根号計算.高校入試問題

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== 根号計算の入試問題 ==

※以下に引用する高校入試問題で，元の問題は記述式の問題ですが，ｗｅｂ画面上で入力問題にすると操作性が悪いので，選択問題に書き換えています．

【問題１】　（画面上で解答するには，選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$\sqrt{20}+ \sqrt{5}$ を計算せよ。

（長崎県2017年入試問題）

解説やり直す

$5$ $10$ $3\sqrt{5}$ $5\sqrt{5}$

根号の中の数を（素）因数分解したときに，２乗となる数がある場合は，１枚にして根号の外に出すことができます．

【公式】　（a, k>0とする）
$\sqrt{k^2a}=k\sqrt{a}$
【例】
$(1)\hspace{20}\sqrt{12}=\sqrt{2^2\times 3}=2\sqrt{3}$
$(2)\hspace{20}\sqrt{18}=\sqrt{2\times 3^2}=3\sqrt{2}$

この問題では
$\sqrt{20}=\sqrt{2^2\times 5}=2\sqrt{5}$
根号を含む式は，文字式で同類項を簡単にするときのように，係数をまとめることができます．

【文字式の計算】
$3a+ 2a=5a$
$7x-5x=2x$
【根号の計算の例】
$3\sqrt{7}+ 2\sqrt{7}=5\sqrt{7}$
$7\sqrt{3}-5\sqrt{3}=2\sqrt{3}$

元の問題は，次のように変形できます．
$2\sqrt{5}+ \sqrt{5}=3\sqrt{5}$ …（答）

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(2)
$\sqrt{45}-\sqrt{5}$

（佐賀県2017年入試問題）

解説やり直す

$2\sqrt{5}$ $8\sqrt{5}$ $2\sqrt{10}$ $4\sqrt{10}$

前問と同様に，次の２つの公式を使って簡単にします．

【公式１】　（a, k>0とする）
$\sqrt{k^2a}=k\sqrt{a}$
【公式２】　（k>0が平方数でないとき）
$a\sqrt{k}+ b\sqrt{k}=(a+ b)\sqrt{k}$
$a\sqrt{k}-b\sqrt{k}=(a-b)\sqrt{k}$

この問題では，次のように変形できます．
$\sqrt{45}-\sqrt{5}=\sqrt{3^2\times 5}-\sqrt{5}$
$=3\sqrt{5}-\sqrt{5}=2\sqrt{5}$ …（答）

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(3)
$\sqrt{54}-\sqrt{24}$ を計算しなさい。

（兵庫県2017年入試問題）

解説やり直す

$-\sqrt{6}$ $\sqrt{6}$ $7\sqrt{6}$ $3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$

根号の中の数を（素）因数分解したときに，３乗となる数がある場合は，２乗の部分だけ１枚にして根号の外に出すことができます．（余った１枚分は根号の中に残ります）

【公式】　（a, k>0とする）
$\sqrt{k^3a}=k\sqrt{ka}$
【例】
$(1)\hspace{20}\sqrt{27}=\sqrt{3^3}=3\sqrt{3}$
$(2)\hspace{20}\sqrt{40}=\sqrt{2^3\times 5}=2\sqrt{2\times 5}=2\sqrt{10}$

この問題では
$\sqrt{54}=\sqrt{2\times 3^3}=3\sqrt{2\times 3}=3\sqrt{6}$
$\sqrt{24}=\sqrt{2^3\times 3}=2\sqrt{2\times 3}=2\sqrt{6}$
元の問題は
$3\sqrt{6}-2\sqrt{6}=\sqrt{6}$ …（答）

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(4)
$\sqrt{18}+\sqrt{50}-3\sqrt{8}$ を計算しなさい。

（島根県2017年入試問題）

解説やり直す

$\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}$ $5\sqrt{2}$ $8\sqrt{2}-6$

根号の中に２乗となる数がある場合は，１枚にして根号の外に出し，根号の中をなるべく小さな整数にします．
$\sqrt{18}=\sqrt{2\times 3^2}=3\sqrt{2}$
$\sqrt{50}=\sqrt{2\times 5^2}=5\sqrt{2}$
$\sqrt{8}=\sqrt{2^3}=2\sqrt{2}$
元の問題は
$3\sqrt{2}+ 5\sqrt{2}-6\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ …（答）

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※元の問題は記述式の問題ですが，ｗｅｂ画面上で入力問題にすると操作性が悪いので，選択問題に書き換えています．

【問題２】

(1)
$\sqrt{2}\times\sqrt{12}$ を計算しなさい。

（宮崎県2017年入試問題）

解説やり直す

$\sqrt{2}$ $3\sqrt{2}$ $2\sqrt{3}$ $2\sqrt{6}$

【公式】
$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ 　（掛けてから根号を付ける）
【例】

$\sqrt{2}\sqrt{6}$ のままでは簡単にならないが，
$\sqrt{12}=\sqrt{2^2\times 3}$ とすると，２が２つになるので，根号の中から出せます．
$=2\sqrt{3}$

この問題では
$\sqrt{2}\times\sqrt{12}=\sqrt{24}$
$=\sqrt{2^3\times 3}=2\sqrt{2\times 3}=2\sqrt{6}$ …（答）

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(2)
$\sqrt{5}\times\sqrt{10}-\sqrt{8}$ を計算しなさい。

（新潟県2017年入試問題）

解説やり直す

$2\sqrt{3}$ $3\sqrt{2}$ $5\sqrt{2}-2$ $\sqrt{42}$

$\sqrt{5}\times\sqrt{10}-\sqrt{8}=\sqrt{50}-\sqrt{8}$
$=\sqrt{2\times 5^2}-\sqrt{2\times 2^2}=5\sqrt{2}-2\sqrt{2}$
$=3\sqrt{2}$ …（答）

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(3)
$\sqrt{10}\times\sqrt{8}-\sqrt{45}$ を計算しなさい。

（愛知県Ｂ 2017年入試問題）

解説やり直す

$\sqrt{2}$ $5\sqrt{2}$ $\sqrt{5}$ $\sqrt{10}$

$\sqrt{10}\times\sqrt{8}-\sqrt{45}=\sqrt{80}-\sqrt{45}$
$=\sqrt{2^4\times 5}-\sqrt{3^2\times 5}=2^2\sqrt{5}-3\sqrt{5}$
$=4\sqrt{5}-3\sqrt{5}=\sqrt{5}$ …（答）

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(4)
次の計算をしなさい。
$\sqrt{8}+ \sqrt{6}\times\sqrt{3}$

（茨城県2015年入試問題）

解説やり直す

$3\sqrt{2}$ $5\sqrt{2}$ $3\sqrt{6}$ $5\sqrt{6}$

$\sqrt{8}+\sqrt{6}\times \sqrt{3}=\sqrt{8}+\sqrt{18}$
$=\sqrt{2^2\times 2}+\sqrt{3^2\times 2}=2\sqrt{2}+ 3\sqrt{2}$
$=5\sqrt{2}$ …（答）

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【問題３】

(1)
$(\sqrt{5}+ 1)^2$ を計算しなさい。

（岩手県2017年入試問題）

解説やり直す

$6$ $6+ \sqrt{5}$ $6+ 2\sqrt{5}$ $6+ 5\sqrt{5}$

根号を含む式のかっこを展開するとき，文字式の展開公式が使えます．

【展開公式】
$(a+ b)^2=a^2+ 2ab+ b^2$
【根号計算に使ったときの例】
$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=2+ 2\sqrt{2}\sqrt{3}+ 3$
$=5+ 2\sqrt{6}$

元の問題では
$(\sqrt{5}+ 1)^2=5+ 2\sqrt{5}+ 1$
$=6+ 2\sqrt{5}$ …（答）

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(2)
$(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2$ を計算せよ。

（香川県2017年入試問題）

解説やり直す

$3$ $3-2\sqrt{5}$ $7-\sqrt{10}$ $7-2\sqrt{10}$

根号を含む式のかっこを展開するとき，文字式の展開公式が使えます．

【展開公式】
$(a-b)^2=a^2-2ab+ b^2$
【根号計算に使ったときの例】
$(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2=2-2\sqrt{2}\sqrt{3}+ 3$
$=5-2\sqrt{6}$

元の問題では
$(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2=5-2\sqrt{5}\sqrt{2}+ 2$
$=7-2\sqrt{10}$ …（答）

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(3)
$(\sqrt{10}+\sqrt{5})(\sqrt{10}-\sqrt{5})$ を計算せよ。

（岡山県2017年入試問題）

解説やり直す

$5$ $15$ $15-5\sqrt{2}$ $15-10\sqrt{2}$

根号を含む式のかっこを展開するとき，文字式の展開公式が使えます．

【展開公式】
$(a+ b)(a-b)=a^2-b^2$
【根号計算に使ったときの例】
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$
$=3-2=1$

元の問題では
$(\sqrt{10}+\sqrt{5})(\sqrt{10}-\sqrt{5})=10-5=5$ …（答）

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(4)
$(\sqrt{12}+\sqrt{18})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ を計算せよ。

（愛知県Ａ 2017年入試問題）

解説やり直す

$-\sqrt{6}$ $\sqrt{6}$ $2\sqrt{6}$ $3\sqrt{6}$

根号を含む式のかっこを展開するとき，文字式の場合と同様に展開できます．

【展開公式】
$(a+ b)(c+ d)=ac+ ad+ bc+ bd$
【根号計算に使ったときの例】
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})$
$=6-3\sqrt{6}+ 2\sqrt{6}-6=-\sqrt{6}$

元の問題では
$(\sqrt{12}+\sqrt{18})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(2\sqrt{3}+ 3\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$
$=6-2\sqrt{6}+ 3\sqrt{6}-6=\sqrt{6}$ …（答）

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【問題４】

(1)
$\sqrt{18}+\sqrt{56}\div\sqrt{7}$

（京都府2017年入試問題）

解説やり直す

$3\sqrt{2}$ $5\sqrt{2}$ $7\sqrt{2}$ $9\sqrt{2}$

根号を含む割り算は，次の公式で変形できます．

【公式】
$\sqrt{a}\div\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ （割り算→根号の順にしてよい）
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ （割り算→根号の順にしてよい）
【例】
$\sqrt{6}\div\sqrt{2}=\sqrt{\frac{6}{2}}=\sqrt{3}$ （約分が先）

元の問題では
$\sqrt{56}\div\sqrt{7}=\sqrt{\frac{56}{7}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
したがって，
$\sqrt{18}+\sqrt{56}\div\sqrt{7}=3\sqrt{2}+ 2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$ …（答）

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(2)
$\frac{8}{\sqrt{2}}+ 3\sqrt{6}\div\sqrt{3}$

（茨城県2017年入試問題）

解説やり直す

$3\sqrt{2}$ $5\sqrt{2}$ $7\sqrt{2}$ $9\sqrt{2}$

分母に根号を含む式は，分母分子にその根号と同じものを掛けて，分母に根号がない形にします．（分母の有理化といいます）

【例】
$\frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{6\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=\sqrt{3}$

元の問題では
$\frac{8}{\sqrt{2}}=\frac{8\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$
また，根号の割り算は，分数に直して行えます．
$3\sqrt{6}\div\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{6}\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{18}}{3}$
$=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
したがって，
$4\sqrt{2}+ 3\sqrt{2}=7\sqrt{2}$ …（答）

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(3)
$\sqrt{75}+\frac{12}{\sqrt{3}}$

（神奈川県2017年入試問題）

解説やり直す

$3\sqrt{3}$ $5\sqrt{3}$ $7\sqrt{3}$ $9\sqrt{3}$

$\sqrt{75}+\frac{12}{\sqrt{3}}=\sqrt{3\times 5^2}+\frac{12\sqrt{3}}{3}$
$=5\sqrt{3}+ 4\sqrt{3}=9\sqrt{3}$ …（答）

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(4)
$\frac{6}{\sqrt{3}}-\sqrt{27}$

（石川県2017年入試問題）

解説やり直す

$-\sqrt{3}$ $\sqrt{3}$ $2\sqrt{3}$ $7\sqrt{3}$

$\frac{6}{\sqrt{3}}-\sqrt{27}=\fra{6\sqrt{3}}{3}-3\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}=-\sqrt{3}$ …（答）

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【このページのまとめ】

【公式１】　（a, k>0とする）
$\sqrt{k^2a}=k\sqrt{a}$
【公式２】　（k>0が平方数でないとき）
$a\sqrt{k}+ b\sqrt{k}=(a+ b)\sqrt{k}$
$a\sqrt{k}-b\sqrt{k}=(a-b)\sqrt{k}$

【公式】
$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ 　（掛けてから根号を付ける）

【展開公式】
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=(a+ b)+ 2\sqrt{ab}$
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=(a+ b)-2\sqrt{ab}$
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b$

【公式】
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$
【分母の有理化】
$\frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{6\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=\sqrt{3}$

【まとめのチェックテスト】 (1) $3\sqrt{5}-\sqrt{80}+\sqrt{20}$ （千葉県2017年入試問題）解説やり直す $-2\sqrt{5}$ $-\sqrt{5}$ $\sqrt{5}$ $2\sqrt{5}$ $3\sqrt{5}-\sqrt{80}+\sqrt{20}=3\sqrt{5}-\sqrt{2^4\times 5}+\sqrt{2^2\times 5}$ $=3\sqrt{5}-4\sqrt{5}+2\sqrt{5}=\sqrt{5}$ …（答） →閉じる←	(2) $\sqrt{6}(\sqrt{8}+\frac{1}{\sqrt{2}})$ （青森県2017年入試問題）解説やり直す $3\sqrt{3}$ $5\sqrt{3}$ $7\sqrt{3}$ $9\sqrt{3}$ $\sqrt{48}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2^4\times 3}+\sqrt{\frac{6}{2}}$ $=4\sqrt{3}+\sqrt{3}=5\sqrt{3}$ …（答） →閉じる←
. (3) $(6+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})$ （東京都2017年入試問題）解説やり直す $4$ $5$ $4-5\sqrt{2}$ $4+ 7\sqrt{2}$ $\sqrt{6}-6\sqrt{2}+\sqrt{2}-2=4-5\sqrt{2}$ …（答） →閉じる←	(4) $\sqrt{45}-\frac{20}{\sqrt{5}}$ （福井県2017年入試問題）解説やり直す $-\sqrt{5}$ $\sqrt{5}$ $2\sqrt{5}$ $3\sqrt{5}$ $\sqrt{3^2\times 5}-\frac{20\sqrt{5}}{5}=3\sqrt{5}-4\sqrt{5}=-\sqrt{5}$ …（答） →閉じる←

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【まとめのチェックテスト】 (1) $3\sqrt{5}-\sqrt{80}+\sqrt{20}$ （千葉県2017年入試問題）解説やり直す $-2\sqrt{5}$ $-\sqrt{5}$ $\sqrt{5}$ $2\sqrt{5}$ $3\sqrt{5}-\sqrt{80}+\sqrt{20}=3\sqrt{5}-\sqrt{2^4\times 5}+\sqrt{2^2\times 5}$ $=3\sqrt{5}-4\sqrt{5}+2\sqrt{5}=\sqrt{5}$ …（答） →閉じる←	(2) $\sqrt{6}(\sqrt{8}+\frac{1}{\sqrt{2}})$ （青森県2017年入試問題）解説やり直す $3\sqrt{3}$ $5\sqrt{3}$ $7\sqrt{3}$ $9\sqrt{3}$ $\sqrt{48}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2^4\times 3}+\sqrt{\frac{6}{2}}$ $=4\sqrt{3}+\sqrt{3}=5\sqrt{3}$ …（答） →閉じる←
. (3) $(6+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})$ （東京都2017年入試問題）解説やり直す $4$ $5$ $4-5\sqrt{2}$ $4+ 7\sqrt{2}$ $\sqrt{6}-6\sqrt{2}+\sqrt{2}-2=4-5\sqrt{2}$ …（答） →閉じる←	(4) $\sqrt{45}-\frac{20}{\sqrt{5}}$ （福井県2017年入試問題）解説やり直す $-\sqrt{5}$ $\sqrt{5}$ $2\sqrt{5}$ $3\sqrt{5}$ $\sqrt{3^2\times 5}-\frac{20\sqrt{5}}{5}=3\sqrt{5}-4\sqrt{5}=-\sqrt{5}$ …（答） →閉じる←