和と積の展開no.2

■　展開公式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

この頁では，上の展開公式でa, bが「小数の場合」「分数の場合」「文字式の場合」を練習します．
（a, bが正負の整数の場合の練習が十分できていない場合は，こちらのページを先にやってください．）

（係数が小数の場合）

【例１】
(x+0.1)(x+0.2)

公式の右辺の...+(a+b)x+abを作るために
このように係数a, bの和と積をあらかじめ求めておきます．
次に，

(x+a)(x+b)=x2+和x+積
に当てはめます．

（解答）

係数の和は 0.1+0.2=0.3
係数の積は 0.1×0.2=0.02

(x+0.1)(x+0.2)
=x2+0.3x+0.02

※特に，小数２つの積を求めるときに，小数点の移動・位取りを間違わないように気を付けてください．

0.1（小数点以下１つ）
×)0.2（小数点以下１つ）

0.02（小数点以下２つ）

【例２】
(x−0.3)(x+0.1)

（解答）

公式を使うためには
x−0.3=x+(−0.3)と考えます．
x+0.1はそのままでよい．

係数の和は (−0.3)+0.1=−0.2
係数の積は (−0.3)×0.1=−0.03

(x−0.3)(x+0.1)
=x2+(−0.2)x+(−0.03)
=x2−0.2x−0.03

【問題１】 ■　展開公式 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab を使って次の問題を解きなさい．（正しいものをクリック） (1) (x+0.2)(x+0.3) 解説やり直す x2+5x+6 x2+5x+0.6 x2+0.5x+0.6 x2+0.5x+0.06 係数の和は 0.2+0.3=0.5 係数の積は 0.2×0.3=0.06 (x+0.2)(x+0.3) =x2+0.5x+0.06…（答） →閉じる←	(2) (x+1.2)(x−0.1) 解説やり直す x2+0.1x−0.02 x2+0.2x−1.2 x2+1.3x+0.02 x2+1.1x−0.12 係数の和は 1.2+(−0.1)=1.1 係数の積は 1.2×(−0.1)=−0.12 (x+1.2)(x−0.1) =x2+1.1x−0.12…（答） →閉じる←
(3) (x−0.3)(x+0.4) 解説やり直す x2+0.1x+1.2 x2+0.1x−0.12 x2+0.7x+0.12 x2+0.7x+1.2 係数の和は (−0.3)+(0.4)=0.1 係数の積は (−0.3)×(0.4)=−0.12 (x−0.3)(x+0.4) =x2+0.1x−0.12…（答） →閉じる←	(4) (x−1.3)(x−0.2) 解説やり直す x2−2.3x+2.6 x2+2.3x−2.6 x2−1.5x+0.26 x2−1.5x−0.26 係数の和は (−1.3)+(−0.2)=−1.5 係数の積は (−1.3)×(−0.2)=0.26 (x−1.3)(x+0.2) =x2−1.5x+0.26…（答） →閉じる←

（係数が分数の場合）

【例１】
$(x+\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})$

（解答）

係数の和は $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$
係数の積は $\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$

$(x+\frac{1}{2})(x+\frac{1}{3})=x^2+\frac{5}{6}x+\frac{1}{6}$ …（答）

【例２】
$(x-\frac{2}{3})(x-\frac{1}{2})$

（解答）

係数の和は $(-\frac{2}{3})+(-\frac{1}{2})=-\frac{7}{6}$
係数の積は $(-\frac{2}{3})\times(-\frac{1}{2})=\frac{1}{3}$

$(x-\frac{2}{3})(x-\frac{1}{2})=x^2-\frac{7}{6}x+\frac{1}{3}$ …（答）

【問題２】 (1) $(x+\frac{1}{2})(x+\frac{3}{2})$ 解説やり直す $x^2+ 2x+\frac{3}{4}$ $x^2+ 2x+\frac{3}{2}$ $x^2+ x+\frac{3}{2}$ $x^2+\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$ 係数の和は $(\frac{1}{2})+(\frac{3}{2})=2$ 係数の積は $(\frac{1}{2})\times(\frac{3}{2})=\frac{3}{4}$ $(x+\frac{1}{2})(x+\frac{3}{2})=x^2+ 2x+\frac{3}{4}$ …（答） →閉じる←	(2) $(x+\frac{2}{3})(x-\frac{1}{2})$ 解説やり直す $x^2-\frac{1}{6}x+\frac{1}{3}$ $x^2-\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}$ $x^2+\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}$ $x^2+\frac{7}{6}x-\frac{1}{3}$ 係数の和は $(\frac{2}{3})+(-\frac{1}{2})=\frac{1}{6}$ 係数の積は $(\frac{2}{3})\times(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{3}$ $(x+\frac{2}{3})(x-\frac{1}{2})=x^2+\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}$ …（答） →閉じる←
(3) $(x-\frac{1}{2})(x+ 1)$ 解説やり直す $x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ $x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$ $x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ $x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$ 係数の和は $(-\frac{1}{2})+(1)=\frac{1}{2}$ 係数の積は $(-\frac{1}{2})\times(1)=-\frac{1}{2}$ $(x-\frac{1}{2})(x+ 1)=x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$ …（答） →閉じる←	(4) $(x-\frac{1}{3})(x-\frac{2}{3})$ 解説やり直す $x^2-\frac{1}{3}x+\frac{2}{9}$ $x^2+x+\frac{2}{9}$ $x^2+x-\frac{2}{9}$ $x^2-x+\frac{2}{9}$ 係数の和は $(-\frac{1}{3})+(-\frac{1}{3})=-1$ 係数の積は $(-\frac{1}{3})\times(-\frac{1}{3})=\frac{2}{9}$ $(x-\frac{1}{3})(x-\frac{2}{3})=x^2-x+\frac{2}{9}$ …（答） →閉じる←

（係数が文字式の場合）

【例１】
(x+2y)(x+3y)

xの（２次）式として展開するときに，他のyやaなどの文字が含まれているとき,x以外の文字は「係数として」数字と同じように扱います．

（解答）

係数の和は 2y+3y=5y
係数の積は 2y×3y=6y2

(x+2y)(x+3y)=x2+5yx+6y2=x2+5xy+6y2

※一番最後の変形は，そう書かなければ不正解にするというほどのものではないが，特別な事情がなければアルファベット順にxyと書く方が自然に見えて，「読み間違いも少ない」ので，この形の方が好まれる．

【例２】
(x−3a)(x+5a)

xの（２次）式として展開するときに，他のyやaなどの文字が含まれているとき,x以外の文字は「係数として」数字と同じように扱います．

（解答）

係数の和は
(−3a)+(5a)=2a
係数の積は
(−3a)×(5a)=−15a2

(x−3a)(x+5a)=x2+2ax−15a2

【問題３】 (1) (x+y)(x+2y) 解説やり直す x2+3x+2 x2+3x+2y x2+3xy+2y x2+3xy+2y2 係数の和は (y)+(2y)=3y 係数の積は (y)×(2y)=2y2 (x+y)(x+2y) =x2+(3y)x+(2y2)=x2+3xy+2y2…（答） →閉じる←	(2) (x−5y)(x+2y) 解説やり直す x2+3xy−10y2 x2−3xy−10y2 x2+3xy+10y2 x2−3xy+10y2 係数の和は (−5y)+(2y)=−3y 係数の積は (−5y)×(2y)=−10y2 (x−5y)(x+2y) =x2+(−3y)x+(−10y2)=x2−3xy−10y2…（答） →閉じる←
(3) (x−3a)(x+4a) 解説やり直す x2−ax−12a2 x2+ax−12a2 x2−ax+12a2 x2+ax+12a2 係数の和は (−3a)+(4a)=a 係数の積は (−3a)×(4a)=−12a2 (x−3a)(x+4a) =x2+ax−12a2…（答） →閉じる←	(4) (x−a)(x−4a) 解説やり直す x2−3ax+4a2 x2−4ax+4a2 x2−5ax+4a2 x2−5x+4a2 係数の和は (−a)+(−4a)=−5a 係数の積は (−a)×(−4a)=4a2 (x−a)(x−4a) =x2+(−5a)x+(4a2)=x2−5ax+4a2…（答） →閉じる←