\(\displaystyle \frac{252}{n}\) がある自然数の2乗となるような，最も小さい自然数 \(n\) の値を求めなさい。

　\(\displaystyle \frac{2^2\times 3^2 \times 7}{n}\)
は\(7\)で約分できなければならないから，最も小さいのは，\(n=7\) ···（答）
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　\(\displaystyle \frac{3780}{n}\) が自然数の平方となるような，最も小さい自然数 \(n\) の値を求めなさい。
　　1.　\(n=35\)　　2.　\(n=70\)　　3.　\(n=105\)
　　4.　\(n=210\)

　\(\displaystyle \frac{2^2\times 3^3\times 5\times 7}{n}\) が自然数の平方となるには
\(n\)は，\(5,7\)の倍数でなければならない．また，\(3\)で1回は割り切れなければならない．
以上から，\(n\)の最小値は，\(3\times 5\times 7=105\) → 3 ···（答）
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　\(n\) は \(100\) より小さい素数である。\(\displaystyle \frac{231}{n+2}\) が整数となる \(n\) の値をすべて求めなさい。

　\(\displaystyle \frac{3\times 7\times 11}{n+2}=k\)
\(k\)は1以上の整数，\(n\)は2以上100未満の素数）
　\(\displaystyle k(n+2)=3\times 7\times 11\)
(1) \(\displaystyle k=1\) のとき，\(\displaystyle n+2=231\)→ \(n=229\)
(2) \(\displaystyle k=3\) のとき，\(\displaystyle n+2=77\)→ \(n=69\)
(3) \(\displaystyle k=7\) のとき，\(\displaystyle n+2=33\)→ \(n=31\)
(4) \(\displaystyle k=11\) のとき，\(\displaystyle n+2=21\)→ \(n=19\)
(5) \(\displaystyle k=21\) のとき，\(\displaystyle n+2=11\)→ \(n=9\)
(6) \(\displaystyle k=33\) のとき，\(\displaystyle n+2=7\)→ \(n=5\)
(7) \(\displaystyle k=77\) のとき，\(\displaystyle n+2=3\)→ \(n=1\)
(8) \(\displaystyle k=231\) のとき，\(\displaystyle n+2=1\)→ \(n=-1\)
以上により，\(n=5,19,31\) ···（答）
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　\(x\) を有理数とする。\(\displaystyle \frac{35}{12}x\) と \(\displaystyle \frac{21}{20}x\) の値がともに自然数となる最も小さい \(x\) の値を求めなさい。

\(\displaystyle x=\frac{n}{m}\) （\(m.n\)は自然数）とおくと，\(\displaystyle \frac{35}{12}\times\frac{n}{m}\) が自然数になるのだから
　\(m\)は35の約数
⇒ \(m=1,5,7,35\)
　\(n\)は12の倍数
⇒ \(n=12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,...\)
\(\displaystyle \frac{21}{20}\times\frac{n}{m}\) が自然数になるのだから
　\(m\)は21の約数
⇒ \(m=1,3,7,21\)
　\(n\)は20の倍数
⇒ \(n=20,40,60,80,100,120,...\)
両方とも成り立つのは，\(m=7,n=60,120,...\)
そのうちで，最も小さいのは \(\displaystyle \frac{60}{7}\) ···（答） →解説を隠す←

　\(\displaystyle \sqrt{5}\lt n\lt \sqrt{11}\) となるような自然数 \(n\) の値は，\(n=\) である。

　\(\displaystyle 5\lt n^2\lt 11\) となるから
　\(n=3\)···（答）
余裕のよっちゃん，よしこちゃん
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　\(\displaystyle 8\lt \sqrt{n}\lt8.2\) をみたす自然数 \(n\) の値をすべて求めよ。

　\(\displaystyle 8\lt \sqrt{n}\lt8.2\)
　\(\displaystyle 8^2\lt n\lt8.2^2\)
　\(\displaystyle 64\lt n\lt 67.24\)
\(n=65,66,67\) ···（答）
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　\(\displaystyle 2\sqrt{n} \lt \sqrt{x}\lt 3\sqrt{n}\) を満たす自然数 \(x\) の個数を \(n\) を用いて表しなさい。

　\(\displaystyle 2\sqrt{n} \lt \sqrt{x}\lt 3\sqrt{n}\)
　\(\displaystyle 4n\lt x\lt 9n\)
　\(\displaystyle 9n-4n-1=5n-1\)(個) ···（答） →解説を隠す←

　\(\displaystyle \sqrt{6a}\) が5より大きく7より小さくなるような自然数 \(a\) の値をすべて求めなさい。

　\(\displaystyle 5\lt \sqrt{6a}\lt 7\)
　\(\displaystyle 25\lt 6a \lt 49\)
のとき
　\(6a=30,36,42, 48\)
となるから
　\(a=5,6,7,8\) ···（答）
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　\(\displaystyle \sqrt{90n}\) が自然数になるような自然数 \(n\) のうちで，最も小さい値を求めなさい。

　\(\displaystyle \sqrt{90n}=\sqrt{2^2\times 3\times 5n}\) の根号の中が自然数の平方になるには，\(n=3\times 5\times k^2\)，（\(k\)は自然数）の形をしていなければならないから， \(n\) の最小値は，\(n=3\times 5=15\) ···（答）
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　\(\displaystyle \sqrt{126n}\) が自然数となるような自然数 \(n\) のうち，最も小さいものを求めなさい。

　\(\displaystyle \sqrt{126n}=\sqrt{2\times 3^2\times 7n}\) の根号の中が自然数の平方になるには，\(n=2\times 7 k^2\)，（\(k\)は自然数）の形をしていなければならないから， \(n\) の最小値は，\(n=2\times 7=14\) ···（答）
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　\(\displaystyle \sqrt{225-n}\) の値が整数となるような自然数\(n\)の個数を求めなさい。

　\(\displaystyle 0 \leqq 225-n\lt 225\)
　\(\displaystyle 0 \lt n\leqq 225=15^2\)
　\(\displaystyle n=1^2,2^2,3^2,...,15^2\)
15個 ···（答）
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　\(\displaystyle \frac{\sqrt{40n}}{3}\) の値あたいが自然数となるような自然数\(n\)のうち，もっとも小さい値を求めなさい。

　\(\displaystyle \sqrt{2^3\times 5n}\) が3の倍数になるには，
　\(\displaystyle 2^3\times 5n=(3k)^2\) の形に書けなければならない
そのとき，\(n\)の最小値は，\(n=9\times 2\times 5=90\) ···（答）
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　\(\displaystyle \sqrt{\frac{20}{n}}\) の値が自然数となるような自然数\(n\)を，すべて求めなさい。

　\(\displaystyle \frac{2^2\times 5}{n}=k^2\hspace{5px}(k\geqq 1)\)
　\(\displaystyle k^2\times n=2^2\times 5\hspace{5px}(k\geqq 1)\)
(1) \(\displaystyle k=1\) のとき，\(\displaystyle n=20\)
(2) \(\displaystyle k=2\) のとき，\(\displaystyle n=5\)
\(n=5, 20\)···（答）
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　\(\displaystyle \sqrt{\frac{540}{n}}\) の値が整数となるような自然数\(n\)は全部で何通りあるか求めなさい。

　\(\displaystyle \frac{2^2\times 3^3\times 5}{n}=k^2\hspace{5px}(k\geqq 1)\)
　\(\displaystyle k^2\times n=(2\times 3)^2\times (3\times 5)\hspace{5px}(k\geqq 1)\)
(1) \(\displaystyle k=1\) のとき，\(\displaystyle n=540\)
(2) \(\displaystyle k=2\) のとき，\(\displaystyle n=3^2\times(3\times 5)=135\)
(3) \(\displaystyle k=3\) のとき，\(\displaystyle n=2^2\times(3\times 5)=60\)
(4) \(\displaystyle k=2\times 3\) のとき，\(\displaystyle n=(3\times 5)=15\)
4通り ···（答）
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