【要点】
(1)　積\( \displaystyle ab \)や商 \( \displaystyle \frac{a}{b} \)が「割り算の後にあるとき」に，元の掛け算 \( \displaystyle a\times b \)や割り算 \( \displaystyle a\div b \)に戻してはいけない．

\( \displaystyle 3\times 4=12 \)であるが
\( \displaystyle 2\div 3\times 4=\frac{2}{3}\times 4=\frac{8}{3} \)…(1.1)
\( \displaystyle 2\div 12=\frac{2}{12}=\frac{1}{6} \)…(1.2)
このように(1.1)と(1.2)は違う．
(1.1)のように書くと，初めに\( \displaystyle 2\div 3 \)を行い，その結果に \( \displaystyle 4 \)を掛けるという意味になります．(*)
つまり，\( \displaystyle 3 \)は \( \displaystyle 4 \)よりも先に \( \displaystyle 2 \)との間で演算を行います．
次のようにかっこで囲むと，(1.1)の結果は(1.2)の結果と等しくなります．
\( \displaystyle 2\div (3\times 4)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6} \)…(1.1')
つまり，\( \displaystyle 4 \)として \( \displaystyle 3 \)に逃げられないようにするには（人間関係を連想しそうな，何と通俗的な表現！），かっこで囲んでおけばよい．(**)

\( \displaystyle a\times b=ab \)であるが
\( \displaystyle c\div a\times b=\frac{c}{a}\times b=\frac{bc}{a} \)…(2.1)
\( \displaystyle c\div ab=\frac{c}{ab} \)…(2.2)
このように(2.1)と(2.2)は違う．
(2.1)のように書くと，初めに\( \displaystyle c\div a \)を行い，その結果に \( \displaystyle b \)を掛けるという意味になります．
つまり，\( \displaystyle a \)は \( \displaystyle b \)よりも先に \( \displaystyle c \)との間で演算を行います．
次のようにかっこで囲むと，(2.1)の結果は(2.2)の結果と等しくなります．
\( \displaystyle c\div (a\times b)=\frac{c}{a\times b}=\frac{c}{ab} \)…(2.1')
つまり，\( \displaystyle b \)として \( \displaystyle a \)に逃げられないようにするには，かっこで囲んでおけばよい．

\( \displaystyle x=a\times b \)のとき
\( \displaystyle c\div x \) は\( \displaystyle c\div a\times b \) にはならない…(3.1)
\( \displaystyle c\div x \)は \( \displaystyle c\div ab=\frac{c}{ab} \) になる…(3.2)
このように(3.1)と(3.2)は違う．
次のようにかっこで囲むと，(3.1)の結果は(3.2)の結果と等しくなる
\( \displaystyle c\div x=c\div (a\times b)=\frac{c}{ab} \) …(3.1')
(*)と(**)は同様

\( \displaystyle 3\div 4=\frac{3}{4} \) であるが
\( \displaystyle 2\div 3\div 4=\frac{2}{3}\div 4=\frac{2}{12}=\frac{1}{6} \) …(4.1)
\( \displaystyle 2\div \frac{3}{4}=2\times \frac{4}{3}=\frac{8}{3} \) …(4.2)
このように(4.1)と(4.2)は違う．
次のようにかっこで囲むと，(4.1)の結果は(4.2)の結果と等しくなる
\( \displaystyle 2\div (3\div 4)=2\div \frac{3}{4}=2\times\frac{4}{3}=\frac{8}{3} \) …(4.1')
(*)と(**)は同様

\( \displaystyle a\div b=\frac{a}{b} \) であるが
\( \displaystyle c\div a\div b=\frac{c}{a}\div b=\frac{c}{ab} \) …(5.1)
\( \displaystyle c\div \frac{a}{b}=c\times \frac{b}{a}=\frac{bc}{a} \) …(4.2)
このように(5.1)と(5.2)は違う．
次のようにかっこで囲むと，(5.1)の結果は(5.2)の結果と等しくなる
\( \displaystyle c\div (a\div b)=c\div \frac{a}{b}=c\times\frac{b}{a}=\frac{bc}{a} \) …(5.1')
(*)と(**)は同様

\( \displaystyle x=a\div b \)のとき
\( \displaystyle c\div x \) は \( \displaystyle c\div a\div b \) にはならない…(6.1)
\( \displaystyle c\div x \)は \( \displaystyle c\div\frac{a}{b}=c\times\frac{b}{a}=\frac{bc}{a} \) になる…(6.2)
このように(6.1)と(6.2)は違う．
次のようにかっこで囲むと，(6.1)の結果は(6.2)の結果と等しくなる
\( \displaystyle c\div x=c\div (a\div b)=c\div \frac{a}{b}=c\times \frac{b}{a}=\frac{bc}{a} \) …(6.1')
(*)と(**)は同様

(2)　和\( \displaystyle a+ b \)や差 \( \displaystyle a- b \)は，割り算だけでなく，掛け算，引き算の後にあるときでも，かっこを付けない限り意味が変わる．

※以下に引用する高校入試問題で，元の問題は記述式の問題ですが，ｗｅｂ画面上で入力問題にすると操作性が悪いので，選択問題に書き換えています．

(1)
\( \displaystyle 8ab\div (-4b) \)

解説 やり直す

\( \displaystyle 4a \) \( \displaystyle -2a \) \( \displaystyle -2ab \) \( \displaystyle 4ab^2 \)

\( \displaystyle 8ab\div (-4b)=\frac{\overset{\boxed{-2a}}{\cancel{8a}}\cancel{b}}{\cancel{-4}\cancel{b}}=-2a \)…（答）
※約分した後に，残っているものを明示する方法を，各自で決めておくとよいでしょう．

(2)
\( \displaystyle 15xy\div\frac{5}{8}y \)

解説 やり直す

\( \displaystyle \frac{3}{8}x \) \( \displaystyle \frac{3}{8}xy^2 \) \( \displaystyle 24x \) \( \displaystyle 24xy^2 \)

\( \displaystyle \frac{5}{8}y=\frac{5y}{8} \)を１つの数として，割り算をします．
\( \displaystyle 15xy\div\frac{5}{8}y=15xy\div\frac{5y}{8}=\overset{\boxed{3x}}{\cancel{15xy}}\times\frac{\boxed{8}}{\cancel{5y}}=24x \)…（答）

(3)
\( \displaystyle \frac{10}{3}a^3b^2\div\frac{5}{9}a^2b^2 \)

解説 やり直す

\( \displaystyle 6a \) \( \displaystyle \frac{2}{3}a \) \( \displaystyle 6ab^4 \) \( \displaystyle \frac{2}{3}a^5b^4 \)

横に掛けてあることは，分子に掛けてあることと全く同じです．
\( \displaystyle \frac{10}{3}a^3b^2=\frac{10a^3b^2}{3} \)
\( \displaystyle \frac{5}{9}a^2b^2=\frac{5a^2b^2}{9} \)
（原式）＝ \( \displaystyle \frac{10a^3b^2}{3}\div\frac{5a^2b^2}{9}=\frac{\overset{\boxed{2a}}{\cancel{10a^3b^2}}}{\cancel{3}}\times\frac{\overset{\boxed{3}}{\cancel{9}}}{\cancel{5a^2b^2}}=6a \) …（答）

(4)
\( \displaystyle (-4ab)^2\div (-8a^2b) \)を計算しなさい。

解説 やり直す

\( \displaystyle 2b \) \( \displaystyle -2b \) \( \displaystyle \frac{2b}{a} \) \( \displaystyle -\frac{2b}{a} \)

初めの項の２乗を先に計算しておきます．
\( \displaystyle (-4ab)^2=(-4)^2a^2b^2=16a^2b^2 \)
（原式）＝\( \displaystyle 16a^2b^2\div(-8a^2b)=\frac{\overset{\boxed{-2b}}{\cancel{16a^2b^2}}}{\cancel{-8a^2b}} \)
\( \displaystyle =-2b \) …（答）

※元の問題は記述式の問題ですが，ｗｅｂ画面上で入力問題にすると操作性が悪いので，選択問題に書き換えています．

(1)
\( \displaystyle 2xy\times 3x^2\div \frac{12}{5}xy^2 \)を計算しなさい。

解説 やり直す

\( \displaystyle \frac{2y}{5x^2} \) \( \displaystyle \frac{2y^2}{5x} \) \( \displaystyle \frac{5y^2}{2x} \) \( \displaystyle \frac{5x^2}{2y} \)

\( \displaystyle 2xy\times 3x^2\div \frac{12}{5}xy^2=\cancel{2}\cancel{x}\cancel{y}\times \cancel{3}\boxed{x^2}\times\frac{\boxed{5}}{\underset{\boxed{2}}{\cancel{12}}\cancel{x}\underset{\boxed{y}}{\cancel{y^2}}} \)
\( \displaystyle =\frac{5x^2}{2y} \)…（答）

(2)
\( \displaystyle 4ab^2\times (-\frac{3a}{2})^2\div 3a^2b \)を計算しなさい。

解説 やり直す

\( \displaystyle ab \) \( \displaystyle ab^2 \) \( \displaystyle 3ab \) \( \displaystyle 3ab^2 \)

初めに第２項の２乗を計算しておきます
\( \displaystyle 4ab^2\times (-\frac{3a}{2})^2\div 3a^2b=4ab^2\times \frac{9a^2}{4}\div 3a^2b \)
\( \displaystyle =\cancel{4}\boxed{a}\overset{\boxed{b}}{\cancel{b^2}}\times \frac{\overset{\boxed{3}}{\cancel{9a^2}}}{\cancel{4}}\times\frac{1}{\cancel{3a^2}\cancel{b}}=3ab \) …（答）

(3)
\( \displaystyle 4ab^2\times (-3a)^2\div 2b^2 \)

解説 やり直す

\( \displaystyle -6a^2 \) \( \displaystyle 12a^2 \) \( \displaystyle 18a^3 \) \( \displaystyle 18a^3b^4 \)

初めに第２項の２乗を計算しておきます
\( \displaystyle 4ab^2\times (-3a)^2\div 2b^2=4ab^2\times 9a^2\div 2b^2 \)
\( \displaystyle =\overset{\boxed{2a}}{\cancel{4ab^2}}\times \boxed{9a^2}\times\frac{1}{\cancel{2b^2}}=18a^3 \) …（答）

(4)
\( \displaystyle \big(-\frac{1}{3}ab^2\big)^2\times (-2a^4b)\div\frac{1}{6}(a^2b)^3 \)を計算をしなさい。

解説 やり直す

\( \displaystyle \frac{4}{3}b^2 \) \( \displaystyle -\frac{4}{3}b^2 \) \( \displaystyle \frac{4}{3}a^3b^2 \) \( \displaystyle -\frac{4}{3}a^3b^2 \)

初めに第１項と第３項の累乗を計算しておきます．
\( \displaystyle \big(-\frac{1}{3}ab^2\big)^2\times (-2a^4b)\div\frac{1}{6}(a^2b)^3 \)
\( \displaystyle =\frac{a^2b^4}{9}\times (-2a^4b)\div\frac{a^6b^3}{6} \)
\( \displaystyle =\frac{\cancel{a^2}\overset{\boxed{b}}{\cancel{b^4}}}{\underset{\boxed{3}}{\cancel{9}}}\times (\boxed{-2}\cancel{a^4}\boxed{b}) \) \( \displaystyle \times\frac{\overset{\boxed{2}}{\cancel{6}}}{\cancel{a^6}\cancel{b^3}}=-\frac{4}{3}b^2 \) …（答）

(1)
\( \displaystyle (-2x)^2\div 6xy^2\times 3y^2 \)を計算しなさい。

解説 やり直す

\( \displaystyle 2x \) \( \displaystyle -x^2 \) \( \displaystyle 2x^3y^4 \) \( \displaystyle -x^3y^4 \)

初めに第１項の２乗を計算しておきます．
\( \displaystyle (-2x)^2\div 6xy^2\times 3y^2=4x^2\div 6xy^2\times 3y^2 \)
\( \displaystyle =\frac{\overset{\boxed{2}}{\cancel{4}}\overset{\boxed{x}}{\cancel{x^2}}\times \cancel{3}\cancel{y^2}}{\cancel{6}\cancel{x}\cancel{y^2}}=2x \) …（答）

(2)
\( \displaystyle 9a^2\div 3ab\times (-b) \)を計算しなさい。

解説 やり直す

\( \displaystyle 3a \) \( \displaystyle -3a \) \( \displaystyle \frac{3a}{b^2} \) \( \displaystyle -\frac{3a}{b^2} \)

\( \displaystyle 3ab \)は割り算だから分母に持って行き， \( \displaystyle (-b) \)は掛け算として分子に持って行きます．
（原式）\( \displaystyle =9a^2\div 3ab\times (-b)=\frac{\overset{\boxed{3a}}{\cancel{9a^2}}\times (\overset{\boxed{-1}}{\cancel{-b}})}{\cancel{3a}\cancel{b}} \)
\( \displaystyle =-3a \) …（答）

(3)
\( \displaystyle (2ab)^2\div 6a^2b\times 3a \)

解説 やり直す

\( \displaystyle b \) \( \displaystyle 2ab \) \( \displaystyle \frac{2b}{9a} \) \( \displaystyle \frac{b}{9a^2} \)

初めに第1項の2乗を計算しておきます．
\( \displaystyle (2ab)^2\div 6a^2b\times 3a=4a^2b^2\div 6a^2b\times 3a \) \( \displaystyle =\frac{\overset{\boxed{2}}{\cancel{4}}\cancel{a^2}\overset{\boxed{b}}{\cancel{b^2}}\times\cancel{3}\boxed{a}}{\cancel{6}\cancel{a^2}\cancel{b}}=2ab \) …（答）

(4)
\( \displaystyle 8a^2b\div (-3a)\times\frac{3}{4}ab \)

解説 やり直す

\( \displaystyle -\frac{32}{9} \) \( \displaystyle -\frac{32}{9}a^4 \) \( \displaystyle -2a^2b^2 \) \( \displaystyle -2a^4b^2 \)

第3項の\( \displaystyle ab \)を分子に入れて，分数にしておきます．
\( \displaystyle 8a^2b\div (-3a)\times\frac{3ab}{4}=\frac{\overset{\boxed{2}}{\cancel{8}}\boxed{a^2b}\times\cancel{3a}\boxed{b}}{\underset{\boxed{-1}}{\cancel{(-3a)}}\times\cancel{4}} \)
\( \displaystyle =-2a^2b^2 \) …（答）