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《三平方,相似,特別な形の三角形》
【問題】
解答を見る右図において，4点A, B, C, Dは円Oの周上の点で，この順に並んでいる。BCは円Oの直径，AとCは直径BCの反対側にある．弧の長さについては，\(\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{BA}}=\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{AD}},\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{BC}}=2\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{CD}}\)が成り立ち，弦の長さについてはCD=2cmとする。また，直線OCと線分ABの交点をE，線分AOの延長と線分BC，弧\(\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{BC}}\)との交点をそれぞれG, Fとする。このとき，次の問いに答えよ。 (1) 線分OEの長さを求めよ。
(2) 線分FCの長さを求めよ。
(3) △BOEの面積は，△FGCの面積の何倍か述べよ。
（類題・新作）
\(2\)
\(2\sqrt{3}\)
\(2\sqrt{3}\)
\(2\)
(1)• \(\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{BA}}=\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{AD}}\)だから，BA=AD．また，BDが直径だから，∠DAB=90° △ABDは，90°,45°,45°の直角二等辺三角形
• BDが直径だから，∠DCD=90°の直角三角形．また，\(\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{BC}}=2\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{CD}}\)だから，∠CDB=2∠DBC△BCDは，30°,90°,60°の直角三角形
• BO=COだから，△BCOは二等辺三角形
∠BCO=30°
• ∠EBC=75°, ∠BCO=30°だから∠CEB=75°
△BCEは二等辺三角形で，BC=CE
• △BCDは，30°,90°,60°の直角三角形だから\(\small\mathrm{CD=2, DB=4, BC=2\sqrt{3}}\hspace{3px}(cm)\)
したがって\(\small\mathrm{EO=EC-OC}=2\sqrt{3}-2\hspace{3px}(cm)\)…(答)
\(k\)
\(\sqrt{3}k\)
\(k\)
\(2k\)
（別解）• 右図で \(\mathrm{AO}=k+\sqrt{3}k=2\) \(\displaystyle\small k=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1\)
\(\displaystyle\small \mathrm{EO}=2k=2\sqrt{3}-2\hspace{3px}(cm)\)…(答)
\(2\sqrt{2}\)
\(2\)
\(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
\(2\!-\!\frac{4}{\sqrt{3}}\)
(2)• 同一の弧\(\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{BF}}\)に対する円周角は等しいから ∠GAB=∠FCG
• 同一の弧\(\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{AC}}\)に対する円周角は等しいから∠ABG=∠DFC
（• 対頂角は等しいから
∠BGA=∠CGF）
以上により，2組の角（3組の角）がそれぞれ等しいから，△ABG∽△CFG\(\mathrm{AB:BG=CF:FG}\)(45°→75°→60°の順)
\(2\sqrt{2}:\frac{4}{\sqrt{3}}=\mathrm{FC}:(2-\frac{2}{\sqrt{3}})\)
\(\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}\mathrm{FC}=2\sqrt{2}(2-\frac{2}{\sqrt{3}})=4\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle \mathrm{FC}=\cancel{4}\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{3}-1}{\cancel{\sqrt{3}}}\times \frac{\cancel{\sqrt{3}}}{\cancel{4}}\)
\(\displaystyle =\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)\hspace{3px}(cm)\)…(答)
（別解）△BCE∽△CDFを利用して，EB:BC=FC:COから求めてもよい
\(\)
(3)△BOE∽△CGFを示して，相似比から面積比を求める • ∠EBO=45° • ∠FCG=∠FAB=45° よって，∠EBO=∠FCG
• (1)により，∠EBC=∠CEB=75°• ∠OEB=∠ABC=∠GFC（円周角） 以上から，2組の角がそれぞれ等しいから，△BOE∽△CGF (2)の経過と結果を使うと BO:FG=\((2\sqrt{3}-2):(2-\frac{2}{3}\sqrt{3})\)
\(\displaystyle=2(\sqrt{3}-1):\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{3}\)
\(\displaystyle=\sqrt{3}:1\)
面積比は3:13倍…(答) |
《三平方,相似,特別な形の三角形》
【問題】
解答を見る右の図のように，四角形ABCDがあり， AB=\(\small 3\sqrt{2}\hspace{1px}\)cm, BC=7cm, ∠ABC=45°, ∠BCD=60°, ∠BDC=90°である。頂点Aから辺BCにひいた垂線と辺BC，対角線BDとの交点をそれぞれE, Fとする。また，∠BCDの二等分線と線分AE，対角線BD，線分DEとの交点をそれぞれG, H, Iとする． このとき，次の問い(1)～(3)に答えよ。 (1) 線分CEの長さを求めよ。
(2) 線分FGの長さを求めよ。
(3) 四角形EIHFの面積を求めよ。
（2025年京都府公立高校入試問題）
\(3\sqrt{2}\)
\(\frac{7}{2}\)
\(\sqrt{3}\)
\(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
(1)• AB=\(\small 3\sqrt{2}\), ∠ABC=45°, AE⊥BCだから，△ABEは，∠E=90°の直角二等辺三角形 BE=3
• BC=7, BE=3だからCE=7−3=4cm…(答)
(2)• △BCDについて，∠BCD=60°, ∠BDC=90°だから ∠DBC=30°
• △BEFについて，∠B=30°, ∠E=90°, ∠F=60°だから
EF:FB:BE=1:\(\sqrt{3}:2\)
\(\displaystyle\mathrm{EF=\frac{BE}{\sqrt{3}}}=\sqrt{3}\)
• △CEGについて，∠C=30°, ∠E=90°, ∠G=60°だから
GE:EC:CG=1:\(\sqrt{3}:2\)
\(\displaystyle\mathrm{GE=\frac{EC}{\sqrt{3}}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4}{3}\sqrt{3}\)
したがって
\(\displaystyle\mathrm{FG}=\frac{4}{3}\sqrt{3}-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}cm\)…(答)
(3)
【復習:三角形の面積比】
\(\displaystyle \textcolor{blue}{s}=\frac{p}{a}\times\frac{q}{b}\textcolor{red}{S}\)
【復習:角の二等分線】
OPが∠AOBの二等分線であるとき x:y=a:b
\(\frac{7}{2}\)
\(\frac{7}{2}k\)
\(4k\)
\(\sqrt{3}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\frac{7}{2\sqrt{3}}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\frac{7}{4}\)
\(\frac{9}{4}\)
（方針） 右図の△FEDの面積から△HIDの面積を引く• △FEDの底辺の長さをFE=\(\sqrt{3}\)とすると，高さは，右図のEJになる． • △CDJは，∠C=60°, ∠J=90°の直角三角形だから， \(\mathrm{CJ}=\frac{1}{2}\mathrm{CD}=\frac{7}{4}\)
\(\mathrm{EJ}=4-\frac{7}{4}=\frac{9}{4}\)
• △FED=\(\sqrt{3}\times\frac{9}{4}\div 2=\frac{9}{8}\sqrt{3}\)…(#1)• ICは∠ECDの二等分線であるから \(\mathrm{DI:IE=DC:CE}=\frac{7}{2}:4=7:8\)…(#2)
次に，DH:HFを求める• △CDHは，∠C=30°, ∠D=90°の直角三角形だから， \(\mathrm{DH=DC\times\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{7}{2\sqrt{3}}\)
• △CEGは，∠C=30°, ∠E=90°の直角三角形だから，
∠CGE=60°
• △BEFは，∠B=30°, ∠E=90°の直角三角形だから，
 難しい
∠BFE=60°
• 対頂角は等しいから
∠HFG=60°
よって，△GEHは，正三角形
\(\mathrm{HF=GF=}\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\mathrm{HD:GF=}\frac{7}{2\sqrt{3}}:\frac{\sqrt{3}}{3}=7:2\)…(#3)
(#1)(#2)(#3)より△HID=\(\frac{7}{15}\times\frac{7}{9}\)△FED
△HID=\(\frac{49}{135}\times\frac{9}{8}\sqrt{3}=\frac{49}{120}\sqrt{3}\)
四角形EIHF\(=\frac{9}{8}\sqrt{3}-\frac{49}{120}\sqrt{3}=\frac{86}{120}\sqrt{3}\)
\(=\frac{43}{60}\sqrt{3}\hspace{2px}(cm^2)\)…(答)
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