２次方程式の解き方（まとめ2）

■２次方程式の解き方（まとめ2）

○　２次方程式の解の公式を用いればどんな２次方程式でも解くことができますが，通常「簡単な方法でも解ける問題は，簡単な方法で解く」ようにし，複雑な方法は必要なときだけ使うようにします．
（たとえ話　：　植木鉢をいじるには移植ゴテがあれば十分で，スコップやブルドーザーはいりません．山を削るにはスコップでは無理でブルードーザーがよい．）
○　このように，
___（Ａ）　 $x^2=a\hspace{5}\rightarrow \hspace{5}x=\pm \sqrt{a}$ で解ける問題は，これで解く．
（Ａ）で解けない問題は
___（Ｂ）　因数分解で解く．
（Ｂ）でも解けない問題は
___（Ｃ）　解の公式で解く．

【公式】
$ax^2+ bx + c=0$ （ただし $a\ne 0$ ）の解は
$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

___（中学校の教科書に登場する (x+a)2=b の形の方程式は，（Ａ）か（Ｃ）に吸収されると考えればよく，公式を増やす必要はない．）

○　実際に２次方程式を解くときは，以上の（Ａ）→（Ｂ）→（Ｃ）の順に検討し，なるべく楽な方法で解くようにします．

(*1)　複雑な形になっているときは，展開して係数を整理し，見通しがよくなるように変形してから考えます．

(*2)　 $x^2=a$ （ただし，中学校では $a \underline{\ge} 0$ ）の形になる方程式は，(A)により直ちに $x=\pm a$ と解けます．

【例題１】
　２次方程式x(x+3)=3x+5の解を求めてください．

（解答）
(*1)により展開して係数を整理します
x2+3x=3x+5
x2=5
(*2)により根号を使って直ちに答えられます
$x=\pm \sqrt{5}$ …（答）

** 注 1.1 **
$x^2=4$ から $x=\pm \sqrt{4}$ のように変形した場合は，この根号はまだ簡単になるので，このまま答にしてはいけません． $x=\pm 2$ が答になります．

　同様にして， $x^2=12$ から $x=\pm \sqrt{12}$ のように変形した場合は，この根号はまだ簡単になるので，このまま答にしてはいけません． $x=\pm 2\sqrt{3}$ が答になります．

** 注 1.2 **
$4x^2=9$ のように，両辺を４で割れば(*2)の形にできる方程式は，割ってから根号にします．
$x^2=\frac{9}{4}$
$x=\pm \sqrt{\frac{9}{4}}=\pm \frac{3}{2}$

※次の2次方程式の解を求めてください．

答は下の選択肢のうちで正しいものをクリック．（暗算では無理です．必ず計算用紙で計算してから答えてください．）

【問題１】
x(x+4)=4x+3

$x=\sqrt{3}$ $x=3$ $x=\pm \sqrt{3}$ $x=\pm 3$

解説やり直す

展開して係数を整理します
x2+4x=4x+3
x2=3
根号を使って直ちに答えられます
$x=\pm \sqrt{3}$ …（答）

【問題２】
(x+2)2=4x+22

$x=\pm 2\sqrt{3}$ $x=\pm 3\sqrt{2}$ $x=\pm 9\sqrt{2}$ $x=\pm 6$

解説やり直す

展開して係数を整理します
x2+4x+4=4x+22
x2=18
根号を使って直ちに答えられます
$x=\pm \sqrt{18}=\pm 3\sqrt{2}$ …（答）

【問題３】
2x(x−3)=3(1−2x)

$x=\pm \frac{3}{2}$ $x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ $x=\pm \sqrt{6}$ $x=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

解説やり直す

展開して係数を整理します
2x2−6x=3−6x
2x2=3
$x^2=\frac{3}{2}$
根号を使って直ちに答えられます
$x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ …（答）

(*1)　複雑な形になっているときは，展開して係数を整理し，見通しがよくなるように変形してから考えます．

(*2)　左辺に集めたときに，xの１次の式が残っているときは因数分解を考えます．

【例題２】
　２次方程式(x+2)2=3x+10の解を求めてください．

（解答）
(*1)により展開して係数を整理します
x2+4x+4=3x+10
x2+x−6=0…(#1)
xの１次の式が残っているときは，そのまま根号の形にすることはできません．
右辺にある式を全部左辺に移項してから因数分解を考えます．
(x+3)(x−2)=0…(#2)
x+3=0またはx−2=0…(#3)
x=−3, 2…（答）

** 注 2.1 **
左辺の「２次式の因数分解」として
(#1)から(#2)に変形するときは
和が1で積が−6となる２つの数は3と−2だから
(x+3)(x−2)=0…(#2)
になりますが，(#3)から「方程式の解を求める」ときは3と−2をそれぞれ右辺に移項するときに符号が変わって
x=−3, x=2
となることに注意しましょう．
　※一般に，２次式の因数分解に登場する係数の符号と，その因数分解を使って解いたときの２次方程式の解の符号とは反対になります．

** 注 2.2 **
x(x−2)=0
のように，xと他の式の積になるとき，
解は
x=0, 2
になります．このx=0を忘れる答案が多いので注意しましょう

【問題４】
x2+5=6x

$x=1,\hspace{5}5$ $x=-1,\hspace{5}-5$
$x=2,\hspace{5}3$ $x=-2,\hspace{5}-3$

解説やり直す

左辺に集めます
x2−6x+5=0
因数分解します
(x−1)(x−5)=0
x−1=0またはx−5=0
x=1, 5…（答）

【問題５】
(x+1)(x+2)=2−x

$x=4$ $x=4,\hspace{5}0$
$x=-4$ $x=-4,\hspace{5}0$

解説やり直す

展開して係数を整理します
x2+3x+2=2−x
x2+4x=0
因数分解します
x(x+4)=0
x=0またはx+4=0
x=0, −4…（答）

【問題６】
x(x−2)=2(x−2)2

$x=0,\hspace{5}2$ $x=0,\hspace{5}4$
$x=2,\hspace{5}4$ $x=-2,\hspace{5}-1$

解説やり直す

展開して係数を整理します
x2−2x=2(x2−4x+4)
x2−2x=2x2−8x+8
左辺に移項します
−x2+6x−8=0
x2の係数が負の数になるときは，両辺に−1を掛けて符号を変えます
x2−6x+8=0
因数分解します
(x−2)(x−4)=0
x−2=0またはx−4=0
x=2, 4…（答）

(*1)　両辺の係数が同じ整数で割り切れるときは，割り算によってなるべく小さな係数になるようにします

(*2)　分数や小数の係数になっている場合は，何倍かして整数係数になるようにします

【例題３】
　２次方程式4(x2+3)=16xの解を求めてください．

（解答）
展開して係数を整理します
4x2+12=16x
4x2−16x+12=0
両辺を４で割ります
x2−4x+3=0
左辺を因数分解します
(x−1)(x−3)=0
x−1=0またはx−3=0
x=1, 3…（答）

【例題４】
　２次方程式0.01x2−0.02x−0.24=0の解を求めてください．

（解答）
両辺を100倍して整数係数にします
x2−2x−24=0
左辺を因数分解します
(x−6)(x+4)=0
x−6=0またはx+4=0
x=6, −4…（答）

【例題５】
　２次方程式 $\frac{x^2}{6}-\frac{x}{3}-\frac{1}{2}=0$ の解を求めてください．

（解答）
両辺を6倍して分母を払います
x2−2x−3=0
左辺を因数分解します
(x−3)(x+1)=0
x−3=0またはx+1=0
x=3, −1…（答）

【問題７】
4x(x+2)=12

$x=1,\hspace{5}3$ $x=1,\hspace{5}-3$
$x=-1,\hspace{5}3$ $x=-1,\hspace{5}-3$

解説やり直す

両辺を４で割ります
x(x+2)=3
展開して左辺に移項します
x2+2x−3=0
因数分解します
(x−1)(x+3)=0
x−1=0またはx+3=0
x=1, −3…（答）

【問題８】
0.1x2+2=0.9x

$x=4,\hspace{5}5$ $x=4,\hspace{5}-5$
$x=-4,\hspace{5}5$ $x=-4,\hspace{5}-5$

解説やり直す

両辺に10を掛けて係数を整数にします（２にも掛けるのを忘れずに）
x2+20=9x
左辺に移項します
x2−9x+20=0
因数分解します
(x−4)(x−5)=0
x−4=0またはx−5=0
x=4, 5…（答）

【問題９】
$\frac{x^2}{6}+ \frac{x}{2}-3=0$

$x=3,\hspace{5}6$ $x=3,\hspace{5}-6$
$x=-3,\hspace{5}6$ $x=-3,\hspace{5}-6$

解説やり直す

両辺に6を掛けて係数を整数にします（3にも掛けるのを忘れずに）
x2+3x−18=0
因数分解します
(x−3)(x+6)=0
x−3=0またはx+6=0
x=3, −6…（答）

(*)　１次式「xの項があって」かつ「因数分解できないとき」は，「２次方程式の解の公式」を使うようにします．

【例題６】
　２次方程式2x2+5x+2=0の解を求めてください．

（解答）
　中学校ではx2の係数が1にならないときに使う「たすき掛けの因数分解」には触れないのが普通です．このように因数分解できないときは，「２次方程式の解の公式」で解けます．

【公式】
$ax^2+ bx + c=0$ （ただし $a\ne 0$ ）の解は
$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

a=2, b=5, c=2を代入すると
$x=\frac{-5\pm \sqrt{25-16}}{4}=\frac{-5\pm \sqrt{9}}{4}=\frac{-5\pm 3}{4}$
ここで
$\frac{-5 + 3}{4}=-\frac{1}{2},\hspace{20}\frac{-5 -3}{4}=-2$
だから
$x=-\frac{1}{2},\hspace{10}-2$ …（答）

** 注 6.1 **
　上記の答案で
$x=\frac{-5\pm 3}{4}$
のままで答えにしてはいけません．
　上の例のように，±を分ければ簡単になるものは「分けなければならない」と考えてください．
［他の例］
$x=\frac{-2\pm 4}{2}$ は× $x=-3,\hspace{10}1$ は○
$x=\frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$ はこのままで○

$x=\frac{-1 -\sqrt{3}}{2}$ と $x=\frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$ に分けても，大した利点はない.

** 注 6.2 **
　「たすき掛けの因数分解」を習っていなくても，分数の係数を使えば因数分解できる．例えば，上記の【例題４】の問題では
$x^2+ \frac{5}{2}x+ 1=0$
と変形すると，和が $\frac{5}{2}$ で積が $1$ となる２数を見つければ因数分解できる．
$\frac{1}{2} + 2=\frac{5}{2},\hspace{20}\frac{1}{2}\times 2=1$
であるから
$(x+ \frac{1}{2})(x+ 2)=0$
$x=-\frac{1}{2},\hspace{10}-2$
（ほとんどの生徒にとって，この因数分解は重労働で「解の公式」に代入する方が楽なので，解の公式がおすすめです）

【例題７】
　２次方程式x2−6x+7=0の解を求めてください．

（解答）
解の公式にa=1, b=−6, c=7を代入すると
$x=\frac{6\pm \sqrt{36-28}}{2}=\frac{6\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{6\pm 2\sqrt{2}}{2}$
$=3\pm \sqrt{2}$ …（答）

** 注 7.1 **
　この例題のように根号の中はなるべく小さな整数にしておく必要があります． $\sqrt{8}\rightarrow 2\sqrt{2}$

** 注 7.2 **
$\frac{6\pm 2\sqrt{2}}{2}$
のような分数を約分するときに間違いが多いので注意しましょう．
$\frac{6\pm 2\sqrt{2}}{2}\hspace{10}\rightarrow$ $6\pm \sqrt{2}$ は×
$\frac{6\pm 2\sqrt{2}}{2}\hspace{10}\rightarrow$ $3\pm 2\sqrt{2}$ は×

【問題10】
x(6x+1)=2

$x=\frac{1}{2},\hspace{5}\frac{2}{3}$ $x=\frac{1}{2},\hspace{5}-\frac{2}{3}$
$x=-\frac{1}{2},\hspace{5}\frac{2}{3}$ $x=-\frac{1}{2},\hspace{5}-\frac{2}{3}$

解説やり直す

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

展開してすべての係数を左辺に集めます
6x2+x−2=0
解の公式にa=6, b=1, c=−2を代入すると
$x=\frac{-1\pm \sqrt{1+ 48}}{12}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{12}=\frac{-1\pm 7}{12}$
ここで
$\frac{-1 + 7}{12}=\frac{1}{2},\hspace{20}\frac{-1 -7}{12}=-\frac{2}{3}$
だから
$x=\frac{1}{2},\hspace{10}-\frac{2}{3}$ …（答）

【問題11】
2=x(3x+5)

$x=\frac{1}{3},\hspace{5}2$ $x=\frac{1}{3},\hspace{5}-2$
$x=-\frac{1}{3},\hspace{5}2$ $x=-\frac{1}{3},\hspace{5}-2$

解説やり直す

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

展開してすべての係数を左辺に集めます
2=3x2+5x
−3x2−5x+2=0…(*)
3x2+5x−2=0…(**)
解の公式にa=3, b=5, c=−2を代入すると
$x=\frac{-5\pm \sqrt{25+ 24}}{6}=\frac{-5\pm \sqrt{49}}{6}=\frac{-5\pm 7}{6}$
ここで
$\frac{-5 + 7}{6}=\frac{1}{3},\hspace{20}\frac{-5 -7}{6}=-2$
だから
$x=\frac{1}{3},\hspace{10}-2$ …（答）

** 注 **
この問題で(*)のようなx2の係数が負の数になる方程式は，両辺に－１を掛けて(**)の形にする方がよい．
実際には(*)のままでもできるが，そのまま解の公式を適用すると，次の変形において符号を間違う生徒が多い．だから(**)の方がおすすめです．
$x=\frac{5\pm \sqrt{25+ 24}}{-6}=\frac{5\pm \sqrt{49}}{-6}=\frac{5\pm 7}{-6}$

【問題12】
x2+3x+1=0

$x=1,\hspace{5}-4$ $x=-1,\hspace{5}4$
$x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$ $x=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$

解説やり直す

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

解の公式にa=1, b=3, c=1を代入すると
$x=\frac{-3\pm \sqrt{9-4}}{2}=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$ …（答）

【問題13】
2x2+3=6x

$x=\frac{3\pm \sqrt{3}}{2}$ $x=\frac{-3\pm \sqrt{3}}{2}$
$x=\frac{3\pm 2\sqrt{3}}{2}$ $x=\frac{6\pm \sqrt{3}}{2}$

解説やり直す

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

6xを左辺に移項する
2x2−6x+3=0
解の公式にa=2, b=−6, c=3を代入すると
$x=\frac{6\pm \sqrt{36-24}}{4}=\frac{6\pm \sqrt{12}}{4}$
$=\frac{6\pm 2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\pm \sqrt{3}}{2}$ …（答）