ベクトルと図形（平面・空間/国公大入試問題）

《ベクトルの1次独立～♪～2直線の交点の求め方》
2つのベクトルが \(\vec{a}\)∦\(\vec{b}\)，\(\vec{a},\vec{b}\ne\vec{0}\) のとき

\(\small k\vec{a}+l\vec{b}=k'\vec{a}+l'\vec{b}\)

ならば

\(\small k=k', l=l'\)

※ \(\vec{a}\)∦\(\vec{b}\)，\(\vec{a},\vec{b}\ne\vec{0}\) だったら「係数比較できる」

(1)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{2}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{4}\) …(#1)

また，DはPQ上にあるから

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+t\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\)

\(\small\displaystyle =m\vec{a}+t(n\vec{b}-m\vec{a})\)

\(\small\displaystyle =(m-tm)\vec{a}+tn\vec{b}\) …(#2)

\(\vec{a}\)∦\(\vec{b}\)，\(\vec{a},\vec{b}\ne\vec{0}\) だから，(#1)(#2)より

\(\small\displaystyle m(1-t)=\frac{1}{4},nt=\frac{1}{4}\)

このとき

\(\small\displaystyle \frac{1}{m}+\frac{1}{n}=4(1-t)+4t=4\)

\(\small\displaystyle |\vec{a}|=1,\hspace{3px}|\vec{b}|=\sqrt{5}\)
\(|\vec{b}-\vec{a}|=\sqrt{3}\) より

\(\small\displaystyle |\vec{b}|^2+|\vec{a}|^2-2\vec{b}\cdot\vec{a}=3\)

\(\small\displaystyle 5+1-2\vec{b}\cdot\vec{a}=3\)

\(\small\displaystyle \vec{b}\cdot\vec{a}=\frac{3}{2}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\) のとき

\(\small\displaystyle \vec{a}\cdot(n\vec{b}-m\vec{a})=0\)

\(\small\displaystyle n\vec{a}\cdot\vec{b}-m|\vec{a}|^2=0\)

\(\small\displaystyle \frac{3}{2}n-m=0\)

\(\small\displaystyle m=\frac{3}{2}n\)

そこで，(1)の結果とあわせて，次の連立方程式を解く

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{ll}\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=4 \\ m=\dfrac{3}{2}n\end{array}\right.\)

\(\small\displaystyle m=\frac{5}{8},n=\frac{5}{12}\)

【問題】
　三角形OABにおいて，辺ABを2:1に内分する点をDとし，直線OAに関して点Dと対称な点をEとする．\(\small \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a},\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}\) とし， \(\small |\vec{a}|=4,\hspace{5px}\vec{a}\cdot\vec{b}=6\) を満たすとする．

(1)　点Bから直線OAに下した垂線と直線OAとの交点をFとする．\(\small \overrightarrow{\mathrm{OF}}\) を \(\small \vec{a}\) を用いて表せ．

(2)　\(\small \overrightarrow{\mathrm{OE}}\) を \(\small \vec{a},\hspace{5px}\vec{b}\) を用いて表せ．

(3)　三角形BDEの面積が \(\small\displaystyle \frac{5}{9}\) になるとき， \(\small |\vec{b}|\) の値を求めよ．

（2021年北海道大学）

(1) ==なかなか手強い★★==

\(\vec{b}\) \(\vec{a}\)

《内積の定義》

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)

《\(\vec{b}\) の \(\vec{a}\) 方向への正射影》
　図の \(\small\overrightarrow{\mathrm{OF}}\) を\(\vec{b}\) の \(\vec{a}\) 方向への正射影というが，
　ここでは，正射影の長さ（符号付き:\(\cos\theta\)は負にもなる）が
\(\mathrm{OF}=|\vec{b}|\cos\theta\) になることに注意する
同様にして，\(\vec{a}\) の \(\vec{b}\) 方向への正射影の長さ（符号付き）は
\(\mathrm{OG}=|\vec{a}|\cos\theta\) になる

\(\vec{b}\) \(\vec{a}\)

\(\small\displaystyle\vec{a},\vec{b}\) のなす角を \(\theta\) とすると

\(\small\displaystyle|\vec{a}|=4\)

\(\small\displaystyle\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta=6\)

したがって

\(\small\displaystyle|\vec{b}|\cos\theta=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)

\(\small\displaystyle\mathrm{OF}=\frac{3}{2}\)

\(\small\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{3}{2}\times\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac{3}{8}\vec{a}\)

(2) ==これも変化球★★==

\(\displaystyle\frac{3}{2}\) \(\displaystyle\frac{5}{2}\) \(\frac{5}{6}\) \(\displaystyle 4\)

\(\small\displaystyle|\mathrm{OA}|=4\)

\(\small\displaystyle|\mathrm{OF}|=\frac{3}{2}\)

だから

\(\small\displaystyle|\mathrm{FA}|=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)

\(\small\displaystyle\mathrm{FM}=\frac{1}{3}\mathrm{FA}=\frac{5}{6}\) だから

\(\small\displaystyle \mathrm{OM}=\frac{3}{2}+\frac{5}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}\)

\(\small\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{OE}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}}{2}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{7}{3}\times\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac{7}{12}\vec{a}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OE}}=2\times\frac{7}{12}\vec{a}-\overrightarrow{\mathrm{OD}}\)

\(\small\displaystyle =2\times\frac{7}{12}\vec{a}-\frac{\vec{a}+2\vec{b}}{3}\)

\(\small\displaystyle =\frac{5}{6}\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b}\)

(3) ==計算量が多い★★★==
\(\small\displaystyle S=\frac{1}{2}\mathrm{FM}\cdot\mathrm{DE}\) によって面積を求める

\(\small\displaystyle \mathrm{FM}=\frac{5}{6}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{5}{6}\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b}\) だから

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{5}{6}\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b}-\frac{a+2\vec{b}}{3}\)

\(\small\displaystyle =\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{4}{3}\vec{b}\)

\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{DE}}|^2=\frac{1}{4}|\vec{a}|^2+\frac{16}{9}|\vec{b}|^2-\frac{4}{3}\vec{a}\cdot\vec{b}\)

\(\small\displaystyle =4+\frac{16}{9}|\vec{b}|^2-8\)

\(\small\displaystyle =\frac{16}{9}|\vec{b}|^2-4\)

\(\small\displaystyle S=\frac{1}{2}\times\frac{5}{6}\times \sqrt{\frac{16}{9}|\vec{b}|^2-4}=\frac{5}{9}\)

\(\small\displaystyle \sqrt{\frac{16}{9}|\vec{b}|^2-4}=\frac{5}{9}\times\frac{12}{5}=\frac{4}{3}\)

\(\small\displaystyle \frac{16}{9}|\vec{b}|^2-4=\frac{16}{9}\)

\(\small\displaystyle \frac{16}{9}|\vec{b}|^2=\frac{16}{9}+4=\frac{52}{9}\)

\(\small\displaystyle |\vec{b}|^2=\frac{52}{16}=\frac{13}{4}\)

\(\small\displaystyle |\vec{b}|=\frac{\sqrt{13}}{2}\)

【問題】

　正三角形ABCにおいて，辺ABの中点をM，辺BCを1:2に内分する点をPとおく．また，辺AC上に点Qを線分APと線分MQが垂直になるようにとり，APとMQの交点をRとおく．

(i)　長さの比AQ:QCを求めなさい．

(ii)　長さの比MR:RQを求めなさい．

（2021年福島大学）

［(i)の解答を見る］

(i) ==★==

(#1)(#2)で，ABCが正三角形という条件が尽くされていることに注意

\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b},\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c}\) とする

\(\small\displaystyle |\vec{b}|=|\vec{c}|=r\hspace{10px}(r\gt 0)\) …(#1)

\(\small\displaystyle \vec{b}\cdot\vec{c}=r\times r\times\cos 60^{\circ}=\frac{r^2}{2}\) …(#2)

\(\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{AC}}\hspace{10px}(0\lt t\lt 1)\) とおいて
\(\overrightarrow{\mathrm{MQ}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) となる \(t\) の値を求める

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}=0\) より

\(\small\displaystyle (t\vec{c}-\frac{1}{2}\vec{b})\cdot(\frac{2\vec{b}+\vec{c}}{3})=0\)

\(\small\displaystyle (t\vec{c}-\frac{1}{2}\vec{b})\cdot(2\vec{b}+\vec{c})=0\)

\(\small\displaystyle 2t\vec{c}\cdot\vec{b}-|\vec{b}|^2+t|\vec{c}|^2-\frac{1}{2}\vec{b}\cdot\vec{c}=0\)

\(\small\displaystyle tr^2-r^2+tr^2-\frac{1}{4}r^2=0\)

\(\small\displaystyle t-1+t-\frac{1}{4}=0\)

\(\small\displaystyle 2t=\frac{5}{4}\)

\(\small\displaystyle t=\frac{5}{8}\)

したがって，AQ:QC=5:3
→解答を隠す←

［(ii)の解答を見る］

\(\overrightarrow{\mathrm{MR}}=k\overrightarrow{\mathrm{MQ}}\) とおく
\(\mathrm{R}\) が直線 \(\mathrm{MQ}\) 上にあるから

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}+k\overrightarrow{\mathrm{MQ}}\)

\(\small\displaystyle =\frac{1}{2}\vec{b}+k(\frac{5}{8}\vec{c}-\frac{1}{2}\vec{b})\)…(#3) と書ける

また，\(\mathrm{R}\) が直線 \(\mathrm{OP}\) 上にあるから

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=l\overrightarrow{\mathrm{AP}}\)

\(\small\displaystyle =l(\frac{2\vec{b}+\vec{c}}{3})\)…(#4) と書ける

(#3)(#4)より

\(\small\displaystyle \frac{1}{2}\vec{b}+k(\frac{5}{8}\vec{c}-\frac{1}{2}\vec{b})=l(\frac{2\vec{b}+\vec{c}}{3})\)

《ベクトルの1次独立～♪～2直線の交点の求め方》
2つのベクトルが \(\vec{b}\)∦\(\vec{c}\)，\(\vec{b},\vec{c}\ne\vec{0}\) のとき

\(\small k\vec{b}+l\vec{c}=k'\vec{b}+l'\vec{c}\)

ならば

\(\small k=k', l=l'\)

※ \(\vec{b}\)∦\(\vec{c}\)，\(\vec{b},\vec{c}\ne\vec{0}\) だったら「係数比較できる」

ここで，\(\vec{b}\)∦\(\vec{c}\)，\(\vec{b},\vec{c}\ne\vec{0}\) だから

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{ll}\dfrac{1}{2}-\dfrac{k}{2}=\dfrac{2}{3}l \cdots(5)\\ \dfrac{5k}{8}=\dfrac{l}{3}\cdots(6)\end{array}\right.\)

連立方程式(5)(6)を解くと

\(\small \displaystyle k=\frac{2}{7}, l=\frac{15}{28}\)

MR:RQ=k:(1−k)=2:5

【問題】
　三角形ABCの外接円の中心をDとし，点Eは\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{DB}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}}=\overrightarrow{\mathrm{DE}}\) を満たすとする．また，頂点Aと辺BCの中点を通る直線が頂点Bと辺CAの中点を通る直線と交わる点をFとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AF}}+\overrightarrow{\mathrm{BF}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\vec{0}\) が成り立つことを示せ．

(2)　直線AEは直線BCと垂直に交わることを示せ．

(3)　点Eと点Fが異なるとき，線分の長さの比DF:EFを求めよ．

(4)　点Eと点Fが等しいとき，辺の長さの比AB:ACを求めよ．

（2021年大阪府立大学3）

A) 教科書に書かれている公式などは「黙って使ってよい」という立場
　三角形の3中線は1点で交わる⇔その点を重心という
⇔ \(\small\displaystyle \vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\)
B) 3中線の交点が重心 \(\small\displaystyle \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\) になるかどうかも証明してから使うという立場

※通常はA)の立場で書けばよく，\(\small\displaystyle \vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\) となることを証明せよという問題の場合だけ，証明までさかのぼれば良い．
ただし，B)の立場までさかのぼっても，大した労力ではない

A)の立場で書いた答案
A, B, Cの位置ベクトルを各々 \(\small\displaystyle \mathrm{A}(\vec{a}),\mathrm{B}(\vec{b}),\mathrm{C}(\vec{c})\) とおく
\(\mathrm{F}(\vec{f})\) は3本の中線の交点だから，三角形ABCの重心である

\(\small\displaystyle \vec{f}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\)

このとき

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AF}}+\overrightarrow{\mathrm{BF}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}\)

\(\small\displaystyle =(\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}-\vec{a})+(\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}-\vec{b})+(\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}-\vec{c})\)

\(\small\displaystyle =\vec{0}\)

Dを原点とする位置ベクトル \(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DA}}=\vec{a},\overrightarrow{\mathrm{DB}}=\vec{b},\overrightarrow{\mathrm{DC}}=\vec{c},\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\vec{e}\) で表すと

\(\small\displaystyle \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{e}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\vec{e}-\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\vec{c}-\vec{b}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AE}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{c}-\vec{b})\)

\(\small\displaystyle =|\vec{c}|^2-|\vec{b}|^2\) …(#1)

ここで，Dは，三角形ABCの外接円の中心だから，外接円の半径を \(R\) とおくと

\(\small\displaystyle |\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=R\) …(#2)

(#1)(#2)より

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AE}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=R^2-R^2=0\)

したがって

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AE}}\perp\overrightarrow{\mathrm{BC}}\)

《題材：オイラー線》

三角形ABCの外心をJ，重心をG，垂心をHとするとき，
\(\small\overrightarrow{\mathrm{JH}}=3\overrightarrow{\mathrm{JG}}\) が成り立つ

(1)(2)の結果から

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DE}}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DF}}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\)

だから

\(\small\displaystyle \mathrm{DE}=3\mathrm{DF}\)

\(\small\displaystyle \mathrm{DF}=3\mathrm{EF}=1:2\)

三角形ABCの外心をDとするとき，
\(\small\displaystyle |\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=R\) のとき，\(\small\displaystyle |\vec{b}+\vec{c}|=R\) となるのは，∠BDC=120°，すなわち\(\small\displaystyle \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\) となるのは，三角形ABCが正三角形の場合に限られる．
このとき，AB:AC=1:1 →解答を隠す←

【問題】
　平面上の△ABCでAB=4, DC=5, AC=3となるものを考え，△ABCの外接円の中心をOとする．また，辺ACを1:5の比に内分する点をPとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　\(\cos\)∠ABCと\(\cos\)∠AOCの値をそれぞれ求めよ．

(2)　\(\small |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\) と\(\cos\)∠POCの値をそれぞれ求めよ．

(3)　内積 \(\small \overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) の値を求めよ．

(4)　点Bと点Pを通る直線が△ABCの外接円と交わる点でBと異なる点をQとする．\(\small \overrightarrow{\mathrm{OQ}}\) を \(\small \overrightarrow{\mathrm{OB}}\) と \(\small \overrightarrow{\mathrm{OP}}\) を用いて表せ．

（2021年金沢大学）

《余弦定理》
AB=c, BC=a, CA=bとおくと

\(\small\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos\mathrm{A}\)

\(\small\displaystyle \cos\mathrm{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

==余弦定理:★==
\(\small\displaystyle \cos\mathrm{B}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)

\(\small\displaystyle =\frac{4^2+5^2-3^2}{2\times 4\times 5}\)

\(\small\displaystyle =\frac{32}{40}=\frac{4}{5}\)

(直角三角形だから，辺の比で答えてもよい)

\(\frac{5}{2}\) \(\frac{5}{2}\)

点Oは直角三角形の斜辺の中点だから，外接円の中心で，点OAは外接円の半径点OC=OBに等しい
\(\cos\)∠AOC=\(\small\displaystyle =\frac{(\frac{5}{2})^2+(\frac{5}{2})^2-3^2}{2\times \frac{5}{2}\times \frac{5}{2}}=\frac{7}{25}\)
（別解）
点Oは直角三角形の斜辺の中点だから，外接円の中心で，中心角∠AOCは，円周角∠ABCの倍角になっている

\(\cos\)∠AOC=\(\small\displaystyle \cos(2\angle\mathrm{ABC})\)

\(\small\displaystyle =2\cos^2(\angle\mathrm{ABC})-1=2\times\frac{16}{25}-1=\frac{7}{25}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}\) とおくと

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{5\vec{a}+\vec{c}}{6}\)

\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2=\frac{1}{36}\left\{25|\vec{a}|^2+|\vec{c}|^2+10\vec{a}\cdot\vec{c}\right\}\)

\(\small\displaystyle =\frac{1}{36}\left\{25\times(\frac{5}{2})^2+(\frac{5}{2})^2+10\times\frac{5}{2}\times\frac{5}{2}\times\frac{7}{25}\right\}\)

\(\small\displaystyle =\cdots=5\)

\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\sqrt{5}\)

\(\small\displaystyle \mathrm{OP}=\sqrt{5},\mathrm{OC}=\frac{5}{2},\mathrm{CP}=3\times\frac{5}{6}=\frac{5}{2}\) だから

\(\cos\)∠POC=\(\small\displaystyle \frac{(\frac{5}{2})^2+(\sqrt{5})^2-(\frac{5}{2})^2}{2\times\frac{5}{2}\times\frac{5}{2}}=\cdots=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)

∠BOC=180°−∠COCだから

\(\cos\)∠BOC=\(-\cos\)∠COC=\(\small\displaystyle -\frac{\sqrt{5}}{5}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{5}{2}\times\sqrt{5}\times(-\frac{\sqrt{5}}{5})=-\frac{5}{2}\)

\(\frac{5}{2}\) \(\frac{5}{2}\)

\(\small \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{BP}}\)

\(\small\displaystyle =\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}})\)

\(\small\displaystyle =(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) とおく

\(\mathrm{Q}\)は，△ABCの外接円上にあるから，\(\small\displaystyle \mathrm{OQ}=\frac{5}{2}\)

\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|^2=(1-t)^2\mathrm{OB}^2+t^2\mathrm{OP}^2+2t(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}\)

\(\small\displaystyle =(1-t)^2\times(\frac{5}{2})^2+t^2\times(\sqrt{5})^2+2t(1-t)\times(-\frac{5}{2})\)

\(\small\displaystyle =\frac{25}{4}+\frac{25}{2}t+\frac{25}{4}t^2+5t^2-5t+5t^2\)

\(\small\displaystyle =\frac{65}{4}t^2-\frac{35}{2}t+\frac{25}{4}=\frac{25}{4}\) より

円周角の定理を使って，\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BQ}}\perp\overrightarrow{\mathrm{CQ}}\) から求めることもできる（計算量は少なくて済む）

\(\small\displaystyle \frac{65}{4}t^2-\frac{35}{2}t=0\hspace{10px}(t\ne 0)\)

\(\small\displaystyle t=\frac{35}{2}\times\frac{4}{65}=\frac{14}{13}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\frac{1}{13}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{14}{13}\overrightarrow{\mathrm{BP}}\)

《全体の印象:個人の感想》
① 普通に勉強をしていたら解けるようになっている.
② 特に，小問の流れがうまく組み立てられていて，自然な形で前の問題の結果が後の問題に使えて，答案作成者から見て進捗状況がわかりやすい．
③ ただし，分数計算などの計算力は必要

【問題】
　△ABCを1辺の長さが1の正三角形とする．辺ABをs:(1−s) (0<s<1)に内分する点をC，辺OAをt:(1−t) (0<t<1)に内分する点をD，辺OBをu:(1−u) (0<u<1)に内分する点をEとする．線分OCと線分DEの交点をFとおく．次の2つの条件について考える．

(a)　線分OCと線分DEは垂直である．

(b)　点Fは線分OCの中点である．

　次の問いに答えよ．

(1)　(a)が成り立つとき，tをsとuを用いて表せ．

(2)　(b)が成り立つとき，tをsとuを用いて表せ．

(3)　(a)と(b)が同時に成り立つとき，tとuをsを用いて表せ．

(4)　(a)と(b)が同時に成り立つとき，△ODEの面積をsを用いて表せ．

（2021年埼玉大学後期理･工）

==基本:★==
\(\small \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}\) とおくと

\(\small\displaystyle |\vec{a}|=|\vec{b}|=1, \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{2}\)

\(\small \overrightarrow{\mathrm{OC}}=(1-s)\vec{a}+s\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{DE}}=u\vec{b}-t\vec{a}\) について

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}\perp\overrightarrow{\mathrm{DE}}\) より

\(\small\displaystyle \left\{(1-s)\vec{a}+s\vec{b}\right\}\cdot\left\{u\vec{b}-t\vec{a}\right\}=0\)

\(\small\displaystyle (1-s)u\vec{a}\cdot\vec{b}+su|\vec{b}|^2-t(1-s)|\vec{a}|^2-st\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)

\(\small\displaystyle \frac{1}{2}(1-s)u+su-t(1-s)-\frac{1}{2}st=0\)

\(\small\displaystyle (1-s)u+2su-2t(1-s)-st=0\)

\(\small\displaystyle u-su+2su-2t+2st-st=0\)

\(\small\displaystyle (2-s)t=u(s+1)\)

\(\small\displaystyle t=\frac{u(s+1)}{2-s}\)

\(\small \overrightarrow{\mathrm{OF}}=t\vec{a}+k(u\vec{b}-t\vec{a})\)

\(\small\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{(1-s)\vec{a}+s\vec{b}\right\}\)

《ベクトルの1次独立:ベクトルで表された２直線の交点の求め方》
\(\vec{a}\)∦\(\vec{b}\)，\(\vec{a},\vec{b}\ne\vec{0}\)のとき

\(s\vec{a}+t\vec{b}=s'\vec{a}+t'\vec{b}\) ⇔ \(s=s',t=t'\)

\(\vec{a}\)∦\(\vec{b}\)，\(\vec{a},\vec{b}\ne\vec{0}\) だから

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{ll}t(1-k)=\dfrac{1}{2}(1-s)\\ ku=\dfrac{1}{2}s\end{array}\right.\)

\(k\) 消去

\(\small \displaystyle t(1-\frac{s}{2u})=\frac{1}{2}(1-s)\)

\(\small \displaystyle t(\frac{2u-s}{2u})=\frac{1-s}{2}\)

\(\small \displaystyle t=\frac{u(1-s)}{2u-s}\)

\(\small\displaystyle \frac{\cancel{u}(s+1)}{2-s}=\frac{\cancel{u}(1-s)}{2u-s}\)

\(\small \displaystyle (s+1)(2u-s)=(1-s)(2-s)\)

\(\small \displaystyle 2us+2u-s^2-s=2-2s-s+s^2\)

\(\small \displaystyle (2s+2)u=2s^2-2s+2\)

\(\small \displaystyle u=\frac{s^2-s+1}{s+1}\)

\(\small \displaystyle t=\frac{u(s+1)}{2-s}=\frac{s^2-s+1}{s+1}\times\frac{s+1}{2-s}\)

\(\small \displaystyle =\frac{s^2-s+1}{2-s}\)

\(\small\displaystyle \cos\angle\mathrm{BOA}=60^{\circ}=\frac{1}{2}\) だから

\(\small\displaystyle \sin\angle\mathrm{BOA}=\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\small\displaystyle \mathrm{\triangle ODE}=ut\times\mathrm{\triangle OAB}\)

\(\small \displaystyle =\frac{s^2-s+1}{s+1}\times \frac{s^2-s+1}{2-s}\times\frac{1}{2}\times 1\times \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\small \displaystyle =\frac{\sqrt{3}(s^2-s+1)^2}{4(s+1)(2-s)}\)

【問題】
　平面上にAB=3, DC=7, CA=6となる△ABCを考える．∠BACの2等分線と辺BCの交点をPとする．tを0<t<1を満たす実数とし，辺ABをt : (1−t)に内分する点をQとする．線分APと線分CQの交点をRとする．以下の問いに答えなさい．

(1)　\(\cos\)∠BACを求めなさい．

(2)　△ABCの面積を求めなさい．

(3)　△APCの面積を求めなさい．

(4)　△AQRと△RPCの面積の比が3 : 2となるtの値を求めなさい．

（2021年東京都立大学）

==教科書レベル:★==
AB=c, BC=a, CA=bとおくと，余弦定理により

\(\small\displaystyle \cos\mathrm{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

\(\small\displaystyle =\frac{6^2+3^2-7^2}{2\times 6\times 3}\)

\(\small\displaystyle =-\frac{4}{36}=-\frac{1}{9}\)

==教科書レベル:★==

\(\small\displaystyle S=\frac{1}{2}bc\sin\mathrm{A}\)

ここで，(1)の結果から

\(\small\displaystyle \sin\mathrm{A}=\sqrt{1-(-\frac{1}{9})^2}=\frac{4\sqrt{5}}{9}\)

だから

\(\small\displaystyle S=\frac{1}{2}\times 6\times 3\times \frac{4\sqrt{5}}{9}=4\sqrt{5}\)

==中学校で習う:★==
APは∠BACの二等分線だから

BP:PC=BA:AC

=3:6=1:2

△ABCと△APCは，高さが共通で，底辺の比が3:2だから，面積の比も3:2

\(\small\displaystyle \triangle\mathrm{APC}=\frac{2}{3}\triangle\mathrm{ABC}\)

\(\small\displaystyle =\frac{2}{3}\times 4\sqrt{5}=\frac{8}{3}\sqrt{5}\)

《三角形の面積比》
〇1　高さ(\(\small\mathrm{AB}\)から\(\mathrm{C}\)までの距離)が共通のとき，面積比は底辺の長さの比になる

\(\small\displaystyle \triangle\mathrm{ADC}=\mathrm{\frac{AD}{AB}}\triangle\mathrm{ABC}\)

〇2　１つの頂点を共有している場合

\(\small\displaystyle \triangle\mathrm{RPC}=\mathrm{\frac{CR}{CQ}\times\frac{CP}{CB}}\)
\(\small\displaystyle \times\triangle\mathrm{ABC}\)

==中学校で習う:★★==
ARは∠QACの二等分線だから

QR:RC=3t:6=t:2

\(\small\displaystyle \mathrm{\triangle AQR}=\frac{t}{t+2}\mathrm{\triangle AQC}\)

\(\small\displaystyle =\frac{t}{t+2}\times t\mathrm{\triangle ABC}\) …(#1)

\(\small\displaystyle \mathrm{\triangle RPC}=\frac{2}{t+2}\times\frac{2}{3}\mathrm{\triangle BQC}\)

\(\small\displaystyle =\frac{2}{t+2}\times\frac{2}{3}(1-t)\mathrm{\triangle ABC}\)

\(\small\displaystyle =\frac{4(1-t)}{3(t+2)}\mathrm{\triangle ABC}\) …(#2)

(#1)(#2)の比率が3:2だから

\(\small\displaystyle \frac{t^2}{\cancel{t+2}}:\frac{4(1-t)}{3\cancel{(t+2)}}=3:2\)

\(\small\displaystyle 2t^2=4(1-t)\)

\(\small\displaystyle t^2=2(1-t)\)

\(\small\displaystyle t^2+2t-2=0\)

\(\small\displaystyle t=-1\pm\sqrt{3}\)

\(t\gt 0\) だから

\(\small\displaystyle t=-1+\sqrt{3}\)

--#角の二等分線, #2直線の交点, #内心--

【問題】
　平面上の三角形ABCは∠BAC=60°の三角形で，AB=5, AC=8とする．∠BACの二等分線と辺BCの交点をDとし，∠ABCの二等分線と辺ACの交点をEとする．

(1)　辺BCの長さを求めよ．

(2)　\(\small \overrightarrow{\mathrm{AD}}, \overrightarrow{\mathrm{BE}}\) を \(\small \overrightarrow{\mathrm{AB}}\) と \(\small \overrightarrow{\mathrm{AC}}\) を用いて表せ．

(3)　線分ADと線分BEの交点をIとするとき，\(\small \overrightarrow{\mathrm{AI}}\) を \(\small \overrightarrow{\mathrm{AB}}\) と \(\small \overrightarrow{\mathrm{AC}}\) を用いて表せ．

（2021年鹿児島大学）

==教科書レベル:★==
AB=c=5, AC=b=8, BC=aとすると，余弦定理により

\(\small\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos\mathrm{A}\)

\(\small\displaystyle =5^2+8^2-2\times 5\times 8\times \cos 60^{\circ}\)

\(\small\displaystyle =25+64-40=49\)

\(\small\displaystyle a=7(=\mathrm{BC})\)

==教科書レベル:★==

《角の二等分線に関する定理》

OPが∠AOBの二等分線であるとき

AP:PB=AO:OB

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{b\overrightarrow{\mathrm{OA}}+a\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{a+b}\)

※PはABをa:bに内分する

ADは∠BACの二等分線であるから

BD:DC=5:8

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{8\overrightarrow{\mathrm{AB}}+5\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{13}\)

BEは∠ABCの二等分線であるから

AE:EC=5:7

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{5}{12}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BE}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{5}{12}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)

==教科書レベル:★==

《ベクトルの1次独立:ベクトルで表された２直線の交点の求め方》
\(\vec{a}\)∦\(\vec{b}\)，\(\vec{a},\vec{b}\ne\vec{0}\)のとき

\(s\vec{a}+t\vec{b}=s'\vec{a}+t'\vec{b}\) ⇔ \(s=s',t=t'\)

IはAD上にあるから

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AI}}=s\overrightarrow{\mathrm{AD}}=s\frac{8\overrightarrow{\mathrm{AB}}+5\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{13}\) と書ける…(#1)

また，IはAE上にあるから

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t(-\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{5}{12}\overrightarrow{\mathrm{AC}})\)

\(\small\displaystyle =(1-t)\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{5t}{12}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) と書ける…(#2)

(#1)(#2)から

\(\small\displaystyle s\frac{8\overrightarrow{\mathrm{AB}}+5\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{13}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{5t}{12}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)

\(\small\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)∦\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)，\(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\ne\vec{0}\) だから

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{ll}\dfrac{8s}{13}=1-t \\ \dfrac{5s}{13}=\dfrac{5t}{12}\end{array}\right.\)

この連立方程式を解くと

\(\small\displaystyle s=\frac{13}{20},t=\frac{3}{5}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{2}{5}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)

--#外分, #三角形の内部及び周上の表し方--

【問題】
　三角形OABに対し，辺OAを3:2に外分する点をC，辺OBを4:3に外分する点をD，辺ABの中点をMとおく．s, tを実数とし，

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)

とする．

(1)　等式 \(\small\displaystyle 3\overrightarrow{\mathrm{OP}}+4\overrightarrow{\mathrm{CP}}+5\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\vec{0}\) が成り立つとき，s, tの値を求めなさい．

(2)　点Pが直線OMと直線CDの交点であるとき，s, tの値を求めなさい．

(3)　点Pが三角形OCMの内部および周上を動くとき，点(s, t)の存在範囲をst平面上に図示しなさい．

（2021年大分大学理工他）

\(\vec{a}\) \(\vec{b}\)

==教科書レベル:★==
\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a},\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}\) とおくと

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=3\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OD}}=4\vec{b}\)

　右図のように，3倍および4倍になることは見た目で分かるが，
　内分(外分)点の公式を使う場合は
\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{-2\hspace{3px}\vec{0}+3\vec{a}}{3-2}=3\vec{a}\)
\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{-3\hspace{3px}\vec{0}+4\vec{b}}{4-3}=4\vec{b}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\vec{a}+t\vec{b}\)

これらを使って，与えられた等式を書き直すと

\(\small\displaystyle 3(s\vec{a}+t\vec{b})+4(s\vec{a}+t\vec{b}-3\vec{a})+5(s\vec{a}+t\vec{b}-4\vec{b})=\vec{0}\)

\(\small\displaystyle (12s-12)\vec{a}+(12t-20)\vec{b}=\vec{0}\)

\(\vec{a}\)∦\(\vec{b}\)，\(\vec{a},\vec{b}\ne\vec{0}\)のとき

\(s\vec{a}+t\vec{b}=s'\vec{a}+t'\vec{b}\) ⇔ \(s=s',t=t'\)

\(s\vec{a}+t\vec{b}=\vec{0}\) ⇔ \(s=t=0\)

\(\small\displaystyle 12s-12=0, 12t-20=0\)

\(\small\displaystyle s=1, t=\frac{5}{3}\)

PはOM上にあるから

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k\overrightarrow{\mathrm{OM}}=k\times\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\)

\(\small\displaystyle =\frac{k}{2}\vec{a}+\frac{k}{2}\vec{b}\) …(#1)

PはCD上にあるから

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+l\overrightarrow{\mathrm{CD}}\)

\(\small\displaystyle =(3-3l)\vec{a}+4l\vec{b}\) …(#2)

\(\vec{a}\)∦\(\vec{b}\)，\(\vec{a},\vec{b}\ne\vec{0}\)だから，(#1)(#2)より

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{ll}\dfrac{k}{2}=3-3l \\ \dfrac{k}{2}=4l\end{array}\right.\)

この連立方程式を解くと

\(\small\displaystyle k=\frac{24}{7},l=\frac{3}{7}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{24}{7}\times\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}=\frac{12}{7}\vec{a}+\frac{12}{7}\vec{b}\)

\(\small\displaystyle s=t=\frac{24}{7}\)

《三角形の内部および周上：まとめ》

\(\vec{a}\) \(\vec{b}\) \(\vec{a}\) \(\vec{b}\) \(\vec{a}\) \(\vec{b}\)

\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)

の表す図形は
① ⇔ \(\small\displaystyle s\geqq 0, t\geqq 0, s+t\leqq 1\)
② ⇔ \(\small\displaystyle s\leqq 1, t\leqq 1, s+t\geqq 1\)
③ ⇔ \(\small\displaystyle s\geqq 0, t\leqq 1, s\leqq t\)
④ ⇔ \(\small\displaystyle s\leqq 1, t\geqq 0, s\geqq t\)
⑤ ⇔ \(\small\displaystyle s\geqq 0, t\geqq 0, \frac{1}{2}\leqq s+t\leqq 1\)

\(\vec{a}\) \(\vec{b}\)

点Pが三角形OCMの内部および周上を動くとき

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{\mathrm{OC}}+y\overrightarrow{\mathrm{OM}}\)

\(\small\displaystyle (0\leqq x,0\leqq y, x+y\leqq 1)\)

を満たす．この式を(s, t)の式に直す

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\times 3\vec{a}+y(\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2})\)

\(\small\displaystyle =(3x+\frac{y}{2})\vec{a}+\frac{y}{2}\vec{b}\)

\(\small\displaystyle (0\leqq x,0\leqq y, x+y\leqq 1)\) …(#3)

\(\small\displaystyle (3x+\frac{y}{2}=s,\frac{y}{2}=t)\) …(#4)

(#4)から

\(\small\displaystyle x=\frac{s-t}{3},y=2t\)

これを(#3)に当てはめると

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{lll}s\geqq t\\t\geqq 0\\ 2t+\dfrac{s-t}{3}\leqq 1\end{array}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{lll}s\geqq t\\t\geqq 0\\ s+5t\leqq 3\end{array}\right. \)

これをst平面上に図示すると

\(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{3}{5}\)

右図の赤線の内部および周上
→解答を隠す←

--#三角形の内部及び周上--

【問題】
　△ABCにおいて，AB=3, AC=4であって，\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}\) と \(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}\) の内積が \(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=4\sqrt{5}\) を満たす．点Pが次の条件を満たしながら動くとき，点Pの存在範囲の面積を求めよ．

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}},\hspace{5px}s\geqq 0,\hspace{5px}t\geqq 0,\hspace{5px}1\leqq\frac{3}{2}s+\frac{4}{3}t\leqq 2\)

（2021年福岡教育大学）

\(\small\displaystyle s\geqq 0,\hspace{5px}t\geqq 0,\hspace{5px}1\leqq\frac{3}{2}s+\frac{4}{3}t\leqq 2\) となるのは右図の赤線で囲まれた範囲
次に，\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=3, |\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=4, \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=4\sqrt{5}\) より

\(\frac{3}{4}\) \(\frac{3}{2}\) \(\frac{2}{3}\) \(\frac{4}{3}\) \(\mathrm{C}^{"}\) \(\mathrm{C}^{'}\) \(\mathrm{B}^{'}\) \(\mathrm{B}^{"}\)

\(\small\displaystyle \cos\mathrm{A}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}\)

\(\small\displaystyle =\frac{4\sqrt{5}}{3\times 4}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)

\(\small\displaystyle \sin\mathrm{A}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{5}}{3})^2}=\frac{2}{3}\)

\(\small\displaystyle \mathrm{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times 3\times 4\times \frac{2}{3}=4\)

\(\small\displaystyle \mathrm{\triangle AB^{"}C^{"}}=\frac{4}{3}\times\frac{3}{2}\times\mathrm{\triangle ABC}=2\mathrm{\triangle ABC}\)

\(\small\displaystyle \mathrm{\triangle AB^{'}C^{'}}=\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\times\mathrm{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\mathrm{\triangle ABC}\)

\(\small\displaystyle \mathrm{\triangle AB^{"}C^{"}}-\mathrm{\triangle AB^{'}C^{'}}=\frac{3}{2}\mathrm{\triangle ABC}=\frac{3}{2}\times 4=6\)

--#三角形の内部及び周上--

【問題】
　O, A, Bは平面上の点で，\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{7},|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=2,\)\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=1\) を満たすとする． \(\small\displaystyle \vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) として，以下の問いに答えよ．

(1)　\(\small\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=5\) を示せ．さらに△OABの面積を求めよ．

(2)　\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot(2\vec{a}-3\vec{b})=-1\) となる平面上の点Pに対して，\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\) の最小値を求めよ．さらに，このときの \(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\) を \(\small\displaystyle \vec{a}\) と \(\small\displaystyle \vec{b}\) を用いて表せ．

(3)　\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s\vec{a}+t\vec{b}\) とおく． \(\small\displaystyle s\geqq 0,t\geqq 0\) で，\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot(2\vec{a}-3\vec{b})\geqq-\frac{1}{2}\) を満たす点 \(\small\displaystyle \mathrm{Q}\) の存在する範囲はどのような図形になるか．また，その面積を求めよ．

（2021年三重大学）

《 \(\small\displaystyle\mathrm{\triangle OAB}\) の面積》
\(\small\displaystyle\cos\theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{\mathrm{OA\cdot OB}}\)
　　↓
\(\small\displaystyle\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}\)
　　↓
　　\(\small\displaystyle\mathrm{\triangle OAB}=\frac{1}{2}\mathrm{OA\cdot OB}\cdot\sin\theta\)
よく使う場合は，次の式を覚えて使うこともある
　　\(\small\displaystyle\mathrm{\triangle OAB}=\frac{1}{2}\sqrt{\mathrm{OA^2\cdot OB^2}-(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}})^2}\)

\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=|\vec{b}-\vec{a}|=1\) だから

\(\small\displaystyle |\vec{b}|^2+|\vec{a}|^2-2\vec{b}\cdot\vec{a}=1^2\)

\(\small\displaystyle 4+7-2\vec{b}\cdot\vec{a}=1\)

\(\small\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=5\)

\(\small\displaystyle\mathrm{\triangle OAB}=\frac{1}{2}\sqrt{\mathrm{OA^2\cdot OB^2}-(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}})^2}\)

\(\small\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{(\sqrt{7})^2\times 2^2-5^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\vec{a}+t\vec{b}\) とおく

\(\small\displaystyle (s\vec{a}+t\vec{b})\cdot(2\vec{a}-3\vec{b})=-1\)

\(\small\displaystyle 2s|\vec{a}|^2+2t\vec{a}\cdot\vec{b}-3s\vec{a}\cdot\vec{b}-3t|\vec{b}|^2=-1\)

\(\small\displaystyle 14s+10t-15s-12t=-1\)

\(\small\displaystyle s+2t=1\)

このとき

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-2t)\vec{a}+t\vec{b}\)

\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2=(1-2t)^2|\vec{a}|^2+t^2|\vec{b}|^2+2t(1-2t)\vec{a}\cdot\vec{b}\)

\(\small\displaystyle =7(1-2t)^2+4t^2+10t(1-2t)\)

\(\small\displaystyle =12t^2-18t+7\)

\(\small\displaystyle =12(t-\frac{3}{4})^2+\frac{1}{4}\)

したがって

\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\) の最小値は \(\small\displaystyle \frac{1}{2}\)

このとき

\(\small\displaystyle t=\frac{3}{4},s=1-2t=-\frac{1}{2}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}\)

\(\small\displaystyle (s\vec{a}+t\vec{b})\cdot(2\vec{a}-3\vec{b})\geqq-\frac{1}{2}\) より

\(\small\displaystyle 2s|\vec{a}|^2+2t\vec{a}\cdot\vec{b}-3s\vec{a}\cdot\vec{b}-3t^2|\vec{b}|^2\geqq-\frac{1}{2}\)

\(\small\displaystyle 14s+10t-15s-12t\geqq-\frac{1}{2}\)

\(\small\displaystyle -s-2t\geqq-\frac{1}{2}\)

\(\small\displaystyle s+2t\leqq\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{4}\)

\(\left\{\begin{array}{lll}s\geqq 0\\ t\geqq 0\\ s+2t\leqq\frac{1}{2}\end{array}\right.\)
を満たす点 \(\small\displaystyle \mathrm{Q}\) の存在する範囲は，右図の赤線およびその内部
　　\(\small\displaystyle \mathrm{\triangle OAB}=\frac{1}{2}\sqrt{\mathrm{OA^2\cdot OB^2}-(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}})^2}\)
　　\(\small\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{(\sqrt{7})^2\times 2^2-5^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
求める面積は

\(\small\displaystyle \mathrm{\triangle OAB}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{3}}{16}\)

--#三角形の面積--

【問題】
　tを正の実数とする．平面上に点Oを中心とする半径1の円がある．その円周上の異なる3点A, B, Cが

\(\small\displaystyle t\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(t+1)\overrightarrow{\mathrm{OB}}=-(t+2)\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)

をみたしているとする．以下の問いに答えよ．

(1)　内積\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) をtを用いて表せ．

(2)　t>1であることを示せ．

(3)　t=3のとき，三角形ABCの面積を求めよ．

（2021年奈良女子大学理学部他）

式を簡単にするために,\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a},\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b},\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}\) とおくと
A, B, Cは半径1の円周上の点だから

\(\small\displaystyle |\vec{a}|=1,|\vec{b}|=1,|\vec{c}|=1\)

\(\small\displaystyle t\vec{a}+(t+1)\vec{b}=-(t+2)\vec{c}\) の辺々に同じベクトルとの内積を作ると

\(\small\displaystyle t^2|\vec{a}|^2+(t+1)^2|\vec{b}|^2+2t(t+1)\vec{a}\cdot\vec{b}=(t+2)^2|\vec{c}|^2\)

\(\small\displaystyle t^2+(t+1)^2+2t(t+1)\vec{a}\cdot\vec{b}=(t+2)^2\)

\(\small\displaystyle 2t(t+1)\vec{a}\cdot\vec{b}=t^2+4t+4-t^2-t^2-2t-1\)

\(\small\displaystyle =-t^2+2t+3=-(t^2-2t-3)=-(t-3)(t+1)\)

\(\small\displaystyle t\gt 0\) だから

\(\small\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=-\frac{t-3}{2t}\)

(1)の結果および \(\small\displaystyle |\vec{a}|=1,|\vec{b}|=1,\vec{a}\ne\vec{b}\) から

\(\small\displaystyle -1\leqq\vec{a}\cdot\vec{b}\lt 1\)

　公式を暗記してきたぐらいでは，解けない!!
　研究者向きの受験生歓迎

すなわち

\(\small\displaystyle -1\leqq -\frac{t-3}{2t}\lt 1\)

\(\small\displaystyle t\gt 0\) により

\(\small\displaystyle -2t\leqq -(t-3)\lt 2t\)

\(\small\displaystyle t\geqq -3, t\gt 1\)

ゆえに

\(\small\displaystyle t\gt 1\)

\(S_1\) \(S_2\) \(S_3\)

《 \(\small\displaystyle\mathrm{\triangle OAB}\) の面積》
\(\small\displaystyle\mathrm{\triangle OAB}=\frac{1}{2}\mathrm{OA\cdot OB}\cdot\sin(\angle\mathrm{AOB})\)
ここで，\(\small\displaystyle\cos(\angle\mathrm{AOB})=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}||\overrightarrow{\mathrm{OB}}|}\) だから
\(\displaystyle\mathrm{\triangle OAB}=\frac{1}{2}\mathrm{OA\cdot OB}\cdot\sqrt{1-\left(\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}||\overrightarrow{\mathrm{OB}}|}\right)^2}\)
\(\small\displaystyle=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2-(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}})^2}\)

t=3のとき，(1)の結果から

\(\small\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=-\frac{t-3}{2t}=0\)

\(\small\displaystyle\angle\mathrm{AOB}=90^{\circ}\) だから

\(\displaystyle S_1=\mathrm{\triangle OAB}=\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}\) …(#1)

問題文の式から

\(\small\displaystyle 3\vec{a}+4\vec{b}=-5\vec{c}\)

\(\small\displaystyle 3\vec{a}\cdot\vec{b}+4\vec{b}\cdot\vec{b}=-5\vec{c}\cdot\vec{b}\)

\(\small\displaystyle 4=-5\vec{c}\cdot\vec{b}\)

\(\small\displaystyle \vec{c}\cdot\vec{b}=-\frac{4}{5}\)

\(\displaystyle S_2=\mathrm{\triangle OBC}=\frac{1}{2}\times 1\times 1\times\sqrt{1-(-\frac{4}{5})^2}\)

\(\displaystyle =\frac{1}{2}\times 1\times 1\times \frac{3}{5}=\frac{3}{10}\) …(#2)

\(\small\displaystyle 3\vec{a}\cdot\vec{a}+4\vec{b}\cdot\vec{a}=-5\vec{c}\cdot\vec{a}\)

\(\small\displaystyle 3=-5\vec{c}\cdot\vec{a}\)

\(\small\displaystyle \vec{c}\cdot\vec{a}=-\frac{3}{5}\)

\(\displaystyle S_3=\mathrm{\triangle OCA}=\frac{1}{2}\times 1\times 1\times\sqrt{1-(-\frac{3}{5})^2}\)

\(\displaystyle =\frac{1}{2}\times 1\times 1\times \frac{4}{5}=\frac{2}{5}\) …(#3)

\(\displaystyle \mathrm{\triangle ABC}=S_1+S_2+S_3=\frac{1}{2}+\frac{3}{10}+\frac{2}{5}=\frac{6}{5}\)

《参考》♪～Google geminiによる答案～♪
※問題文のベクトルを文字式として送信するには工夫が必要であるが，Google geminiに解いてもらった場合
(1)(2)は上記の答案とほぼ同様の答案が示された
(3)は，座標系を導入した答案例が示された

■空間図形■
--#外分点，3点が一直線上にある条件--

【問題】
　四面体ABCDがある．辺OAを2 : 1に外分する点をDとし，辺OBを3 : 2に外分する点をEとし，辺OCを4 : 3に外分する点をFとする．点Pは辺ABの中点であり，点Qは線分EC上にあり，点Rは直線DF上にある．3点P, Q, Rが一直線上にあるとき，線分の長さの比EQ : QCおよびPQ : QRを求めよ．

（2021年京都工芸繊維大学前期）

［解答を見る］

==基本★==

《ABをm:nに外分する点P》

m, nを測るとき「片足はPを踏むこと」

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a},\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b},\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}\) とおく

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{-1\hspace{3px}\vec{0}+2\vec{a}}{2-1}=2\vec{a}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{-2\hspace{3px}\vec{0}+3\vec{b}}{3-2}=3\vec{b}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{-3\hspace{3px}\vec{0}+4\vec{c}}{4-3}=4\vec{c}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}\)

QはEC上にあるから

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}+s\overrightarrow{\mathrm{EC}}\)

\(\small\displaystyle =3\vec{b}+s(\vec{c}-3\vec{b})\)

\(\small\displaystyle =(3-3s)\vec{b}+s\vec{c}\)

RはDF上にあるから

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+t\overrightarrow{\mathrm{DF}}\)

\(\small\displaystyle =2\vec{a}+t(4\vec{c}-2\vec{a})\)

\(\small\displaystyle =(2-2t)\vec{a}+4t\vec{c}\)

3点P, Q, Rが一直線上にあるためには

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=k\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\) となる実数 \(k\) が定まることが条件となる

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=\left\{(2-2t)\vec{a}+4t\vec{c}\right\}-(\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b})\)

\(\small\displaystyle =(\frac{3}{2}-2t)\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}+4t\vec{c}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\left\{(3-3s)\vec{b}+s\vec{c}\right\}-(\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b})\)

\(\small\displaystyle =-\frac{1}{2}\vec{a}+(\frac{5}{2}-3s)\vec{b}+s\vec{c}\)

だから

\(\small\displaystyle (\frac{3}{2}-2t)\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}+4t\vec{c}=k\left\{-\frac{1}{2}\vec{a}+(\frac{5}{2}-3s)\vec{b}+s\vec{c}\right\}\)

\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\ne\vec{0}\) であって，かつ　\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) は同一平面上にないから

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{lll}\dfrac{3}{2}-2t=-\dfrac{k}{2}\\-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5k}{2}-3ks\\ 4t=sk\end{array}\right.\) ⇔ \(\small\displaystyle k=-17,s=\frac{14}{17},t=-\frac{7}{2}\)

このとき

\(\small\displaystyle \mathrm{EQ:QC}=s:(1-s)=14:3\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PR}}=-17\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\) だから

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-17\overrightarrow{\mathrm{PQ}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-18\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\)

\(\small\displaystyle \mathrm{PQ}:\mathrm{QR}=1:18\)

--#三角錐の体積--

【問題】
　座標空間の原点Oを中心とする半径1の球面上に点A, B, Cがあり，関係式

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\frac{1}{2},\hspace{10px}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{1}{3},\hspace{10px}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-\frac{1}{6}\)

を満たしているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　△OABの面積を求めよ．

(2)　△OABを含む平面に点Cから垂線CPを下す．このとき

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)

をみたす実数a, bを求めよ．

(3)　四面体OABCの体積を求めよ．

（2021年大阪市立大学前期）

《 \(\small\displaystyle\mathrm{\triangle OAB}\) の面積》
\(\displaystyle\mathrm{\triangle OAB}=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2-(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}})^2}\)

\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1,\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\frac{1}{2}\) だから

\(\small\displaystyle \mathrm{\triangle OAB}=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2-(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}})^2}\)

\(\small\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=a\overrightarrow{\mathrm{OP}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) のとき

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CP}}=a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CP}}\perp\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{CP}}\perp\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) となるように，\(a,b\) を定める

\(\small\displaystyle (a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}})\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}=0\)

\(\small\displaystyle (a|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)

\(\small\displaystyle =0\)

\(\small\displaystyle a+\frac{1}{2}b-\frac{1}{3}=0\) …(#1)

\(\small\displaystyle a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}})\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=0\)

\(\small\displaystyle a\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}+b|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2-\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=0\)

\(\small\displaystyle \frac{1}{2}a+b+\frac{1}{6}=0\) …(#2)

(#1)×2−(#2)

\(\small\displaystyle \frac{3}{2}a-\frac{5}{6}=0\)

\(\small\displaystyle a=\frac{5}{6}\times\frac{2}{3}=\frac{5}{9}\)

\(\small\displaystyle b=\frac{2}{3}-2\times\frac{5}{9}=-\frac{4}{9}\)

(1)の結果から，\(\small\displaystyle \mathrm{\triangle OAB}=\frac{\sqrt{3}}{4}\)
また，\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\frac{5}{9}\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{4}{9}\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)

\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{CP}}|^2=\frac{25}{81}|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2+\frac{16}{81}|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^2\)

\(\small\displaystyle -\frac{40}{81}\times \frac{1}{2}+\frac{8}{9}\times(-\frac{1}{6})-\frac{10}{9}\times\frac{1}{3}\)

\(\small\displaystyle =\frac{20}{27}\)

\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{CP}}|=\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}\)

\(\small\displaystyle V=\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{4}\times\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}}{18}\)

《全体の印象:個人の感想》
① 普通に勉強をしていたら解けるようになっている.
② ただし，分数計算などの計算力は必要

《参考》♪～Google geminiによる答案～♪
※問題文のベクトルを文字式として送信するには工夫が必要であるが，Google geminiに解いてもらった場合
上記の答案とほぼ同様の答案が示された

--#三角形の面積--

【問題】
　正方形BCDEを底面とし，辺の長さがすべて1である四角錘A−BCDEを考える．\(\small\displaystyle \vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}},\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}},\vec{d}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}\) とする．辺BCを1:2に内分する点をPとし，辺DEをt:(1−t)に内分する点をQとする．ただし，tは，0<t<1をみたす実数であるとする．このとき，以下の問いに答えなさい。

(1)　\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}\) と \(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AQ}}\) を \(\small\displaystyle \vec{a},\vec{b},\vec{d},t\) を用いて表しなさい．

(2)　内積 \(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\) を \(t\) を用いて表しなさい．

(3)　△APQの面積Sを \(t\) を用いて表しなさい．

(4)　△APQの面積Sが最小となる \(t\) の値を求め，そのときのSの値を求めなさい．

（2021年東京都立大学前期）

∃∀～意外な落とし穴～∅♪
　BCDEが正方形ということから，\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CE}}\) が他のベクトル \(\small\displaystyle \vec{b},\vec{d}\) で表せることに注意

\(\vec{b}\) \(\vec{d}\) \(\vec{a}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{CP}}-\overrightarrow{\mathrm{CA}}\)

\(\small\displaystyle =\frac{2}{3}\vec{b}-\vec{a}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}+t\overrightarrow{\mathrm{DE}}\)

\(\small\displaystyle =\vec{d}-\vec{a}+t\vec{b}\)

\(\small\displaystyle =-\vec{a}+t\vec{b}+\vec{d}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\)

\(\small\displaystyle =(\frac{2}{3}\vec{b}-\vec{a})\cdot(-\vec{a}+t\vec{b}+\vec{d})\)

\(\small\displaystyle =-\frac{2}{3}\vec{b}\cdot\vec{a}+|\vec{a}|^2+\frac{2}{3}t|\vec{b}|^2-t\vec{a}\cdot\vec{d}+\frac{2}{3}\vec{b}\cdot\vec{d}-\vec{a}\cdot\vec{d}=X\)

ここで，\(\small\displaystyle |\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{d}|=1, \)
\(\small\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{d}=1\times 1\times \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2},\vec{b}\cdot\vec{d}=0\) だから

\(\small\displaystyle X=-\frac{1}{3}+1+\frac{2}{3}t-\frac{1}{2}t+0-\frac{1}{2}\)

\(\small\displaystyle =\frac{1}{6}t+\frac{1}{6}\)

\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2=\frac{4}{9}|\vec{b}|^2+|\vec{a}|^2-\frac{4}{3}\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{4}{9}+1-\frac{2}{3}=\frac{7}{9}\)
\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|^2=|\vec{a}|^2+t^2|\vec{b}|^2+|\vec{d}|^2-2t\vec{a}\cdot\vec{b}+2t\vec{b}\cdot\vec{d}-2\vec{a}\cdot\vec{d}\)
\(\small\displaystyle =1+t^2+1-t+0-1=t^2-t+1\)

\(\small\displaystyle S=\mathrm{\triangle APQ}=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|^2-(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AQ}})^2}\)

\(\small\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{7}{9}(t^2-t+1)-(\frac{1}{6}t+\frac{1}{6})^2}\)

\(\small\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{7}{9}t^2-\frac{7}{9}t+\frac{7}{9}-\frac{1}{36}t^2-\frac{2}{36}t-\frac{1}{36}}\)

\(\small\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{27}{36}t^2-\frac{30}{36}t+\frac{27}{36}}\)

\(\small\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{12}\sqrt{9t^2-10t+9}\)

\(\small\displaystyle S=\frac{\sqrt{3}}{12}\sqrt{9(t^2-\frac{10}{9}t)+9}\)

\(\small\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{12}\sqrt{9(t-\frac{5}{9})^2+\frac{56}{9}}\)

だから，\(\small\displaystyle t=\frac{5}{9}\) のとき，最小値 \(\small\displaystyle S=\frac{\sqrt{3}}{12}\times\frac{56}{3}=\frac{\sqrt{42}}{18}\)

\(\vec{b}\) \(\vec{d}\) \(\vec{a}\) \(Q_1\) \(Q_2\) \(\frac{3}{9}\) \(\frac{6}{9}\) \(Q_1\) \(Q_2\)

《全体の印象:個人の感想》
　砂をかむような機械的な計算を強いられる(こんな計算が好きな人はいないでしょう)が，図形的な意味は
　右図\(\small\displaystyle Q_2\) のとき，高さは最小だが底辺\(\small\displaystyle PQ_2\) が大きい
　\(\small\displaystyle Q_1\) のとき，底辺\(\small\displaystyle PQ_1\) は最小だが高さが大きい
　\(\small\displaystyle Q_1\) よりも \(\small\displaystyle Q_2\) に近い点で面積が最小になる

--#三角形の面積--

【問題】
　右図のように，1辺の長さが1の立方体DEFG−OABCがある．点Lは線分AEを1:1に，点Mは線分CGを3:1に内分する点である．また，3点O, L, Mを通る平面Tは，辺EFおよび辺GFと2点P, Qで交わる．
　\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a},\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c},\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\vec{d}\) とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，(1)については，答えのみでよい．

(1)　\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OL}} , \overrightarrow{\mathrm{OM}}\) を，それぞれ \(\small\displaystyle \vec{a},\vec{c},\vec{d}\) を用いて表せ．また，\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OL}} , \overrightarrow{\mathrm{OM}}\) の大きさ \(\small \displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OL}}| , |\overrightarrow{\mathrm{OM}}|\) および \(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OL}} \) と \(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}\) の内積 \(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OL}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OM}}\) を求めよ．

(2)　\(\cos\)∠LOMの値，および△LOMの面積 \(S_1\) を求めよ．

(3)　EP:PF=p:(1−p) (0<p<1), GQ:QF=q:(1−q) (0<q<1)とする．
　このとき，pとqの値を求め，\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}} , \overrightarrow{\mathrm{OQ}}\) を，それぞれ \(\small\displaystyle \vec{a},\vec{c},\vec{d}\) を用いて表せ．

(4)　\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{LP}} , \overrightarrow{\mathrm{MQ}}\) を，それぞれそれぞれ \(\small\displaystyle \vec{a},\vec{c},\vec{d}\) を用いて表せ．また，五角形OLPQMの面積 \(S_2\) を求めよ．

（2021年長崎大学前期）

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OL}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AL}}=\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{d} \)

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{CM}}=\vec{c}+\frac{3}{4}\vec{d} \)

\(\small \displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OL}}|^2=|\vec{a}|^2+\frac{1}{4}|\vec{d}|^2+\vec{a}\cdot\vec{d} \)
ここで，\(\small \displaystyle |\vec{a}|=|\vec{c}|=|\vec{d}|=1, \vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{d}=\vec{c}\cdot\vec{d}=0\) だから

\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OL}}|^2=1+\frac{1}{4}+0=\frac{5}{4}\)

\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OL}}|=\frac{\sqrt{5}}{2}\)

\(\small \displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OM}}|^2=|\vec{c}|^2+\frac{9}{16}|\vec{d}|^2+\frac{3}{2}\vec{c}\cdot\vec{d} \)

\(\small\displaystyle =1+\frac{\sqrt{9}}{16}=\frac{25}{16}\)

\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OM}}|=\frac{5}{4}\)

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OL}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OM}}=(\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{d})\cdot(\vec{c}+\frac{3}{4}\vec{d}) \)

\(\small\displaystyle =\vec{a}\cdot\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{d}\cdot\vec{c}+\frac{3}{4}\vec{a}\cdot\vec{d}+\frac{3}{8}\vec{d}\cdot\vec{d}\)

\(\small\displaystyle =0+0+0+\frac{3}{8}=\frac{3}{8}\)

\(\small\displaystyle \cos\angle LOM=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OL}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OM}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OL}}||\overrightarrow{\mathrm{OM}}|}\)

\(\small\displaystyle =\frac{\dfrac{3}{8}}{\dfrac{\sqrt{5}}{2}\times\dfrac{5}{4}}=\frac{3}{5\sqrt{5}}\)

\(\small\displaystyle =\frac{3\sqrt{5}}{25}\)

\(\small\displaystyle S_1=\mathrm{\triangle LOM}=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{OL}}|^2|\overrightarrow{\mathrm{OM}}|^2-(\overrightarrow{\mathrm{OL}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OM}})^2}\)

\(\small\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5}{4}\times\frac{25}{16}-(\frac{3}{8})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{116}{64}}=\frac{\sqrt{29}}{8}\)

==平面と直線の交点==

《空間ベクトルの1次独立》
\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\ne\vec{0}\) であって，かつ　\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)　が同一平面上にないとき

\(p\vec{a}+q\vec{b}+r\vec{c}=p'\vec{a}+q'\vec{b}+r'\vec{c}\)
⇔ \(p=p',q=q',r=r'\)

※各ベクトルの係数は，両辺でそれぞれ等しい

Pは△LOMと同一の平面上にあるから

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OL}}+t\overrightarrow{\mathrm{OM}}\)

\(\small\displaystyle =s(\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{d})+t(\vec{c}+\frac{3}{4}\vec{d})\) と書ける…(#1)

また，Pは直線EF上にあるから

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}+p\overrightarrow{\mathrm{EF}}\)

\(\small\displaystyle =\vec{a}+\vec{d}+p\vec{c}\) と書ける…(#2)

\(\vec{a},\vec{c},\vec{d}\ne\vec{0}\) であって，かつ　\(\vec{a},\vec{c},\vec{d}\) は同一平面上にないから，(#1)(#2)により

\(\small\displaystyle s=1,t=p,\frac{s}{2}+\frac{3}{4}t=1\) ⇔ \(\small\displaystyle s=1,t=\frac{2}{3},p=\frac{2}{3}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{c}+\vec{d}\)

Qは△LOMと同一の平面上にあるから

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=v\overrightarrow{\mathrm{OL}}+w\overrightarrow{\mathrm{OM}}\)

\(\small\displaystyle =v(\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{d})+w(\vec{c}+\frac{3}{4}\vec{d})\) と書ける…(#3)

また，Qは直線GF上にあるから

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OG}}+q\overrightarrow{\mathrm{GF}}\)

\(\small\displaystyle =\vec{c}+\vec{d}+q\vec{a}\) と書ける…(#4)

\(\vec{a},\vec{c},\vec{d}\ne\vec{0}\) であって，かつ　\(\vec{a},\vec{c},\vec{d}\) は同一平面上にないから，(#3)(#4)により

\(\small\displaystyle v=q,w=1,\frac{v}{2}+\frac{3}{4}w=1\) ⇔ \(\small\displaystyle v=\frac{1}{2},w=1,q=\frac{1}{2}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{c}+\vec{d}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{LP}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OL}}\)

\(\small\displaystyle =(\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{c}+\vec{d})-(\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{d})\)

\(\small\displaystyle =\frac{2}{3}\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{d}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OM}}\)

\(\small\displaystyle =(\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{c}+\vec{d})-(\vec{c}+\frac{3}{4}\vec{d})\)

\(\small\displaystyle =\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{d}\)

五角形OLPQMの面積を求めるには，(2)で求めた\(\small\displaystyle S_1=\mathrm{\triangle LOM}\) の他に，(2)の解説図で示したように△XLM−△XPQの四角形LMQPを加えるとよい.
△XLMの面積を求める.

そのために，はじめに，直線LPと直線MQの交点Xを求める．
Xは，LP上にあるから

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OX}}=\overrightarrow{\mathrm{OL}}+m\overrightarrow{\mathrm{LP}}\)

\(\small\displaystyle =\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{d}+m(\frac{2}{3}\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{d})\) と書ける…(#5)

また，Xは直線MQ上にあるから

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OX}}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}+n\overrightarrow{\mathrm{MQ}}\)

\(\small\displaystyle =\vec{c}+\frac{3}{4}\vec{d}+n(\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{d})\) と書ける…(#6)

\(\vec{a},\vec{c},\vec{d}\ne\vec{0}\) であって，かつ　\(\vec{a},\vec{c},\vec{d}\) は同一平面上にないから，(#5)(#6)により

\(\small\displaystyle 1=\frac{n}{2},\frac{2}{3}m=1,\frac{1}{2}+\frac{m}{2}=\frac{3}{4}+\frac{n}{4}\) ⇔ \(\small\displaystyle m=\frac{3}{2},n=2\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OX}}=\vec{a}+\vec{c}+\frac{5}{4}\vec{d}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{XL}}=\vec{c}+\frac{3}{4}\vec{d},\hspace{10px}|\overrightarrow{\mathrm{XL}}|^2=|\vec{c}|^2+\frac{9}{16}|\vec{d}|^2+\frac{3}{2}\vec{c}\cdot\vec{d}=\frac{25}{16}\)
\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{XM}}=\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{d},\hspace{10px}|\overrightarrow{\mathrm{XM}}|^2=|\vec{a}|^2+\frac{1}{4}|\vec{d}|^2+\vec{a}\cdot\vec{d}=\frac{5}{4}\)
\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{XL}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{XM}}=(\vec{c}+\frac{3}{4}\vec{d})\cdot(\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{d})\)

\(\small\displaystyle =\vec{c}\cdot\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{d}\cdot\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{c}\cdot\vec{d}+\frac{3}{8}|\vec{d}|^2=\frac{3}{8}\)

\(\small\displaystyle S_2=\mathrm{\triangle XLM}=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{XL}}|^2|\overrightarrow{\mathrm{XM}}|^2-(\overrightarrow{\mathrm{XL}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{XM}})^2}\)

\(\small\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{25}{16}\times\frac{5}{4}-(\frac{3}{8})^2}=\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{116}}{8}=\frac{\sqrt{29}}{8}\)

\(\small\displaystyle S_3=\mathrm{\triangle XPQ}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\mathrm{\triangle XLM}=\frac{\sqrt{29}}{48}\)

\(\small\displaystyle S_1+(S_2-S_3)=\frac{\sqrt{29}}{8}+(\frac{\sqrt{29}}{8}-\frac{\sqrt{29}}{48})=\frac{11}{48}\sqrt{29}\)

《全体の印象:個人の感想》
　普通に勉強していれば，無理なく解けるようになっている．
　それぞれの問題で，分かっていること，求めたいことが明確なので，方向を見失うことはないと思う．
　ただし，分数計算などを冷静にやり遂げる力は必要．（∃∀～分数計算のてんこ盛り，ヒーコラ～∅♪）

--#平面と直線の交点--

【問題】
　1辺の長さが2の正四面体OABCがある．点Pは \(\small\displaystyle 3\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}+2\overrightarrow{\mathrm{PB}}\) を満たす．△ABCの重心をGとし， \(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a},\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b},\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}\) とする．

(1)　\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\) を \(\small\displaystyle \vec{a},\vec{b}\) を用いて表せ．

(2)　直線PGと平面OBCの交点をQとする．\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}\) を \(\small\displaystyle \vec{b},\vec{c}\) を用いて表せ．

(3)　点Dは平面OAC上を動く．(2)のQに対して，\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{QD}}|\) の最小値を求めよ．

（2021年徳島大学前期）

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\vec{p}\) とする

\(\small\displaystyle 3\vec{p}=(\vec{p}-\vec{a})+2(\vec{b}-\vec{p})\)

\(\small\displaystyle 3\vec{p}=\vec{p}-\vec{a}+2\vec{b}-2\vec{p}\)

\(\small\displaystyle 4\vec{p}=-\vec{a}+2\vec{b}\)

\(\small\displaystyle \vec{p}=-\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}\)

\(\vec{a}\) \(\vec{b}\) \(\vec{c}\)

(1)の結果から，\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=-\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}\)
また，重心は，\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\)
QはGP上にあるから

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OG}}+s\overrightarrow{\mathrm{GP}}\)

\(\small\displaystyle =\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}+s(-\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}-\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3})\) …(#1)

また，Qは平面OBC上にあるから

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=v\overrightarrow{\mathrm{OB}}+W\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)

\(\small\displaystyle =v\vec{b}+w\vec{c}\) …(#2)

\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\ne\vec{0}\) であって，かつ　\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) は同一平面上にないから，(#1)(#2)により

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{lll}\dfrac{1}{3}-\dfrac{7}{12}s=0\\ \dfrac{1}{3}+\dfrac{s}{6}=v\\\dfrac{1}{3}-\dfrac{s}{3}=w\end{array}\right.\) ⇔ \(\small\displaystyle s=\frac{4}{7},v=\frac{3}{7},w=\frac{1}{7}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{3}{7}\vec{b}+\frac{1}{7}\vec{c}\)

点Dは平面OAC上にあるから

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}}=m\overrightarrow{\mathrm{OA}}+n\overrightarrow{\mathrm{OC}}=m\vec{a}+n\vec{c}\) と書ける

\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{QD}}|\) が最小となるのは \(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{QD}}|\) が平面OACと垂直になる場合だから，\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{QD}}\perp\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) かつ \(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{QD}}\perp\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) が条件となる
\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{QD}}=m\vec{a}+n\vec{c}-(\frac{3}{7}\vec{b}+\frac{1}{7}\vec{c})=m\vec{a}-\frac{3}{7}\vec{b}+(n-\frac{1}{7})\vec{c}\) より

\(\small\displaystyle |\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=2\)
\(\small\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}=2\)
\(\small\displaystyle \vec{b}\cdot\vec{c}=2\)

\(\small\displaystyle \left\{m\vec{a}-\frac{3}{7}\vec{b}+(n-\frac{1}{7})\vec{c}\right\}\cdot\vec{a}=0\)

\(\small\displaystyle m|\vec{a}|^2-\frac{3}{7}\vec{b}\cdot\vec{a}+(n-\frac{1}{7})\vec{c}\cdot\vec{a}=0\)

\(\small\displaystyle 4m-\frac{6}{7}+2(n-\frac{1}{7})=0\)

\(\small\displaystyle 2m+n=\frac{4}{7}\) …(#3)

同様に

\(\small\displaystyle \left\{m\vec{a}-\frac{3}{7}\vec{b}+(n-\frac{1}{7})\vec{c}\right\}\cdot\vec{c}=0\)

\(\small\displaystyle m\vec{a}\cdot\vec{c}-\frac{3}{7}\vec{b}\cdot\vec{c}+(n-\frac{1}{7})|\vec{c}|^2=0\)

\(\small\displaystyle 2m-\frac{6}{7}+4(n-\frac{1}{7})=0\)

\(\small\displaystyle m+2n=\frac{5}{7}\) …(#4)

(#3)(#4)より，

\(\small\displaystyle m=\frac{1}{7}, n=\frac{2}{7}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{QD}}=\frac{1}{7}\vec{a}-\frac{3}{7}\vec{b}+\frac{1}{7}\vec{c}\)

\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{QD}}|^2=\frac{1}{49}|\vec{a}|^2+\frac{9}{49}|\vec{b}|^2+\frac{1}{49}|\vec{c}|^2\)

\(\small\displaystyle -\frac{6}{49}\vec{a}\cdot\vec{b}-\frac{6}{49}\vec{b}\cdot\vec{c}+\frac{2}{49}\vec{a}\cdot\vec{c}\)

\(\small\displaystyle =\frac{4}{49}+\frac{36}{49}+\frac{4}{49}-\frac{12}{49}-\frac{12}{49}+\frac{4}{49}=\frac{24}{49}\)

\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{QD}}|=\frac{2\sqrt{6}}{7}\)

--#同一平面上にあるための条件--

【問題】
　空間内に，同一平面上にない4点O, A, B, Cがある．s, tを0<s<1, 0<t<1をみたす実数とする．線分OAを1:1に内分する点をA₀，線分OBを1:2に内分する点をB₀，線分ACをs:(1−s)に内分する点をP，線分BCをt:(1−t)に内分する点をQとする．さらに，4点A₀, B₀, P, Qが同一平面上にあるとする．

(1)　tをsを用いて表せ．

(2)　\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=1, |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=2 \), ∠AOB=120°, ∠BOC=90°, ∠COA=60°, ∠POQ=90°であるとき，sの値を求めよ．

（2021年大阪大学前期）

\(\mathrm{A}_0\) \(\mathrm{B}_0\) \(\vec{a}\) \(\vec{b}\) \(\vec{c}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b},\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c} \) とする．

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA_0}}=\frac{1}{2}\vec{a}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB_0}}=\frac{1}{3}\vec{b}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s)\vec{a}+s\vec{c}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-t)\vec{b}+t\vec{c}\) …(#1)

4点A₀, B₀, P, Qが同一平面上にあるという条件は，3点A₀, B₀, Pで定まる平面上に点Qがあるということと同じだから

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OA_0}}+m\overrightarrow{\mathrm{A_0B_0}}+n\overrightarrow{\mathrm{A_0P}}\)

\(\small\displaystyle =\frac{1}{2}\vec{a}+m(\frac{1}{3}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a})+n\left\{(1-s)\vec{a}+s\vec{c}-\frac{1}{2}\vec{a}\right\}\)

\(\small\displaystyle =(\frac{1}{2}-\frac{m}{2}+\frac{n}{2}-ns)\vec{a}+\frac{m}{3}\vec{b}+ns\vec{c}\) …(#2)

\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\ne\vec{0}\) であって，かつ　\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) は同一平面上にないから，(#1)(#2)により

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{lll}\dfrac{1}{2}-\dfrac{m}{2}+\dfrac{n}{2}-ns=0\\ \dfrac{m}{3}=1-t\\ ns=t\end{array}\right.\)

\(\small\displaystyle m,n\) を消去すると

\(\small\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{3(1-t)}{2}+\frac{t}{2s}-t=0\)

\(\small\displaystyle s-3s(1-t)+t-2st=0\)

\(\small\displaystyle s-3s+3st+t-2st=0\)

\(\small\displaystyle (s+1)t=2s\)

\(\small\displaystyle t=\frac{2s}{s+1}\)

(1)の結果を(#1)に代入すると

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-\frac{2s}{s+1})\vec{b}+\frac{2s}{s+1}\vec{c}\)

\(\small\displaystyle =\frac{1-s}{s+1}\vec{b}+\frac{2s}{s+1}\vec{c}\)

∠POQ=90°すなわち \(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\perp\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\) であるから

\(\small\displaystyle \left\{(1-s)\vec{a}+s\vec{c}\right\}\cdot\left\{\frac{1-s}{s+1}\vec{b}+\frac{2s}{s+1}\vec{c}\right\}=0\)

\(\small\displaystyle \left\{(1-s)\vec{a}+s\vec{c}\right\}\cdot\left\{\frac{1-s}{\cancel{s+1}}\vec{b}+\frac{2s}{\cancel{s+1}}\vec{c}\right\}=0\)

\(\small\displaystyle (1-s)^2\vec{a}\cdot\vec{b}+s(1-s)\vec{c}\cdot\vec{b}+2s(1-s)\vec{a}\cdot\vec{c}+2s^2|\vec{c}|^2=0\)

ここで，仮定により

\(\small\displaystyle |\vec{a}|=1,\hspace{5px}|\vec{b}|=|\vec{c}|=2,\hspace{5px}\vec{a}\cdot\vec{b}=-1,\hspace{5px}\vec{b}\cdot\vec{c}=0,\hspace{5px}\vec{c}\cdot\vec{a}=1\)

だから

\(\small\displaystyle -(1-s)^2+0+2s(1-s)+8s^2=0\)

\(\small\displaystyle -1+2s-s^2+2s-2s^2+8s^2=0\)

\(\small\displaystyle 5s^2+4s-1=0\)

\(\small\displaystyle (5s-1)(s+1)=0\)

\(\small\displaystyle s\gt 0\) だから

\(\small\displaystyle s=\frac{1}{5}\)

《全体の印象:個人の感想》
　直接的に図に対応した計算ではなく，文字変数を使って別の文字変数を制御していくという感じ
　庶民的に言えば「靴の上からかゆい所を掻くような」「UFOキャッチャーで品物をつかむような」もどかしさがある．
　分数式の計算を冷静にやり遂げる力が必要．（∃∀～分数計算の大盛り，てんこ盛り～∅♪）