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== 受験の基本(数の性質) ==
【問題1】
解答を見る3つの数 \(\small\sqrt{10}\)， \(\small\displaystyle\frac{7}{\sqrt{7}}\)，\(3\) の大小を，不等号を使って表したものとして正しいものを，次のア～カから1つ選び，記号で答えなさい。 ア \(\small\displaystyle\sqrt{10}\lt\frac{7}{\sqrt{7}}\lt 3\) イ \(\small\displaystyle\sqrt{10}\lt 3\lt \frac{7}{\sqrt{7}}\) ウ \(\small\displaystyle\frac{7}{\sqrt{7}}\lt \sqrt{10}\lt 3\) エ \(\small\displaystyle\frac{7}{\sqrt{7}}\lt 3\lt \sqrt{10} \) オ \(\small\displaystyle 3\lt\sqrt{10}\lt\frac{7}{\sqrt{7}}\) カ \(\small\displaystyle 3\lt\frac{7}{\sqrt{7}}\lt \sqrt{10} \) （2024年宮城県公立高校入試問題）
■無理数■ ==基本★==
はじめに，\(\small\displaystyle\frac{7}{\sqrt{7}}=\sqrt{7}\) と変形しておくと楽です 次に \(\small 7\lt 9\lt 10\)
だから
\(\small \sqrt{7}\lt \sqrt{9}\lt \sqrt{10}\)
すなわち
\(\small\displaystyle\frac{7}{\sqrt{7}}\lt 3\lt \sqrt{10}\) → エ…（答）
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【問題2】
解答を見る次のア～オの数の中から無理数をすべて選び，その記号をかきなさい。ただし，\(\pi\) は円周率を表すものとする。 ア \(\small\displaystyle -0.2\) イ \(\small\displaystyle \frac{1}{3}\) ウ \(\small\displaystyle\sqrt{5}\) エ \(\small\displaystyle -\sqrt{16}\) オ \(\small\displaystyle \pi\) （2025年和歌山県公立高校入試問題）
■無理数■ ==基本★==
(整数)÷(整数)の形に書ける値を有理数といい，そうでないものを無理数といいます
\(\sqrt{2}\) や \(\pi\) が無理数であることは，覚えておきます
ア \(\small\displaystyle -0.2=\frac{-1}{5}\)→有理数 イ \(\small\displaystyle \frac{1}{3}\)→有理数ウ \(\small\displaystyle\sqrt{5}\)→無理数 エ \(\small\displaystyle -\sqrt{16}=-4=\frac{-4}{1}\) オ \(\small\displaystyle \pi\)→無理数 したがって，ウ，オ …（答） |
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【問題3】
解答を見る次のア～エから，無理数を２つ選び，記号で答えなさい。 ア \(\small\displaystyle -\sqrt{25}\) イ \(\small\displaystyle \pi\) ウ \(\small\displaystyle\sqrt{0.04}\) エ \(\small\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{5}\) （2026年鳥取県公立高校入試問題）
■無理数■ ==基本★==
(整数)÷(整数)の形に書ける値を有理数といい，そうでないものを無理数といいます
\(\sqrt{2}\) や \(\pi\) が無理数であることは，覚えておきます
ア \(\small\displaystyle -\sqrt{25}=-5=\frac{-5}{1}\)→有理数 イ \(\small\displaystyle \pi=3.141592...\)→無理数ウ \(\small\displaystyle\sqrt{0.04}=0.2\)→有理数 エ \(\small\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{5}\)→無理数 したがって，イ，エ …（答） |
【問題4】
解答を見る次のア～エのうち，絶対値が最も小さい数を選び，記号で答えなさい。 ア \(\small\displaystyle 3\) イ \(\small\displaystyle -5\) ウ \(\small\displaystyle -\frac{5}{2}\) エ \(\small\displaystyle 2.1\) （2023年群馬県公立高校入試問題）
■絶対値■ ==基本★==
ある数の絶対値は，数直線上でその数を表す点と原点との距離に等しい。
ア \(\small\displaystyle 3\) の絶対値 ⇒ \(3\) イ \(\small\displaystyle -5\) の絶対値 ⇒ \(5\)正の数の絶対値は，そのままでよい。負の数の絶対値は，符号を変えたらよい。 ⇒ 単純にいえば「符号を取り除いたら」絶対値になる。 ウ \(\small\displaystyle -\frac{5}{2}\) の絶対値 ⇒ \(2.5\) エ \(\small\displaystyle 2.1\) の絶対値 ⇒ \(2.1\) エ …（答） |
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【問題5】
解答を見る次のア～オの数の中から，その絶対値が最も大きい数と小さい数をそれぞれ選び，その記号をかきなさい。 ア \(\small\displaystyle -1\) イ \(\small\displaystyle \frac{2}{3}\) ウ \(\small\displaystyle 0\) エ \(\small\displaystyle -1.3\) オ \(\small\displaystyle 0.7\) （2026年和歌山県公立高校入試問題）
■絶対値■ ==基本★==
小数に直すと比較しやすい \(\small\displaystyle -1.3 \lt-1 \lt 0\lt 0.666... \lt 0.7\) ↓ \(\small\displaystyle 0\lt 0.666... \lt 0.7\lt 1\lt 1.3\) 絶対値が最も大きい数 \(-1.3\)→エ 絶対値が最も小さい数 \(0\)→ウ …（答） |
【問題6】
解答を見る\(\small\sqrt{21}\) より小さい自然数は，全部で個である。 （2026年沖縄県公立高校入試問題）
■根号と整数の大小比較■ ==基本★==
自然数とは正の整数のことだから， \(\small 1\leqq n\lt\sqrt{21}\)
ここで，\(\small 4\lt\sqrt{21}\lt 5\)だから\(\small n=1,2,3,4\) の4個…（答）
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【問題7】
解答を見る\(\small 2.5\lt \sqrt{a} \lt 4\) をみたす自然数 \(a\) は何個あるか。 （2025年奈良県公立高校入試問題）
■根号と整数の大小比較■ ==基本★==
2乗で比較する \(\small 2.5^2\lt a\lt 4^2\)
\(\small 6.25\lt a\lt 16\)
\(\small a=7,8,9,..,15\)
《植木算》
\(15-7+1=9\)個…（答）
③⌒④⌒⑤⌒⑥⌒⑦ 差が \(b-a=n\) のときの，両端を含む柱の本数 ⇒ \(n+1\) |
【問題8】
解答を見る\(\small 5\sqrt{2}\leqq a\leqq \sqrt{91}\) をみたす自然数 \(a\) は全部で何個あるか，求めなさい。 （2026年三重県公立高校入試問題）
■根号と整数の大小比較■ ==基本★==
2乗で比較する \(\small 50\leqq a^2\leqq 91\)
\(\small a^2=64, 81\)
\(\small a=8, 9\) の2個…（答）
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【問題9】
解答を見る\(\small \sqrt{6a}\) が5より大きく7より小さくなるような自然数 \(a\) の値をすべて求めなさい。 （2023年大分県公立高校入試問題）
■根号と整数の大小比較■ ==基本★==
2乗で比較する \(\small 5\lt\sqrt{6a}\lt 7\)
\(\small 25\lt 6a \lt 49\)
\(\small\displaystyle 4.{\tiny \square\ni\emptyset}\lt a \lt 8.{\tiny \circ\triangle\times}\)
\(\small a=5,6,7,8\) …（答）
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【問題10】
解答を見る\(n\) を自然数とする。\(\small 2\sqrt{n}\lt \sqrt{x} \lt 3\sqrt{n}\) をみたす自然数 \(x\) の個数を \(n\) を用いて表しなさい。 （2025年大阪府公立高校入試問題）
■根号と整数の大小比較■ ==基本★==
《植木算》
③⌒④⌒⑤⌒⑥⌒⑦ 差が \(b-a=n\) のときの，両端を含まない柱の本数 ⇒ \(n-1\) \(\small 4n\lt x\lt 9n \)
\(\small 9n-4n-1=5n-1 \) 個…（答）
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【問題11】
解答を見るこのとき，①～④ に当てはまる数を答えなさい。 ただし，②，③ は，\(\sqrt{\hspace{20px}}\) を使わずに表しなさい。
\(\small 1.7^2=\)①， \(\small 1.8^2=3.24\)
この計算結果から，② \(\small \lt\hspace{3px}\sqrt{3}\hspace{3px}\lt\) ③となる。 したがって，\(\small\sqrt{3}\) を小数で表したときの小数第１位の数は④である。 （2026年宮崎県公立高校入試問題）
■根号の近似値■ ==基本★==
\(\small 1.7^2=\)2.89→① \(\small 1.8^2=3.24\) \(\small 1.7\hspace{3px}\lt\hspace{3px}\sqrt{3}\hspace{3px}\lt\hspace{3px} 1.8\) ↓↓ ②③ 小数第１位の数は \(7\) →④である。
昔，昭和60年代，カシオミニが売り出されるよりも前のことだった。
中学生の夏休みの自由研究ということで，この方法で，模造紙（新聞紙ぐらいの大きさの白紙）一杯を使って，次のように \(\sqrt{2}\) を50桁まで計算して，提出した 1.42=1.96：小1.542=2.25：大 1.4142=1.9881：小1.4242=2.0164：大 1.41442=1.999396：小1.41542=2.002225：大 1.41422=1.99996164：小1.414342=2.00024449：大 ････ 教員の反応が「それがどぅした？」みたいな，感じだった。50桁は大変だったのに，田舎の子供をバカにしたらあかん！ |
【問題12】
解答を見る次の文中の内にあてはまる数を求めよ。
\(5.3^2=28.09,\hspace{3px} 5.4^2=29.14\) であるから， \(\sqrt{29}\) を小数で表したときの小数第1位の数はである。
（2025年香川島公立高校入試問題）
■根号の近似値■ ==基本★==
\(\small 5.3^2=28.09\lt 29\lt 29.16=5.4^2 \)
\(\small 5.3\lt \sqrt{29}\lt 5.4 \)
だから， \(\small \sqrt{29}\) の小数第1位の数は 3 …(答)
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【問題13】
解答を見るある数 \(a\) の小数第2位を四捨五入したところ， \(3.5\) になりました。 \(a\) の取りうる値の範囲として最も適切なものを，次のア～エの中から一つ選び，その記号を書きなさい。
ア \(3.45\leqq a\leqq 3.55\)
イ \(3.45\lt a\leqq 3.55\) ウ \(3.45\leqq a\lt 3.55\) エ \(3.45\lt a\lt 3.55\) （2026年埼玉島公立高校入試問題）
■小数の近似値■ ==基本★==
ウ …(答) |
【問題14】
解答を見る\(\small\displaystyle\frac{9}{11}\) を小数で表すとき，小数第20位を求めよ。 （2025年鹿児島公立高校入試問題）
■有理数と循環小数■ ==基本★==
覚えるべき「公式」のようなものはなく，試験会場で実際に割り算をしてみたら分かる
0.8 1 8 1···
11 ) 9 0
8 8
2 0
1 1
9 0
2桁ごとに8,1を繰り返すので，小数第20位は1 …(答)
《話題》面白そうで，出題されたらラッキーなもの
\(\small\displaystyle\frac{1}{11}=0.0909\cdots\)
\(\small\displaystyle\frac{2}{11}=0.1818\cdots\) \(\small\displaystyle\frac{3}{11}=0.2727\cdots\) \(\small\displaystyle\frac{4}{11}=0.3636\cdots\) \(\small\displaystyle\frac{5}{11}=0.4545\cdots\) \(\small\displaystyle\frac{6}{11}=0.5454\cdots\) \(\small\displaystyle\frac{7}{11}=0.4242\cdots\) \(\small\displaystyle\frac{8}{11}=0.7272\cdots\) \(\small\displaystyle\frac{9}{11}=0.8181\cdots\) \(\small\displaystyle\frac{10}{11}=0.9090\cdots\)
\(\small\displaystyle\frac{1}{9}=0.1111\cdots\)
\(\small\displaystyle\frac{2}{9}=0.2222\cdots\) \(\small\displaystyle\frac{3}{9}=0.3333\cdots\) \(\small\displaystyle\frac{4}{9}=0.4444\cdots\) \(\small\displaystyle\frac{5}{9}=0.5555\cdots\) \(\small\displaystyle\frac{6}{9}=0.6666\cdots\) \(\small\displaystyle\frac{7}{9}=0.7777\cdots\) \(\small\displaystyle\frac{8}{9}=0.8888\cdots\) 分子が循環する
\(\small\displaystyle\frac{1}{7}=0.142857\cdots\)
\(\small\displaystyle\frac{2}{7}=0.285714\cdots\) \(\small\displaystyle\frac{3}{7}=0.428571\cdots\) \(\small\displaystyle\frac{4}{7}=0.571428\cdots\) \(\small\displaystyle\frac{5}{7}=0.714285\cdots\) \(\small\displaystyle\frac{6}{7}=0.857142\cdots\) 並びが同じで，頭出しが変わるだけ |
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【問題15】
解答を見る\(\small\displaystyle\frac{2}{7}\) を小数で表すと，\(0.28571428\cdots\) となり，ある位からさきは同じ数字の並びの繰り返しとなる。そこで，小数点以下の数字を順に並べていくと，次のようになり，7が初めて現れるのは4番目である。 \(2,\hspace{3px}8\hspace{3px},5\hspace{3px},7\hspace{3px},1\hspace{3px},4\hspace{3px},2\hspace{3px},8\hspace{3px},\cdots\)
① 7が2回目に現れるのは何番目か，答えなさい。② 7が \(n\) 回目に現れるのは何番目か， \(n\) を使った式で表しなさい。 （2026年熊本県公立高校入試問題）
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【問題16】
解答を見る\(2023=7\times 17\times 17\) である。\(2023\) を割り切ることができる自然数の中で，\(2023\) の次に大きな自然数を求めよ。 （2023年長崎島公立高校入試問題）
■倍数の性質■ ==基本:★==
○○を割り切る自然数 ⇒ ○○の約数
\(2023\) の約数のうちで，\(2023\) の次に大きいものは\(17\times 17=289\) …(答) |
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【問題17】
解答を見るあとの㋐～㋓のうち，下の文中の内にあてはまるものはどれか。正しいものを１つ選んで，その記号を書け。 連続する3つの自然数の和は，いつでもである。 ㋐ 2の倍数 ㋑ 3の倍数 ㋒ 4の倍数 ㋓ 5の倍数 （2026年香川島公立高校入試問題）
■倍数の性質■ ==基本:★==
連続する3つの自然数をn, n+1, n+2とおくと，それら3つの和は n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)
は3の倍数→㋑になる…(答)
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【問題18】
解答を見る次の文字式のうち，nがどんな自然数であっても5の倍数を表す文字式はどれか。次のア～エからすべて選び，その記号を書きなさい。 ア \(\small n+5\) イ \(\small\displaystyle \frac{1}{5}n\) ウ \(\small 5n\) エ \(\small 5(n+2)\) （2026年高知県公立高校入試問題）
■倍数の性質■ ==基本:★==
ウとエ…(答) |
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【問題19】
解答を見る98, 210の2つの数を割り切ることのできるいちばん大きい自然数を求めなさい。 （2026年鹿児島公立高校入試問題）
■最大公約数の求め方■ ==基本★==
２つの整数の最大公約数は，次のように，共通に割り切れる数で（できるだけ多く）割って求める 2 ) 98 , 210
7 ) 49 , 105
7 , 15
2×7=14…（答）
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【問題20】
解答を見る\(\small\displaystyle\frac{1050}{n} \) が自然数の平方となるような，最も小さい自然数 \(n\) の値を求めなさい。 1. \(n=10\) 2. \(n=21\) 3. \(n=25\) 4. \(n=42\) （2026年神奈川県公立高校入試問題）
■分数の形が整数を表す \(n\) の値■ ==基本★==
\(\small\displaystyle\frac{1050}{n}=\frac{2\times 3\times 5^2\times 7}{n} \)が自然数の平方となるには，分子の \(2,3,7\)が約分される必要がある \(n=42\) → 4.…（答） |
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【問題21】
解答を見る\(\small\displaystyle\frac{252}{n} \) の値が，ある自然数の2乗となるような，最も小さい自然数 \(n\) の値を求めなさい。 （2023年茨城県公立高校入試問題）
■分数の形が整数を表す \(n\) の値■ ==基本★==
\(\small\displaystyle\frac{252}{n}=\frac{2^2\times 3^2\times \times 7}{n} \)が自然数の平方となるには，分子の \(7\)が約分される必要がある \(n=7,2^2\times 7,3^2\times 7,2^2\times 3^2\times 7\) のうちで最小のものは \(n=7\) …（答） |
【問題22】
解答を見る\(n\) は自然数である。\(\small\displaystyle\frac{n}{12},\hspace{5px}\frac{360}{n} \) がともに整数となる \(n\) の値は全部で何個あるか，求めなさい。 （2025年秋田県公立高校入試問題）
■分数の形が整数を表す \(n\) の値■ ==基本★★==
\(p,q,r\) は整数として \(\small\displaystyle\frac{360}{n}=\frac{2^3\times 3^2\times 5}{n} \) が整数であるには， \(n=2^p\times 3^q\times 5^r \) について
\(0\leqq p\leqq 3,\hspace{3px} 0\leqq q\leqq 2,\hspace{3px} 0\leqq r\leqq 1 \)
さらに，\(\small\displaystyle\frac{n}{12}=\frac{n}{2^2\times 3} \) が整数であるには，\(n=2^p\times 3^q\times 5^r \) について
\(p=2,3,\hspace{5px}q=1,2,\hspace{5px}r=0,1\)
だから，2×2×2=8個…（答）
（別解）\(\small\displaystyle\frac{n}{12}=\frac{n}{2^2\times 3} \) が整数であるには，\(n\) は \(12\) の倍数 そこで，\(n=12,24,36,48,..., 360\)について，\(\small\displaystyle\frac{360}{n} \) が整数になるかどうか，根性物語で調べたらよい
数は多いが，やるべきことは明確で，有限個だからいずれ終わる
\(\small\displaystyle\frac{360}{12}=30\rightarrow \circ,\frac{360}{24}=15\rightarrow \circ,\frac{360}{36}=10\rightarrow \circ, \)\(\small\displaystyle\frac{360}{48}=7.5\rightarrow \times,\frac{360}{60}=6\rightarrow \circ,\frac{360}{72}=5\rightarrow \circ, \) \(\small\displaystyle\frac{360}{84}=4.28..\rightarrow \times,\frac{360}{96}=3.75\rightarrow \times,\frac{360}{108}=3.33..\rightarrow \times, \) \(\small\displaystyle\frac{360}{120}=3\rightarrow \circ,\frac{360}{132}=2.72..\rightarrow \times,\frac{360}{144}=2.5\rightarrow \times, \) \(\small\displaystyle\frac{360}{156}=2.30..\rightarrow \times,\frac{360}{168}=2.14..\rightarrow \times,\frac{360}{180}=2\rightarrow \circ, \) \(\small\displaystyle\cdots\cdots \cdots \times,\frac{360}{360}=1\rightarrow \circ, \) だから，8個 …（答） |
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【問題23】
解答を見る\(n\) は100より小さい素数である。\(\small\displaystyle\frac{231}{n+2} \) が整数となる \(n\) の値をすべて求めなさい。 （2023年秋田県公立高校入試問題）
■分数の形が整数を表す \(n\) の値■ ==基本★★== \(\small\displaystyle\frac{231}{n+2}=\frac{3\times 7\times 11}{n+2} \) が整数となるには，\(n+2\) が \(3\times 7\times 11\) の約数でなければならないから \(\small\displaystyle n+2=1,3,7,11,21,33,77,231 \)
\(\small\displaystyle n=-1,1,5,9,19,31,75,229 \)
100までの素数は，だいたい，言える ようにしておきます。（分からない数は，それより小さい素数で割り切れるかどうかで判断。ゆっくり調べても，間に合う）
2,3,5,7,11,..., 89,97 の25個ある ［注］ 1 は素数に入れない!! \(\small\displaystyle n=\hspace{3px}\textcolor{red}{\xcancel{\textcolor{black}{-1}}},\hspace{3px}\textcolor{red}{\xcancel{\textcolor{black}{1}}},5,\hspace{3px}\textcolor{red}{\xcancel{\textcolor{black}{9}}},19,31,\hspace{3px}\textcolor{red}{\xcancel{\textcolor{black}{75}}},\hspace{3px}\textcolor{red}{\xcancel{\textcolor{black}{229}}} \)
\(\small\displaystyle n=5,19,31\) …（答）
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【問題24】
解答を見る\(n\) を自然数とするとき，\(\small\displaystyle 5-\frac{78}{n} \) の値が自然数となるような最も小さい \(n\) の値を求めなさい。 （2023年大阪府公立高校入試問題B）
■分数の形が整数を表す \(n\) の値■ ==★★★==
\(\small\displaystyle 5-\frac{78}{n}\geqq 1 \)
\(\small\displaystyle 1\leqq \frac{78}{n}\leqq 4 \) …(#1)
ここで，\(\small\displaystyle 5-\frac{78}{n}=\frac{2\times 3\times 13}{n}\) が整数となるには\(\small\displaystyle n \) が78の約数
\(\small\displaystyle n=1,2,3,6,13,\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{26,39,78}}} \) …(#2)
このとき\(\small\displaystyle \frac{78}{n}= 78,39,26,13,6,\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{3,2,1}}} \) …(#3)
(#1)(#3)から，最も小さい \(n\) の値は，\(n=26\) …（答）
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【問題25】
解答を見る\(n\) を整数とします。\(\small\displaystyle\frac{45^2-n^2}{7} \) が自然数となるような \(n\) のうち，最も大きい値 \(n\) の値を求めなさい。 （2025年広島県公立高校入試問題）
■分数の形が整数を表す \(n\) の値■ ==基本★★==
• \(\small\displaystyle\frac{45^2-n^2}{7}\gt 0 \) だから \( n^2\lt 45^2 \)
\( -45\lt n\lt 45 \)
\( 45+n \gt 0, 45-n \gt 0 \)…(#1)
• \(\small 45^2-n^2=(45-n)(45+n) \) だから，\(n-45, n+45\) の少なくとも一方が7の倍数\( 45-n=7,14,21,..\) より
\( n=38, 31, 24, 17, ,.. \)…(#2)
\( 45+n=...,70 , 77, 84\) より
\( n=..., 25, 32, 39,\)…(#3)
(#2)(#3)から， \(n=39\)…（答）==計算が大変★★==
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【問題26】
解答を見る\(x\) を有理数とする。\(\small\displaystyle \frac{35}{12}x\) と \(\small\displaystyle \frac{21}{20}x\) の値がともに自然数となる最も小さい \(x\) の値を求めなさい。 （2024年大阪府公立高校入試問題C）
■分数の形が整数を表す \(x\) の値■ ==基本★★★==
\(\small\displaystyle x=\frac{n}{m}\) (\(m,n\) は自然数)とおく \( \small\displaystyle \frac{35}{12}\times\frac{n}{m} \) が自然数になるのだから
\( \small n \) は \(12\) の倍数 …(#1)
\( \small\displaystyle \frac{21}{20}\times\frac{n}{m} \) が自然数になるのだから
\( \small n \) は \(20\) の倍数 …(#2)
(#1)(#2)の両方とも成り立つとき，\( \small n \) は \(12,20\) の公倍数，そのうち，できるだけ小さいものは，最小公倍数 \(60\) …(#3)
\( \small\displaystyle \frac{35}{12}\times\frac{n}{m} \) が自然数になるのだから
\( \small m \) は \(35\) の約数または1 …(#4)
\( \small\displaystyle \frac{21}{20}\times\frac{n}{m} \) が自然数になるのだから
\( \small m \) は \(21\) の約数または1 …(#5)
(#4)(#5)の両方とも成り立つとき，\( \small m \) は \(35, 21\) の公約数，そのうち，できるだけ大きいものは，最大公約数 \(7\) …(#6)
以上から\(\small\displaystyle x=\frac{60}{7}\)…（答）
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【問題27】
解答を見る\(\small \sqrt{13-a}\) の値が整数となるような自然数 \(a\) の値をすべて求めなさい。 （2026年石川県公立高校入試問題）
■根号が整数となる \(a\) の値■ ==基本★==
\(\small \sqrt{13-a}\) は自然数とは限らない．0の場合もある \(\small 0\leqq 13-a=n^2\) （ \(n\) は0以上の整数 ）
しかし， \(a\) は自然数だから，\(\small 13-a\lt 13\)\(\small n^2\lt 13\) （ \(n\) は0以上の整数 ）
(ア) \(n=0\) のとき，\(a=13\)(イ) \(n=1\) のとき，\(a=12\) (ウ) \(n=2\) のとき，\(a=9\) (エ) \(n=3\) のとき，\(a=4\) (オ) \(n\geqq 4\) のとき，\(a\lt 0\)となって題意に適さない 以上から，\(a=4,9,12,13\) …（答） |
【問題28】
解答を見る\(\small \sqrt{225-n}\) の値が整数となるような自然数 \(n\) の個数を求めなさい。 （2025年山形県公立高校入試問題）
■根号が整数となる \(n\) の値■ ==基本★==
境目が要注意。\(k=0\) は，入るが，\(k=15\) は入らない
\(n\) は自然数： \(n\geqq 1\) …(#1)\(\small \sqrt{15^2-n}=k\) \(k\geqq 0\) は整数 \(\small k^2=15^2-n\) \(\small k^2=15^2-n\) …(#2) (#1)(#2)から \(\small k^2=0^2,1^2,2^2,3^2,...,14^2\) \(\small k=0,1,2,3,...,14\)の15個 …（答） |
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【問題29】
解答を見る\(\small \sqrt{n^2+15}\) が整数となる正の整数 \(n\) をすべて求めなさい。 （2026年秋田県公立高校入試問題）
■根号が整数となる \(n\) の値■ ==基本★==
\(\small \sqrt{n^2+15}=k\) （\(k\) は整数，\(1\leqq n\lt k\) とおく） \(\small n^2+15=k^2\)
\(\small k^2-n^2=15\)
\(\small (k-n)(k+n)=15\)
ここで，\(k-n\lt k+n\) だから \(15\) の約数の組み合わせを考えると
約数の個数は有限個だから，式を(素)因数分解で表すと，幾つかの組み合わせだけが見つかる！
ア) \(\small k-n=1, k+n=15 \) のとき
\(\small k=8, n=7 \)
イ) \(\small k-n=3, k+n=5 \) のとき
\(\small k=4, n=1 \)
以上から， \(n=1,7\) …（答） |
【問題30】
解答を見る\(\small \sqrt{126n}\) の値が自然数となるような自然数 \(n\) のうち，最も小さいものを求めなさい。 （2024年和歌山県公立高校入試問題）
■根号が整数となる \(n\) の値■ ==基本★==
\(\small \sqrt{126n}=\sqrt{2\times 3^2\times 7\times n}\) が自然数となるには，根号の中 \(2\times 3^2\times 7\times n\) が平方数になっていなければならない \(\small n=2\times 7\times k^2 \) （\(k\) は自然数）
最小となるのは \(k=1\) のときで， \(n=14\) …（答） |
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【問題31】
解答を見る\(\small \sqrt{90n}\) の値が自然数となるような自然数 \(n\) のうち，2番目に小さいものを求めなさい。 （2025年徳島県公立高校入試問題）
■根号が整数となる \(n\) の値■ ==基本★==
\(\small \sqrt{90n}=\sqrt{2\times 3^2\times 5\times n}\) が自然数となるとき \(\small n=2\times 5\times k^2 \) (\(k\) は自然数)
1番目に小さな値になるのは， \(k=1\) → \(n=10\) のとき2番目に小さな値になるのは， \(k=2\) → \(n=40\) のとき…（答） |
【問題32】
解答を見る\(n\) は \(2\) 以上 \(20\) 以下の自然数とします。\(\small \sqrt{3(2n+1)}\) の値が自然数となるような \(n\) の値を求めなさい。 （2025年岡山県公立高校入試問題）
■根号が整数となる \(n\) の値■ ==大変難しい★★★★==
• \(\small 2\leqq n\leq 20\) …(#1) \(2n+1\) は3×(奇数の2乗) • \(\small 3(2n+1)=3^2\times(2m+1)^2\) (\(m\) は0以上の整数)…(#2) (#1)(#2)から \(\small 15\leqq 3(2n+1)=3^2\times(2m+1)^2\leqq 123 \)
\(\small\displaystyle \frac{5}{3}\leqq (2m+1)^2\leqq \frac{41}{3} \)
\(\small\displaystyle 1.{\tiny abc}=\frac{5}{3}\leqq (2m+1)^2\leqq 13.{\tiny \circ\times\triangle} \)
\(2m+1\) は奇数だから\(\small\displaystyle (2m+1)^2=3^2 \)
\(\small\displaystyle 2n+1=3(2m+1)^2=27 \)
\(\small\displaystyle 13 \)…（答）
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