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【要点1】
【例題】根号を含んだ大小関係が与えられたとき，各辺を２乗して比較してもよい． 〇 〇 （大阪府2017年入試問題）
自然数 を満たしているとき，(1)の各辺を２乗すると ところで だから （参考） 10までの整数については， しかし，それ以上大きい数の平方根， |
※以下に引用する高校入試問題で，元の問題は記述式の問題ですが，ｗｅｂ画面上で入力問題にすると操作性が悪いので，選択問題に書き換えています．
【問題１】 （画面上で解答するには，選択肢の中から正しいものを１つクリック）
(1)
（群馬県2015年入試問題）
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(2)
（熊本県2015年入試問題）
各辺を２乗すると
64<a<81 ここで，植木算を復習しておくと 例えば，両端を含む10個の整数1≦a≦10の個数は 差(10−1)+1…(A)
両端を含まない8個の整数1<a<10の個数は差(10−1)−1…(B)
だから，64<a<81となる整数の個数は(B)の方の植木算を使うとよい．(81−64)−1=16（個）…（答） |
(3)
次の大小関係に当てはまる自然数nは何個あるか，求めなさい。 （和歌山県2017年入試問題）
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(4)
（長野県2015年入試問題）
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(5)
（山口県2017年入試問題）
各辺を２乗すると
49<m<72 ここで，植木算を復習しておくと 例えば，両端を含む10個の整数1≦a≦10の個数は 差(10−1)+1…(A)
両端を含まない8個の整数1<a<10の個数は差(10−1)−1…(B)
だから，49<a<72となる整数の個数は(B)の方の植木算を使うとよい．(72−49)−1=22（個）…（答） |
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(6)
（長崎県2015年入試問題）
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(7)
不等式 （東京都2017年入試問題）
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【要点2】
【例題】根号を含んだ式が整数になるのは，根号の中が平方数になっている場合に限る． 〇例えば は，それぞれ だから のように整数になる． 〇これに対して のような式は，根号の中が平方数になっていないので，整数にはならない． （香川県2000年入試問題）
だから，根号の中を平方数にするために， できるだけ小さい（正の）数でこれを満たすものは7…（答） |
【問題２】
(1)
（秋田県2015年入試問題）
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(2)
（奈良県2017年入試問題）
根号の中が約分によって整数になるにはためには，5が約分されなければならない n=5×k 次に，根号の中が平方数になるためには，2や3は２つずつ残っていなければならない n=5×1, 5×22, 5×32, 5×22×32 したがって n=5, 20, 45, 180…（答） |
(3)
（鹿児島県2015年入試問題）
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(4)
nを50以下の正の整数とする。 （千葉県2015年入試問題）
n=3×k2 （kは整数） 1≦n≦50だから n=3, 3×22, 3×32, 3×42 n=3, 12, 27, 48の４個…（答） |
(5)
nは正の整数で， （愛知県2000年入試問題）
n=2×5×7×k2 （kは整数） この式の根号をはずすと35kになるから 10≦35k<100 k=1, 2 このとき，n=70, 280 …（答） |
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(6)
nを自然数とする。 （東京都2015年入試問題）
n=6×k2 （kは整数）…(1) また， より したがって k=3のとき，nは最大値n=6×32=54となる…（答） |
(7)
nを1以上の整数とする。 （東京都2015年入試問題）
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【要点3】
例えば，
▼0.412=0.1681と答えてもダメです．
この問題では近似値ではなく，正確な値が要求されています．▼0.4142=0.171396と答えてもダメです． ▼0.41422=0.17156164と答えてもダメです． 正しくは，次のようにします． したがって 一般に， になります．
※整数部分は目で見て考えます．（整数部分を先に求めます）
次に，元の数字から整数部分を引いたものを小数部分とします． |
【例題】 （東京都2015年入試問題）
だから， したがって
(1)
（奈良県2015年入試問題）
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(2)
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(3)
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