文字式の表し方.高校入試問題

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== 文字式の表し方.入試問題 ==
〇中学校１年生の数学の教科書の初めの方に「文字と式」という単元があって，文字を使った式の表し方を習います．
　いくつかの教科書で確かめたところ，必ずしも次のように明確には述べられていないことですが，このページでは次のように用語の使い方を決めます．

演算	結果
足し算（加法） a+b	和 a+b
引き算（減法） a−b	差 a−b
掛け算（乗法） a×b	積 ab
割り算（除法） a÷b	商 $\frac{a}{b}$

【要点】
(1)　積 $ab$ や商 $\frac{a}{b}$ が「割り算の後にあるとき」に，元の掛け算 $a\times b$ や割り算 $a\div b$ に戻してはいけない．

【例１】

$3\times 4=12$ であるが
$2\div 3\times 4=\frac{2}{3}\times 4=\frac{8}{3}$ …(1.1)
$2\div 12=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$ …(1.2)
このように(1.1)と(1.2)は違う．
(1.1)のように書くと，初めに $2\div 3$ を行い，その結果に $4$ を掛けるという意味になります．(*)
つまり， $3$ は $4$ よりも先に $2$ との間で演算を行います．
次のようにかっこで囲むと，(1.1)の結果は(1.2)の結果と等しくなります．
$2\div (3\times 4)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$ …(1.1')
つまり， $4$ として $3$ に逃げられないようにするには（人間関係を連想しそうな，何と通俗的な表現！），かっこで囲んでおけばよい．(**)

【例２】

$a\times b=ab$ であるが
$c\div a\times b=\frac{c}{a}\times b=\frac{bc}{a}$ …(2.1)
$c\div ab=\frac{c}{ab}$ …(2.2)
このように(2.1)と(2.2)は違う．
(2.1)のように書くと，初めに $c\div a$ を行い，その結果に $b$ を掛けるという意味になります．
つまり， $a$ は $b$ よりも先に $c$ との間で演算を行います．
次のようにかっこで囲むと，(2.1)の結果は(2.2)の結果と等しくなります．
$c\div (a\times b)=\frac{c}{a\times b}=\frac{c}{ab}$ …(2.1')
つまり， $b$ として $a$ に逃げられないようにするには，かっこで囲んでおけばよい．

【例３】

$x=a\times b$ のとき
$c\div x$ は $c\div a\times b$ にはならない…(3.1)
$c\div x$ は $c\div ab=\frac{c}{ab}$ になる…(3.2)

このように(3.1)と(3.2)は違う．
次のようにかっこで囲むと，(3.1)の結果は(3.2)の結果と等しくなる
$c\div x=c\div (a\times b)=\frac{c}{ab}$ …(3.1')
(*)と(**)は同様

【例４】

$3\div 4=\frac{3}{4}$ であるが
$2\div 3\div 4=\frac{2}{3}\div 4=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$ …(4.1)
$2\div \frac{3}{4}=2\times \frac{4}{3}=\frac{8}{3}$ …(4.2)
このように(4.1)と(4.2)は違う．
次のようにかっこで囲むと，(4.1)の結果は(4.2)の結果と等しくなる
$2\div (3\div 4)=2\div \frac{3}{4}=2\times\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$ …(4.1')
(*)と(**)は同様

【例５】

$a\div b=\frac{a}{b}$ であるが
$c\div a\div b=\frac{c}{a}\div b=\frac{c}{ab}$ …(5.1)
$c\div \frac{a}{b}=c\times \frac{b}{a}=\frac{bc}{a}$ …(4.2)
このように(5.1)と(5.2)は違う．
次のようにかっこで囲むと，(5.1)の結果は(5.2)の結果と等しくなる
$c\div (a\div b)=c\div \frac{a}{b}=c\times\frac{b}{a}=\frac{bc}{a}$ …(5.1')
(*)と(**)は同様

【例６】

$x=a\div b$ のとき
$c\div x$ は $c\div a\div b$ にはならない…(6.1)
$c\div x$ は $c\div\frac{a}{b}=c\times\frac{b}{a}=\frac{bc}{a}$ になる…(6.2)

このように(6.1)と(6.2)は違う．
次のようにかっこで囲むと，(6.1)の結果は(6.2)の結果と等しくなる
$c\div x=c\div (a\div b)=c\div \frac{a}{b}=c\times \frac{b}{a}=\frac{bc}{a}$ …(6.1')
(*)と(**)は同様

(2)　和 $a+ b$ や差 $a-b$ は，割り算だけでなく，掛け算，引き算の後にあるときでも，かっこを付けない限り意味が変わる．

【例７】

	かっこ無し	かっこ有り
$\circ$	2+3+4=9	2+(3+4)=9
$\times$	2−3+4=3	2−(3+4)=−5
$\times$	2×3+4=10	2×(3+4)=24
$\times$	$2\div 3+ 4=\frac{2}{3}+ 4=\frac{14}{3}$	$2\div (3+ 4)=2\div 7=\frac{2}{7}$

【例８】

	かっこ無し	かっこ有り
$\circ$	2+3−4=1	2+(3−4)=1
$\times$	2−3−4=−5	2−(3−4)=3
$\times$	2×3−4=2	2×(3−4)=−2
$\times$	$2\div 3-4=\frac{2}{3}-4=-\frac{10}{3}$	$2\div (3-4)=2\div (-1)=-2$

※以下に引用する高校入試問題で，元の問題は記述式の問題ですが，ｗｅｂ画面上で入力問題にすると操作性が悪いので，選択問題に書き換えています．

【問題１】　次の計算をしなさい．（画面上で解答するには，選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
$8ab\div (-4b)$

（岡山県2015年入試問題）

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$4a$ $-2a$ $-2ab$ $4ab^2$

$8ab\div (-4b)=\frac{\overset{\fbox{-2a}}{\cancel{8a}}\cancel{b}}{\cancel{-4}\cancel{b}}=-2a$ …（答）

※約分した後に，残っているものを明示する方法を，各自で決めておくとよいでしょう．

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(2)
$15xy\div\frac{5}{8}y$

（岐阜県2015年入試問題）

解説やり直す

$\frac{3}{8}x$ $\frac{3}{8}xy^2$ $24x$ $24xy^2$

$\frac{5}{8}y=\frac{5y}{8}$ を１つの数として，割り算をします．
$15xy\div\frac{5}{8}y=15xy\div\frac{5y}{8}=\overset{\fbox{3x}}{\cancel{15xy}}\times\frac{\fbox{8}}{\cancel{5y}}=24x$ …（答）

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(3)
$\frac{10}{3}a^3b^2\div\frac{5}{9}a^2b^2$

（石川県2015年入試問題）

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$6a$ $\frac{2}{3}a$ $6ab^4$ $\frac{2}{3}a^5b^4$

横に掛けてあることは，分子に掛けてあることと全く同じです．
$\frac{10}{3}a^3b^2=\frac{10a^3b^2}{3}$
$\frac{5}{9}a^2b^2=\frac{5a^2b^2}{9}$
（原式）＝ $\frac{10a^3b^2}{3}\div\frac{5a^2b^2}{9}=\frac{\overset{\fbox{2a}}{\cancel{10a^3b^2}}}{\cancel{3}}\times\frac{\overset{\fbox{3}}{\cancel{9}}}{\cancel{5a^2b^2}}=6a$ …（答）

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(4)
$(-4ab)^2\div (-8a^2b)$ を計算しなさい。

（新潟県2017年入試問題）

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$2b$ $-2b$ $\frac{2b}{a}$ $-\frac{2b}{a}$

初めの項の２乗を先に計算しておきます．
$(-4ab)^2=(-4)^2a^2b^2=16a^2b^2$
（原式）＝ $16a^2b^2\div(-8a^2b)=\frac{\overset{\fbox{-2b}}{\cancel{16a^2b^2}}}{\cancel{-8a^2b}}$
$=-2b$ …（答）

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※元の問題は記述式の問題ですが，ｗｅｂ画面上で入力問題にすると操作性が悪いので，選択問題に書き換えています．

【問題２】

(1)
$2xy\times 3x^2\div \frac{12}{5}xy^2$ を計算しなさい。

（富山県2017年入試問題）

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$\frac{2y}{5x^2}$ $\frac{2y^2}{5x}$ $\frac{5y^2}{2x}$ $\frac{5x^2}{2y}$

$2xy\times 3x^2\div \frac{12}{5}xy^2=\cancel{2}\cancel{x}\cancel{y}\times \cancel{3}\fbox{x^2}\times\frac{\fbox{5}}{\underset{\fbox{2}}{\cancel{12}}\cancel{x}\underset{\fbox{y}}{\cancel{y^2}}}$
$=\frac{5x^2}{2y}$ …（答）

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(2)
$4ab^2\times (-\frac{3a}{2})^2\div 3a^2b$ を計算しなさい。

（大阪府Ｂ 2017年入試問題）

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$ab$ $ab^2$ $3ab$ $3ab^2$

初めに第２項の２乗を計算しておきます
$4ab^2\times (-\frac{3a}{2})^2\div 3a^2b=4ab^2\times \frac{9a^2}{4}\div 3a^2b$
$=\cancel{4}\fbox{a}\overset{\fbox{b}}{\cancel{b^2}}\times \frac{\overset{\fbox{3}}{\cancel{9a^2}}}{\cancel{4}}\times\frac{1}{\cancel{3a^2}\cancel{b}}=3ab$ …（答）

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(3)
$4ab^2\times (-3a)^2\div 2b^2$

（青森県2017年入試問題）

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$-6a^2$ $12a^2$ $18a^3$ $18a^3b^4$

初めに第２項の２乗を計算しておきます
$4ab^2\times (-3a)^2\div 2b^2=4ab^2\times 9a^2\div 2b^2$
$=\overset{\fbox{2a}}{\cancel{4ab^2}}\times \fbox{9a^2}\times\frac{1}{\cancel{2b^2}}=18a^3$ …（答）

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(4)
$\big(-\frac{1}{3}ab^2\big)^2\times (-2a^4b)\div\frac{1}{6}(a^2b)^3$ を計算をしなさい。

（大阪府Ｃ 2017年入試問題）

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$\frac{4}{3}b^2$ $-\frac{4}{3}b^2$ $\frac{4}{3}a^3b^2$ $-\frac{4}{3}a^3b^2$

初めに第１項と第３項の累乗を計算しておきます．
$\big(-\frac{1}{3}ab^2\big)^2\times (-2a^4b)\div\frac{1}{6}(a^2b)^3$
$=\frac{a^2b^4}{9}\times (-2a^4b)\div\frac{a^6b^3}{6}$
$=\frac{\cancel{a^2}\overset{\fbox{b}}{\cancel{b^4}}}{\underset{\fbox{3}}{\cancel{9}}}\times (\fbox{-2}\cancel{a^4}\fbox{b})$ $\times\frac{\overset{\fbox{2}}{\cancel{6}}}{\cancel{a^6}\cancel{b^3}}=-\frac{4}{3}b^2$ …（答）

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【問題３】

(1)
$(-2x)^2\div 6xy^2\times 3y^2$ を計算しなさい。

（山形県2017年入試問題）

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$2x$ $-x^2$ $2x^3y^4$ $-x^3y^4$

初めに第１項の２乗を計算しておきます．
$(-2x)^2\div 6xy^2\times 3y^2=4x^2\div 6xy^2\times 3y^2$
$=\frac{\overset{\fbox{2}}{\cancel{4}}\overset{\fbox{x}}{\cancel{x^2}}\times \cancel{3}\cancel{y^2}}{\cancel{6}\cancel{x}\cancel{y^2}}=2x$ …（答）

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(2)
$9a^2\div 3ab\times (-b)$ を計算しなさい。

（埼玉県2017年入試問題）

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$3a$ $-3a$ $\frac{3a}{b^2}$ $-\frac{3a}{b^2}$

$3ab$ は割り算として分母に持って行き， $(-b)$ は掛け算として分子に持って行きます．

$A\div B\times C$ のとき，演算の $\div$ は $B$ までだけに効き， $C$ には届きません．
$A\div B\times C=\frac{AC}{B}$

（原式） $=9a^2\div 3ab\times (-b)=\frac{\overset{\fbox{3a}}{\cancel{9a^2}}\times (\overset{\fbox{-1}}{\cancel{-b}})}{\cancel{3a}\cancel{b}}$
$=-3a$ …（答）

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(3)
$(2ab)^2\div 6a^2b\times 3a$

（奈良県2017年入試問題）

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$b$ $2ab$ $\frac{2b}{9a}$ $\frac{b}{9a^2}$

初めに第1項の2乗を計算しておきます．
$(2ab)^2\div 6a^2b\times 3a=4a^2b^2\div 6a^2b\times 3a$ $=\frac{\overset{\fbox{2}}{\cancel{4}}\cancel{a^2}\overset{\fbox{b}}{\cancel{b^2}}\times\cancel{3}\fbox{a}}{\cancel{6}\cancel{a^2\cancel{b}}}=2ab$ …（答）

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(4)
$8a^2b\div (-3a)\times\frac{3}{4}ab$

（福井県2017年入試問題）

解説やり直す

$-\frac{32}{9}$ $-\frac{32}{9}a^4$ $-2a^2b^2$ $-2a^4b^2$

第3項の $ab$ を分子に入れて，分数にしておきます．
$8a^2b\div (-3a)\times\frac{3ab}{4}=\frac{\overset{\fbox{2}}{\cancel{8}}\fbox{a^2b}\times\cancel{3a}\fbox{b}}{\underset{\fbox{-1}}{\cancel{(-3a)}}\times\cancel{4}}$
$=-2a^2b^2$ …（答）

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