== 文字式の表し方.入試問題 ==
〇中学校1年生の数学の教科書の初めの方に「文字と式」という単元があって,文字を使った式の表し方を習います.
いくつかの教科書で確かめたところ,必ずしも次のように明確には述べられていないことですが,このページでは次のように用語の使い方を決めます.
演算 | 結果 |
足し算(加法) a+b | 和 a+b |
引き算(減法) a−b | 差 a−b |
掛け算(乗法) a×b | 積 ab |
割り算(除法) a÷b | 商
\( \displaystyle \frac{a}{b} \) |
【要点】
(1) 積 \( \displaystyle ab \)や商
\( \displaystyle \frac{a}{b} \)が 「割り算の後にあるとき」に,元の掛け算
\( \displaystyle a\times b \)や割り算
\( \displaystyle a\div b \)に戻してはいけない.
【例1】
\( \displaystyle 3\times 4=12 \)であるが
\( \displaystyle 2\div 3\times 4=\frac{2}{3}\times 4=\frac{8}{3} \)…(1.1)
\( \displaystyle 2\div 12=\frac{2}{12}=\frac{1}{6} \)…(1.2)
このように(1.1)と(1.2)は違う.
(1.1)のように書くと,初めに \( \displaystyle 2\div 3 \)を行い,その結果に
\( \displaystyle 4 \)を掛けるという意味になります. (*)
つまり, \( \displaystyle 3 \)は
\( \displaystyle 4 \)よりも先に
\( \displaystyle 2 \)との間で演算を行います.
次のようにかっこで囲むと,(1.1)の結果は(1.2)の結果と等しくなります.
\( \displaystyle 2\div (3\times 4)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6} \)…(1.1')
つまり, \( \displaystyle 4 \)として
\( \displaystyle 3 \)に逃げられないようにするには(人間関係を連想しそうな,何と通俗的な表現!),かっこで囲んでおけばよい. (**)
【例2】
\( \displaystyle a\times b=ab \)であるが
\( \displaystyle c\div a\times b=\frac{c}{a}\times b=\frac{bc}{a} \)…(2.1)
\( \displaystyle c\div ab=\frac{c}{ab} \)…(2.2)
このように(2.1)と(2.2)は違う.
(2.1)のように書くと,初めに \( \displaystyle c\div a \)を行い,その結果に
\( \displaystyle b \)を掛けるという意味になります.
つまり, \( \displaystyle a \)は
\( \displaystyle b \)よりも先に
\( \displaystyle c \)との間で演算を行います.
次のようにかっこで囲むと,(2.1)の結果は(2.2)の結果と等しくなります.
\( \displaystyle c\div (a\times b)=\frac{c}{a\times b}=\frac{c}{ab} \)…(2.1')
つまり, \( \displaystyle b \)として
\( \displaystyle a \)に逃げられないようにするには,かっこで囲んでおけばよい.
【例3】
\( \displaystyle x=a\times b \)のとき
\( \displaystyle c\div x \)
は \( \displaystyle c\div a\times b \)
にはならない…(3.1)
\( \displaystyle c\div x \)は
\( \displaystyle c\div ab=\frac{c}{ab} \)
になる…(3.2)
このように(3.1)と(3.2)は違う.
次のようにかっこで囲むと,(3.1)の結果は(3.2)の結果と等しくなる
\( \displaystyle c\div x=c\div (a\times b)=\frac{c}{ab} \)
…(3.1')
(*)と (**)は同様
【例4】
\( \displaystyle 3\div 4=\frac{3}{4} \)
であるが
\( \displaystyle 2\div 3\div 4=\frac{2}{3}\div 4=\frac{2}{12}=\frac{1}{6} \)
…(4.1)
\( \displaystyle 2\div \frac{3}{4}=2\times \frac{4}{3}=\frac{8}{3} \)
…(4.2)
このように(4.1)と(4.2)は違う.
次のようにかっこで囲むと,(4.1)の結果は(4.2)の結果と等しくなる
\( \displaystyle 2\div (3\div 4)=2\div \frac{3}{4}=2\times\frac{4}{3}=\frac{8}{3} \)
…(4.1')
(*)と (**)は同様
【例5】
\( \displaystyle a\div b=\frac{a}{b} \)
であるが
\( \displaystyle c\div a\div b=\frac{c}{a}\div b=\frac{c}{ab} \)
…(5.1)
\( \displaystyle c\div \frac{a}{b}=c\times \frac{b}{a}=\frac{bc}{a} \)
…(4.2)
このように(5.1)と(5.2)は違う.
次のようにかっこで囲むと,(5.1)の結果は(5.2)の結果と等しくなる
\( \displaystyle c\div (a\div b)=c\div \frac{a}{b}=c\times\frac{b}{a}=\frac{bc}{a} \)
…(5.1')
(*)と (**)は同様
【例6】
\( \displaystyle x=a\div b \)のとき
\( \displaystyle c\div x \)
は
\( \displaystyle c\div a\div b \)
にはならない…(6.1)
\( \displaystyle c\div x \)は
\( \displaystyle c\div\frac{a}{b}=c\times\frac{b}{a}=\frac{bc}{a} \)
になる…(6.2)
このように(6.1)と(6.2)は違う.
次のようにかっこで囲むと,(6.1)の結果は(6.2)の結果と等しくなる
\( \displaystyle c\div x=c\div (a\div b)=c\div \frac{a}{b}=c\times \frac{b}{a}=\frac{bc}{a} \)
…(6.1')
(*)と (**)は同様
(2) 和 \( \displaystyle a+ b \)や差
\( \displaystyle a- b \)は,割り算だけでなく,掛け算,引き算の後にあるときでも,かっこを付けない限り意味が変わる.
【例7】
等しいか | かっこ無し | かっこ有り |
\( \displaystyle \circ \) | 2+3+4=9 | 2+(3+4)=9 |
\( \displaystyle \textcolor{red}{\times} \) | 2−3+4=3 | 2−(3+4)=−5 |
\( \displaystyle \textcolor{red}{\times} \) | 2×3+4=10 | 2×(3+4)=24 |
\( \displaystyle \textcolor{red}{\times} \) | \( \displaystyle 2\div 3+ 4=\frac{2}{3}+ 4=\frac{14}{3} \) | \( \displaystyle 2\div (3+ 4)=2\div 7=\frac{2}{7} \) |
【例8】
等しいか | かっこ無し | かっこ有り |
\( \displaystyle \circ \) | 2+3−4=1 | 2+(3−4)=1 |
\( \displaystyle \textcolor{red}{\times} \) | 2−3−4=−5 | 2−(3−4)=3 |
\( \displaystyle \textcolor{red}{\times} \) | 2×3−4=2 | 2×(3−4)=−2 |
\( \displaystyle \textcolor{red}{\times} \) | \( \displaystyle 2\div 3-4=\frac{2}{3}-4=-\frac{10}{3} \) | \( \displaystyle 2\div (3-4)=2\div (-1)=-2 \) |
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