面積比

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■面積の比

○1　２つの三角形の高さが等しいときは，面積の比は底辺の長さの比に等しい．

※　辺BC の長さをBC と書く．文字式の計算としてB とC を掛けているわけではない．BD も辺の長さを表す記号．
※　式の中で△ABC と書いたときは△ABC の面積を表す．

　三角形の面積は（底辺）×（高さ）÷2で求められる．右図の△ABC と△ABD の面積は各々

△ABC =

△ABD =

ここで BC:BD=a:b ならば

△ABC:△ABD = : = BC:BD = a:b

となって，△ABC と△ABD との面積比は底辺の長さの比に等しくなる．

例１
　右図２において△ABC と△ABD の高さは等しいから，

△ABC:△ABD=2:3
△ABC:△ACD=2:1

図１

図２

○２　２つの三角形の底辺の長さが等しいときは，面積の比は高さの比に等しい．
○３　高さが書いていないときでも，１組の辺の比がm:n のときは，高さがm:n と考えてよい．

○2の証明
　三角形の面積は（底辺）×（高さ）÷2で求められる．右図の△FBC と△ABC の面積は各々

△FBC =

△ABC =

ここで底辺 BC は共通だから

△FBC : △ABC= : = FD : AE

○３の証明
　右図３の△FBD と△ABE は相似図形だから，

FD:AE=FB:AB
したがって △FBC : △ABC= FD : AE = FB : AB

（○３は，FB とAB を底辺と考えると○１と同じ内容になる．）

例２
　右図４において△DBC と△ABC の底辺BC は共通だから，

△DBC:△ABC=3:5
△DBC:△ADC=3:2

図３

図４

○４　２つの三角形の底辺の比がa:b ，高さの比がm:n のとき，面積の比はam:bn になる．
○５　右図６のように２つの三角形で１つの角が共通のとき，この角をはさむ２辺の比が各々a:b ，m:n のとき，面積の比はam:bn になる．

○４の証明

△DBE =

△ABC =

だから △DBE : △ABC = : = am : bn

○５の証明
右図６においては○３と同様に高さの比がm:n になるから，
△DBE : △ABC = am : bn

例３
　右図７において

△DBE:△ABC=8:15
△DBE：(四角形)ADEC=8:(15-8)=8:7

図５

図６

図７

○６　相似比がa:b となる２つの三角形の面積の比はa2:b2 になる．

○６の証明
○５において底辺の比も高さの比もa:b になるから，
△DBE : △ABC = aa : bb = a2:b2

例４
　右図において
△ADE:△ABC=4:9
△ADE：(四角形)DBCE=4:(9-4)=4:5

図８

【まとめ】
(1)　右図９ののように２つの三角形の底辺の比がa:b，高さの比がm:n のとき，面積の比はam:bn になる．（右の図９では高さの比をm:n と読む．）

(2)　右図10のような図形において，３つ以上の三角形の面積を比較するときは，次のように「比の値」を「分数」にすると簡単にできる．

ゆえに

= =

△BEP:△CAP=8:15

図９

図10

例題１
　右図11において
(1)　△BEP:△CEP=6:5

高さが等しく，底辺が6:5と見る

(2)　△ABC:△PBC=11:4

底辺が等しく，高さが11:4と見る

(3)　△APC:△PEC=7:4

右図のようにAP , PE を底辺とみると，高さが等しく，底辺が7:4

(4)　△APB:△BPC=21:22

ゆえに

= = =

△APB:△BPC=21:22

図11

例題２
　右図12において
(1)　△APB:△BPC=4:5

高さが等しく，底辺が4:5と見る

(2)　△BPC:△CPD=3:7

高さが等しく，底辺が3:7と見る

(3)　△APB:△CPD=12:35

ゆえに

= =

△APB:△CPD=12:35

図12

例題３
　右図13の平行四辺形ABCD において
(1)　△ABQ∽△FDQ （相似比は9:3=3:1）だから

△ABQ:△FDQ=32:12=9:1
△ABP:△ABQ=4:9 （高さが等しく底辺が4:9）
ゆえに △ABP:△FDQ=4:1

(2)　△BEP∽△ADP （相似比は4:8=1:2）だから

△BEP :△ADP=1:4

△APQ :△APD=5:8 （高さが等しく底辺が5:8）

ゆえに
△BEP:△APQ = : = 2:5

図13

例題４
　右図14の平行四辺形ABCD において
(1)

△APE∽△CPB （相似比は AP:PC=2:7）
EP:PB=2:7
△APE と△APB は高さが等しく底辺が 2:7

△APE:△APB=2:7

(2)

= ← 相似比2:7の相似図形

= ← 高さが等しく底辺が7:4

ゆえに

= =

だから

△APE:△QPB=1:7

(3)

△BQA∽△FQC
だから BQ:QF=AQ:QC=6:3=2:1
△CQB と△FQC は高さが等しく底辺が 2:1

△CQB:△FQC=2:1

(4)

△CQF:△FED=7:15

(5)

△BQP:△DEF=56:45

(5)の証明

= ←【まとめ】

AP:PC=2:7だからAE:BC=2:7
したがってAE:ED=2:5
AQ:QC=6:3だからAB:CF=6:3
したがってCD:CF=6:3，CF:FD=3:3=1:1

△ABC=△CAD ←平行四辺形だから

ゆえに

= =

図14

(2)の別解

= ← (1)の結果

= = ← 高さが等しく底辺が2:4

ゆえに

= =

だから

△APE:△QPB=1:7

(4)の証明
△APE∽△CPB だから
AE:CB=AP:CP=2:7
AE:DA=2:7 （←平行四辺形だから）
AE:ED=2:5
-----------------------
△AQB∽△CQF だから
AB:CF=AQ:QC=6:3=2:1
DC:CF=2:1 （←平行四辺形だから）
CF:FD=1:1
-----------------------

= ←【まとめ】

ゆえに

= =

だから

△CQF:△FED=7:15

問題１

(1)　△BEP と△CEP は高さが等しく，底辺が7:4 だから
△BEP: △CEP=7:4
(2)　△ABC と△PBC は底辺が等しく，高さが5:2 だから
△ABC: △PBC=5:2
(3)　△APC と△PEC の底辺を各々AP , PE と見ると，高さが等しく，底辺が3:2 だから
△APC: △PEC=3:2
(4)

ゆえに

= = =

△BCP:△CAP=11:6

問題２