== 難易などの目安 ==
《考え方》
　　★：易しい，★★：普通，★★★：難しい
《計算量》
　　☆：少ない，☆☆：普通，☆☆☆：多い

［1］
　右の図のような，底面が点Oを中心とする円で，点Aを頂点とする円錐すいがあります。底面の円の円周上に点Bがあり，AB=7cm, OB=3cmのとき，この円錐の体積を求めなさい。ただし，答えを求めるまでの過程も書きなさい。

【円錐の体積】==[考え方]★：易しい,[計算量]☆：少ない==
底面の半径がr，円錘の高さがhのとき，円錐の体積Vは，次の公式で求められる．（この公式は覚えます）
\(\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi r^2h\)
この公式を利用するために，あらかじめ円錐の高さhを直角三角形OABについて，三平方の定理を使って求めておきます．
\(\displaystyle h^2+3^2=7^2\)
\(\displaystyle h=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)
このhを公式に代入すると
\(\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi\times 3^2\times 2\sqrt{10}=6\sqrt{10}\pi(cm^3)\)･･･（答） →解答を隠す←

［2］
　右の図は，底面の半径が \(3 cm\) ，側面積が \(24\pi cm^2\) の円錐である。この円錐の体積を求めなさい。ただし，\(\pi\)は円周率とする。

==[考え方]★★：普通,[計算量]☆☆：普通==
底面の半径がr，円錘の高さがhのとき，円錐の体積Vは，次の公式で求められる．（この公式は覚えます）
\(\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi r^2h\)･･･�@
底面の円周の長さをL，円錐の母線の長さをl，円錐の側面を展開してできる扇形の中心角をθとすると
底面の円周の長さは，側面の扇形の弧の長さに等しいから
\(\displaystyle 2\pi l\times\frac{\theta}{360}=2\pi\times 3\)･･･�A
円錐の側面積が側面積が \(24\pi\)だから
\(\displaystyle \pi l^2\times\frac{\theta}{360}=24\pi\)･･･�B
底面の半径3,母線の長さl,円錐の高さhは直角三角形の3辺の長さだから
\(\displaystyle h^2+3^2=l^2\)･･･�C
�B÷�Aでθを消去
\(\displaystyle l=8\)
これを�Cに代入
\(\displaystyle h^2+3^2=8^2\)
\(\displaystyle h^2=64-9=55\)
\(\displaystyle h=\sqrt{55}\)
�@に代入
\(\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi\times 3^2\times\sqrt{55}=3\sqrt{55}\pi\hspace{5px}(cm^3)\)･･･（答） →解答を隠す←

［3］
　図�Tのような，半径が \(3 cm\) の円 Oを底面とし，高さが \(4 cm\) の円錐すいがあります。
　次の(1), (2)の問いに答えなさい。ただし，円周率を \(\pi\) とします。
(1)　この円錐の体積を求めなさい。
(2)　図�Uは，図�Tにおいて，円錐の頂点をAとし，線分AO上に，AB:BO=3:2となる点Bをとったものです。この円錐を，点Bをふくむ底面に平行な平面で分けたときにできる2つの立体のうち，円錐の方をP，もう一方の立体をQとします。円錐Pと立体Qの体積の比を求めなさい。

==[考え方]★：易しい,[計算量]☆：少ない==
(1)　底面の半径がr，円錘の高さがhのとき，円錐の体積Vは，次の公式で求められる．（この公式は覚えます）
\(\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi r^2h\)
r=3, h=4を代入
\(\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi\times 3^2\times4=12\pi\hspace{5px}(cm^3)\)･･･（答）
(2)　
【相似図形の体積比】
2つに分けたときの円錐Pの体積を \(V_1\)，もう一方の立体をQの体積を \(V_2\)とおくとき，円錐Pと元の円錐との体積比は相似比の3乗比に等しいから
\(\displaystyle V_1:V=3^3:5^3\)
\(\displaystyle V_1:(V_1+V_2)=27:125\)
\(\displaystyle 125V_1=27V_1+27V_2\)
\(\displaystyle 98V_1=27V_2\)
\(\displaystyle V_1=\frac{27}{98}V_2\)
\(\displaystyle V_1:V_2=\frac{27}{98}:1=27:98\)･･･（答）
→解答を隠す←

［4］
　右の図のような母線の長さが \(4cm\) の円錐すいがある。この円錐の側面の展開図が半円になるとき，この円錐の底面の半径を求めなさい。

【円錐の展開図】
==[考え方]★：易しい,[計算量]☆：少ない==
底面の半径の長さをr (cm)とおくと
側面の弧の長さが底面の円周の長さに等しいから
\(\displaystyle 2\pi\times 4\div 2=2\pi r\)
\(\displaystyle r=2 \)･･･（答）
→解答を隠す←

［5］
　右の図のように，底面の半径が 4 cm の円錐を平面上に置き，頂点 O を中心としてすべらないように転がした。このとき，点線で表した円 O の上を1周し，元の場所にもどるまでに，3回半だけ回転した。この円錐の表面積を求めよ。ただし，円周率を π とする。

【円錐の表面積】
==[考え方]★★：普通,[計算量]☆☆：普通==
点線で表される円の半径を R (cm)とすると
\(\displaystyle (2\pi\times 4)\times 3.6=2\pi R\)
\(\displaystyle R=14\)
円錐の底面積を \(S_1\)，側面積を \(S_2\)とおくと
\(\displaystyle S_1=\pi\times 4^2=16\pi\)
\(\displaystyle S_2=\pi\times R^2\times\frac{1}{3.5}=\pi\times 14^2\times\frac{2}{7}=56\pi\)
これらの面積の和を求めると
\(\displaystyle S_1+S_2=16\pi+56\pi=72\pi\)･･･（答）
→解答を隠す←

［6］
　右の図は，母線の長さが 8cm，底面の円の半径が 3cm の円錐の展開図です。図のおうぎ形OABの中心角の大きさを求めなさい。

【扇形の中心角】
==[考え方]★：易しい,[計算量]☆：少ない==
おうぎ形OABの中心角の大きさを \(\theta\) とすると
\(\displaystyle 2\pi\times 8\times\frac{\theta}{360}=2\pi 3\)
\(\displaystyle \theta=\frac{3\times 45^{\circ}}{8}=135^{\circ} \)･･･（答）
→解答を隠す←

［7］
　右の図のように，円錐えんすいの展開図で，側面になるおうぎ形の弧に対する弦をかき入れました。
　次のア〜エのうち，この展開図を組み立てたときにできる円錐として正しいものはどれですか。一つ選び，その記号を書きなさい。

【展開図上の直線】
==[考え方]★：易しい,[計算量]：ない==
右図のAの場所は底面の円周上にあり，Bの場所は少し高い場所にあり，Cの場所はAと一致する。
このような形になるものは：ウ･･･（答）
→解答を隠す←

［8］
　右の図１のように，頂点がA，高さが12cmの円すいの形をした容器がある。この容器の中に半径rcmの小さい球を入れると，容器の側面に接し，Aから小さい球の最下部までの長さが3cmのところで止まった。
　次に，半径2rcmの大きい球を容器に入れると，小さい球と容器の側面に接して止まり，大きい球の最上部は底面の中心Bにも接した。
　また，図２は，図１を正面から見た図である。
　このとき，次の問いに答えなさい。ただし，円周率はπとし，容器の厚さは考えないものとする。
(1)　rの値を求めなさい。
(2)　容器の底面の半径を求めなさい。
(3)　大きい球が容器の側面に接している部分の長さを求めなさい。

【円錐に接する球】
==[考え方]★★★：難しい,[計算量]☆☆☆：多い==
(1)　右の図において，円錐の高さは12cmだから
\(\displaystyle 3+2r+4r=12\)
\(\displaystyle 6r=9\)
\(\displaystyle r=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)･･･（答）
(2)　△AB'C'はC'が直角の直角三角形だから，AC'=ℓとおくと，三平方の定理により
\(\displaystyle (3+r)^2=r^2+\mathscr{l}^2\)
\(\displaystyle 9+6r+r^2=r^2+\mathscr{l}^2\)
\(\displaystyle \mathscr{l}^2=9+6r=9+6\times\frac{3}{2}=18\)
\(\displaystyle \mathscr{l}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)
\(\displaystyle {\rm △AB'C'}\)∽\({\rm △ACB}\)だから
\(\displaystyle {\rm BC}=R\)とおくと
\(\displaystyle \mathscr{l}:r=12:R\)
\(\displaystyle 3\sqrt{2}:\frac{3}{2}=12:R\)
\(\displaystyle 3\sqrt{2}R=\frac{3}{2}\times 12=18\)
\(\displaystyle R=\frac{18}{3\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\)(cm)･･･（答）
(3)
\(\displaystyle {\rm △C''HB'}\)∽\({\rm △AC'B'}\)だから
\(\displaystyle {\rm B''C'':HC''=B'A:C'A}\)
\(\displaystyle 2r:{\rm HC'}=(r+3):\mathscr{l} \)
\(\displaystyle 2\times \frac{3}{2}:{\rm HC'}=(\frac{3}{2}+3):3\sqrt{2} \)
\(\displaystyle 3:{\rm HC'}=\frac{9}{2}:3\sqrt{2} \)
\(\displaystyle \frac{9}{2}{\rm HC'}=9\sqrt{2} \)
\(\displaystyle {\rm HC'}=2\sqrt{2} \)
これが半径だから円周の長さは
\(\displaystyle 2\pi\times 2\sqrt{2}=4\pi\sqrt{2} \)(cm)･･･（答） →解答を隠す←

［9］
　右の図1は，線分ABを直径とする円Oを底面とし，線分ACを母線とする円すいである。
　また，点Dは線分BCの中点である。
　さらに，点Eは円Oの周上の点である。
　AB=8cm，AC=10cm，∠AOE=60°のとき，次の問いに答えなさい。ただし，円周率はπとする。
（ア）　この円すいの表面積として正しいものを次の1〜6の中から1つ選び，その番号を答えなさい。
1.　24π cm² 2.　28π cm² 3.　40π cm²
4.　48π cm² 5.　56π cm² 6.　84π cm²
（イ）　この円すいにおいて，2点D,E間の距離として正しいものを次の1〜6の中から1つ選び，その番号を答えなさい。
1.　\(\sqrt{43}\) cm 2.　7 cm 3.　\(5\sqrt{2}\) cm
4.　\(\sqrt{57}\) cm 5.　\(3\sqrt{7}\) cm 6.　8 cm
（ウ）　次のの中の「せ」「そ」にあてはまる数字をそれぞれ 0〜9 の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。
　点Fが線分ACの中点であるとき，この円すいの側面上に，図2のように点Eから線分BCと交わるように，点Fまで線を引く。このような線のうち，長さが最も短くなるように引いた線の長さはせ\(\sqrt{\hspace{20px}}\)そ　　　cm である。

（ア）==[考え方]★：易しい，[計算量]☆☆：普通==
円すいの側面の展開図（扇形）の中心角を \(\theta^{\circ}\) とおくと
扇形の弧の長さ \(2\pi\times 10\times\frac{\theta}{360}\) と底面の円周 \(2\pi\times 4\)は等しいから
\(\displaystyle 2\pi\times 10\times\frac{\theta}{360}=2\pi\times 4\)
\(\displaystyle \theta=\frac{360\times 4}{10}=144^{\circ}\)
円すいの側面積は
\(\displaystyle \pi\times 10^2\times \frac{144}{360}=40\pi\)
円すいの底面積は
\(\displaystyle \pi\times 4^2=16\pi\)
これらを足すと、表面積は
\(\displaystyle 56\pi\)cm²→ 5 ･･･（答）
（イ）==[考え方]★★★：難しい,[計算量]☆☆☆：多い==
D,E間の距離は，空間における直線であることに注意する
DからOBに引いた垂線の足をH，EからOAに引いた垂線の足をKとおく。
はじめに，△DHBは∠H=90°の直角三角形で，HB=2, DB=5だから
\(\displaystyle {\rm DH^2}=5^2-2^2=21\)
\(\displaystyle {\rm DH}=\sqrt{21} \)
次に，△AEOは正三角形で，KO=2, OE=4だから
\(\displaystyle {\rm EK^2}=4^2-2^2=12 \)
\(\displaystyle {\rm EK}=\sqrt{12}=2\sqrt{3} \)
さらに，△EKHは∠K=90°の直角三角形で，\(EK=2\sqrt{3}\)，KH=4だから
\(\displaystyle {\rm EH^2}=4^2+(2\sqrt{3})^2=28 \)
\(\displaystyle {\rm EH}=\sqrt{28}=2\sqrt{7} \)
最後に，△DHEは∠H=90°の直角三角形で，\(DH=\sqrt{21},EH=2\sqrt{7}\)だから
\(\displaystyle {\rm ED^2}=(\sqrt{21})^2+(2\sqrt{7})^2=21+28=49 \)→ 2 ･･･（答）
\(\displaystyle {\rm ED}=7 \)(cm)
（ウ）==[考え方]★★★：難しい,[計算量]☆☆：普通==
【測地線=展開図上の最短距離】
EからA'Cの延長線に引いた垂線の足をJとおく
∠AOE=60°だから，側面の展開図において，∠ACE=\(\displaystyle\frac{1}{6}\)∠ACA'
∠ECF=\(\displaystyle\frac{5}{6}\)∠ACA'
=\(\displaystyle 60^{\circ}\)
直角三角形△ECJにおいて∠ECJ=60°, ∠CJE=90°, EC=10だから
\(\displaystyle {\rm CJ=5, EJ}=5\sqrt{3} \)
直角三角形△EFJにおいて\( \displaystyle {\rm EJ=5\sqrt{3}, JF=10} \)だから
\(\displaystyle {\rm EF^2}=(5\sqrt{3})^3+10^2=175 \)
\(\displaystyle {\rm EF}=\sqrt{175}=5\sqrt{7} \)(cm)･･･（答）

→解答を隠す←

［10］
　図3のような紙コップを参考に，容器を作ります。紙コップをひらいたら，図4のような展開図になります。図4において，側面にあたる辺ABと辺A'B'をそれぞれ延ばし，交わった点をOとすると，弧BB'，線分OB，線分OB'で囲まれる図形が中心角45°のおうぎ形になります。このとき，弧AA'の長さを求めなさい。

==[考え方]★：易しい,[計算量]☆：少ない==

右の展開図において，OB=rとおくと，底面の円周とおうぎ形OBB'の弧の長さが等しいから
\(\displaystyle \pi\times \textcolor{red}{5}=2\pi r\times\frac{45}{360} \)
\(\displaystyle r=20 \)
\(\displaystyle {\rm AA'}=2\pi\times 28\times\frac{45}{360}=7\pi \)(cm)･･･（答）
→解答を隠す←

［11］
　右の図�Tのように，底面の半径が2cm，母線の長さが8cmの円錐Pと，円錐Pの内部で側面にぴったりと接している球Oがある。点Oは，円錐Pの頂点Aと底面の中心Cを結ぶ線分AC上にあり，球Oは，円錐Pと母線ABの中点Mで接している。
　このとき，次の問いに答えなさい。
問１　円錐Pの高さを求めなさい。
問２　球Oの半径を求めなさい。
問３　右の図�Uのように，図�Tの円錐Pを，点Mを通り底面と平行な平面で２つに分けて，頂点Aを含まない立体をQとする。
　このとき，次の(1),(2)に答えなさい。
(1)　立体Qの側面積を求めなさい。
(2)　図�Vは立体Qを線分MBで切ったときの側面の展開図で，点D, Eは，展開図を組み立てたときに，点M, Bとそれぞれ重なる点である。線分MEの長さを求めなさい。

==[考え方]★：易しい,[計算量]☆：少ない==
問１　△ABCは∠C=90°の直角三角形だから，円錐の高さをAC=hとおくと
\(\displaystyle h^2+2^2=8^2 \)
\(\displaystyle h^2=64-4=60 \)
\(\displaystyle h=\sqrt{60}=2\sqrt{15} \)･･･（答）
問２　右図において△AMO∽△ACBだから
\(\displaystyle 4:r=h:2 \)
\(\displaystyle 4:r=2\sqrt{15}:2 \)
\(\displaystyle 2\sqrt{15}r=8 \)
\(\displaystyle r=\frac{8}{2\sqrt{15}}=\frac{4\sqrt{15}}{15} \)･･･（答）
問３
(1)　円錐の側面の展開図となる扇形の中心角をθとおくと，扇形の円弧の長さ \(2\pi\times 8\times\frac{\theta}{360}\) は底面の円周の長さ \(2\pi\times 2\)に等しい
\(\displaystyle 2\pi\times 8\times\frac{\theta}{360}=2\pi\times 2 \)
\(\displaystyle \theta=90\)°
円錐台の側面積は
\(\displaystyle \pi\times 8^2\times\frac{90}{360}-\pi\times 4^2\times\frac{90}{360}=16\pi-4\pi\)
\(=12\pi\)(cm²)･･･（答）
(2)　右図において，△MEHは∠H=90°の直角三角形だから
\(\displaystyle {\rm ME^2}=4^2+8^2=80\)
\(\displaystyle{\rm ME}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)(cm)･･･（答）
→解答を隠す←

［12］
　右の図１は，線分ABを直径とする円Oを底面とし，線分ACを母線とする円すいである。
　また，点Dはこの円すいの側面上に点Aから点Bまでの長さが最も短くなるように線を引き，この線を2等分した点である。
　AB=6cm，AC=9cmのとき，次の問いに答えなさい。ただし,円周率はπとする。
（ア）　この円すいの体積として正しいものを次の1〜6の中から１つ選び，その番号を答えなさい。
1.　\(9\sqrt{5}\pi\) cm³ 2.　\(18\sqrt{2}\pi\) cm³
3.　\(27\sqrt{5}\pi\) cm³ 4.　\(54\sqrt{2}\pi\) cm³
5.　\(36\sqrt{5}\pi\) cm³ 6.　\(72\sqrt{2}\pi\) cm³
（イ）　この円すいの表面積として正しいものを次の1〜6の中から１つ選び，その番号を答えなさい。
1.　\(\displaystyle\frac{33}{4}\pi\) cm² 2.　\(9\pi\) cm² 3.　\(15\pi\) cm²
4.　\(\displaystyle\frac{117}{4}\pi\) cm² 5.　\(36\pi\) cm² 6.　\(63\pi\) cm²
（ウ）　この円すいの側面上に，図２のように点Dから線分AC，線分BCと交わるように点Dまで円すいの側面上に引いた線のうち，長さが最も短くなるように引いた線の長さを求めなさい。

（ア）==[考え方]★：易しい,[計算量]☆：少ない==
△AOCは∠O=90°の直角三角形だから，三平方の定理により
\(\displaystyle {\rm CO^2}+3^2=9^2\)
\(\displaystyle {\rm CO^2}=81-9=72\)
\(\displaystyle {\rm CO}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\)
\(\displaystyle h=6\sqrt{2}\)として，円すいの体積を求める
\(\displaystyle \frac{1}{3}\pi\times 3^3\times 6\sqrt{2}=18\sqrt{2}\pi\)(cm³) →2･･･（答）
（イ）==[考え方]★：易しい,[計算量]☆：少ない==
まず，円すいの側面の展開図である扇形の中心角θを求める
底面の円周の長さ\(\displaystyle 2\pi\times 3\)は側面の展開図の扇形の弧の長さ\(\displaystyle 2\pi\times 9\times\frac{\theta}{360}\)に等しいから
\(\displaystyle 2\pi\times 3=2\pi\times 9\times\frac{\theta}{360}\)
\(\displaystyle \theta=120\)(°)
側面積は
\(\displaystyle S_1=\pi\times 9^2\times\frac{120}{360}=27\pi\)
底面積は
\(\displaystyle S_2=\pi\times 3^2=9\pi\)
これらを加えると表面積は
\(\displaystyle S1+S_2=36\pi\)(cm²) →5･･･（答）
（ウ）==[考え方]★★★：難しい,[計算量]☆☆：普通==
イで計算したように，扇形BCB'の中心角は\(\displaystyle \theta=120\)(°)だから，右図において∠BCA
=∠ACB'=60°になる
さらにBC=AC=B'C=9だから△ACB, △B'CAはいずれも正三角形になり，
AB=9, AB'=9
図のように，DD'の最短距離を直線で結ぶと，
\(\displaystyle DD'=\frac{9}{2}\times 3=\frac{27}{2}\)(cm)･･･（答）
※FD'=DD"になっている
→解答を隠す←