== 平方根が整数となるnの値 ==・・・(平方根をまだ習っていない方は,平方根の勉強を先にして下さい。) ■解説■ 例題1 ![]() 答案 根号が外れるためには,根号の中は,平方数になっていなければならない。 24n=23・3n だから 根号の中が平方数になるにはnは2と3の倍数。 nのうちで最小のものは6 ・・答 ※n=6のとき上の式の値は ![]() ※自然数とは正の整数(1,2,3,4,・・・)のこと。0は含まれない。 ※平方数とはある整数の平方(2乗)になっている数のこと。4=22や9=32は平方数。 |
例題2
![]() 答案 根号が外れるためには,根号の中は,平方数になっていなければならない。 24-3n=3(8-n) だから 根号の中が平方数になるには8-n は3の倍数 8-n=3,6 このうち根号の中が平方数となるのは8-n=3のとき n=5 ・・答 ※8-n=0,n=8のときは元の式の値は0となり,√0=0となり,整数ではあるが自然数にはなりません。 ※n=5のとき上の式の値は√9=3となります。 |
例題3
![]() 答案 根号が外れるためには,根号の中は,平方数になっていなければならない。 根号内の分母が7だから割り切れるためにはnは7の倍数。 また,24=23・3だからnは2,3の倍数。 ゆえに,nのうち最小のものは7×2×3=42・・答 ※n=42のとき上の式の値は, ![]() |
例題4
![]() 答案 24+3n=3(8+n) 根号内の分母が7だから割り切れるためには8+nは7の倍数。 根号が外れるためには,根号の中は,平方数になっていなければならないから,8+nは3の倍数。 以上より,8+n=21,42,・・ 最小となるのは8+n=21よりn=13・・答 ※n=13のとき上の式の値は3となります。 |
例題5 (所要時間長い)![]() 答案 根号が外れるためには,根号の中は,平方数になっていなければならない。 n2+19=m2 とおく (n,mは自然数) m2-n2=19 (m+n)(m-n)=19 m+n>m-n で19=19×1だから m+n=19,m-n=1 よりm=10,n=9・・・答 (※n=9のとき,上の式の値は10になります。) |
■問題 90n=2×32×5nだから根号内が平方数になるにはnは2と5の倍数
n=2×5=10
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540n=22×33×5nだから根号内が平方数になるにはnは3と5の倍数
n=3×5=15
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140-7n=7(20-n)だから根号内が平方数になるには20-nは7の倍数
20-n=7よりn=13
(nは1〜19) 20-n=7,14 20-n=7のとき7・7は平方数 20-n=14のとき7・14は平方数でない |
根号が外れるためには,根号の中は,平方数になっていなければならない。
15-n=6よりn=9
90-6n=6(15-n)だから15-nは6の倍数(nは1〜14) 15-n=6,12 このうち根号が外れるのは15-n=6のとき ※ 15-n=12のときは,根号の中が6×12となって平方数にならない |
根号が外れるためには,根号の中は,平方数になっていなければならない。
n=3×2×5=30
根号内の分母が3だからnは3の倍数 さらに10n=2・5nだからnは2と5の倍数 |
根号内の分母が7だから約分で整数になるにはnは7の倍数
n=7×5=35
さらに20n=22・5nだからnは5の倍数 |
18+6n=6(3+n)
n=39
根号内の分母が7だから約分で整数になるには3+nは7の倍数 さらに根号内が平方数になるには3+nは6の倍数 3+n=42 |
15n-60=15(n-4)
n=109
根号内の分母が7だから約分で整数になるにはn-4は7の倍数 さらに根号内が平方数になるにはn-4は15の倍数 n-4=105 ※n=4のときは式の値は0となり自然数にならない。 |
根号が外れるためには,根号の中は,平方数になっていなければならない。
n=11
n2+23=m2 とおく (n,mは自然数) m2-n2=23 (m+n)(m-n)=23 m+n>m-n で23=23×1だから m+n=23,m-n=1 より求めます |
根号が外れるためには,根号の中は,平方数になっていなければならない。
m+n=35,m-n=1→m=18,n=17,m+n=7,m-n=5→m=6,n=1n2+35=m2 とおく (n,mは自然数) m2-n2=35 (m+n)(m-n)=35 m+n>m-n で35を自然数の積に分ける方法は35×1と7×5 m+n=35,m-n=1 とm+n=7,m-n=5からnの大きい方を答えます nの大きい方はn=17 |
根号が外れるためには,根号の中は,整数であってかつ平方数になっていなければならない。
n=15
の倍数でなければならない.(3と5が約分で消えなければならない) |
根号が外れるためには,根号の中は,整数であってかつ平方数になっていなければならない。
n=10
だからnは少なくとも |