CGB
その相似比は \(4\sqrt{5}:6\sqrt{5}=2:3\)
高さの比は \(2:3=4:6\)
△BCGの面積は \(6\times 6\sqrt{5}\div 2=18\sqrt{5}\)
結局，四角形BGEFの面積は
\(60\sqrt{5}-(4\sqrt{5}+20\sqrt{5}+18\sqrt{5})=18\sqrt{5}\hspace{3px}(cm^2)\)…(答)
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【問題10】
解答を見る右の図のような，正方形ABCDがあり，辺AD上に，2点A, Dと異なる点Eをとる。∠BCEの二等分線をひき，辺ABとの交点をFとする。辺ABをBの側に延長した直線上にDE=BGとなる点Gをとり，線分GEと線分CFとの交点をHとする。点Eを通り，辺ABに平行な直線をひき，線分CFとの交点をFとする。 このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。 (1) △FGH∽△IEHであることを証明せよ。
(2) CE=FGであることを証明せよ。
（2021年香川県公立高校入試問題）
(1)
2つの三角形について，2組の角がそれぞれ等しいことを示す： GF∥IEで，平行線の錯角は等しいから ∠HFG=∠HIE
∠FGH=∠EIH
（※1組は対頂角の組∠GHF=∠EHIで示してもよい）
以上により，2つの三角形△FGHと△IEHについて，2組の角がそれぞれ等しいから，△FGH∽△IEH…（証明終）
一般に，小問(1)が易しいときは，
(2)A) \((1)\longrightarrow (2)\) の形で，(1)が(2)のヒントになっていることがあるが，必ずそうなっているとは限らない B) \(\overset{\large\nearrow}{\searrow}\begin{array}{cc}(1)\\ (2)\end{array} \) の形で，(1)，(2)が独立した問題になっている場合もあり，A)の形になっていると決めつけると間違うことがある． この問題では，(1)の前提として，①正方形であること②DE=BGであること③角の二等分線になっていること，のいずれも使われていないから，(1)だけから(2)を言うのは無理 • 2つの三角形△CEDと△CBGについて， ∠CDE=∠CBG=90°
CD=CB(正方形の辺)
DE=BG(問題の仮定)
により，2辺とその間の角がそれぞれ等しいから，△CED≡△CBGよって CE=CG…(#1)
• ∠CFG=∠FCD(平行線の錯角)…(#2)
• △CFGについて∠FCE=∠FCG(問題の仮定)
∠ECD=∠GCB(上記合同の結果)
により
∠FCD=∠FCG…(#3)
(#2),(#3)より∠CFG=∠FCG
よって，△CFGは2つの角が等しいから，二等辺三角形で，
FG=CG…(#4)
(#1),(#4)により
CE=FG…(証明終)
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