扇形の面積

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== 扇形の面積 ==
■　解説

　○　円の面積Ｓを半径ｒを用いて表わすと，
$S=\pi r^2$

です。（πは円周率：π=3.141592...←無限に長い小数になるからギリシャ文字πで表すことになっている）

　○　半円の面積は，円の面積の半分だから
$S=\frac{\pi r^2}{2}$

　○　３分の１円の面積は，円の面積の3分の１だから
$S=\frac{\pi r^2}{3}$

　○　４分の１円の面積は，円の面積の４分の１だから
$S=\frac{\pi r^2}{4}$

　○　一般に中心角 $x^{\circ}$ $ \displaystyle x^{\circ} $の扇形の面積は，円の面積のx/360だから
$S=\pi r^2\times \frac{x}{360}$

■　例題1
半径がa(cm²)で中心角が45°の扇形の面積S(cm²)は

■　例題2
右図のように半径a(cm)の円とこれにに外接する正方形（1辺の長さは2a(cm)）で囲まれた斜線部の面積は

　　正方形の面積が4a²
　　円の面積がπa²
だから
　　

■問題１　次の面積を求めなさい．１　直径8の円の上半分の面積直径が8だから半径は4．半円だから円の面積の半分：42π÷2=8π π 採点するやり直す解説	２　半径 6 ，中心角が120°の扇形の面積 120°だから円（360°）の３分の1 62π÷3=12π π 採点するやり直す解説
３　半径 10 ，中心角が90°の扇形の面積円の面積の4分の1だから，102π÷4=25π π 採点するやり直す解説	４　下の図の灰色で示した図形の面積扇形の面積は円の4分の1で25π，これから三角形の面積 10×10÷2=50 を引く π- 採点するやり直す解説

■問題２　次の各問について正しいものを選びなさい。１　半径5(cm)の円と半径10(cm)の同心円で囲まれた部分の面積(cm²) [ヒント] $10^2\pi-5^2\pi=100\pi-25\pi=75\pi$ 5π　5π² 　25π 　25π²　75π　75π²	２　　１辺の長さがa(cm)の正方形ＡＢＣＤがあるとき，Ｂを中心とする半径a(cm)の円とDを中心とする半径a(cm)の円の共通部分の面積(cm²) [ヒント] $\frac{\pi a^2}{4}+\frac{\pi a^2}{4}-a^2=\frac{\pi a^2}{2}-a^2$
３　次の図のように半径10(cm)の円の中に半径5(cm)の円が２つ接しているとき，斜線部の面積(cm²) [ヒント] 図のように小さい円の半分を回転させると，凸の部分がちょうど凹の部分に重なるから，大きい円の面積の半分を求めるとよい $\frac{10^2\pi}{2}=50\pi$ 25π　25π²　50π 　50π²　75π　75π²	（む） ※　次の問題は中学一年生ではできませんが，中学卒業までにはできるように。BDの長さは４　次の図のように，１辺の長さがa(cm)の正方形ＡＢＣＤを頂点Ｂを中心として45°回転したとき，辺ＢＡ，ＡＤが通過する部分の面積(cm²) [ヒント] 黄色で示した直角二等辺三角形は回転して重なる．そこで問題に示された灰色の図形の代わりに，右図の灰色の図形と黄色の図形の面積の和を求める．それは，半径が $BD=\sqrt{2}a$ $ \displaystyle BD=\sqrt{2}a $の円のうちで中心角が45°（360°の8分の1）の扇形になるから $\pi(\sqrt{2}a)^2\div 8=\frac{\pi a^2}{4}$
（む） ※　次の問題は中学一年生ではできませんが，中学卒業までにはできるように。BDの長さは５　次の図のように，１辺の長さがa(cm)の正方形ＡＢＣＤを頂点Ｂを中心として45°回転したとき，辺ＡＤが通過する部分の面積(cm²) [ヒント] 　上の問題４の結果（問題の図は上の左側）から，次の図の黄色で示した図形の面積を引くとよい．問題4の結果は $\frac{\pi a^2}{4}$ $ \displaystyle \frac{\pi a^2}{4} $，黄色で示した図形は半径ａの円のうちの中心角が45°（360°の8分の1）の部分： $\frac{\pi a^2}{8}$ $ \displaystyle \frac{\pi a^2}{8} $ $\frac{\pi a^2}{4}-\frac{\pi a^2}{8}=\frac{\pi a^2}{8}$

扇形の高校入試問題（面積）

【問題1.1】
　右の図のように，半径3cm，中心角120°のおうぎ形OABがあります。このおうぎ形の面積を求めなさい。
　ただし，円周率は $\pi$ を用いなさい。

（北海道2015年）

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円全体の面積は $3^2\pi=9\pi$ (cm²)だから
中心角が120°のおうぎ形の面積は
$S=\frac{\overset{1}{\sout{120}}}{\underset{3}{\sout{360}}}\times 9\pi=3\pi$ (cm²)…（答）

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【問題1.2】
　右の図のような，半径2cm，中心角135°のおうぎ形がある。このおうぎ形の面積を求めなさい。

（岡山県2015年）

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円全体の面積は $2^2\pi=4\pi$ (cm²)だから
中心角が135°のおうぎ形の面積は
$S=\frac{\overset{3}{\sout{135}}}{\underset{8}{\sout{360}}}\times 4\pi=\frac{3}{2}\pi$ (cm²)…（答）

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【問題1.3】
　右の図のように，半径4cm，弧の長さ $7\pi$ cmのおうぎ形があります。このおうぎ形の面積を求めなさい。

（埼玉県2016年）

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円全体の面積は $4^2\pi=16\pi$ (cm²)
円周全体の長さは $L=2\pi r=8\pi$
弧の長さが $l=7\pi$
おうぎ形の面積は，中心角に比例するから，弧の長さにも比例する
$S=\frac{7\pi}{8\pi}\times 16\pi=14\pi$ (cm²)…（答）

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※この図がパックマン風になっているのは，受験生の緊張をほぐすためのサービスかもしれない．しかし，ゲームを連想して「油断してしまう」ためでなく，「中心角が180°より大きい」「中心角が書いてなくて弧の長さが書いてある」ために，問題が難しくなっていると考えられる

** 中３の三平方の定理を習ってからやる問題 **

【問題1.4】
　右の図で，六角形ABCDEFは，１辺の長さが2cmの正六角形である。この六角形の対角線DBを半径とし，∠BDFを中心角とするおうぎ形DBFの面積を求めなさい。ただし，円周率を $\pi$ とする。

（秋田県2015年）

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おうぎ形DBFの中心角∠BDFは60°

BD=DF=FBだから△BDFは正三角形になり，∠BDFはその内角だから60°

おうぎ形の半径DFは，三平方の定理で求める

右図により $BF=2\sqrt{3}$

おうぎ形DBFの面積は

$S=(2\sqrt{3})^2\pi\times\frac{60}{360}=2\pi$ (cm²)…（答）

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扇形の高校入試問題（弧の長さ）

【問題2.1】
　右の図のような，半径が9cm，中心角が60°のおうぎ形OABがある。このおうぎ形の弧の長さを求めなさい。ただし，円周率は $\pi$ とする。

（栃木県2015年）

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半径 $r$ の円の円周の長さは $2\pi r$
この円でおうぎ形の弧の長さ $L$ は，中心角 $\theta$ に比例するから
$2\pi r\hspace{3}:\hspace{3}L=360\hspace{3}:\hspace{3}\theta$
$360L=2\pi r\theta$
$L=2\pi r\times\frac{\theta}{360}$
したがって
$L=18\pi\times\frac{60}{360}=3\pi$ (cm)…（答）

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【問題2.2】

　右の図のような，半径が3cm，中心角が60°のおうぎ形OABがある。このおうぎ形の弧の長さを求めなさい。ただし，円周率は $\pi$ とする。

（岩手県2017年）

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半径3(cm)の円の円周の長さは $6\pi$ (cm)
中心角60°のおうぎ形の弧の長さは
$6\pi\times\frac{60}{360}=\pi$ (cm)…（答）

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扇形の高校入試問題（中心角を求める）

【問題3.1】

　右の図は，半径が4cm，弧の長さが $\frac{6}{5}\pi$ cmのおうぎ形である。∠ $x$ の大きさは何度か。ただし， $\pi$ は円周率とする。

（鹿児島県2015年）

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半径 $r$ の円の円周の長さは $2\pi r$
この円でおうぎ形の弧の長さ $L$ は，中心角 $x$ に比例するから
$2\pi r\hspace{3}:\hspace{3}L=360\hspace{3}:\hspace{3}\theta$
$360L=2\pi rx$
したがって
$360\times\frac{6}{5}\pi=2\pi\times 4x$
$432\pi=8\pi x$
$x=\frac{432\pi}{8\pi}=54$ (°)…（答）

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** 中学2年の円周角の定理を習ってから **

【問題3.2】

　右の図のように，半径が10cmの円Oの周上に，3点A，B，Cを∠ABC=36°となるようにとります。このとき，太い線で示した $\overset{\frown}{\rm AC}$ の長さを求めなさい。
　ただし，円周率を $\pi$ とします。

（宮城県2015年）

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　中学2年で習う「円周角の定理」により，中心角は円周角の2倍です．したがって，∠ABC=36°のとき∠AOC=72°です．
　半径10(cm)の円の円周の長さは
$2\pi\times 10=20\pi$ (cm)
　この円で中心角72°のおうぎ形の弧の長さは
$20\pi\times\frac{72}{360}=4\pi$ (cm)…（答）

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扇形の高校入試問題（円錐の展開図）

【問題4.1】

　右の図は円錐すいの展開図であり，側面のおうぎ形の中心角は120°で，底面の円の半径は4㎝である。
　このとき，側面のおうぎ形の半径を求めなさい。

（和歌山県2016年）

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右図の赤で示した線の長さ，すなわち底面の円周の長さと側面のおうぎ形の弧の長さは等しい．
底面の円周の長さは $8\pi$ (cm)
側面のおうぎ形の半径の長さを $R$ とおくと，弧の長さは中心角に比例するから
$2\pi R\times\frac{120}{360}=\frac{2}{3}\pi R$
これらが等しいから
$\frac{2}{3}\pi R=8\pi$
$R=12$ (cm)…（答）

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【問題4.2】

　右の図は，円錐すいの展開図であり，側面となるおうぎ形は，中心角が135°で面積が $24\pi$ ㎝²である。この円錐の底面となる円の半径の長さを求めなさい。ただし，円周率を $\pi$ とする。

（秋田県2016年）

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おうぎ形の半径を $R$ ，面積を $S$ ，弧の長さを $L$ とおく．また,底面の半径を $r$ とおく．
$S=\pi R^2\times\frac{135}{360}=\frac{3}{8}\pi R^2$
これが $24\pi$ に等しいから
$\frac{3}{8}\pi R^2=24\pi$
$R^2=64$
$R=8\hspace{10}(\gt 0)$
このとき，おうぎ形の弧の長さ $L$ および底面の円周の長さは，次の関係を満たす
$L=2\pi\times R\times\frac{3}{8}=2\pi\times r$
$2\pi\times 8\times\frac{3}{8}=2\pi\times r$
$6\pi=2\pi\times r$
$r=3$ (cm)…（答）

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【問題4.3】

　右の図は，底面の半径が6cm，母線の長さが30cmの円すいである。この円すいの展開図をかいたとき，側面になるおうぎ形の中心角を求めなさい。

（青森県2016年）

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底面の円周の長さは
$2\pi\times 6=12\pi$ (cm)
側面のおうぎ形の中心角を $\theta$ (°)とすると，そのおうぎ形の弧の長さは
$2\pi\times 30\times\frac{\theta}{360}=\frac{\pi}{6}\theta$ (cm)
これらが等しいことから
$\frac{\pi}{6}\theta=12\pi$
$\theta=72$ (°)…（答）

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【問題4.4】

　右の図は，底面の半径が6cm，母線の長さが8cmの円すいである。この円すいの展開図をかいたとき，側面になるおうぎ形の面積を求めなさい。

（青森県2018年）

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底面の円周の長さは
$2\pi\times 6=12\pi$ (cm)
側面のおうぎ形の中心角を $\theta$ (°)とすると，そのおうぎ形の弧の長さは
$2\pi\times 8\times\frac{\theta}{360}=\frac{2\pi}{45}\theta$ (cm)
これらが等しいことから
$\frac{2\pi}{45}\theta=12\pi$
$\theta=270$ (°)
面積は
$\pi\times 8^2\times\frac{270}{360}=48\pi$ (cm²)…（答）

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