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== 受験の基本問題(図形の長さ・面積) ==
■生成ＡＩを用いた問題の解き方と類題作成について■
■筆者が試してみたときの傾向を言うと，生成ＡＩは「大規模言語モデル」を使っていると言われ，言語認識には優れているが，図形的な認識については，必ずしも得意でないかもしれません《１》 このページの問題は，公立高校入試問題として過去に実際に出題された問題を扱っています
《２》 この過去問に対する解き方・解答は，実際に解答そのものがWeb上に公開されていて，生成ＡＩもそれを読むことができることもあって，生成ＡＩに解いてもらうと，ほぼ正確な答案が得られます
ただし，コンピュータの答案は，「使えるものは何でも使う」「中学生向けでも高校の定理を使って答えていることがある」「学習指導要領が改訂されていても，その時代に合った学習内容を前提としているとは限らない」などの傾向はあるようですから，そのままでは使えないことがあります．また，生成ＡＩによる答案は，図示されることは少なく，文章で示されることが多いようです 《３》 生成ＡＩに対して，元の問題を示して類題を示してもらうことができますが，その場合
(1) 生徒の立場から見れば，「元の問題に対する模範解答を見たいとき」「自主学習や試験対策として，類似問題で実力を確かめたいとき」に使える可能性があります
(2) 高校入試問題や教員採用試験問題の作成担当者の立場から見れば（秘密作業のため他の人に相談できないが），過去問の数字や形を変えた類似問題が作れる可能性があります
すなわち，図のコピーを送信して，類似問題を作成してくださいといっても，指示されている内容がどこまで正確に伝わるかは，未知です むしろ，「AB=BCの二等辺三角形」「∠ABC=90°の直角三角形」などの条件は，逐一もれなく文章にして送信する方がよいようです ■高校入試の小問・基本問題をたくさん集めましたので，受験生がこのページで学習する場合は，全部の問題を行う必要はありません．見た目で「簡単にできそうだ」と思うものは，パスしてよいでしょう．「これは，少し考えなくては」と思う問題を解くようにすればよいでしょう． 「難しいな」と思ったら，「解答を読めばよい」．「答えを見たら負けだ」と思う必要はない → 受験は，時間との戦いなので，タイムパフォーマンスのよい進め方がよく，１日後などの後で「解けるようになっていたら」目標達成と考えるとよい。 さらに，もっと類題が欲しい思うときは，上記に示した方法で，生成ＡＩに類題を出してもらうのも，よい考えです． |
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【問題1】
解答を見る右の図のような△ABCがあり，辺AB上にAD=3cm, DB=5cmとなる点Dをとる。点Dから辺BCに平行な直線を引き，辺ACとの交点をEとする。DE=2cmであるとき，辺BCの長さを答えなさい。 （2026年新潟県公立高校入試問題）
■三角形と平行線■ ==基本★==
（答案作成の方針）
△ABCのAB上に点D，AC上に点Eがあり，DE∥BCであるならば AD:AB=AE:AC
=DE:BC
が成り立つ
AD:AB=DE:BC
3:8=2:BC
3BC=16
\(\small\displaystyle\mathrm{BC}=\frac{16}{3}(cm)\)…（答）
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【類題1】
解答を見る右の図のように，△ABCがある。AD=5cm, DB=3cm, AE=4cm，∠ADE=∠ACB, ∠AED=∠ABCのとき，線分ECの長さを求めなさい。 |
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【問題2】
解答を見る右の図のような平行四辺形ABCDの辺BC上にCD=DEとなる点Eをとり，線分AEと線分BDの交点をFとする。このとき，次の(1)･(2)の問いに答えなさい。 (1) △ADE≡△BCDを証明しなさい。
(2) AD=10cm, CD=5cm, ∠DAE=∠CDEとする。このとき，線分BEの長さを求めなさい。
（2026年高知県公立高校入試問題）
(1) ==基本:★==
△ADEと△BCDについて • ABCDは平行四辺形だから AD=BC…(#1)
• 問題の仮定によりCD=DE…(#2)
• 平行線の錯角は等しいから∠ADE=∠CED
二等辺三角形の両底角は等しいから∠CED=∠ECD
したがって∠ADE=∠ECD…(#3)
(#1)(#2)(#3)により，△ADEと△BCDは，2辺とその間の角がそれぞれ等しいから，
△ADE≡△BCD…（証明終）
(2) ==基本:★==• ∠DAE=∠CDE, ∠ADE=∠DCEだから △ADE∽△DCE
したがって，AD:DE＝DC:CE\(\small\displaystyle\mathrm{CE}=\frac{5}{2}\)
\(\small\displaystyle\mathrm{BE}=10-\frac{5}{2}=\frac{15}{2}(cm)\)…（答）
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【問題3】
解答を見る右の図のように，△ABCがある。点Dは辺BCの中点であり，点E, Fは辺ACを3等分する点である。点Gは線分ADと線分BEの交点である。DF=5cmのとき，線分BGの長さを求めなさい。 （2025年秋田県公立高校入試問題）
■中点連結定理■ ==★★==
（答案作成の方針）
• △ADFについて，GはADの中点，EはAFの中点だから《中点連結定理》を2回に分けて使う： ABの中点をM，ACの中点をNとすると MN∥BC
\(\displaystyle\mathrm{MN=\frac{1}{2}BC}\)
が成り立つ
\(\displaystyle\mathrm{GE=\frac{1}{2}DF}=\frac{5}{2}\)
• △EBCについて，DはBCの中点，FはECの中点だから\(\displaystyle\mathrm{BE=2DF}=10\)
以上から\(\displaystyle\mathrm{BG}=10-\frac{5}{2}=\frac{15}{2}(cm)\)…（答）
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【問題4】
解答を見る右の図のように，△ABCと△ECDは合同な正三角形であり，点B, C, Dは一直線上にある。点Pは辺DE上の点であり，点Qは線分BPと辺CEの交点である。AB=7cm, EP=3cmのとき，線分CQの長さを求めなさい。 （2024年秋田県公立高校入試問題）
■平行線と比例■ ==★★==
平行線と交わる２つの直線があれば，比例の関係=相似図形が見つかる
• BQとACの交点をRとおく• PD∥RCだから PD:RC=DB:CB
4:RC=14:7
RC=2
• △BAR∽△QCRだから
BA:AR=QC:CR
7:5=x:2
\(\small\displaystyle x=\frac{14}{5}\)
\(\small\displaystyle \mathrm{CQ}=\frac{14}{5}(cm)\)…（答）
（別解）• BQとACの交点をRとおく • PD∥RCだから PD:RC=DB:CB
4:RC=14:7
RC=2
• △BAR∽△QEPだから
BA:AR=QE:EP
7:5=(7−x):3
21=35−5x
5x=14
\(\small\displaystyle x=\frac{14}{5}\)
\(\small\displaystyle \mathrm{CQ}=\frac{14}{5}(cm)\)…（答）
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【問題5】
解答を見る図2において，△ABC≡△ECDであり，点B, C, Dは一直線上にある。辺ED上に点Pをとり，線分BPと辺ECの交点をQ，線分BPと辺ACの交点をRとする。 このとき，次の(1)，(2)に答えなさい。 (1) △ABR∽△CQRとなることを証明しなさい。
(2) BD=9cmであり，CQ:QE=5:8であるとき，RCの長さを求めなさい。
（2026年山梨県公立高校入試問題）
■平行線と比例■ ==★★==
平行線と交わる２つの直線があれば，比例の関係=相似図形が見つかる
(1)• AB∥ECにより，これと交わる直線BQの錯角は等しいから ∠ABR=∠CQR
• 同様に，直線ACの錯角は等しいから∠BAR=∠QCR
以上により，2つの三角形△ABRと△CQRは，対応する２組の角度が等しいから，相似である…（証明終）(2) • (1)の結果から BA:AR=QC:CR
• RC=xとおくと13k:(9−x)=5k:x
13kx=5k(9−x)
13x=45−5x
18x=45
\(\small\displaystyle x=\frac{45}{18}=\frac{5}{2}\)
\(\small\displaystyle \mathrm{RC}=\frac{5}{2}(cm)\)…（答）
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【問題6】
解答を見る図Ⅰにおいて，A, B, Cは点Oを中心とする円の周上の異なる3点である。3点A, B, Cを結んでできる△ABCは，AB=ACの二等辺三角形であり，頂角∠BACは鋭角である。Dは，Bから線分ACにひいた垂線と線分ACとの交点である。Eは，直線OCと円Oとの交点のうちCと異なる点である。Fは，線分ECと線分ABとの交点である。EとAとを結ぶ。 次の問いに答えなさい。 (1) △EAC∽△CBDであることを証明しなさい。
(2) AD=5cm, DC=2cmであるとき，
① 線分BDの長さを求めなさい。
② 線分AFの長さを求めなさい。
（2025年大阪府公立高校入試問題B）
■相似図形と比例，三平方の定理■
(1) ==基本★== △EACと△CBDについて • ∠BDC=90°（問題文の仮定による） • ∠CAE=90°（直径ECの円周角） よって∠BDC=∠CAE
• ∠AEC=∠ABC（弧\(\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{AC}}\) に対する円周角）• ∠ABC=∠DCB（二等辺三角形の底角） よって∠AEC=∠CAE
以上から，△EACと△CBDは，2組の角がそれぞれ等しいから，相似である…（証明終）(2)① ==基本★== 直角三角形ABDにおいて，AB=7, AD=5であるから，三平方の定理により \(\small\mathrm{BD^2=AB^2-AD^2}=49-25=24\)
\(\small\mathrm{BD}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}(cm)\)…（答）
② ==計算長い：★★★★==• BDとECの交点をGとする
（解き方の方針）
(#1) ①と(1)の結果を使って，AEを求める (#2) △EAC∽△GDCを使って，GDを求める (#3) BGを求める (#4) △EAF∽△BGFを使って，AFを求める
\(5\)
\(2\)
\(2\sqrt{6}\)
\(\frac{7\sqrt{6}}{6}\)
\(\frac{5\sqrt{6}}{3}\)
\(\frac{\sqrt{6}}{3}\)
\(x\)
(#1) △EAC∽△GDCだから\(\small\mathrm{EA:AC=CD:DB}\)
\(\small\mathrm{EA}:7=2:2\sqrt{6}\)
\(\small\displaystyle\mathrm{EA}=\frac{14}{2\sqrt{6}}=\frac{7\sqrt{6}}{6}\)
(#2) △EAC∽△GDCだから\(\small\mathrm{EA:GD=7:2}\)
\(\small\frac{7\sqrt{6}}{6}:\mathrm{GD}=7:2\)
\(\small\mathrm{GD}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)
(#3) \(\small\displaystyle\mathrm{BG}=2\sqrt{6}-\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{5\sqrt{6}}{3}\)(#4) △EAF∽△GBF （EA∥BG, ∠EAF=∠GBF, ∠AEF=∠BGF）だから EA:AF=GB:BF
AF=\(\small x\), BF=\(\small 7-x\)とおくと\(\small\displaystyle\frac{7\sqrt{6}}{6}:x=\frac{5\sqrt{6}}{3}:(7-x)\)
\(\small\displaystyle\frac{5\sqrt{6}}{3}x=(7-x)\times\frac{7\sqrt{6}}{6}\)
\(\small\displaystyle 10x=7(7-x)\)
\(\small\displaystyle 17x=49\)
\(\small\displaystyle x=\frac{49}{17}(cm)\)…（答）
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【問題7】
解答を見る右の図で，△ABCと△ADEはともに正三角形であり，3点B, D, Eは一直線上にある。また辺ADを延長した直線と辺BCとの交点をFとし，辺ACとDEの交点をGとする。 次の(1)，(2)の問いに答えなさい。 (1) △ABF∽△AEGであることを証明しなさい。
(2) AB=6cm, BF=2cmのとき，
(ア) △ABFの面積を求めなさい。
(イ) △AEGの面積を求めなさい。
（2026年岐阜県公立高校入試問題）
\(6\)
\(2\)
\(3\sqrt{3}\)
■相似図形と比例，三平方の定理■(1) ==基本★== △ABFと△AEGについて ∠ABF=∠AEG=60°
∠BAF=∠EAG=60°−∠GAD
２つの三角形について，対応する2組の角がそれぞれ等しいから，△ABF∽△AEG…(証明終) (2) (ア) ==基本★== △ABCは1辺の長さが6(cm)の正三角形で，高さは \(\small 6\times \frac{1}{2}\times\sqrt{3}=3\sqrt{3}(cm)\)
△ABFの面積は\(\small 2\times 3\sqrt{3}\div 2=3\sqrt{3}(cm^2)\)…(答)
(イ)==計算多い：★★★==
相似図形の面積比は，相似比の2乗だから，1組の辺の長さの比が分かればよい
\(6\)
\(2\)
\(6\)
\(2\)
\(4\)
\(2\sqrt{7}\)
• BCの中点をMとすると，直角三角形△AFMに対して三平方の定理を使うと，AFの長さが求まる\(\small \mathrm{AF}^2=1^2+(3\sqrt{3})^2\)
\(\small \mathrm{AF}^2=27+1=28\)
\(\small \mathrm{AF}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\)
• △BCGと△AEGについて∠BCG=∠AEG=60°
∠CGB=∠AGE(対頂角)
２つの三角形について，対応する2組の角がそれぞれ等しいから，△BCG∽△AEG さらに，(1)の結果から，△ABF∽△AEGだから △BCG∽△ABF ここで，さらに，AB=BC=6だから，△BCG≡△ABF よって，CG=2, GA=4 • △ABFの面積は \(\small 2\times 3\sqrt{3}\div 2=3\sqrt{3}\) △ABF∽△AEGで，相似比はAF:AG=\(\small 2\sqrt{7}\):4 面積比は，\(\small (2\sqrt{7})^2:4^2=28:16=7:4\) • △AEGの面積は \(\small\displaystyle 3\sqrt{3}\times\frac{4}{7}=\frac{12}{7}\sqrt{3}(cm^2)\)…(答)
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【問題8】
解答を見る右の図のように，△ABCがあり，AB=8cm, BC=12cmである。2辺AC, BCの中点をそれぞれD, Eとすると，AE=9cmであった。∠AEBの二等分線と辺ABとの交点をFとし，点Fを通り，辺BCに平行な直線と辺AC，線分AEとの交点をそれぞれG, Hとする。また，辺AC上に点Iを，AI:IC=3:1となるようにとる。 このとき，次の(1)～(3)に答えよ。 (1) 線分EHの長さを求めよ。
(2) DG:GIを最も簡単な整数の比で表せ。
(3) △GHIの面積は，△AFEの面積の何倍か求めよ。
（2026年京都府公立高校入試問題）
\(8\!\times\!\frac{3}{5}\)
\(8\!\times\!\frac{2}{5}\)
\(9\!\times\!\frac{2}{5}\)
(1) ■角の二等分線，相似比■ ==基本★★==• EFは，∠AEBの二等分線だから AF:FB=AE:EB=9:6=3:2
• EH∥BEだからAH:HE=AF:FB=3:2
\(\small\displaystyle\mathrm{EH=\frac{2}{5}AE}=\frac{2}{5}\times 9=\frac{18}{5}(cm)\)…（答）
(2)==算数の分数計算：★==\(\small\displaystyle\mathrm{AD=\frac{1}{2}AC=\frac{10}{20}AC}\)…(#1)
\(\small\displaystyle\mathrm{AG=\frac{3}{5}AC=\frac{12}{20}AC}\)…(#2)
\(\small\displaystyle\mathrm{AI=\frac{3}{4}AC=\frac{15}{20}AC}\)…(#3)
(#2)−(#1)\(\small\displaystyle\mathrm{DG=\frac{2}{20}AC}\)…(#4)
(#3)−(#2)\(\small\displaystyle\mathrm{GI=\frac{3}{20}AC}\)…(#5)
(#4),(#5)より\(\small\displaystyle\mathrm{DG:GI=2:3}\)…(答)
(3) ==三角形の面積比:★★==
（答案作成の方針）
• 「三角形の面積比」 右図のように，底辺の長さがa:bで高さが共通hである2つの三角形△ABDと△ADCの面積の比は a:b 次の図のような場合も，斜辺を底辺と考えれば，同様にして，2つの三角形△EFGと△HFGの面積の比は s:t \(\small\displaystyle\mathrm{\triangle AGH=\triangle AFH=\frac{3}{5}\triangle AFE}\)
\(\small\displaystyle\mathrm{\triangle GHI=\frac{\frac{3}{20}}{\frac{12}{20}}\triangle AGH}\)
\(\small\displaystyle\mathrm{=\frac{1}{4}\triangle AGH}\)
したがって\(\small\displaystyle\mathrm{\triangle GHI=\frac{1}{4}\times\frac{3}{5}\triangle AFE}\)
\(\small\displaystyle\mathrm{=\frac{3}{20}\triangle AFH}\)
\(\small\displaystyle\frac{3}{20}\)倍…(答)
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【問題9】
解答を見る右の図のような，∠ACB=90°の直角三角形ABCがあり，AB=10cm, BC=6cmである。点Dは辺AB上の点で，BD=3cmである。点Eは辺AC上の点で，CE=3cmである。点Dと点Eを結ぶ。 線分AD上に点Fを，四角形BCEDの面積と△BCFの面積が等しくなるようにとるとき，線分DFの長さは何cmか。 （2025年香川県公立高校入試問題）
==★★==
• ABCは直角三角形で，AB=10cm, BC=6cmだから，三平方の定理によりAC=8cm これにより，AE=5cm
• △ADEと△AFCについて，AE, ACを底辺と見なすと，高さの比は，斜辺の長さの比AD:AFに等しい• 面積が△ADE=△AFCとなるとき \(\small\mathrm{AE\times AD\times} k=\mathrm{AC\times AF\times} k\)
• AF=xとおくと\(\small 5\times 7\times k=8\times x\times k\)
\(\small x=\frac{35}{8}\)
\(\small\mathrm{DF}=7-\frac{35}{8}=\frac{21}{8}(cm)\)…（答）
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\(4\sqrt{2}cm\)
【問題10】右の図のように，AB=\(5\) cm, BC=\(\small 4\sqrt{2}\) cm, CA=\(7\) cmの三角形ABCがある。頂点B, Cからそれぞれ辺AC, ABに垂線をひき，交点をそれぞれD, Eとすると，4点B, C, D, Eは１つの円周上にある。また，線分BDと線分CEの交点を点Fとする。 このとき，次の各問いに答えなさい。 問１ 4点B, C, D, Eを通る円の半径を求めなさい。
問２ △BEF∽△CFDを証明しなさい。
問３ △BEFと△CFDの面積比を求めなさい。
ただし，面積比は最も簡単な整数の比にしなさい。 （2026沖縄県公立高校入試問題）
問１ ==基本★==
∠BEC=∠BDCだから，「円周角の定理の逆」により，4点B, C, D, Eは同一円周上にある。 さらに，∠BEC=∠BDC=90°だから，BCは直径。したがって，半径は\(\small 2\sqrt{2}(cm)\)…(答)
\(4\sqrt{2}cm\)
問２△BEFと△CFDについて ∠BEF=∠CDF (=90°)
∠BFE=∠CFD (対頂角)
2組の角がそれぞれ等しいから，△BEF∽△CFD…(証明終)問３
（答案作成の方針）
相似比BE:CDを求めて，それを2乗することにする右図のように三角形の3辺の長さが与えられているときに，高さ\(h\)を求めたいとき ×× \(x\)と\(h\)を未知数とすると，2次-2次連立方程式になってしまう(解き方が学習指導要領の範囲を逸脱しているというお決まりの問責を受ける可能性あり)
\(\small \left\{\begin{array}{ll}x^2+h^2=3^2 \\ (5-x)^2+h^2=4^2\end{array}\right. \)
〇〇 \(h\)を書かずに\(x\)だけの2次方程式のふりをした答案で書く［このなりすましが定石らしい］
\(\small 3^2-x^2=4^2- (5-x)^2 \)
⇒ \(x\) が求まれば，次に\(h=\sqrt{3^2-x^2}\) が求まるから，中学校の範囲で解けたことになる
• \(\mathrm{BE}=x\) とおくと \(\small (4\sqrt{2})^2-x^2=7^2-(5-x)^2\)
\(\small 32-x^2=49-25+10x-x^2\)
\(\small 10x=8\)
\(\small\displaystyle x=\frac{4}{5}\)
• \(\mathrm{CD}=y\) とおくと\(\small (4\sqrt{2})^2-y^2=5^2-(7-y)^2\)
\(\small 32-y^2=25-49+14y-y^2\)
\(\small 14x=56\)
\(\small x=4\)
以上により\(\small\displaystyle\mathrm{BE:CD}=\frac{4}{5}:4=4:20=1:5 \)
△BEF:△CFD=1:25…(答)
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【問題11】
解答を見る右の図で，△ABCは∠ABC=90°の直角二等辺三角形であり，△BDCは∠BDC=90°の直角三角形である。また，点Eは，辺DCを延長した直線上の点で，BD=CEである。 次の(1)，(2)の問いに答えなさい。 (1) △ABD≡△BCEであることを証明しなさい。
(2) AB=5cm, BD=3cmのとき，
(ア) △BDCの面積を求めなさい。
(イ) △ACEの面積を求めなさい。
（2025年岐阜県公立高校入試問題）
(1) ==基本★==
△ABDと△BCEについて • AB=BC (=5cm) • BD=CE (=3cm) • ∠ABD=∠ABC+∠CBD =90°+∠CBD ∠BCE=∠BDC+∠CBD （外角の和） =90°+∠CBD 以上により，2つの三角形について，２辺とその間の角がそれぞれ等しいから，△ABD≡△BCE…（証明終） (2) ==三平方の定理:基本★== △BDCは，∠D=90°の直角三角形だから \(\small\mathrm{BD^2+DC^2=CB^2}\)
\(\small\mathrm{3^2+DC^2=5^2}\)
\(\small\mathrm{DC^2}=16\)
\(\small\mathrm{DC}=4\)
\(\small\mathrm{\triangle BDC}=4\times 3\div 2=6(cm^2)\)…（答）
(3) ■三角形の面積比■ ==計算長い★★==
（答案作成の方針）
• 「三角形の面積比」 2つの三角形△BCDと△ADCは，底辺DCが共通だから，面積比は高さの比になる 次に，2つの三角形△ADCと△ACEは，底辺の比がDC:CEで高さが共通だから，面積比は底辺の比になる △ACEと△BCDの面積比から△ACEの面積が求まる
\(\frac{15}{4}\)
• △BCDと△ADCの高さの比を求めるCDの延長とABの延長が交わる点をFとおく
△BCD∽△FCBだから
CD:DB=CB:BF
4:3=5:BF
\(\small\mathrm{BF}=\frac{15}{4}\)
△BCDと△ADCの高さの比は
\(\small\frac{15}{4}:(5+\frac{15}{4})=\frac{15}{4}:\frac{35}{4}=3:7\)…(#)
\(\small\triangle\mathrm{ADC=\frac{7}{3}\triangle BCD}=14\)
△ACEと△BCDの面積比は，3:4だから
\(\small\triangle\mathrm{ACE=\frac{3}{4}\triangle BCD}=\frac{3}{4}\times14=\frac{21}{2}(cm^2)\)…（答）
(#)の段階で，7が，高さそのものになってる事に気が付けば，△ACE=3×7÷2の形で直接計算してもよい．
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【問題12】
解答を見る右の図で，4点A, B, C, Dは，円周上にあり，2つの線分ACとBDの交点をEとします。 このとき，線分DEの長さを求めなさい。 （2026年岩手県公立高校入試問題）
==基本★==
（答案作成の方針）
右図において，• 中学校数学の教科書には，「方べきの定理」という用語は書かれていないので，この定理を覚えて使うことは求められていない。 • ただし，相似図形の性質として簡単に証明できるので，証明して使える能力は必要（参考書には書かれている） • 「方べきの定理」を暗記していなくてもよいが，何かの定理があることは頭の隅に置いておくとよい。 • 弧\(\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{BC}}\) に対する円周角は等しいから ∠BAC=∠BDC
• 弧\(\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{DA}}\) に対する円周角は等しいから∠DBA=∠DCA
以上から，2つの三角形△ABEと△DCEについて，対応する2つの角がそれぞれ等しいから△ABE∽△DCE
したがってEA:EB=ED:EC
この関係式を積の形に書いたものは「方べき（EA·EC=EB·ED
4×8=3×ED
\(\displaystyle \small\mathrm{ED}=\frac{32}{3}(cm)\)…（答）
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【参考：方べきの定理】
(2) 図2のように，点Pが円Oの外部にあるとき(1) 図1のように，点Pが円Oの内部にあるとき △PAC∽△PDBだから
a:c=d:bが成り立つ ab=cd
4個の変数のうち1個は，他の3個の値で定まる．
\(\displaystyle d=\frac{ab}{c}\)
△PAD∽△PCBだから
a:c=d:bが成り立つ ab=cd
4個の変数のうち1個は，他の3個の値で定まる．
\(\displaystyle d=\frac{ab}{c}\)
(3) 図3のように，点Pが円Oの外部にあって，PCが接線であるとき
接弦定理により，∠PCB=∠CABが成り立つから
△PCB∽△PABにより a:c=c:bが成り立つ \(ab=c^2\)
3個の変数のうち1個は，他の2個の値で定まる．
\(\displaystyle b=\frac{c^2}{a}\)
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\(\sqrt{6}cm\)
\(\)
【問題13】図1～図3のように，AC=\(\small 2\sqrt{3}\) cm, ∠ACB=90°の直角三角形ABCがある。また，点Oを中心とし辺ACを直径とする半円がある。半円と辺ABは交わり，その交点をDとする。 このとき，次の問いに答えなさい。 問1 図2のように，BC=\(\small \sqrt{6}\) cmとする。このとき，次の(1)，(2)に答えよ。
(1) △ABC∽△ACDであることを証明せよ。
(2) 線分ADの長さは何cmか。
問2 (略)
（2025年長崎県公立高校入試問題）
\(\sqrt{6}cm\)
\(2\sqrt{3}\)
\(3\sqrt{2}\)
(1) ==基本★==• △ABCと△ACDについて ∠ACB=∠ADC (=90°)
∠BAC=∠CAD （共通）
以上により，2つの三角形について，2組の角がそれぞれ等しいから，△ABC∽△ACD…(証明終)(2) ==基本★== • △ABCについて，∠ACB=90°だから，三平方の定理により \(\small\mathrm{AB^2=BC^2+CA^2}=18\)
\(\small\mathrm{AB}=3\sqrt{2}\)
• (1)の結果から，△ABC∽△ACDだから\(\small\mathrm{AD:AC=AC:AB}\)
\(\small\mathrm{AD:}2\sqrt{3}=2\sqrt{3}:3\sqrt{2}\)
\(\small\displaystyle\mathrm{AD}=\frac{12}{3\sqrt{2}}=2\sqrt{2}(cm)\)…(答)
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【問題14】
解答を見る右の図のように，AC<BCの△ABEがあり，線分BC上にCA=CDとなる点Dをとり，線分ADをひく。点Dを通り，線分BAに平行な直線と線分ACの交点をEとする。3点A, B, Dを通る円Oと線分ACをAの方に延長した直線の交点をFとし，線分FDをひく。線分FDと線分ABの交点をGとする。 このとき，あとの各問いに答えなさい。 ただし，点Fは点Aと異なる点とする。 (1) △FCD∽△DCEであることを証明しなさい。
(2) AC=12cm, BC=18cm, △ABCの面積が \(54cm^2\) であるとき，次の各問いに答えなさい。
① 線分FAと線分AEの長さの比を，最も簡単な整数の比で表しなさい。
② △AGDの面積を求めなさい。
（2026年三重県公立高校入試問題）
■方べきの定理，三角形の面積比 ■
（答案作成の方針）
• 「方べきの定理」 中学校の教科書では，方べきの定理を覚えなさいとは言わないが，相似図形の応用として，簡単に証明して使えるようにしておくことが大切 点Pが円外の1点であるときの「方べきの定理」は，右図において， PA·PB=PC·PD が成り立つことを言う．
この定理は，右図において，△PAD∽△PCBとなることによって示される．
すなわち∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBCから、相似が言える (1) △FCDと△DCEについて ∠CFD=∠ABD（弧\(\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{AD}}\) に対する円周角）
=∠EDC（同位角）
∠DCAは共通
以上により，2組の角がそれぞれ等しいから，△FCD∽△DCE…（証明終）(2)
（答案作成の方針）
• 「三角形の面積比」 右図のように，底辺の長さがa:bで高さが共通hである2つの三角形△ABDと△ADCの面積の比は a:b 次の図のような場合も，斜辺を底辺と考えれば，同様にして，2つの三角形△EFGと△HFGの面積の比は s:t ① （赤字は，問題文に記載されている線分の長さ） 方べきの定理により CD·CB=CA·CFだから
12×18=12×CF
CF=18
AF=6
BA∥DEだから
AE:EC=BD:DC=6:12=1:2
AE=4, EC=8
以上から，FA:AE=6:4=3:2…（答）
②△ABCの面積が \(54cm^2\) で，BD=6, DC=12だから △ABD=18, △ADC=36
AE=4, EC=8だから△ADE=12, △EDC=24
△FGA∽△FDEだからGA:DE=6:10=3:5
2つの三角形△AGDと△ADEとは，高さが共通で底辺の比がGA:DE=3:5だから
面積の比は3:5
したがって△AGD=\(\small\displaystyle\frac{3}{5}\)△ADE
\(\small\displaystyle=\frac{3}{5}\times 12=\frac{36}{5}(cm^2)\)…（答）
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【問題15】
解答を見る下の図3のように，3点A, B, Cを通る円と，線分ADを延長した直線との点A以外の交点をPとする。 (1) △ACP∽△CPDであることを証明しなさい。
(2) AB=7cm, BC=6cm, CA=5cmであるとき，線分APの長さを求めよ。
（2026年愛媛県公立高校入試問題）
(1) ==基本★==
• 弧\(\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{BP}}\) に対する円周角は等しいから ∠BAP=∠BCP
したがって∠CAP=∠DCP
• ∠CPA=∠DCP（共通）以上により，△ACPと△CPDは，2組の角がそれぞれ等しいから，△ACP∽△CPD…（証明終）
\(\frac{7}{2}\)
\(\frac{5}{2}\)
\(x\)
(2) ==★★★==• 角の二等分線に関する定理から， BD:DC=BA:AC=7:5
\(\small\displaystyle\mathrm{BD}=6\times\frac{7}{12}=\frac{7}{2}\)
\(\small\displaystyle\mathrm{DC}=6\times\frac{5}{12}=\frac{5}{2}\)
• (1)の結果から，△ACP∽△CPDだからPA:AC=PC:CD
\(\small\mathrm{AP}=x\) とおくと\(\small\displaystyle x:5=\mathrm{PC}:\frac{5}{2}\)
\(\small\displaystyle \mathrm{PC}=\frac{x}{2}\)
\(\small\displaystyle \mathrm{AP:PC}=x:\frac{x}{2}\)
\(\small\displaystyle \mathrm{PC:PD}=\frac{x}{2}:\frac{x}{4}\)
△ABDと△CDPについて∠BAD=∠PCD(弧\(\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{BP}}\) に対する円周角)
∠ABD=∠CPD(弧\(\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{AC}}\) に対する円周角)
したがって，2組の角がそれぞれ等しいから，△ABP∽△CPDこれにより，次の比例関係が成り立つ BD:DA=PD:DC
\(\small\displaystyle \frac{7}{2}:\frac{3x}{4}=\frac{x}{4}:\frac{5}{2}\)
\(\small\displaystyle \frac{3x^2}{16}=\frac{35}{4}\)
\(\small\displaystyle x^2=\frac{140}{3}\)
\(\small\displaystyle x=\sqrt{\frac{140}{3}}=\frac{2\sqrt{105}}{3}(cm)\)…（答）
（別解）
中学校の教科書では，「方べきの定理」の実質的な内容は書かれていることが多いが，「方べきの定理」という用語は使われていない。そこで，高校入試の場面で，「黙って方べきの定理を使うと」幾分か減点される可能性がある。これを防ぐためには，「方べきの定理」によりと書けばよい。
\(\small\mathrm{AP}=x\) とおくと\(\small\displaystyle x:5=\mathrm{PC}:\frac{5}{2}\)
\(\small\displaystyle \mathrm{PC}=\frac{x}{2}\)
\(\small\displaystyle \mathrm{AP:PC}=x:\frac{x}{2}\)
\(\small\displaystyle \mathrm{PC:PD}=\frac{x}{2}:\frac{x}{4}\)
\(\small\displaystyle \mathrm{PD}=\frac{x}{4}\)
「方べきの定理」により，DA·DP=CB·DC\(\small\displaystyle \frac{x}{4}\times\frac{3x}{4}=\frac{7}{2}\times\frac{5}{2}\)
（以下の記述は上記と同じ）
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【問題16】
解答を見る右の図のように，四角形ABCDがある。AB=6cm, BC=4cm, ∠A=60°, ∠B=∠D=90°のとき，辺CDの長さを求めなさい。 （2026年秋田県公立高校入試問題）
■辺の比が決まっている三角形 ■
==60°の使い方で勝敗が決まる:♪～裏技アリ～♪ ★★★==
（答案作成の方針）
次のような特別な角度の三角形（その複合体）では，辺の長さの比が決まっているので，1つの辺の長さが分かれば，残りの辺の長さも決まる
\(1\)
\(2\)
\(\sqrt{3}\)
\(1\)
\(1\)
\(\sqrt{2}\)
\(1\)
\(2\)
\(\sqrt{3}\)
\(\sqrt{3}\)
\(\sqrt{6}\)
\(1\)
\(1\)
\(\sqrt{2}\)
\(\sqrt{3}\)
\(2\)
\(6\)
\(4\)
\(x\)
\(6\sqrt{3}\)
\(6\sqrt{3}\!-\!4\)
（解答）辺ADと辺BCの延長が交わる点をEとおくと，幾つかの辺の長さは，右図のようになる \(\small \mathrm{AB}=6\) だから \(\small \mathrm{BE}=6\sqrt{3}\)
したがって \(\small \mathrm{CE}=6\sqrt{3}-4\)
\(\small \mathrm{CD}=x\) とおくと
\(\small\displaystyle 2x=6\sqrt{3}-4\)
\(\small\displaystyle x=3\sqrt{3}-2(cm)\)…（答）
\(6\)
\(4\sqrt{3}\)
\(4\)
\(x\)
\(8\)
\(3\!+\!2\sqrt{3}\)
\(\sqrt{3}(3\!+\!2\sqrt{3})\)
（別解）辺ABと辺DCの延長が交わる点をFとおくと，幾つかの辺の長さは，右図のようになる \(\small \mathrm{BC}=4\) だから \(\small \mathrm{BF}=4\sqrt{3}\)
\(\small \mathrm{CF}=8\)
\(\small \mathrm{AB}=6+4\sqrt{3}=2(3+2\sqrt{3})\)
\(\small \mathrm{AD}=3+2\sqrt{3}\)
\(\small \mathrm{DF}=\sqrt{3}(3+2\sqrt{3})\)
\(\small \mathrm{CD}=x\) とおくと
\(\small x+8=\sqrt{3}(3+2\sqrt{3})=3\sqrt{3}+6\)
\(\small x=3\sqrt{3}-2(cm)\)…（答）
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【問題17】
解答を見る図3のように，線分BCを半径とし，中心角が90°であるおうぎ形CBGがあり，\(\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{AB}}\) 上に点Hを，CH⊥ABとなるようにとる。 BC=5cmのとき，四角形AHBGの面積を求めなさい。なお，途中の計算も書くこと。 （2026年石川県公立高校入試問題）
■辺の比が決まっている三角形■
\(\frac{5}{2}\)
• 線分ABと線分CHの交点を線分Kとすると∠CAK=60°
∠AKC=90°
∠KCA=30°
したがって\(\small\mathrm{AK:AC:KC}=1:2:\sqrt{3}\)
\(\small\displaystyle=\frac{5}{2}:5:\frac{5}{2}\sqrt{3}=\frac{25}{4}\)
• 四角形AHCの面積=\(\mathrm{HC\times AK\div 2}=5\times \frac{5}{2}\div 2\) • 四角形AHBGの面積 =五角形AHBCGの面積−三角形BCGの面積 \(\small\displaystyle=3\times\frac{25}{4}-5\times 5\div 2=\frac{25}{4}(cm^2)\)…(答) |
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【類題2】
解答を見る右の図のように，四角形ABCDがある。AB=\(\small 5\sqrt{2}\) cm, BC=\(\small2\sqrt{2}\) cm, ∠A=45°, ∠B=∠D=90°のとき，辺CDの長さを求めなさい。 （生成ＡＩ作成）
■辺の比が決まっている三角形 ■
==45°に当てはまる三角形を考える:♪～裏技アリ～♪ ★★★==
（答案作成の方針）
特別な角度の三角形では，辺の長さの比が決まっているので，1つの辺の長さが分かれば，残りの辺の長さも決まる
\(5\sqrt{2}\)
\(2\sqrt{2}\)
\(3\sqrt{2}\)
\(x\)
（解答）辺ADと辺BCの延長が交わる点をEとおくと，幾つかの辺の長さは，右図のようになる \(\small \mathrm{AB}=5\sqrt{2}\) だから \(\small \mathrm{BE}=5\sqrt{2}\)
\(\small \mathrm{BC}=2\sqrt{2}\) だから \(\small \mathrm{CE}=3\sqrt{2}\)
\(\small \mathrm{CD}=x\) とおくと
\(\small\displaystyle \sqrt{2}x=3\sqrt{2}\)
\(\small\displaystyle x=3(cm)\)…（答）
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【類題3】
解答を見る右の図のように，四角形ABCDがある。AB=\(\small 2\sqrt{2}\) cm, BC=\(\small \sqrt{6}\) cm, ∠A=75°, ∠B=60°, ∠D=90°のとき，辺ADの長さを求めなさい。 （筆者試作）
■辺の比が決まっている三角形 ■
==75°に当てはまる三角形を考える: ==★★★==
\(2\sqrt{2}\)
\(\sqrt{6}\)
\(2\sqrt{3}\)
\(\sqrt{2}\)
（解答）辺ADと辺BCの延長が交わる点をEとおくと，幾つかの辺の長さは，右図のようになる（前述の図3の各辺を\(\small\sqrt{2}\)倍すると各辺の長さは\(\small 2\sqrt{2},\sqrt{2}+\sqrt{6},2\sqrt{3}\)になる） \(\small \mathrm{AB}=2\sqrt{2}\)\)
\(\small \mathrm{BC}=\sqrt{2}+\sqrt{6}\) だから \(\small \mathrm{CE}=\sqrt{2}\)
\(\small\displaystyle \mathrm{AE}=2\sqrt{3},\mathrm{DE}=1\)
\(\small\displaystyle \mathrm{AD}=2\sqrt{3}-1(cm)\)…（答）
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