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== 受験の基本(計算問題・小問セット) == 【分数計算】
(1.1) 次の計算をしなさい
解答を見る\(\small\displaystyle -\frac{5}{6}\times\left(-\frac{9}{10}\right)\)
（2026年沖縄県）
\(\small\displaystyle -\frac{5}{6}\times\left(-\frac{9}{10}\right)=-\frac{\cancel{5}}{\underset{2}{\bcancel{6}}}\times\left(-\frac{\overset{3}{\bcancel{9}}}{\underset{2}{\cancel{10}}}\right)\)
\(\small\displaystyle =\frac{3}{4}\) …(答)
(1.2) \(\small\displaystyle \frac{3}{4}\times\left(-\frac{2}{9}\right)\) を計算しなさい。
解答を見る（2026年宮崎県）
\(\small\displaystyle \frac{3}{4}\times\left(-\frac{2}{9}\right)=\frac{\cancel{3}}{\underset{2}{\bcancel{4}}}\times\left(-\frac{\bcancel{2}}{\underset{3}{\cancel{9}}}\right)\)
\(\small\displaystyle =-\frac{1}{6}\) …(答)
(2.1) \(\small\displaystyle \frac{7}{8}\div \frac{3}{4}-\frac{1}{3}\) を計算しなさい。
（2026年鹿児島県）
\(\small\displaystyle \frac{7}{8}\div \frac{3}{4}-\frac{1}{3}=\frac{7}{\underset{2}{\cancel{8}}}\times \frac{\cancel{4}}{3}-\frac{1}{3}\)
\(\small\displaystyle =\frac{7}{6}-\frac{2}{6}=\frac{5}{6}\) …(答)
(2.2) \(\small\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{5}{2}\div \left(-\frac{9}{4}\right)\) を計算しなさい。
（2025年山形県）
\(\small\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{5}{2}\div \left(-\frac{9}{4}\right)=\frac{2}{3}+\frac{5}{\cancel{2}}\times \left(-\frac{\overset{2}{\cancel{4}}}{9}\right)\)
\(\small\displaystyle =\frac{6}{9}-\frac{10}{9}=-\frac{4}{9}\) …(答)
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【文字式の計算】
(1.1) 次の計算をしなさい
解答を見る\(\small\displaystyle 5a^3\div 4b^2\times 8ab^3\)
（2026年沖縄県）
\(\small\displaystyle 5a^3\div 4b^2\times 8ab^3=\frac{5a^3\times \overset{2}{\cancel{8}}a\overset{b}{\bcancel{b^3}}}{\cancel{4}\bcancel{b^2}}\)
\(\small\displaystyle =10a^3b\) …(答)
(1.2)
解答を見る\(\small\displaystyle 8x^4y^3\div 2x^3y^2\times (-3x^2)\)
（2026年大分県）
\(\small\displaystyle 8x^4y^3\div 2x^3y^2\times (-3x^2)=\frac{\overset{4}{\cancel{8}}\overset{x}{\xcancel{x^4}}\overset{y}{\bcancel{y^3}}\times (-3x^2)}{\cancel{2}\xcancel{x^3}\bcancel{y^2}}\)
\(\small\displaystyle =-12x^3y\) …(答)
(1.3)
解答を見る\(\small\displaystyle (2ab)^2\times (-9a)\div 6ab^2\)
（2026年熊本県）
\(\small\displaystyle (2ab)^2\times (-9a)\div 6ab^2=\frac{\overset{2}{\cancel{4}}a^2\xcancel{b^2}\times(-\overset{3}{\cancel{9}}\bcancel{a})}{\cancel{6}\bcancel{a}\xcancel{b^2}}\)
\(\small\displaystyle =-6a^2\) …(答)
(1.4)
解答を見る\(\small\displaystyle (-2x)^2\div 8x^2y\times (-6xy^2)\)
（2026年山形県）
\(\small\displaystyle (-2x)^2\div 8x^2y\times (-6xy^2)=\frac{\cancel{4}\xcancel{x^2}\times (-\overset{3}{\cancel{6}}x\overset{y}{\bcancel{y^2}})}{\cancel{8}\xcancel{x^2}\bcancel{y}}\)
\(\small\displaystyle =-3xy\) …(答)
(2.1)
解答を見る\(\small\displaystyle \frac{2x+y}{3}+\frac{x-3y}{4}\)
（2026年大分県）
\(\small\displaystyle \frac{2x+y}{3}+\frac{x-3y}{4}=\frac{4(2x+y)+3(x-3y)}{12}\)
\(\small\displaystyle =\frac{8x+4y+3x-9y}{12}=\frac{11x-5y}{12}\) …(答)
(2.2)
解答を見る\(\small\displaystyle \frac{4x-2y}{5}-\frac{x-y}{3}\)
（2026年石川県）
\(\small\displaystyle \frac{4x-2y}{5}-\frac{x-y}{3}=\frac{3(4x-2y)-5(x-y)}{15}\)
\(\small\displaystyle =\frac{12x-6y-5x+5y}{15}=\frac{7x-y}{15}\) …(答)
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【根号計算】
次の計算をしなさい
解答を見る（2026年青森県）
(1) \( (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2\)
\( (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2-2\sqrt{3}\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2\)
\(=3-2\sqrt{6}+2=5-2\sqrt{6}\) …(答)
（2026年岩手県）
(2) \( (\sqrt{5}+1)^2\)（2026年埼玉県）
(3) \(\small \displaystyle \frac{15}{\sqrt{5}}-\sqrt{20}\)
\(\small \displaystyle \frac{15}{\sqrt{5}}-\sqrt{20}\)
\(\small \displaystyle =\frac{15\sqrt{5}}{5}-2\sqrt{5}\)
\(\small \displaystyle =3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\sqrt{5}\) …(答)
（2026年鳥取県）
(4) \(\small \displaystyle \sqrt{50}-\frac{6}{\sqrt{2}}\)
\(\small \displaystyle \sqrt{50}-\frac{6}{\sqrt{2}}\)
\(\small \displaystyle =5\sqrt{2}-\frac{6\sqrt{2}}{2}\)
\(\small \displaystyle =5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}\) …(答)
(5) \(\small x=\sqrt{3}+2\) のとき，\(\small x^2+3x-10\) の値を求めよ。
解答を見る（2026年香川県）
\(\small (\sqrt{3}+2)^2+3(\sqrt{3}+2)-10\)
\(\small\displaystyle =3+4\sqrt{3}+4+3\sqrt{3}+6-10\)
\(\small\displaystyle =7\sqrt{3}+3\) …(答)
(6) \(\small \displaystyle (2+\sqrt{6})(2-\sqrt{6})+\frac{\sqrt{27}-6}{\sqrt{3}}\) を計算しなさい。
解答を見る（2026年大阪府C）
\(\small \displaystyle (2+\sqrt{6})(2-\sqrt{6})+\frac{\sqrt{27}-6}{\sqrt{3}}\)
\(\small\displaystyle =2^2-(\sqrt{6})^2+\frac{(3\sqrt{3}-6)\sqrt{3}}{3}\)
\(\small\displaystyle =4-6+(\sqrt{3}-2)\sqrt{3}\)
\(\small\displaystyle =-2+3-2\sqrt{3}=1-2\sqrt{3}\) …(答)
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【式の変形】
(1) 等式 \(\small\displaystyle a=\frac{3b-c}{4}\) を \(b\) について解きなさい。
解答を見る（2026年島根県）
(2) 等式 \(\small\displaystyle S=\frac{1}{2}(a+b)h\) を \(b\) について解きなさい。
解答を見る（2026年鳥取県）
\(\small 2S=(a+b)h\)
\(\small\displaystyle \frac{2S}{h}=a+b\)
\(\small\displaystyle b=\frac{2S}{h}-a\) …(答)
(3) 次の等式を［ ］内の文字について解きなさい。
解答を見る \(\small\displaystyle a=\frac{1}{2}(x+y)\hspace{10px}[\hspace{3px}y\hspace{3px}]\)
（2025年滋賀県）
(4) 等式 \(\small\displaystyle 3(4x-y)=6\)を \(y\) について解け。
解答を見る（2021年香川県）
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【因数分解】
(1.1) \(\small x^2-2x-35\) を因数分解せよ。
解答を見る（2026年鳥取県）
\(\small x^2+Ax+B\) の形の2次式の因数分解では，
積が\(-35\)となる2数は，\(\{5,-7\}\)，\(\{-5, 7\}\)などの組がある．① 最初に，積が \(B\) となる2つの数 \(a,b\)を考える \(ab=B\)
② その組み合わせの中で，和が \(\small A\) となる組 \(\small a+b=A\)を見つければ\(\small x^2+Ax+B=(x+a)(x+b)\)
の形に因数分解できる．
これらの中で，和が \(-2\)となるのは，\(\{5,-7\}\)の組 \(\small x^2-2x-35=(x+5)(x-7)\) …(答)
(1.2) \(\small x^2-5x+6\) を因数分解せよ。
解答を見る（2026年三重県）
\(\small x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) …(答)
(1.3) \(\small x^2-9y^2\) を因数分解しなさい。
解答を見る（2026年佐賀県）
\(\small x^2-9y^2=x^2-(3y)^2=(x+3y)(x-3y)\) …(答)
(1.4) \(\small 36x^2-25\) を因数分解しなさい。
解答を見る（2026年山口県）
\(\small 36x^2-25=(6x)^2-5^2=(6x+5)(6x-5)\) …(答)
(2.1) \(\small x(x-2)-2(3x-8)\) を因数分解せよ。
解答を見る（2026年香川県）
(2.2) \(\small (a-b)x+(a-b)y\) を因数分解せよ。
解答を見る（2025年福井県）
(2.3) \(\small a(x-y)-bx+by\) を因数分解しなさい。
解答を見る（2024年鹿児島県）
\(\small a(x-y)-bx+by=a(x-y)-b(x-y)\)
\(x-y=A\) とおく\(\small =aA-bA=(a-b)A\)
\(A\) を元に戻す\(\small =(a-b)(x-y)\) …(答)
(2.4) \(\small x(y-5)-10+2y\) を因数分解せよ。
解答を見る（2026年京都府）
\(\small x(y-5)-10+2y=x(y-5)+2(y-5)\)
\(y-5=A\) とおく\(\small =xA+2A=(x+2)A\)
\(A\) を元に戻す\(\small =(x+2)(y-5)\) …(答)
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【2次方程式】
(1.1) 次の二次方程式を解きなさい。
解答を見る\(\small (x+2)^2=13\)
（2024年和歌山県）
\(\small x^2=a\hspace{3px}(a\geqq 0)\)
\(\small \Longrightarrow x=\pm\sqrt{a}\)
\(\small (x+a)^2=b\hspace{3px}(b\geqq 0)\)\(\small \Longrightarrow x+a=\pm\sqrt{b}\)
\(\small x+2=\pm\sqrt{13}\)
\(\small x=-2\pm\sqrt{13}\) …(答)
(1.2) 二次方程式\(\small (x-2)^2=25\) を解きなさい。
解答を見る（2023年富山県）
(2.1) 二次方程式 \(\small x^2-5x-24=0\) を解きなさい。
解答を見る（2026年大分県）
(2.2) 方程式 \(\small x^2-5x-36=0\) を解きなさい。
解答を見る（2026年宮崎県）
(2.3) 方程式 \(\small x^2=9x\) を解きなさい。
解答を見る（2026年秋田県）
※ 両辺を \(x\) で割って，\(x=9\) とする答案は，よくある間違いですから，この落とし穴にはまらないように!!
因数分解によって解きます\(x=0\) を忘れてはいけない!! \(\small x^2-9x=0\)
\(\small x(x-9)=0\)
\(\small x=0, 9\) …(答)
(2.4) 方程式 \(\small 9x^2=5x\) を解きなさい。
解答を見る（2023年宮崎県）
(3.1) 二次方程式 \(\small 5x^2+3x-1=0\) を解きなさい。
解答を見る（2026年熊本県）
■2次方程式の解の公式■ ==基本★==
《解の公式》
解の公式により2次方程式 \(\small ax^2+bx+c=\hspace{5px}(a\ne 0)\) の解は \(\small \displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) \(\small \displaystyle x=\frac{-3\pm\sqrt{9+20}}{10}\) \(\small \displaystyle =\frac{-3\pm\sqrt{29}}{10}\)…(答)
(3.2) 次の方程式を解きなさい。
解答を見る\(\small (x+5)^2=3(x+7)\) （2026年高知県）
(3.2)
いったん展開して，係数を整理します \(\small x^2+10x+25=3x+21\)
\(\small x^2+7x+4=0\)
解の公式により\(\small \displaystyle x=\frac{-7\pm\sqrt{49-16}}{2}\)
\(\small \displaystyle =\frac{-7\pm\sqrt{33}}{2}\) …(答)
(3.3) 2次方程式 \(\small (2x-3)(x+4)=x-2\) を解きなさい。解き方も書くこと。
（2026年山形県）
(3.3)
展開整理
いったん展開して，係数を整理します→解の公式 →約分 落とし穴がてんこ盛り!! ∃♥♪∀♣♫♬ \(\small 2x^2+8x-3x-12=x-2\)
\(\small 2x^2+4x-10=0\)
\(\small x^2+2x-5=0\)
解の公式により\(\small \displaystyle x=\frac{-2\pm\sqrt{44+20}}{2}\)
\(\small \displaystyle =\frac{-2\pm\sqrt{24}}{2}\)
\(\small \displaystyle =\frac{-2\pm 2\sqrt{6}}{2}\)
\(\small \displaystyle =-1\pm \sqrt{6}\) …(答)
(3.4) 方程式 \(\small x(x+4)=-3(x+1)\) の解として正しいものを，次のアからエまでの中から一つ選びなさい。
ア \(\small\displaystyle x=\frac{-7\pm\sqrt{37}}{2}\) イ \(\small\displaystyle x=\frac{-7\pm\sqrt{61}}{2}\) ウ \(\small\displaystyle x=\frac{7\pm\sqrt{61}}{2}\) エ \(\small\displaystyle x=\frac{7\pm\sqrt{37}}{2}\) （2025年愛知県）
展開して係数を整理してから，解の公式を使います
\(\small\displaystyle x^2+4x=-3x-3\)
\(\small\displaystyle x^2+7x+3=0\)
\(\small\displaystyle x=\frac{-7\pm\sqrt{7^2-12}}{2}\)
\(\small \displaystyle =\frac{-7\pm\sqrt{37}}{2}\) → ア…(答)
(4.1) 二次方程式 \(\small (x-7)^2-4(x-7)=0\) を解きなさい。
（2024年大阪府C）
(別解)
\(x-7=X\) とおく展開して係数を整理してから，因数分解を行う \(\small x^2-14x+49-4x+28=0\) \(\small x^2-18x+77=0\) \(\small (x-7)(x-11)=0\) \(\small x=7,11\) …(答) \(\small\displaystyle X^2-4X=0\)
\(\small\displaystyle X(X-4)=0\)
\(\small\displaystyle X=0, 4\)
\(X\) を元に戻す\(\small\displaystyle x-7=0, 4\)
\(\small\displaystyle x=7, 11\) …(答)
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【連立方程式】
1.1 連立方程式 \(\small\left\{\begin{array}{ll}2x+y=4 \\ 3x-2y=13\end{array}\right.\) を解きなさい。
解答を見る（2026年宮城県）
■加減法の解き方■ ==基本★==
加減法では，各式の係数を何倍かして，どちらかの文字の係数をそろえてから，足すか引く操作によって，1つの文字を消去します。
\(\small\left\{\begin{array}{ll}2x+y=4 \cdots (1) \\ 3x-2y=13 \cdots (2) \end{array}\right.\)この問題では，(1)×3−(2)×3によって，\(x\)を消去する方法もあります。 (1)×2+(2) \(\small 4x+2y=8\)
\(\small +)\hspace{4px}3x-2y=13\)
\(\small 7x\hspace{32px}=21\)
\(\small x\hspace{32px}=3\)
(1)に代入\(\small 6+y=4\)
\(\small y=-2\)
以上から，\(\small x=3,y=-2\) …(答)
1.2 連立方程式 \(\small\left\{\begin{array}{ll}-7x+2y=-10 \\ 8x-3y=5\end{array}\right.\) を解きなさい。
解答を見る（2026年埼玉県）
\(\small\left\{\begin{array}{ll}-7x+2y=-10 \cdots (1) \\ 8x-3y=5 \cdots (2)\end{array}\right.\)
(1)×3+(2)×2 \(\small -21x+6y=-30\)
\(\small +)\hspace{12px}16x-6y=10\)
\(\small -5x\hspace{32px}=-20\)
\(\small x\hspace{32px}=4\)
(1)に代入\(\small -28+2y=-10\)
\(\small y=9\)
以上から，\(\small x=4,y=9\) …(答)
1.3 次の連立方程式を解きなさい。
解答を見る\(\small\left\{\begin{array}{ll}4x+5y=15 \\ 0.3x+0.5y=1\end{array}\right.\) （2026年高知県）
係数に小数や分数が使われているときは，両辺を何倍かして，整数係数に直してから解きます
\(\small\left\{\begin{array}{ll}4x+5y=15 \cdots (1) \\ 0.3x+0.5y=1 \cdots (2) \end{array}\right.\)(2)の両辺を10倍する \(\small\left\{\begin{array}{ll}4x+5y=15 \cdots (1) \\ 3x+5y=10 \cdots (2') \end{array}\right.\) (1)−(2') \(\small x=5\)
(1)に代入\(\small 20+5y=15\)
\(\small 5y=-5\)
\(\small y=-1\)
以上から，\(\small x=5,y=-1\) …(答)
1.4 連立方程式 \(\small \displaystyle \left\{\begin{array}{ll}\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{2}y=4 \\ 5x-3y=18\end{array}\right.\) を解きなさい。
解答を見る（2025年富山県）
係数に小数や分数が使われているときは，両辺を何倍かして，整数係数に直してから解きます
\(\small \displaystyle \left\{\begin{array}{ll}\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{2}y=4 \cdots (1) \\ 5x-3y=18 \cdots (2) \end{array}\right.\)(1)の両辺を6倍する \(\small\left\{\begin{array}{ll}2x+3y=24 \cdots (1') \\ 5x-3y=18 \cdots (2) \end{array}\right.\) (1')+(2) \(\small 7x=42\)
\(\small x=6\)
(2)に代入\(\small 30-3y=18\)
\(\small 3y=12\)
\(\small y=4\)
以上から，\(\small x=6,y=4\) …(答)
2.1 連立方程式 \(\small\left\{\begin{array}{ll}2x-5y=8 \\ y=3x+1\end{array}\right.\) を解きなさい。
解答を見る（2026年秋田県）
■代入法の解き方■ ==基本★==
代入法では，一方の式が \(y=...\) などの形をしているときに，1つの文字を他方の式に代入することにより，1つの文字を消去して解きます。
\(\small\left\{\begin{array}{ll}2x-5y=8 \cdots (1) \\ y=3x+1 \cdots (2)\end{array}\right.\)(2)を(1)に代入 \(\small 2x-5(3x+1)=8\)
\(\small 2x-15x-5=8\)
\(\small 13x=-13\)
\(\small x=-1\)
(2)に代入\(\small y=-2\)
以上から， \(x=-1,y=-2\) …(答)
2.2 連立方程式 \(\small\left\{\begin{array}{ll}8x-5y=-3 \\ y=2x-1\end{array}\right.\) を解け。
解答を見る（2025年東京都）
\(\small\left\{\begin{array}{ll}8x-5y=-3 \cdots (1) \\ y=2x-1 \cdots (2)\end{array}\right.\)
(2)を(1)に代入 \(\small 8x-5(2x-1)=-3\)
\(\small 8x-10x+5=-3\)
\(\small 2x=8\)
\(\small x=4\)
(2)に代入\(\small y=8-1=7\)
以上から， \(x=4,y=7\) …(答) |