【問題1】
　右の図のような，正方形ABCDを底面とする正四角錘OABCDがあり，辺OA, OB, OC, OD上にそれぞれ点E, F, G, Hを四角形EFGHが正方形となるようにとる。
　正方形ABCDの面積が\(16\hspace{2px} cm^2\)，正方形EFGHの面積が\(4\hspace{2px} cm^2\)のとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1)　正四角錘OEFGHと正四角錘OABCDの体積の比を，最も簡単な整数の比で表しなさい。
(2)　正四角錘OABCDの表面積が\(64\hspace{2px} cm^2\)のとき，正四角錘OABCDの高さを求めなさい。

（解答）
(1)
• 正方形EFGHの面積と正方形ABCDの面積の比
　\(=4:16=1:4\)だから，正方形の相似比は\(1:2\)
• 正四角錘OEFGHと正四角錘OABCDの相似比は\(1:2\)だから，体積比は\(1^3:2^3=1:8\)···（答）
(2)
• 正四角錘OABCDの表面積が\(64\hspace{2px} cm^2\), 正方形ABCDの面積が\(16\hspace{2px} cm^2\)だから，\(\triangle{\rm OAB}\)の面積は
　\(\displaystyle\frac{64-16}{4}=12\)
ABの中点をMとおくと
　\(\displaystyle {\rm \frac{OM\times AB}{2}}=60\)
　\(\displaystyle {\rm \frac{4 OM}{2}}=12\)
　\(\displaystyle {\rm OM}=6\)
• 右図のように断面\(\triangle{\rm OMN}\)を見ると，\(\triangle{\rm OM=6,MH=2}\)だから，三平方の定理により
　\({\rm OH}^2+2^2=6^2\)
　\({\rm OH}^2=32\)
　\({\rm OH}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\hspace{2px}(cm)\)···（答）
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【問題2】
　右の図のように，正方形ABCDを底面，点Eを頂点とする，全ての辺の長さが4 cmの正四角錘Pがある。線分AB, ADの中点をそれぞれM, Nとし，４点A, M, N, Eを結んで三角錐Qを作る。
　このとき，あとの各問いに答えなさい。
　なお，各問いにおいて，答えの分母に\(\sqrt{\hspace{20px}}\)がふくまれているときは，分母を有理化しなさい。また，\(\sqrt{\hspace{20px}}\)の中をできるだけ小さい自然数にしなさい。
(1)　△EAMの面積を求めなさい。

(1)
• △EAMは，\(\mathrm{EA=4, AM=2,EM=2\sqrt{3}}\)の直角三角形だから，その面積は
　\(\displaystyle\frac{2\times 2\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\hspace{2px}(cm^2)\)···（答）
(2)
• 高さは共通だから，底面積の比を求める
　\(\displaystyle (4\times 4):(\frac{2\times 2}{2})=16:2=8:1\)···（答）
(3)
• (2)の結果を使うと，Qの体積\(V\)はPの体積の８分の１だから
　\(\displaystyle V=\frac{4\times 4\times 2\sqrt{2}}{3}\times\frac{1}{8}=\frac{4\sqrt{2}}{3}\)
• Qの体積\(V\)を△EAMを底面とし，高さを\(h\)として計算すると
　\(\displaystyle V=\frac{2\times 2\sqrt{3}}{2}h\div 3\)
•　これら2つの式は等しいはずだから
　\(\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}h=\frac{4\sqrt{2}}{3}\)
　\(\displaystyle h=\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\hspace{2px}(cm)\)···（答）
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【問題3】
　右の図１のように，DE=DF=3 cm, EF=2 cmの三角形を底面とし，高さが4 cmの三角柱ABCDEFがある。
　このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1) 略
(2)�@　略

(2)�A
• PからEFの中点Mに線をひき，４点PQDRを含む断面図を作ると，右図のようになる
• \(\mathrm{AQ=3, QD=1,PM=4}\)
　\(\mathrm{DM=2\sqrt{2},PD=2\sqrt{6}}\)
（DM, PDは三平方の定理を使って求める）
• △ADP∽△RDQだから，DR=xとおくと
　\(2\sqrt{6}:4=1:x\)
　\(2\sqrt{6}x=4\)
　\(\displaystyle x=\frac{4}{2\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)
したがって
　\(\displaystyle \mathrm{PR:RD}=(2\sqrt{6}-\frac{\sqrt{6}}{3}):\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{5\sqrt{6}}{3}:\frac{\sqrt{6}}{3}=5:1\)
• 三角すいDPEFと三角すいRPEFとは，底面△PEFが共通で，高さの比がDM:h=6:5となる
• 三角すいDPEFの体積は\(\displaystyle \frac{4\times 2}{2}\times 2\sqrt{2}\div 3=\frac{8\sqrt{2}}{3}\)
• 三角すいRPEFの体積は\(\displaystyle \frac{8\sqrt{2}}{3}\times\frac{5}{6}=\frac{20\sqrt{2}}{9}\hspace{2px}(cm^3)\)···（答）
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【問題4】
　右の図に示した立体ABC-DEFは，AB=AD=6 cm, AC=BC=5 cm, ∠BAD=∠CAD=90°の三角柱である。
　辺CF上にあり，頂点C，頂点Fのいずれにも一致しない点をPとする。
　次の各問に答えよ。

［問１］ 普通は，点Pの位置が決まらなければ，∠BMPの大きさは，決まりませんが，この問題では「たまたま決まる事情」があります
∠BMP=90°···（答）
［問２］
• 正方形ADEBを底面として，MCを高さとする四角錘になるから
　\(\displaystyle V=(6\times 6)\times 4\div 3\)
　\(\displaystyle =48\hspace{2px}(cm^3)\)···（答）
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【問題5】
　右の図１のように，全ての辺の長さが2 cmの正四角錘OABCDがあり，底面の正方形ABCDの対角線の交点をHとする。(1)〜(4)に答えなさい。
(1)〜(3) 略

(4)
• 正方形ABCDを底面と見なした場合と，△OABを底面とみなした場合の，２通りの方法で体積を計算して，それらが等しいはずだということから，Dと平面Pとの距離を求める
• 正方形ABCDを底面と見なした場合
　正方形ABCDの面積は，\(2\times 2=4\)
　△OACについて，\(\mathrm{OA=OC=2,AC=2\sqrt{2}}\)により，\(\mathrm{OH}=\sqrt{2}\)
　体積は，\(\displaystyle V=\frac{4\times\sqrt{2}}{3}\)
• △OABを底面とみなした場合
　△OABの面積は，\(2\times\sqrt{3}\div 2=\sqrt{3}\)
　三角錐OABDの高さを\(h\)とおくと，三角錐OABDの体積は，\(\sqrt{3}h\div 3\)
　三角錐OBCDの体積は，OABDの体積と等しいから，\(\sqrt{3}h\div 3\)
　この求め方から得られる体積は，\(\displaystyle V=\frac{2}{3}\sqrt{3}h\)
• 以上で求めた２つの体積は等しいから
　\(\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{3}=\frac{2}{3}\sqrt{3}h\)
　\(\displaystyle h=\frac{2\sqrt{6}}{3}\hspace{2px}(cm)\)···（答）
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【問題6】
　右の図は，AB=BC=13 cm, AC=10 cmの二等辺三角形ABCを底面とし，AD=BE=CF=18 cmを高さとする三角柱である。
　また，点Gは辺BE上の点で，BG:GE=8:1であり，点Hは辺BEの中点である。
　このとき，次の問いに答えなさい。
(ア)　この三角柱の表面積と して正しいものを次の1〜6の中から1つ選び，その番号を答えなさい。
1.　\(468\hspace{1px}cm^2\)　　2.　\(478\hspace{1px}cm^2\)
3.　\(648\hspace{1px}cm^2\)　　4.　\(658\hspace{1px}cm^2\)
5.　\(768\hspace{1px}cm^2\)　　6.　\(778\hspace{1px}cm^2\)
(イ)　次のの中の「ち」「つ」「て」にあてはまる数 字をそれぞれ0〜9の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。
　この三角柱において，図のように，点Gから3点D, F, Hを通る平面に引いた垂線と，3点D, F, Hを通る平面との交点をIとする。このとき，線分GIの長さは

ちつ

て

　 \(cm\)である。

(ア)
△DEFについて，DFの中点をMとおくとき
　\({\rm DE^2=DM^2+ME^2}\)
　\({\rm 13^2=5^2+ME^2}\)
　\({\rm ME^2}=13^2-5^2=144\)
　\({\rm ME}=\sqrt{144}=12\)
立体の表面積は
　\(\displaystyle (13\times 18)\times 2+(10\times 18)+\Big(\frac{10\times 12}{2}\Big)\times 2\)
　\(\displaystyle =468+180+120=768\hspace{2px}(cm^2)\) → 5···（答）
(イ)

△DEFを底面としてEHを高さとする場合，三角錐DEFHの体積は
　\(\displaystyle {\rm \frac{DF\times ME}{2}\times EH}\div 3=180\)
△DHFを底面としてEJを高さとする場合，三角錐DEFHの体積は
　\(\displaystyle {\rm \frac{DF\times MH}{2}\times EJ\div 3=\frac{10\times 15}{2}\times EJ\div 3=25EJ}\)
これらの体積は等しいから
　\(\displaystyle {\rm 25EJ}=180\)
　\(\displaystyle {\rm EJ}=\frac{180}{25}=\frac{36}{5}\)
次に，△EJHと△GIHとは，相似比9:7の相似図形だから
　\(\displaystyle {\rm GI=\frac{7}{9}EJ}=\frac{7}{9}\times\frac{36}{5}=\frac{28}{5}\hspace{2px}(cm)\)···（答）
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【問題7】
　右の図のような，底面がAB=DE=\(2\sqrt{7}\hspace{2px}cm\)，BC=EF=6 cm，AC=DF=4 cmの三角形で，高さが8 cmの三角柱がある。なお，△DEFの3つの角はすべて鋭角である。
　辺BE上にAD=APとなる点Pをとる。
　このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
(1)　線分BPの長さを求めなさい。

(1)　■三平方の定理■　==★,☆==
• △ABPは，∠B=90°の直角三角形だから，三平方の定理により
　\(\mathrm{AP^2=AB^2+BP^2} \)
　\(\mathrm{8^2=(2\sqrt{7})^2+BP^2} \)
　\(\mathrm{BP^2}=64-28=36 \)
　\(\mathrm{BP} =\sqrt{36}=6 \hspace{2px}(cm) \)···（答）
(2)
�@
• QC=QFだから，△CQFは二等辺三角形で，QからCFに引いた垂線の足をMとすると，MはFCの中点になる。
• Q(2, 4)だから，△QEFの面積は
　\(\displaystyle\frac{6\times 4}{2}=12\)
• △QPEの面積は
　\(\displaystyle\frac{2\times 2}{2}=2\)
• これらの和：四角形EFQPの面積は，\(\displaystyle 14\hspace{2px}(cm^2)\)···（答）
�A
　\((2\sqrt{7})^2-x^2=4^2-(6-x)^2\)
　\(28-x^2=16-36+12x-x^2\)
　\(12x=48\)
　\(x=4\)
このとき
　\(4^2+h^2=(2\sqrt{7})^2\)
　\(h^2=28-16=12\)
　\(h=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)
四角錘D-EFQPの体積は
　\(\displaystyle V=\frac{14\times 2\sqrt{3}}{3}=\frac{28}{3}\sqrt{3}\hspace{2px}(cm^3)\)···（答）
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【問題8】
　右の図のように，三角錐すいOABCがあり，OC=9 cm, AB=BC=10 cm, AC=12 cm, ∠OCA=∠OCB=90°である。頂点Bから辺ACにひいた垂線と辺ACとの交点をDとする。また，線分AD上に点Eを，AE:ED=2:1となるようにとり，点Eを通り平面OBCに平行な平面と，2辺OA, ABとの交点をそれぞれF, Gとする。
　このとき，次の(1)〜(3)に答えよ。
(1)　線分BDの長さを求めよ。
(2)　△EFGの面積を求めよ。

(1)　=三平方の定理=で解ける
•　△BCDは直角三角形で，\(\mathrm{DC=6,BC=10}\)だから，三平方の定理により
　\(\mathrm{BD^2+DC^2=BC^2}\)
　\(\mathrm{BD^2+6^2=10^2}\)
　\(\mathrm{BD^2}=100-36=64\)
　\(\mathrm{BD}=8\hspace{2px}(cm)\)···（答）
(2)　=相似図形の性質=を使って解ける
• △EFGと△OBCは平行だから
　\(\mathrm{AE:AC=EG:CB=EF:CO=1:3}\)
　\(\displaystyle \mathrm{FE=3,GE=\frac{10}{3} }\)
　\(\displaystyle \triangle \mathrm{EFG}=\frac{3\times\frac{10}{3}}{2}=5\hspace{2px}(cm^2)\)···（答）
(3)　=三角錐の体積を2通りに表す=
• △BGEを底面として，EFを高さと見た場合，三角錐BEFGの体積は
　\(\displaystyle \mathrm{\triangle BGE=\triangle ABE}\times\frac{2}{3}\)
　\(\displaystyle =\mathrm{\triangle ABD}\times\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}\)
　\(\displaystyle =\frac{6\times 8}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{32}{3}\)
　\(\displaystyle V=\frac{32}{3}\times 3\div 3=\frac{32}{3}\)
• △EFGを底面として，hを高さと見た場合，三角錐BEFGの体積を求める
　\(\displaystyle V=5h\div 3=\frac{5h}{3}\)
これらは等しいから
　\(\displaystyle \frac{5h}{3}=\frac{32}{3}\)
　\(\displaystyle h=\frac{32}{5}\hspace{2px}(cm)\)···（答）
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【問題9】
　右の図のように，点A, B, C, D, E, F, G, Hを頂点とする，1辺の長さが4 cmの立方体がある。線分AB, AD上にAM=AN=2 cmとなる点M, Nをとり，6点A, M, N, E, F, Hを結んで立体Pをつくる。
　このとき，あとの各問いに答えなさい。
(1)　四角形MFHNの面積を求めなさい。
(2)　立体Pの体積を求めなさい。

（解答）
(1)
• MN∥FHで，直角三角形△AMNについて三平方の定理を使うと
　\({\rm MN^2}=2^2+2^2=8\)
　\({\rm MN}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)
• 直角三角形△EFHについて三平方の定理を使うと
　\({\rm FH^2}=4^2+4^2=32\)
　\({\rm FH}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\)
• 直角三角形△BMFについて三平方の定理を使うと
　\({\rm MF^2}=4^2+2^2=20\)
　\({\rm MF}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)
• 右図において，\({\rm MN=PQ}=2\sqrt{2}\)
　\({\rm FP=QH=}=\sqrt{2}\)
• 直角三角形△MFPについて三平方の定理を使うと
　\({\rm MP^2}+(\sqrt{2})^2=(2\sqrt{5})^2\)
　\({\rm MP^2}=18\)
　\({\rm MP}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)
• 台形MNFHの面積は
　\(\displaystyle{\rm \frac{(MN+GH)\times MP}{2}}=\frac{(2\sqrt{2}+4\sqrt{2})\times 3\sqrt{2}}{2}\)
　\(\displaystyle =18\hspace{2px}(cm^2)\)
(2)
�@右図のように，線分EA, FM, HNを延長して，三角錐OAMNを付け足すと，求める立体の体積は2つの三角錐OEFHの体積\(V_1\)とOAMNの体積\(V_2\)の差として求められる。
　\(\displaystyle V_1=\frac{4\times 4}{2}\times 8\div 3=\frac{64}{3}\)
　\(\displaystyle V_2=\frac{2\times 2}{2}\times 4\div 3=\frac{8}{3}\)
\(\displaystyle V_1-V_2=\frac{64}{3}-\frac{8}{3}=\frac{56}{3}\hspace{2px}(cm^3)\)
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【問題10】
　右の図は，1辺の長さが4 cmの立方体を2つ重ね，直方体にしたものです。点Pは，線分AGと3点C, J, Lを含む平面との交点です。
　このとき，次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。
(1)　線分ACの長さを求めなさい。
(2)　直方体ABCD-IJKLの体積は，三角錐さんかくすいCJKLの体積の何倍か求めなさい。
(3)　線分APの長さを求めなさい。

(1)　■三平方の定理　==★,☆==
• 直角三角形ADCについて，三平方の定理を使うと
　\({\rm AC^2}=4^2+4^2=32\)
　\({\rm AC}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\hspace{2px}(cm)\)···（答）
(2)　■三角錐の体積　==★,☆==
　 • 直方体ABCD-IJKLの体積は
　\(V_1=4^3\times 2=128\hspace{2px}(cm^3)\)
• 三角錐CJKLの体積は
　\(\displaystyle V_2=\frac{4^2}{2}\times 8\div 3=\frac{64}{3}\hspace{2px}(cm^3)\)
• \(V1\div V_2=128\times \frac{3}{64}=6\)（倍）···（答）
(3)

\(4\sqrt{2}\) \(6\sqrt{2}\) \(8\sqrt{2}\) \(2\sqrt{2}\) \(8\sqrt{3}\)

※図のAPの長さを直接計算するのは，むずかしいので，APの延長と線分IKの延長との交点をNとして，ANを求める。CPの延長とIKの交点をMとおく。
　\({\rm IN}=8\sqrt{2}\)
△AINについて三平方の定理により
　\({\rm AN^2}=(8\sqrt{2})^2+8^2=192\)
　\({\rm AN}=\sqrt{192}=8\sqrt{3}\)
△APCと△NPMは相似図形で，相似比は
　AC:NM=2:3
したがって
　\(\displaystyle {\rm AP=\frac{2}{5}AN}=\frac{2}{5}\times 8\sqrt{3}=\frac{16}{5}\sqrt{3}\hspace{2px}(cm)\) ···（答）
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【問題11】
　図�Uにおいて，立体ABC-DEFは，三角柱である。△ABCは，AB=AC=5 cmの二等辺三角形である。△DEF≡△ABCである。四角形DEBA, FEBC, DFCAは長方形であり，AD=6 cmである。DとB，DとCとをそれぞれ結ぶ。Gは，線分DB上の点である。Hは，Gを通り辺BCに平行な直線と線分DCとの交点である。AとG，AとHとをそれぞれ結ぶ。
　次の問いに答えなさい。
(3)　略

(4)�@
• △ABCにおいて，BCの中点をMとすると
　\(\mathrm{Ac=5, CM=2}\)だから，三平方の定理により
　\(\mathrm{AM^2+2^2=5^2}\)
　\(\mathrm{AM^2}=25-4=21\)
　\(\mathrm{AM}=\sqrt{21}\)
• △ABCの面積は
　\(\displaystyle \frac{4\times\sqrt{21}}{2}=2\sqrt{21}\hspace{2px}(cm^2)\)···（答）
�A
• GHを通り，△ABCに平行な平面とDAとの交点をPとおくと，
　△PGHはDP, PAと垂直になる
　また，△ABCと△PGHとは，相似比BC:GH=4:3の相似図形になる
• △ABCの面積は\(\displaystyle 2\sqrt{21}\hspace{2px}(cm^2)\)，△PGHの面積は，\(\displaystyle 2\sqrt{21}\times\frac{3^2}{4^2}=\frac{9\sqrt{21}}{8}\hspace{2px}(cm^2)\)
• DP=\(\displaystyle 6\times\frac{3}{4}=\frac{9}{2}\)
• PA=\(\displaystyle 6\times\frac{1}{4}=\frac{3}{2}\)
• 三角錐D-PGHの体積は，\(\displaystyle\frac{9\sqrt{21}}{8}\times\frac{9}{2}\div 3=\frac{27\sqrt{21}}{16}\)
• 三角錐A-PGHの体積は，\(\displaystyle\frac{9\sqrt{21}}{8}\times\frac{3}{2}\div 3=\frac{9\sqrt{21}}{16}\)
• これらを足すと
　\(\displaystyle\frac{36\sqrt{21}}{16}=\frac{9\sqrt{21}}{4}\hspace{2px}(cm^3)\)···（答）
（別解）
• 三角錐D-ABCの体積は，\(\displaystyle\frac{2\sqrt{21}\times 6}{3}=4\sqrt{21}\)
• 三角錐D-ABCと三角錐D-AGCとは，底面△ADCが共通で，高さの比はDB:DG=4:3
• 三角錐D-AGCと三角錐D-AGHとは，底面△ADGが共通で，高さの比はDH:HC=4:3
• 三角錐ADGHの体積は
　\(\displaystyle 4\sqrt{21}\times\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}=\frac{9\sqrt{21}}{4}\hspace{2px}(cm^3)\)···（答）
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【問題12】
　図�Uにおいて，立体A-BCDEは四角すいであり，直線ABは平面BCDEと垂直である。AB=3 cmである。四角形BCDEは長方形であり，BC=5 cm, BE=4 cmである。Fは，辺AE上の点である。Gは，Fを通り辺DEに平行な直線と辺ADとの交点である。GとEとを結ぶ。Hは，Gを通り辺CDに平行な直線と辺CDとの交点である。HとBとを結ぶ。このとき，4点H, G, E, Bは同じ平面上にある。
　次の問いに答えなさい。

(3)
　ア，エ···（答）
(4)
�@　H, G, Fを含む平面は，平面BCDEと平行であるから，AH:HC=AF:FEが成り立ち，HからBCに引いた垂線の長さをhとおくと，h:AB=EF:FA
　そこで，まず，AEの長さを求めておく
• AB⊥BE, AB=3, BE=4だから，三平方の定理により
　\(\mathrm{AE}^2=3^2+4^2=25\)
　\(\mathrm{AE}=\sqrt{25}=5\)
• HからBCに引いた垂線の長さhを求める
　\(h\mathrm{:AB=EF:EA}\)
　\(h\mathrm{:3=3:5}\)
　\(\displaystyle h=\frac{9}{5}\)
• △HCBの面積を\(S\)とすると
　\(\displaystyle S=\frac{9}{5}\times 5\div 2=\frac{9}{2}\hspace{2px}(cm^2)\)···（答）
�A
　立体AHGEBの体積を，三角錐AHGBと三角錐AGEBの体積に分けて計算する
• 三角錐AHGBは，△HBAを底面とし，GHを高さとする
　△HBA=\(\displaystyle \frac{3\times 5\times \frac{2}{5}}{2}=3\)
　\(\displaystyle V_1=3\times (4\times \frac{2}{5})\div 3=\frac{8}{5}\)
• 三角錐AGEBは，△ABEを底面とし，GFを高さとする
　△ABE=\(\displaystyle \frac{3\times 4}{2}=6\)
　\(\displaystyle V_2=6\times (5\times \frac{2}{5})\div 3=4\)
• これらを加えると
　\(\displaystyle V=V_1+V_2=\frac{8}{5}+4=\frac{28}{5}\hspace{2px}(cm^3)\)···（答）
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【問題13】
　右の図のように，AB=3 cm, AD=5 cm, BF=4 cmの直方体ABCD-EFGHがある。辺BC上を点Bから点Cまで移動する点をPとし，点Pを通り線分AHに平行な直線と辺CGとの交点をQとする。このとき，次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。
(1)　線分BEの長さを答えなさい。
(2)　四角形BCHEの面積を求めなさい。

(1)　==★,☆==
• △ABEは，∠A=90°の直角三角形だから，三平方の定理により
　\(\mathrm{BE^2=BA^2+AE^2}=3^2+4^2=25\)
　\(\mathrm{BE}=\sqrt{25}=5\hspace{2px}(cm)\) ···（答）
(2)　==★,☆==
• BCHEは長方形で，BE=5, BC=5だから
　面積は，\(5^2=25\hspace{2px}(cm^2)\) ···（答）
(3)　==★,☆☆☆==
�@
• 展開図ABCD-BEHCは右図のようになるから，△ABP∽△ABPの関係を用いて，BP=xの長さを求める
　\(x:5=3:8\)
　\(\displaystyle x=\frac{15}{8}\hspace{2px}(cm)\) ···（答）
�A

• 求める立体は，△AHDを下の底面，△PQCを上の底面とする三角錐台になっているので，AP, DC, HQをそれぞれ延長して，大きな三角錐Z-AHDと小さな三角錐Z-PCQの体積の差を求める
• 初めに，CZの長さ\(z\)を求める
　\(\displaystyle \mathrm{BP}=\frac{15}{8}\)だから\(\displaystyle \mathrm{PC}=5-\frac{15}{8}=\frac{25}{8}\)
• 相似比は\(\mathrm{AD:PC=DZ:CZ}\)だから
　\(\displaystyle 5:\frac{25}{8}=(z+3):z\)
　\(\displaystyle 5z=\frac{25}{8}+\frac{75}{8}\)
　\(\displaystyle \frac{15}{8}z=\frac{75}{8}\)
　\(\displaystyle z=5\)
• 三角錐Z-AHDの体積は
　\(\displaystyle V=\frac{5\times 4}{2}\times (3+5)\div 3=\frac{80}{3}\)
• 三角錐Z-PCQの体積は
　\(\displaystyle v=\frac{80}{3}\times(\frac{5}{8})^3\)
• 求める体積は
　\(\displaystyle \frac{80}{3}-\frac{80}{3}\times(\frac{5}{8})^3\)
　\(\displaystyle =\frac{80}{3}\times\Big(1-(\frac{5}{8})^3\Big)=\frac{80}{3}\times\frac{512-125}{512}\)
　\(\displaystyle =\frac{80}{3}\times\frac{387}{512}=\frac{645}{32}\hspace{2px}(cm^3)\) ···（答） →解説を隠す←

【問題14】
　図�T，図�Uにおいて，立体ABCD-EFGHは四角柱である。四角形ABCDはAD∥BCの台形であり，∠ADC=∠DCB=90°である。AD=2 cm, DC=BC=4 cmである。四角形EFGH≡四角形ABCDである。四角形HGCD, GFBCは１辺の長さが4 cmの正方形であり，四角形HEAD, EFBAは長方形である。
　次の問いに答えなさい。
(1)　略

• この問題では，右図の赤，青，緑で示した3つの立体に分けて，体積を計算すると，求めやすい
• 赤で示したOBCM-PFGSは，台形OBCMを底面とし，CGを高さとする四角柱で，AD=2, BC=4, CR:RD=BQ:QA=1:3
• △XAD∽△XQR (相似比 4:7)だから
　\(\displaystyle 2:x=4:7\)
　\(\displaystyle 4x=14\)
　\(\displaystyle \mathrm{QR}=x=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}\)
• 台形OBCMの面積は，\(\displaystyle \frac{(\dfrac{7}{2}+4)\times 1}{2}=\frac{15}{4}\)
• 四角柱の高さは，\(\mathrm{CG}=4\)
• 四角柱OBCM-PFGSの体積は，\(\displaystyle V_1=\frac{15}{4}\times 4=15\)
• 青で示したQ-PSTUは，PSTUを底面とし，CGを高さとする四角錘
• △YEH∽△YES (相似比 4:5)だから
　\(\displaystyle 2:y=4:5\)
　\(\displaystyle 4y=10\)
　\(\displaystyle \mathrm{PS}=y=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\)
• 台形UPSTの面積は，\(\displaystyle \frac{(\dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{2})\times 2}{2}=6\)
• 四角錘の高さは，\(\mathrm{CG}=4\)
• 四角柱Q-PSTUの体積は，\(\displaystyle V_2=6\times 4\div 3=8\)
• 緑で示したQ-RSTは，RSTを底面とし，QRを高さとする三角錐
• RSTの面積は，\(\displaystyle 4\times 2\div 2=4\)
• 三角錘の高さは，\(\mathrm{QR}=\frac{7}{2}\)
• 三角錘Q-RSTの体積は，\(\displaystyle V_3=4\times \frac{7}{2}\div 3=\frac{14}{3}\)
• 立体OBCM-NFGLの体積は
　\(\displaystyle 15+8+\frac{14}{3}=\frac{83}{3}\hspace{2px}(cm^3)\)···（答）

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【追加問題1】
　図で，立体OABCDは，正方形ABCDを底面とする正四角すいである。また，E, F, G, Hはそれぞれ辺OA, OB, OC, OD上の点で，OE:EA=2:1, OF:FB=1:1であり，CB∥GF, DA∥HEである。
　OA=12 cm, AB=6 cmのとき，
�@　△OBDの面積はアイ\(\sqrt{\hspace{30px}}\)ウ \(cm^2\) である。
�A　立体OEFGHの体積は，エ\(\sqrt{\hspace{34px}}\)オカ \(cm^3\) である。

�@
• ABCDは正方形で，AB=6 cmだから
　\(\mathrm{DB}=4\sqrt{2}\)
• OD=OB=12 cmだから，CBの中点をMとおくと，△OMBは∠M=90°の直角三角形になり，三平方の定理を使うと
　\(\mathrm{OM}^2=12^2-(3\sqrt{2})^2=144-18=126\)
　\(\mathrm{OM}=\sqrt{126}=3\sqrt{14}\)
• △OBDの面積は
　\(\displaystyle \frac{6\sqrt{2}\times 3\sqrt{14}}{2}=9\sqrt{28}=18\sqrt{7}\hspace{2px}(cm^2)\) ···（答）
�A

• \(\mathrm{OH=8, HD=4}\)
\(\mathrm{OG=6,GC=6}\)
• △OBDと△OFDは，底辺の比がOB:OF=2:1で，高さが等しいから
　 \(\displaystyle \mathrm{\triangle OFD=\frac{1}{2}\triangle OBD}\)
• さらに，△OFDと△OFHは，底辺の比がOD:OH=2:1で，高さが等しいから
　 \(\displaystyle \mathrm{\triangle OFH=\frac{2}{3}\triangle OFD}\)
　 \(\displaystyle =\mathrm{\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\triangle OBD=\frac{1}{3}\times 18\sqrt{7}}=6\sqrt{7}\)
• 三角錐O-EFHを底面△OFHとして考えると，底面積は
　　\(S=6\sqrt{7}\)
• 三角錐O-ABDと三角錐O-EFHの高さの比は，OD:OH=3:2だから，三角錐O-EFHの高さは
　　\(\displaystyle h_1=\frac{2}{3}\times\mathrm{MA}=\frac{2}{3}\times 3\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)
• 三角錐O-EFHの体積は
　　\(\displaystyle V_1=6\sqrt{7}\times 2\sqrt{2}\div 3=4\sqrt{14}\)
• 三角錐O-GFHを底面△OFHとして考えると，底面積は
　　\(S=6\sqrt{7}\)
• 三角錐O-CBDと三角錐O-GFHの高さの比は，OC:OG=3:1だから，三角錐O-GFHの高さは
　　\(\displaystyle h_2=\frac{1}{2}\times\mathrm{MC}=\frac{1}{2}\times 3\sqrt{2}=\frac{3}{2}\sqrt{2}\)
• 三角錐O-GFHの体積は
　　\(\displaystyle V_2=6\sqrt{7}\times \frac{3}{2}\sqrt{2}\div 3=3\sqrt{14}\)
　　\(\displaystyle V_1+V_2=7\sqrt{14}\hspace{5px}(cm^3)\) ···（答）
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【追加問題2】
　図１は，点A, B, C, D, E, F, G, Hを頂点とし，４つの側面がそれぞれ長方形である四角柱で，AB=5 cm, AD=4 cm, BF=6 cm, FG=8 cm, ∠ADC=∠BCD=90°である。
　このとき，次の各問いに答えなさい。
(1)，(2)　略

(3)
�@　右図の△EPHと△GPFは，対応する角度が等しいから相似で，相似比はFH:GF=4:8=1:2
　したがって，△EPHと△GPFの高さは，それぞれ\(1cm, 2cm\)
•　△EPH=\(8\times 3\div 2=12\hspace{2px}(cm^2)\)
　△PFG=\(8\times 2\div 2=8\hspace{2px}(cm^2)\)
だから
　△EPF=\(12-8=4\hspace{2px}(cm^2)\)···（答）
�A　BQ:QH=2:3のとき，三角すいQEFPにおいて，底面を△EPFとすると，高さは\(\displaystyle 6\times\frac{3}{5}=\frac{18}{5}\)
　体積は，\(\displaystyle 4\times\frac{18}{5}\div 3=\frac{24}{5}\hspace{2px}(cm^3)\)···（答）
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【追加問題3】
　図１のように，三角柱ABC-DEFの形をした透明な容器に，水を入れて密閉した。この容器の側面はすべて長方形で，AB=6 cm, BC=8 cm, CF=12 cm, ∠ABC=90°である。この容器を，△DEFが容器の底になるように，水平な台の上に置いた。 このとき，容器の底から水面までの高さは8 cmである。この容器を図２のように，四角形FEBCが容器の底になるように，水平な台の上に置きかえたとき，容器の底から水面までの高さを求めなさい。ただし， 容器の厚みは考えないものとする。

• 元の水の量は，容器の体積の \(\displaystyle \frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)
• そこで，図２において，水の容積が容器の体積の \(\displaystyle \frac{2}{3}\) になるような深さを求めるとよい．空気の部分が \(\displaystyle \frac{1}{3}\) になればよい．
• 右図において，△AGHと△ABCは相似だから
　\(\displaystyle 8:x=6:y\)
　\(\displaystyle 8y=6x\)
　\(\displaystyle x=\frac{8}{6}y=\frac{4}{3}y\)
• △AGHの面積を\(s\)，△ABCの面積を\(S\)とおくと
　\(\displaystyle S=(8\times 6)\div 2=24\)
　\(\displaystyle s=\frac{xy}{2}=\frac{4}{3}y\times y\div 2=\frac{2}{3}y^2\)
• 水の容積 \((S-s)\times 12\) が容器の体積 \(S\times 12\) の \(\displaystyle \frac{2}{3}\) になるには
　\(\displaystyle (24-\frac{2}{3}y^2)\times 12=24\times 12\times\frac{2}{3}\)
　\(\displaystyle 24-\frac{2}{3}y^2=16\)
　\(\displaystyle \frac{2}{3}y^2=8\)
　\(\displaystyle y^2=12\)
　\(\displaystyle y=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)
• 容器の底から水面までの高さは
　\(\displaystyle 6-2\sqrt{3}\hspace{2px}(cm)\)···（答）
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【追加問題4】
　右の図のような立体ABC-DEFがあり，四角形ABEDは，BA=5 cm, BE=10 cmの長方形であり，△ABCと△DEFは正三角形である。また，辺BEと辺CFは平行であり，CF=5 cmである。
点Cから辺BEに引いた垂線と辺BEとの交点をPとするとき，次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。

(1)
• △ABCは正三角形で，BA=5 cmだから，BC=5 cm
• BE=10 cm, CF=5 cm、BE∥CFだから，\(\displaystyle\mathrm{BP}=\frac{5}{2}\)
• △BPCについて，三平方の定理により
　\(\displaystyle \mathrm{CP}^2+(\frac{5}{2})^2=5^2\)
　\(\displaystyle \mathrm{CP}^2=25-\frac{25}{4}=\frac{75}{4}\)
　\(\displaystyle \mathrm{CP}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\hspace{2px}(cm)\)···（答）
(2)
• PからABに平行な直線をひいて，ADとの交点をQ，PQの中点をMとおくと，△CPQは二等辺三角形になり，△CMPは直角三角形になる
　\(\displaystyle \mathrm{CP^2=CM^2+MP^2}\)
　\(\displaystyle \mathrm{(\frac{5\sqrt{3}}{2})^2=CM^2+(\frac{5}{2})^2}\)
　\(\displaystyle \mathrm{CM^2}=\frac{75}{4}-\frac{25}{4}=\frac{50}{4}\)
　\(\displaystyle \mathrm{CM}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\)
• 四角すいC-ABEDは，底面をABEDとして，高さをCMとするから，その体積は
　\(\displaystyle 50\times \frac{5\sqrt{2}}{2}\div 3=\frac{125}{3}\sqrt{2}\hspace{2px}(cm^3)\)···（答）
(3)
• 立体ABC-DEFは，右図の赤の部分（２つの和が正四角錘）と青の部分（三角柱）に分けられ，その体積は
　\(\displaystyle 5\times 5\times\frac{5\sqrt{2}}{2}\div 3\)
　\(\displaystyle +5\times \frac{5\sqrt{2}}{2}\div 2\times 3=\frac{5}{12}\times125\sqrt{2}\)
• 他方で，立体ABC-DEFは，求める三角錐ABCFの体積\(v\)と四角錘F-ABEDの体積\(V\)の和と見ることもできる．ここで，四角錘F-ABEDの体積は，(2)で求めた四角錘C-ABEDの体積\(\displaystyle V=\frac{125}{3}\sqrt{2}\)に等しい．
• 以上から
　\(\displaystyle v+\frac{125}{3}\sqrt{2}=\frac{5}{12}\times125\sqrt{2}\)
　\(\displaystyle v=\frac{5}{12}\times125\sqrt{2}-\frac{125}{3}\sqrt{2}=\frac{125}{12}\sqrt{2}\hspace{2px}(cm^3)\)···（答）
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