(1)
\(\displaystyle \angle \mathrm{CAD}=\frac{a^{\circ}}{2},\angle\mathrm{ADC}=90^{\circ}\) だから，
△ABCの頂点
Cにおける外角の大きさは
\(\displaystyle \frac{a^{\circ}}{2}+90^{\circ}\)…（答）
(2)
•
(AE=)EF=FB
•
CD=DB
だから，
CE∥DF
平行線の錯角は等しいから，
∠CGD=∠HDG…(#1)
問題の仮定により，
∠CDG=∠AHD(=90°)…(#2)
(#1)(#2)により，
△AHDと
△CDGとは，2組の角がそれぞれ等しいから，相似である…（証明終）
\(\sqrt{10}\)
\(\sqrt{10}\)
(3)
簡単な小問は，後の小問のヒントになっていることがある
①
•
△ADCについて，三平方の定理を使う
\(\mathrm{AD^2+DC^2=AC^2}\)
\(\mathrm{AD^2}+3^2=7^2\)
\(\mathrm{AD^2}=49-9=40\)
\(\mathrm{AD}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)
• (2)の結果から，
CE∥DFで，
AE=EFだから
\(\mathrm{AG}=\mathrm{GD}=\sqrt{10}\)
\(\mathrm{GC}^2=3^2+(\sqrt{10})^2=19\)
\(\mathrm{GC}=\sqrt{19}\)…（答）
②
《目標とする考え方》
1. △AHD∽△CDGだから，相似比の2乗を使うと，△CDGの面積から△AHDの面積が求まる
2. HD:HFの比率を使うと，△AHDの面積から△AHFの面積が求まる
3. AF:FB=3:2だから，△AHFの面積から△AHBの面積が求まる
•
△CDGの面積は
\(\displaystyle\frac{3\sqrt{10}}{2}\)
•
△CGDについて，三平方の定理を使うと
\(\displaystyle \mathrm{CG}^2=3^2+(\sqrt{10})^2=19\)
\(\displaystyle \mathrm{CG}=\sqrt{19}\)
1.
△AHDと
△CDGの相似比は，\(2\sqrt{10}:\sqrt{19}\)だから，面積比は\(40:19\)
△AHDの面積は
\(\displaystyle\triangle\mathrm{AHD}=\frac{3\sqrt{10}}{2}\times\frac{40}{19}=\frac{60}{19}\sqrt{10}\)
△AHD∽△CDGだから，
AD:DH=CG:GD
\(2\sqrt{10}:\mathrm{DH}=\sqrt{19}:\sqrt{10}\)
考え方が複雑で，計算量も多い！大変な問題！
∃ ∀ ∅
\(\displaystyle\mathrm{DH}=\frac{20}{\sqrt{19}}=\frac{20}{19}\sqrt{19}\)
CE∥DFだから
FD:EG=2:1
FD:EC=1:2=2:4
したがって
FD:GC=1:3
\(\displaystyle\mathrm{FD}=\frac{2}{3}\mathrm{GC}=\frac{2}{3}\sqrt{19}\)
\(\displaystyle\mathrm{HF=HD-FD}=\frac{20}{19}\sqrt{19}-\frac{2}{3}\sqrt{19}\)
\(\displaystyle =\frac{60-38}{3\times 19}\sqrt{19}=\frac{22}{3\times 19}\sqrt{19}\)
2.
\(\displaystyle \mathrm{\frac{HF}{HD}}=\frac{22\sqrt{19}}{3\times 19}\times\frac{\sqrt{19}}{20}=\frac{11}{30}\)
△AHFの面積は
\(\displaystyle \triangle\mathrm{AHF}=\frac{60}{19}\sqrt{10}\times\frac{11}{30}=\frac{22}{19}\sqrt{10}\)
3.
AF:FB=3:2だから，
△AHBの面積は
\(\displaystyle \triangle\mathrm{AHB}=\frac{22}{19}\sqrt{10}\times\frac{3}{2}=\frac{33}{19}\sqrt{10}\)…（答）
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