■相似図形と辺の比

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【相似図形の性質】
　　相似図形については，３組の辺の比が等しくなる．

　⇒　この公式を使って辺の長さを求めることができる．

例
　右図１でAB//CD のとき，△AEB と△DEC が相似図形になるので
（証明）
△AEBと△DECについて
　∠AEB=∠DEC …（対頂角は等しい）
　∠ABE=∠DCE …（平行線の錯角は等しい）
だから，△AEBと△DEC は相似図形
AB:DC=AE:DE=BE:CE が成り立つ．
　そこで BE:CE を求めたいときは，AB:DC の比3:2 を書けばよい．（♪〜「辺の比は相似比で答える」〜♪）
もちろん，これは辺の長さが BE=3 とか CE=2 などということではない．比が3:2 ということは，実際の長さとしては 6 と4，9 と6，12 と8 などいろいろな場合があるが，ここでは「長さは決まらなくても比だけなら求められる問題」を扱っている．

　上の例のように，♪〜「辺の比は相似比で答える」〜♪とよい
【要点】 辺の比 BE:CE を求めたいときは，
(1)　その線分が辺になっている２つの相似図形△AEB と△DEC を見つける
(2)　すでに辺の比が分かっている他の辺の比 AB:DC を答える

図1
　
例題１
　右図２において AD//BC ，AD=3 ，BC=4 ，E は BC の中点，対角線 BD と AE ，AC の交点を各々 P ，Q とするとき，
(1)　BP:PD は△APD と△EPB を見れば分かるから，2:3
(2)　BQ:QD は△AQD と△CQB を見れば分かるから，4:3
(3)　BP:PQ は(1)(2)から次のように計算で求められる．
ただし，2:3 や 4:3 は実際の長さを表しているわけではないので，このまま使うことはできない．そこで，何か共通の基準「たとえば辺 BD の長さ」で表すことを考える．

BP:PD=2:3 だから BP=BD

BQ:QD=4:3 だから BQ=BD

ゆえに，BP:BQ=BD : BD = : = : =14:20

結局 BP:PQ=14:(20 -14)=14:6=7:3 …（答）

図２
問題１　（もっとも簡単な整数比で答えなさい．）
　右図において AD//BC ，AD=5 ，BC=6 ，E は BC の中点，対角線 AC と BD ，ED の交点を各々 P ，Q とするとき，
(1)　AP:PC= :
採点する やり直す

(2)　AQ:QC= :
採点する やり直す

(3)　AP:PQ= :
採点する やり直す

問題２　（もっとも簡単な整数比で答えなさい．）
　右図において AD//BC ，AE=2 ，ED=3 ，BC=7 ，対角線 BD と AC ，EC の交点を各々 P ，Q とするとき，
(1)　BP:PD= :
採点する やり直す

(2)　BQ:QD= :
採点する やり直す

(3)　BP:PQ= :
採点する やり直す

問題３　（もっとも簡単な整数比で答えなさい．）
　右図の平行四辺形 ABCD において BE=3 ，EC=2 ，CF=1 ，FD=5 ，対角線 BD と AE ，AF の交点を各々 P ，Q とするとき，
(1)　BP:PD= :
採点する やり直す

(2)　BQ:QD= :
採点する やり直す

(3)　BP:PQ= :
採点する やり直す

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