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２乗したときに\( \displaystyle a(\gt 0) \)になる元の数を\( \displaystyle a \)の平方根といい，\( \displaystyle \pm \sqrt{a} \)で表わします．

２次方程式\( \displaystyle x^2=a \)（ただし\( \displaystyle a\gt 0 \)）の解は\( \displaystyle x=\pm \sqrt{a} \)で表されます．

(1)　\( \displaystyle x^2=3 \)の解は\( \displaystyle x=\pm \sqrt{3} \)
(2)　\( \displaystyle x^2=4 \)の解は\( \displaystyle x=\pm \sqrt{4}=\pm 2 \)
(3)　\( \displaystyle x^2=12 \)の解は\( \displaystyle x=\pm \sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3} \)

○肩の２を取る代わりに相手に±√が付く
○自分（x）が楽になれば，相手（a）は苦しくなる

\( \displaystyle x=\pm \sqrt{2} \) \( \displaystyle x=\pm \sqrt{3} \) \( \displaystyle x=\pm \sqrt{5} \) \( \displaystyle x=\pm 2\sqrt{5} \) \( \displaystyle x=\pm 2\sqrt{2} \) \( \displaystyle x=\pm 3\sqrt{2} \) \( \displaystyle x=\pm 4\sqrt{2} \) \( \displaystyle x=\pm \sqrt{7} \) x=±2 x=±3 x=±4 x=±5 x=±8 \( \displaystyle x=\pm \frac{3}{2} \) \( \displaystyle x=\pm \frac{7}{4} \) \( \displaystyle x=\pm \frac{9}{4} \) \( \displaystyle x=\pm \frac{\sqrt{7}}{2} \) \( \displaystyle x=\pm \frac{\sqrt{7}}{4} \)

x2=3 → \( \displaystyle x=\pm \sqrt{3} \) x2=5 → \( \displaystyle x=\pm \sqrt{5} \) x2−8=0→ x2=8 → \( \displaystyle x=\pm \sqrt{8}=\pm 2\sqrt{2} \) x2−64=0→ x2=64 → \( \displaystyle x=\pm \sqrt{64}=\pm 8 \) 5x2=20→ x2=4 → \( \displaystyle x=\pm \sqrt{4}=\pm 2 \) 2x2=32→ x2=16 → \( \displaystyle x=\pm \sqrt{16}=\pm 4 \) 4x2=9→ \( \displaystyle x^2=\frac{9}{4} \) → \( \displaystyle x=\pm \sqrt{\frac{9}{4}}=\pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\pm \frac{3}{2} \) 4x2=7→ \( \displaystyle x^2=\frac{7}{4} \) → \( \displaystyle x=\pm \sqrt{\frac{7}{4}}=\pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}=\pm \frac{\sqrt{7}}{2} \)

\( \displaystyle x^2=a \) → \( \displaystyle x=\pm \sqrt{a} \)の応用として，
\( \displaystyle x^2+ 6x+9=7 \)
すなわち
\( \displaystyle (x+3)^2=7 \)
のような２次方程式も解くことができます．

※この変形方法を使えば，別の頁で扱っている「因数分解による解き方」では解けないような問題でも解くことができます．この変形方法を使えば，どんな２次方程式でも解くことができますが，その結果は「２次方程式の解の公式」にまとめられているので，ここで無理に覚える必要はありません．
　ここでは，単に\( \displaystyle \pm \sqrt{a} \)の練習問題だと考えればよい．

x+k=Xとおくと
\( \displaystyle X^2=a \)の解は
\( \displaystyle X=\pm \sqrt{a} \)だから
元に戻すと
\( \displaystyle x+ k=\pm \sqrt{a} \)
\( \displaystyle x=-k \pm \sqrt{a} \)
のように解けます．

(1)　\( \displaystyle (x +3)^2=7 \) → \( \displaystyle x+ 3=\pm \sqrt{7} \)
3を移項すると → \( \displaystyle x=-3 \pm \sqrt{7} \)
※7は平行根\( \displaystyle \pm \sqrt{7} \)に変わることに注意
※3は移項によって符号が逆になることに注意

(2)　\( \displaystyle (x - 2)^2=9 \) → \( \displaystyle x- 2=\pm \sqrt{9}=\pm 3 \)
−2を移項すると → \( \displaystyle x=2 \pm 3 \)
2+3=5 , 2−3=−1だからx=−1, 5

※(1)\( \displaystyle -3 + \sqrt{7},-3-\sqrt{7} \)のように分けても簡単にならないものは「±」のままでよい．
※(2)のように分ければ簡単になるものは，x=2±3の形ではなく，x=−1, 5のように分けなければならない．

\( \displaystyle x=4\pm \sqrt{2} \) \( \displaystyle x=-3\pm \sqrt{2} \) \( \displaystyle x=1\pm \sqrt{3} \) \( \displaystyle x=-2\pm \sqrt{3} \) \( \displaystyle x=-4\pm \sqrt{3} \) \( \displaystyle x=4\pm \sqrt{5} \) \( \displaystyle x=-7\pm \sqrt{5} \) \( \displaystyle x=5\pm \sqrt{7} \) \( \displaystyle x=-5\pm \sqrt{7} \) x=−3±2 x=2,4 x=0,4 x=−9,−1

(x+3)2=2 → \( \displaystyle x+ 3=\pm \sqrt{2} \) → \( \displaystyle x=-3 \pm \sqrt{2} \) (x+4)2=3 → \( \displaystyle x+ 4=\pm \sqrt{3} \) → \( \displaystyle x=-4 \pm \sqrt{3} \) (x+7)2=5 → \( \displaystyle x+ 7=\pm \sqrt{5} \) → \( \displaystyle x=-7 \pm \sqrt{5} \) (x−3)2=1 → \( \displaystyle x-3=\pm \sqrt{1} \) → \( \displaystyle x=3 \pm 1 \) → x=2,4 (x+5)2=16 → \( \displaystyle x+ 5=\pm \sqrt{16} \) → \( \displaystyle x=-5 \pm 4 \) → x=−9,−1 (x−2)2=4 → \( \displaystyle x-2=\pm \sqrt{4} \) → \( \displaystyle x=2 \pm 2 \) → x=0,4