空間ベクトルの内積（入試問題）

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== 空間ベクトルの内積 ==（入試問題）
難易度の目安

教科書レベルの基本：教☆☆

参考書の普通レベル：★参☆

大学入試基本レベル：★★受

【Ⅰ. 空間ベクトルの内積】
(1) 図形的に示される場合
　２つのベクトル $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると，内積は
$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\hspace{0}|\vec{b}|\cos\theta$
(2) 成分表示されている場合
$\vec{a}=(a_1,\hspace{2}a_2,\hspace{2}a_3),\hspace{2}\vec{b}=(b_1,\hspace{2}b_2,\hspace{2}b_3)$ の内積は
$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+ a_2b_2+ a_3b_3$

【例題1】教☆☆
　次の２つのベクトルの内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を求めよ．
(1) $\vec{a}=(2,1,-2),\hspace{2}\vec{b}=(2,-1,3)$
(2) $\vec{a}=(1,-3,0),\hspace{2}\vec{b}=(2,0,-1)$
(3) $\vec{a}=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}),\hspace{2}\vec{b}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$

(1)
$\vec{a}\cdot\vec{b}=4-1-6=-3$
(2)
$\vec{a}\cdot\vec{b}=2+ 0+ 0=2$
(3)
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$

【例題2】教☆☆
　右図のように１辺の長さがa (>0)の立方体ABCD-EFGHがあるとき，次の内積を求めてください．

(1) $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$
(2) $\vec{AB}\cdot\vec{AD}$
(3) $\vec{AC}\cdot\vec{AF}$
(4) $\vec{AF}\cdot\vec{AG}$
(5) $\vec{AG}\cdot\vec{DF}$

• ２つの「ベクトルの大きさ」と「ベクトルのなす角」が分かれば，内積が求まる．

(1) $|\vec{AB}|=a,\hspace{2}|\vec{AC}|=\sqrt{2}a$ ，∠CAB=45°
だから
$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=a\times\sqrt{2}a\times\cos 45^{\circ}$
$=a\times\sqrt{2}a\times\frac{1}{\sqrt{2}}=a^2$
(2) $|\vec{AB}|=a,\hspace{2}|\vec{AD}|=a$ ，∠DAB=90°
だから
$\vec{AB}\cdot\vec{AD}=a\times a\times\cos 90^{\circ}$
$=a\times a\times 0=0$

• 角度が書いてなくても，３辺の長さから求まることがある．

(3) 正方形の対角線の長さは三平方の定理で求まる
$|\vec{AC}|=|\vec{AF}|=\sqrt{2}a$
次に， $|\vec{AC}|=|\vec{AF}|=|\vec{CF}|$ だから△ACFは，正三角形であり，∠CAF=60°
$\vec{AC}\cdot\vec{AF}=\sqrt{2}a\times\sqrt{2}a\times\cos 60^{\circ}$
$=\sqrt{2}a\times\sqrt{2}a\times\frac{1}{2}=a^2$

（別解）･･･この準公式は後で使う！

右図において $\vec{a}\cdot\vec{b}=ab\cos C$
$=ab\times\frac{a^2+ b^2-c^2}{2ab}$
$=\frac{a^2+ b^2-c^2}{2}$ となるから
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{a^2+ b^2-c^2}{2}$
元の問題に戻ると
$\vec{AC}\cdot\vec{AF}=\frac{2a^2+ 2a^2-2a^2}{2}=a^2$

• $\vec{a}\cdot\vec{b}=ab\cos\theta$ において， $\cos\theta$ が単独では分からなくても， $a\cos\theta$ は分かることがある
例えば，右図のように $\vec{a}$ を $\vec{b}$ に投影したときの影の長さ（符号付）をdとすると，角度θがどのように変化しても
$a\cos\theta=d$
が成り立つ

(4)
△AFGは，∠AFG=90°の直角三角形だから $AG\cos$ (∠GAF)=AF
これにより
$\vec{AF}\cdot\vec{AG}=AF\times AF=2a^2$

(5)
右図のように，与えられた立方体の隣に同じ大きさの立方体を並べると
$\vec{DF}=\vec{AL}$
になり，さらに
$AL=AG=\sqrt{3},\hspace{2}LG=2$
だから(3)において辺の長さから内積を求めた手順を参考にすると
$\vec{AG}\cdot\vec{DF}=\vec{AG}\cdot\vec{AL}$
$=\frac{AG^2+ AL^2-LG^2}{2}=\frac{3a^2+ 3a^2-4a^2}{2}=a^2$

【例題3】教☆☆
　右図のように辺の長さがEF=p, EH=q, EA=r (>0)

の直方体ABCD-EFGHがあるとき，次の内積を求めてください．
(1) $\vec{AB}\cdot\vec{BE}$
(2) $\vec{AB}\cdot\vec{FG}$
(3) $\vec{FC}\cdot\vec{AF}$
(4) $\vec{EG}\cdot\vec{GA}$
(5) $\vec{EG}\cdot\vec{DF}$

(1)
$\vec{AB}=-\vec{BA}$
$\vec{AB}\cdot\vec{BE}=-\vec{BA}\cdot\vec{BE}$

　この問題では，ベクトルのなす角は,直接に数値として与えられていない
$\cos$ (∠ABE) $=\frac{BA}{BE}$
のように，直角三角形の辺の比で余弦を表すか、もしくは前述の例題(3)のように，３辺の長さで内積を表すとよい
$\vec{BA}\cdot\vec{BE}=\frac{BA^2+ BE^2-AE^2}{2}$

　 $AB=p,\hspace{2}AE=r$ ，さらに三平方の定理を使うと $BE=\sqrt{p^2+ r^2}$ だから
$\vec{BA}\cdot\vec{BE}=\frac{p^2+ (p^2+ r^2)-r^2}{2}=p^2$
$\vec{AB}\cdot\vec{BE}=-p^2$

（別解）･･･成分表示を使う考え方
$\vec{EF}=(p,0,0),\vec{EH}=(0,q,0),\vec{EA}=(0,0,r)$ とする成分表示を使うと（以下の問題も同様）
$\vec{AB}=(p,0,0),\hspace{5}\vec{BE}=(-p,0,-r)$
$\vec{AB}\cdot\vec{BE}=-p^2$

（別解）･･･基本ベクトル表示的な考え方
$\vec{BE}=\vec{AE}-\vec{AB}$
$\vec{AB}\cdot\vec{BE}=\vec{AB}\cdot(\vec{AE}-\vec{AB})$
$=\vec{AB}\cdot\vec{AE}-\vec{AB}\cdot\vec{AB}$
$=0-p^2=-p^2$

(2)
$\vec{FG}=\vec{AD}$ ，∠BAD=90°だから
$\vec{AB}\cdot\vec{FG}=\vec{AB}\cdot\vec{AD}=p\cdot q\cdot\cos 90^{\circ}=0$

（別解）
$\vec{AB}=(p,0,0),\hspace{5}\vec{FG}=(0,q,0)$
$\vec{AB}\cdot\vec{FG}=0$

(3)
$\vec{AF}=-\vec{FA}$ だから
$\vec{FC}\cdot\vec{AF}=-\vec{FC}\cdot\vec{FA}$
次に
$FC=\sqrt{q^2+ r^2},\hspace{2}FA=\sqrt{p^2+ r^2}$
$AC=\sqrt{p^2+ q^2}$ だから
$\vec{FC}\cdot\vec{FA}=\frac{FC^2+ AF^2-AC^2}{2}$
$=\frac{(q^2+ r^2)+ (p^2+ r^2)-(p^2+ q^2)}{2}=r^2$
$\vec{FC}\cdot\vec{AF}=-\vec{FC}\cdot\vec{FA}=-r^2$

（別解）
$\vec{FC}=(0,q,r),\hspace{5}\vec{AF}=(p,0,-r)$
$\vec{FC}\cdot\vec{AF}=-r^2$

（別解）
$\vec{FC}=\vec{ED}=\vec{AD}-\vec{AE}$
$\vec{AF}=\vec{AB}+\vec{AE}$
$\vec{FC}\cdot\vec{AF}=(\vec{AD}-\vec{AE})\cdot(\vec{AB}+\vec{AE})$
$=\vec{AD}\cdot\vec{AB}+\vec{AD}\cdot\vec{AE}-\vec{AE}\cdot\vec{AB}-\vec{AE}\cdot\vec{AE}$
$=0+ 0-0-r^2=-r^2$

(4)
$\vec{EG}=-\vec{GE}$ だから
$\vec{EG}\cdot\vec{GA}=-\vec{GE}\cdot\vec{GA}$
次に
$GE=\sqrt{p^2+ q^2},\hspace{2}GA=\sqrt{p^2+ q^2+ r^2}$
$EA=r$ だから
$\vec{GE}\cdot\vec{GA}=\frac{(p^2+ q^2)+(p^2+ q^2+ r^2)-r^2}{2}=p^2+ q^2$
$\vec{EG}\cdot\vec{GA}=-\vec{GE}\cdot\vec{GA}=-p^2-q^2$

（別解）
$\vec{EG}=(p,q,0),\hspace{5}\vec{GA}=(-p,-q,r)$
$\vec{EG}\cdot\vec{GA}=-p^2-q^2$

（別解）
$\vec{EG}\cdot\vec{GA}=(\vec{AB}+\vec{AD})\cdot(-\vec{AB}-\vec{AD}-\vec{AE})$
$=-AB^2-\vec{AB}\cdot\vec{AD}-\vec{AB}\cdot\vec{AE}-\vec{AD}\cdot\vec{AB}-AD^2-\vec{AD}\cdot\vec{AE}$
$=-p^2-0-0-0-q^2-0=-p^2-q^2$

(5)
右図のように，同じ大きさの直方体を手前に並べると
$\vec{DF}=\vec{AL},\hspace{2}\vec{EG}=\vec{AC}$
$AL=\sqrt{p^2+ q^2+ r^2}$
$AC=\sqrt{p^2+ q^2}$
$LC=\sqrt{4q^2+ r^2}$
だから
$\vec{EG}\cdot\vec{DF}=\vec{AL}\cdot\vec{AC}$
$=\frac{AL^2+ AC^2-LC^2}{2}$
$=\frac{(p^2+ q^2+ r^2)+(p^2+ q^2)-(4q^2+ r^2)}{2}=p^2-q^2$

（別解）
$\vec{EG}=(p,q,0),\hspace{5}\vec{DF}=(p,-q,-r)$
$\vec{EG}\cdot\vec{DF}=p^2-q^2$

（別解）
$\vec{EG}\cdot\vec{DF}=(\vec{AB}+\vec{AD})\cdot(\vec{AB}-\vec{AD}+\vec{AE})$
$=AB^2-\vec{AB}\cdot\vec{AD}+\vec{AB}\cdot\vec{AE}+\vec{AD}\cdot\vec{AB}-AD^2+\vec{AD}\cdot\vec{AE}$
$=p^2-0+ 0+ 0-q^2+ 0=p^2-q^2$

【Ⅱ. 空間ベクトルの大きさとなす角】
(2) ベクトル $\vec{a}=(a_1,\hspace{2}a_2,\hspace{2}a_3)$ の大きさは
$\mid\vec{a}\mid=\sqrt{a_1^2+ a_2^2+ a_3^2}$
(3) ２つのベクトル $\vec{a}=(a_1,\hspace{2}a_2,\hspace{2}a_3),\hspace{2}\vec{b}=(b_1,\hspace{2}b_2,\hspace{2}b_3)$ のなす角を $\theta$ とすると
$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\hspace{1}|\vec{b}|}=\frac{a_1b_1+ a_2b_2+ a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+ a_2^2+ a_3^2}\hspace{2}\sqrt{b_1^2+ b_2^2+ b_3^2}}$

【問題1】教☆☆
　ベクトル $\vec{a}=(1,\hspace{2}2,\hspace{2}-1),\hspace{2}\vec{b}=(2,\hspace{2}1,\hspace{2}1)$ において，内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}=$ コであり， $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角はサシ°である．

（2011年度千葉工業大工学部）

［解説を読む］

$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot 2+ 2\cdot 1-1\cdot 1=3$ ･･･（答）
$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\hspace{1}|\vec{b}|}=\frac{3}{\sqrt{1+ 4+ 1}\sqrt{4+ 1+ 1}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
$\theta=60^{\circ}$ ･･･（答）
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【問題2】教☆☆
　空間の３点A(1, −2, 3), B(3, −4, 2), C(−3, 3, 0)に対して，ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ のなす角を求めよ．

（2005年度福井県立大）

［解説を読む］

$\vec{AB}=(2, -2, -1)$
$\vec{AC}=(-4, 5, -3)$
$\cos\theta=\frac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{|\vec{AB}|\hspace{1}|\vec{AC}|}=\frac{-8-10+ 3}{\sqrt{4+ 4+ 1}\sqrt{16+ 25+ 9}}=\frac{-15}{15\sqrt{2}}$
$=-\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta=135^{\circ}\hspace{5}(=\frac{3}{4}\pi)$ ･･･（答）
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【問題3】教☆☆
　Oを原点とする座標空間内に３点 A(1, 1, 1),
B(2, −1, 2), C(0, 1, 2)がある．点Pが四面体OABCの辺BC上を動くとき，
(1) 内積 $\vec{OA}\cdot\vec{OP}$ は3であることを示せ．
(2) ∠AOPの大きさが最小になるときの点Pの座標を求めよ．

（2000年度広島大）

［解説を読む］

(1)
$\vec{OP}=\vec{OC}+ t\vec{CB}=(0,1,2)+ t(2,-2,0)\hspace{5}(0\lt t\lt 1)$
$=(2t,-2t+ 1,2)\hspace{5}(0\lt t\lt 1)$
$\vec{OA}=(1,1,1)$
$\vec{OA}\cdot\vec{OP}=(2t)+(-2t+ 1)+(2)=3$
(2)
∠AOP=θとおくと
$\cos\theta=\frac{\vec{OA}\cdot\vec{OP}}{OA\cdot OP}$
$=\frac{3}{\sqrt{1+ 1+ 1}\cdot\sqrt{4t^2+(-2t+ 1)^2+ 4}}$
$=\frac{3}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{8t^2-4t+ 5}}$
∠AOP=θの大きさが最小になるには，cosθが最大になればよい，そのためには $\sqrt{8t^2-4t+ 5}$ が最小になればよい．
$8t^2-4t+ 5=8(t^2-\frac{1}{2}t)+ 5=8(t-\frac{1}{4})^2+\frac{9}{2}$
は $t=\frac{1}{4}$ のとき最小になる．
このとき $P(\frac{1}{2},\frac{1}{2},2)$ →解説を隠す←

【問題4】★☆☆
　座標空間内の点A(4, 4, −3)を通り，点B(7, 1, 3)へ向かう直線の上を移動する動点Pがある．Pが原点Oに最も近づくときの距離OPはである．

（2000年度日本獣医畜産大）

［解説を読む］

$\vec{OP}=\vec{OA}+ t\vec{AB}$
$=(4,4,-3)+ t(3,-3,6)=(3t+ 4,-3t+ 4,6t-3)$
$OP^2=(3t+ 4)^2+(-3t+ 4)^2+(6t-3)^2$
$=54t^2-36t+ 41=54(t^2-\frac{2}{3}t)+ 41$
$=54(t-\frac{1}{3})^2+ 35$
は， $t=\frac{1}{3}$ のとき最小となり，
最小値は $OP=\sqrt{35}$

（別解）
OP⊥ABのとき，OPの長さが最小になるから
$\vec{OP}\cdot\vec{AB}$
$=3(3t+ 4)-3(-3t+ 4)+ 6(6t-3)=0$
$54t-18=0$
$t=\frac{1}{3}$
このとき
$OP=\sqrt{35}$
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【問題5】★参☆
　xyz空間の3点をA(4,5,6), B(7,11,−3), C(4,9,4)とし，2点A,Bを通る直線をlとする．
(1) tを媒介変数として，l上の点の座標(x, y, z)をtを用いて表せ．
(2) 点Cからの距離が最小となるl上の点Hの座標とベクトル $\vec{CH}$ の大きさを求めよ．
(3) 大きさ1のベクトル $\vec{AP}$ が $\vec{CH}$ と $\vec{AB}$ に垂直であるとき，点P(p, q, r)をすべて求めよ．

（2000年度同志社大工学部）

［解説を読む］

(1)
$(x,y,z)=\vec{OA}+ t\vec{AB}$
$=(4,5,6)+ t(3,6,-9)$

x=4+3t
y=5+6t
z=6−9t
(2)
l上の点P(4+3t, 5+6t, 6−9t)とC(4,9,4)の間の距離を求める．
$\vec{CP}=(3t,6t-4,-9t+ 2)$
だから
$CP^2=(3t)^2+(6t-4)^2+(-9t+ 2)^2$
$=9t^2+ 36t^2-48t+ 16+ 81t^2-36t + 4$
$=126t^2-84t+ 20=126(t^2-\frac{2}{3}t)+ 20$
$=126(t-\frac{1}{3})^2+ 6$
$t=\frac{1}{3}$ のとき，最小値をとる
このとき，H(5,7,3)， $CH=\sqrt{6}$

（別解）
CP⊥ABのときCPが最小になる
$\vec{AB}\cdot\vec{CP}$ $=3(3t)+ 6(6t-4)-9(-9t+ 2)$ $=126t-42=0$
$t=\frac{1}{3}$
以下は同様

→解説を隠す←

［解説を読む］

(3)
C(4,9,4), H(5,7,3), $\vec{CH}=(1,-2,-1)$ ,
A(4,5,6), B(7,11,−3), $\vec{AB}=(3,6,-9)$
に対して，求めるベクトルを $\vec{AP}=(x,y,z)$ とおくと
$\vec{AP}\perp\vec{AB}$ だから
$3x+ 6y-9z=0$
$x+ 2y-3z=0$ ･･･①
$\vec{AP}\perp\vec{CH}$ だから
$x-2y-z=0$ ･･･②
$|\vec{AP}|=1$ だから
$x^2+ y^2+ z^2=1$ ･･･③

　与えられた２つのベクトルに垂直な単位ベクトルくを求めるものは，頻出・必須問題で，解き方も何ら難しいものではない．
　ただ，この問題に限って，感想を言えば，結果がゴチャゴチャしていて，正解にたどり着いても，合っている自信が持てない．
　受験生が気の毒！

①+②
2x−4z=0
x=2z
①−②
4y−2z=0
z=2y
以上から
x=4y, z=2y
これを③に代入すると
$16y^2+ y^2+ 4z^2=1$
$21y^2=1$
$y=\pm\frac{1}{\sqrt{21}}$
$\vec{AP}=(x,y,z)=\pm(\frac{4}{\sqrt{21}},\frac{1}{\sqrt{21}},\frac{2}{\sqrt{21}})$
$\vec{OP}=\vec{OA}+\vec{AP}$
$=(4\pm\frac{4}{\sqrt{21}},5\pm\frac{1}{\sqrt{21}},6\pm\frac{2}{\sqrt{21}})$
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【Ⅲ. ベクトルの平行条件・垂直条件】
(1) ２つのベクトル $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}\hspace{10}(\vec{a},\hspace{2}\vec{b}\ne\vec{0})$ が垂直であるための必要十分条件は
$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

(2) ２つのベクトル $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ が平行であるための必要十分条件は
$\vec{a}=t\vec{b}$ (tは実数)または $s\vec{a}=\vec{b}$ (sは実数)
（※一方が他方の実数倍であれば，平行になる）

(2’) ３点P, Q, Rが一直線上にあるための条件は
$\vec{PR}=t\vec{PQ}$ (tは実数)
※Q, Rを始点として書いてもよい

【問題6】教☆☆
　 $\vec{a}=(3,\hspace{2}t+ 1,\hspace{2}1)$ と $\vec{b}=(2,\hspace{2}-3,\hspace{2}\frac{3}{2}t)$ が垂直であるとき，t=スである．

（2014年度千葉工業大）

［解説を読む］

$\vec{a}\cdot\vec{b}=6-3(t+ 1)+ \frac{3}{2}t=0$
t=2･･･（答） →解説を隠す←

【問題7】教☆☆
　 $\vec{a}=(1,\hspace{2}2,\hspace{2}3)$ と $\vec{b}=(2,\hspace{2}3,\hspace{2}4)$ に直交する単位ベクトルでx成分が正であるものは(ⅲ)である．

（2014年度北見工業大）

［解説を読む］

求めるベクトルを $\vec{e}=(x,\hspace{2}y,\hspace{2}z)$ とおく．
$\vec{e}\perp\vec{a}$ だから
$x+ 2y+ 3z=0$ ･･･(1)
$\vec{e}\perp\vec{b}$ だから
$2x+ 3y+ 4z=0$ ･･･(2)
$|\vec{e}|=1$ だから
$x^2+ y^2+ z^2=1$ ･･･(3)
x成分が正だから
$x\gt 0$ ･･･(4)
(1)×2−(2)
$y+ 2z=0$
$y=-2z$ ･･･(5)
(5)を(1)に代入
$x+ 2\times(-2z)+ 3z=0$
$x=z$ ･･･(6)
(5)(6)を(3)に代入
$z^2+ 4z^2+ z^2=1$
$6z^2=1$
$z=\pm\frac{1}{\sqrt{6}}=\pm\frac{\sqrt{6}}{6}$
(4)によりx>0だから
$(x,y,z)=(\frac{\sqrt{6}}{6},-\frac{\sqrt{6}}{3},\frac{\sqrt{6}}{6})$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題8】★☆☆
　空間に3点A(2, 2, 2), B(1, 2, 1), C(2, y, 1)が与えられている．三角形ABCが直角三角形になるのはy=ハのときである．

（2011年度立教大理学部）

［解説を読む］

$\vec{AB}=(-1,0,-1),\vec{BC}=(1,y-2,0),\vec{CA}=(0,2-y,1)$
であるから
ア） AB⊥BCのとき
$\vec{AB}\cdot\vec{BC}=-1+ 0+ 0=0$
　これは成り立たない
イ） BC⊥CAのとき
$\vec{BC}\cdot\vec{CA}=0+(y-2)^2+ 0=0$
　 $y=2$
ウ） CA⊥ABのとき
$\vec{CA}\cdot\vec{AB}=0+ 0+ -1=0$
　これは成り立たない
以上から，イ）よりy=2･･･（答） →解説を隠す←

【問題9】教☆☆
　点A, B, Cの座標が，A(x, 4, −1), B(3, 1, 0),
C(1, y, 1)であるとき，A, B, Cが一直線になるようにx, yの値を定めよ．

（2000年度高崎経済大）

［解説を読む］

$\vec{BA}=(x-3,3,-1),\vec{BC}=(-2,y-1,1)$
A, B, Cが一直線になるには， $\vec{BC}=t\vec{BA}$ になればよい．

A, Cを始点として書いてもよいが，Bを始点として書くと，x, yの係数が正の数になり，計算ミスを防げる

$(-2,y-1,1)=t(x-3,3,-1)$
成分に分けると

−2=t(x−3)･･･(1)
y−1=3t･･･(2)
1=−t･･･(3)
(3)から
t=−1
(1)に代入
−2=−(x−3)
x−3=2
x=5･･･（答）
(2)に代入
y=−2･･･（答）
→解説を隠す←

【問題10】教☆☆
　２つのベクトル $\vec{a}=(1,-1,-1),\hspace{2}\vec{b}=(2,1,-2)$ の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ．

（2016年度岩手大理工学部）

［解説を読む］

求めるベクトルを $\vec{c}=(x,y,z)$ とおくと

$\vec{a}\perp\vec{c}\leftrightarrow x-y-z=0$ ･･･(1)
$\vec{b}\perp\vec{c}\leftrightarrow 2x+ y-2z=0$ ･･･(2)
$|\vec{c}|=1\leftrightarrow x^2+ y^2+ z^2=1$ ･･･(3)
(1)+(2)
$3x-3z=0$
$z=x$ ･･･(4)
(4)を(1)に代入
$y=0$ ･･･(5)
(4)(5)を(3)に代入
$2x^2=1$
$x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
結局
$(x,y,z)=(\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}),(-\frac{\sqrt{2}}{2},0,-\frac{\sqrt{2}}{2})$ ･･･（答）
→解説を隠す←

==三角形の面積==

【Ⅳ. ベクトルで表された三角形の面積】
(1) △ABCにおいて $\vec{a}=\vec{AB},\vec{b}=\vec{AC}$ ,∠BAC=θとするとき，△ABCの面積は
$S=\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ ･･･(1)
ここで
$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\hspace{1}|\vec{b}|}$ ･･･(2)
だから，(2)を(1)に代入すると
$S=\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sqrt{1-(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\hspace{1}|\vec{b}|})^2}$
$=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}$

(2) ベクトルの成分が明らかでなく，ベクトルの大きさ（辺の長さ）だけが分かっているときは，「余弦定理」を用いて角度を求めることができる．
　例えば，右図において
$\cos B=\frac{c^2+ a^2-b^2}{2ca}$

【問題11】教☆☆
　4点O(0, 0, 0), A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c)を頂点とする四面体を考える．ただし，a, b, c>0とする．以下の問に答えよ．
(1) △ABCの面積を求めよ．
(2)(3) 略

（2005年度早稲田大理工学部）

［解説を読む］

(1)
$\vec{a}=\vec{AB}=(-a,b,0),\hspace{2}\vec{b}=\vec{AC}=(-a,0,c)$ とおくと
$S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}$
$=\frac{1}{2}\sqrt{(a^2+ b^2)(a^2+ c^2)-(a^2)^2}$
$=\frac{1}{2}\sqrt{a^4+ a^2c^2+ b^2a^2+ b^2c^2-a^4}$
$=\frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2+ b^2c^2+ c^2a^2}$
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==四面体の体積==

【問題12】★★受
　辺の長さが
$OA=\sqrt{2},OB=\sqrt{5},BC=\sqrt{6},OC=AB=AC=3$
で与えられる四面体OABCを考える． $\vec{OA}=\vec{a},\vec{OB}=\vec{b},\vec{OC}=\vec{c}$ とおいて，以下の問いに答えよ．
(1) ∠AOBの余弦cos∠AOBを求め， △AOBの面積を計算せよ．
(2) 内積 $\vec{a}\cdot\vec{b},\hspace{2}\vec{b}\cdot\vec{c},\hspace{2}\hspace{2}\vec{c}\cdot\vec{a}$ を求めよ．
(3) 点Cから△AOBを含む平面に垂線lを引き，その平面とlとの交点をHとする．このとき， $\vec{OH}$ を $\vec{a},\vec{b}$ を用いて表せ．
(4) 線分CHの長さを求め，四面体OABCの体積を計算せよ．

（2005年度電気通信大）

［解説を読む］

(1) △AOBについて，OA=a, OB=b, AB=d, ∠AOB=θとおくと，余弦定理により
$\cos\theta=\frac{a^2+ b^2-d^2}{2ab}=\frac{2+ 5-9}{2\times\sqrt{2}\times \sqrt{5}}$
$=\frac{-2}{2\sqrt{10}}=-\frac{1}{\sqrt{10}}$
△AOBの面積をSとすると
$S=\frac{1}{2}ab\sin\theta=\frac{1}{2}\times\sqrt{2}\sqrt{5}\sqrt{1-\frac{1}{10}}$
$=\frac{1}{2}\times\sqrt{10}\times\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3}{2}$

(2)
右図の場合
$\cos\theta=\frac{a^2+ b^2-d^2}{2ab}$
だから
$\vec{a}\cdot\vec{b}=ab\times\frac{a^2+ b^2-d^2}{2ab}=\frac{a^2+ b^2-d^2}{2}$
$=\frac{2+ 5-9}{2}=-1$
同様にして
$\vec{b}\cdot\vec{c}=\frac{5+ 9-6}{2}=4$
$\vec{c}\cdot\vec{a}=\frac{2+ 9-9}{2}=1$
(3)
$\vec{OH}=s\vec{a}+ t\vec{b}$ とおくと
$\vec{CH}=s\vec{a}+ t\vec{b}-\vec{c}$
$\vec{CH}\perp\vec{a}$ だから
$(s\vec{a}+ t\vec{b}-\vec{c})\cdot\vec{a}=0$ ･･･(A)
$\vec{CH}\perp\vec{b}$ だから
$(s\vec{a}+ t\vec{b}-\vec{c})\cdot\vec{b}=0$ ･･･(B)
(A)より
$sa^2+ t\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{c}\cdot\vec{a}$
$2s-t=1$ ･･･(A’)
(B)より
$s\vec{a}\cdot\vec{b}+ tb^2=\vec{c}\cdot\vec{b}$
$-s+ 5t=4$ ･･･(B’)
(A’)(B’)よりs=t=1
$\vec{OH}=\vec{a}+ \vec{b}$

(4)
$CH\perp OH,OC=3, OH=|\vec{a}+\vec{b}|$
$|\vec{a}+\vec{b}|^2=a^2+ b^2+ 2\vec{a}\cdot\vec{b}$
$=2+ 5-2=5$
だから
$CH^2=9-5=4$
$CH=2$

体積(V)=底面積(△OAB)×高さ(CH)÷3

$V=\frac{1}{3}\times\Delta OAB\times CH$
$=\frac{1}{3}\times\frac{3}{2}\times 2=1$
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【問題13】★参☆
　四面体ABCDにおいて，AB=4, BC=5, AC=AD =BD=CD=3とする．点Dから三角形ABCを含む平面へ垂線DHを下ろす．このとき，次の問いに答えよ．

(1) $\vec{AB}\cdot\vec{AD}$ と $\vec{AC}\cdot\vec{AD}$ の値をそれぞれ求めよ．
(2) $\vec{AH}$ を $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を用いて表せ．
(3) 四面体ABCDの体積Vを求めよ．

（2021年度静岡大理学部）

［解説を読む］

(1)
$\vec{AB}\cdot\vec{AD}=AB\cdot AD\cos$ (∠BAD)
$=AB\cdot AD\times\frac{AB^2+ AD^2-BD^2}{2AB\cdot AD}$
$=\frac{AB^2+ AD^2-BD^2}{2}$
$=\frac{16+ 9-9}{2}=8$
同様にして
$\vec{AC}\cdot\vec{AD}=AB\cdot AD\cos$ (∠BAD)
$=\frac{AC^2+ AD^2-CD^2}{2}$
$=\frac{9+ 9-9}{2}=\frac{9}{2}$

後で使うので，ついでに求めておくと
$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\frac{AB^2+ AC^2-BC^2}{2}$
$=\frac{16+ 9-25}{2}=0$ （⇔直角）

(2)
$\vec{AH}=s\vec{AB}+ t\vec{AC}$ とおくと
$\vec{DH}=\vec{AH}-\vec{AD}=s\vec{AB}+ t\vec{AC}-\vec{AD}$
ここで， $\vec{DH}\perp\vec{AB},\hspace{2}\vec{DH}\perp\vec{AC}$ となるように，定数s, tを定める．
$\vec{DH}\cdot\vec{AB}=(s\vec{AB}+ t\vec{AC}-\vec{AD})\cdot\vec{AB}=0$ より
$sAB^2+ t\vec{AC}\cdot\vec{AB}=\vec{AD}\cdot\vec{AB}$
(1)で求めた値，問題の仮定を使うと
$16s+ 0=8$ ･･･①
$\vec{DH}\cdot\vec{AC}=(s\vec{AB}+ t\vec{AC}-\vec{AD})\cdot\vec{AC}=0$ より
$s\vec{AB}\cdot\vec{AC}+ tAC^2=\vec{AD}\cdot\vec{AC}$
(1)で求めた値，問題の仮定を使うと
$0+ 9t=\frac{9}{2}$ ･･･②
①②より
$s=t=\frac{1}{2}$
$\vec{AH}=\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AC}$
(3)

体積(V)=底面積(△ABC)×高さ(HD)÷3　によって計算する

(1)で求めた値から，AB⊥ACだから△ABCは直角三角形
$\Delta ABC=\frac{1}{2}\times AB\times AC=6$
また(1)で求めた値，(2)の結果，問題の仮定から
$DH^2=\left|\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AC}-\vec{AD} \right|^2$
$=\frac{1}{4}AB^2+\frac{1}{4}AC^2+ AD^2+\frac{1}{2}\vec{AB}\cdot\vec{AC}-\vec{AB}\cdot\vec{AD}-\vec{AC}\cdot\vec{AD}$
$=4+\frac{9}{4}+ 9+ 0-8-\frac{9}{2}=\frac{11}{4}$
$DH=\frac{\sqrt{11}}{2}$

AHから求めてもよい
$AH^2=\frac{1}{4}\hspace{1}\left|\vec{AB}+\vec{AC}\right|^2$
$=\frac{1}{4}\left(AB^2+ AC^2+ 2\vec{AB}\cdot\vec{AC}\right)$
$=\frac{1}{4}\left(16+ 9+ 0\right)=\frac{25}{4}$
$AH=\frac{5}{2}$
$AH^2+ DH^2=AD^2$ だから
$DH^2=9-\frac{25}{4}=\frac{11}{4}$
$DH=\frac{\sqrt{11}}{2}$

$V=\frac{1}{3}\times6\times\frac{\sqrt{11}}{2}=\sqrt{11}$
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【Ⅴ.空間の４点が同一平面上にあるための条件】
　異なる３点A, B, Cが同一直線上にないとき，４点A, B, C, Dが同一平面上にあるための条件は
$\vec{AD}=s\vec{AB}+ t\vec{AC}$
$\vec{OD}=\vec{AB}+ s\vec{AB}+ t\vec{AC}$
が成り立つことである．（s, tは実数）

　３点A, B, Cが同一直線上にないとき， $s\vec{AB}+ t\vec{AC}$ で表されるベクトルは， $s\vec{AB},\hspace{2}\vec{AC}$ で張られる平面上にある．
　なお，基底とするベクトル，表されるベクトルの組み合わせ方は，何通りも可能
$\vec{BD}=s\vec{BA}+ t\vec{BC}$
$\vec{CA}=s\vec{CD}+ t\vec{CB}$

【問題14】★☆☆
　4点A(3,1,1), B(2,−1,0), C(0,1,2), D(x,0,−1)が同一平面上にあるように定数xの値を定めよ．

［解説を読む］

$\vec{AB}=(-1,-2,-1),\hspace{2}\vec{AC}=(-3,0,1),$
$\vec{AD}=(x-3,-1,-2)$
について， $\vec{AD}=s\vec{AB}+ t\vec{AC}$ となるためには
$(x-3,-1,-2)=s(-1,-2,-1)+ t(-3,0,1)$

$x-3=-s-3t$
$-1=-2s$
$-2=-s+ t$
この連立方程式を解くと
$s=\frac{1}{2},\hspace{2}t=-\frac{3}{2},\hspace{2}x=7$

（別解）
３点A(3,1,1), B(2,−1,0), C(0,1,2)を通る平面の方程式を求めて［=この方法は教科書的基本］，その平面上にD(x,0,−1)があるということから定数xの値を求める方法

３点A,B,Cを通る平面の方程式をax+by+cz+d=0とおく
• 点A(3,1,1)を通るから
3a+b+c+d=0･･･(1)
• 点B(2,−1,0)を通るから
2a−b+d=0･･･(2)
• 点C(0,1,2)を通るから
b+2c+d=0･･･(3)
未知数４個，方程式3個の連立方程式になるから，一文字dについては解かずに，dをパラメータとして他の未知数をdで表すことにする．（右辺の括弧で囲んだ文字については解かない）

3a+b+c=(−d)･･･(1’)
2a−b=(−d)･･･(2’)
b+2c=(−d)･･･(3’)
これより
$a=-\frac{d}{4},\hspace{2}b=-\frac{d}{2},\hspace{2}c=-\frac{3d}{4}$
平面の方程式は
$-\frac{d}{4}x-\frac{d}{2}y-\frac{3d}{4}z+ d=0$
$-x+ 2y-3z+ 4=0$

この平面が，点D(x,0,−1)を通るから
−x+3+4=0
x=7

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【問題15】★参☆
　座標空間の原点をOとし，座標空間内に4点A(1, 3, 3), B(1, 1, 2), C(2, 3, 2), P(t, t, t)をとる．ただしtは実数である．
(1) t≠0とするとき， $\vec{AP}$ と $\vec{OP}$ が直交するようなtの値を求めなさい．
(2) $AP^2+ BP^2+ CP^2$ が最小となるようなtの値を求めなさい．
(3) 4点A, B, C, Pが１つの平面に含まれるようなtの値を求めなさい．

（2014年度慶應義塾大看護医療学部）

［解説を読む］

(1)
$\vec{AP}=(t-1,t-3,t-3),\hspace{2}\vec{OP}=(t,t,t)$ だから， $\vec{AP}\perp\vec{OP}$ となるには
$\vec{AP}\cdot\vec{OP}=t(t-1)+ t(t-3)+ t(t-3)=0$
$t(3t-7)=0\hspace{5}(t\ne 0)$
$t=\frac{7}{3}$ ･･･（答）
(2)
$AP^2+ BP^2+ CP^2$
$=(t-1)^2+(t-3)^2+(t-3)^2$
$+(t-1)^2+(t-1)^2+(t-2)^2$
$+(t-2)^2+(t-3)^2+(t-2)^2$
$=9t^2-36t+ 42=9(t^2-4t)+ 42$
$=9(t-2)^2+ 6$
は，t=2のとき最小値をとる･･･（答）
(3)
$\vec{AP}=k\vec{AB}+ l\vec{AC}$ （ $k,l$ は実数）
すなわち
$\vec{OP}=\vec{OA}+ k\vec{AB}+ l\vec{AC}$
となるように点Pの座標を定めるとよい．
$(t,t,t)=(1,3,3)+ k(0,-2,-1)+ l(1,0,-1)$
$=(1+ l,3-2k,3-k-l)$

t=1+l･･･①
t=3−2l･･･②
t=3−k−l･･･③
①②③を解くと
$t=\frac{5}{3}\hspace{5}(k=\frac{2}{3},\hspace{3}l=\frac{2}{3})$ ･･･（答）

（別解）
A, B, Cを通る平面の方程式をax+by+cz+d=0とおく
この平面がA(1, 3, 3)を通るから
a+3b+3c+d=0･･･①
この平面がB(1, 1, 2)を通るから
a+b+2c+d=0･･･②
この平面がC(2, 3, 2)を通るから
2a+3b+2c+d=0･･･③
①②③は未知数4個，方程式3個の連立方程式だから，1文字だけ決まらない不定解になる．そこで，dについては解かないことにして，他の文字をdを使って表す．

a+3b+3c=(−d)･･･①’
a+b+2c=(−d)･･･②’
2a+3b+2c=(−d)･･･③’
①’−②’
2b+c=0
c=−2b･･･④
④を②’に代入
a+b−4b=(−d)
a=3b−d･･･⑤
④⑤を③に代入
2(3b−d)+3b+2(−2b)+d=0
5b=d
$b=\frac{d}{5},\hspace{2}a=-\frac{2d}{5},\hspace{2}c=-\frac{2d}{5}$
平面の方程式は
$-\frac{2d}{5}x+\frac{d}{5}y-\frac{2d}{5}z+ d=0$
−2x+y−2z+5=0
2x−y+2z−5=0
点P(t, t, t)がこの平面上にあるためには
2t−t+2t−5=0
3t=5
$t=\frac{5}{3}$ ･･･（答）

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【問題16】★参☆
　座標空間において，３点A(1, 0, 0), B(0, 4, 0), C(0, 0, −2)を含む平面をαとする．点P(−1, −1, −1)から平面αに下ろした垂線と平面αとの交点Hの座標はクである．また，点Pの平面αに関して対称な点Qの座標はケである．

（2016年度茨城大工学部）

［解説を読む］

Hは３点A, B, Cを含む平面上にあるから，s, tを実数として，次の形に書ける．
$\vec{AH}=s\vec{AB}+ t\vec{AC}$
$\vec{OH}=\vec{OA}+ s\vec{AB}+ t\vec{AC}$
$=(1,0,0)+ s(-1,4,0)+ t(-1,0,-2)$
$=(1-s-t,4s,-2t)$
$\vec{PH}=(2-s-t,1+ 4s,1-2t)$
$\vec{PH}\perp\vec{AB}$ だから
$-(2-s-t)+ 4(1+ 4s)=0$
$17s+ t=-2$ ･･･(1)
$\vec{PH}\perp\vec{AC}$ だから
$-(2-s-t)-2(1-2t)=0$
$s+ 5t=4$ ･･･(2)
(1)(2)を解くと
$s=-\frac{1}{6},\hspace{2}t=\frac{5}{6}$
このとき
$\vec{OH}=(1,0,0)-\frac{1}{6}(-1,4,0)+\frac{5}{6}(-1,0,-2)$
$=(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{5}{3})$
だから
$H(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{5}{3})$

$\vec{PH}=\vec{OH}-\vec{OP}=(\frac{4}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3})$
$\vec{OQ}=\vec{OP}+ 2\vec{PH}$
$=(-1,-1,-1)+ 2(\frac{4}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3})$
$=(\frac{5}{3},-\frac{1}{3},-\frac{7}{3})$
したがって
$Q(\frac{5}{3},-\frac{1}{3},-\frac{7}{3})$
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【問題17】★参☆
　空間内に４点A(1, 0, 0), B(0, −1, 0), C(0, 0, −1),
D(1, 1, 1)がある．
(1) ３点A, B, Cを通る平面をαとする．点P(x, y, z)がα上にあるとき，x, y, zの間に成り立つ関係式を求めよ．
(2) 点Dから平面αに下ろした垂線の足をHとする．点Hの座標を求めよ．

（2005年度兵庫県立大理学部）

［解説を読む］

(1)
$\vec{OP}=\vec{OA}+ s\vec{AB}+ t\vec{AC}$ （s, tは実数）とおく
$(x,y,z)=(1,0,0)+ s(-1,-1,0)+ t(-1,0,-1)$

−s−t=(x−1)
−s=(y)
−t=(z)
s, tを消去すると，x−y−z=1･･･（答）

（別解）
３点A, B, Cを通る平面の方程式をax+by+cz+d=0とおくと
点A(1, 0, 0)を通るから
a+d=0
点B(0, −1, 0)を通るから
−b+d=0
点C(0, 0, −1)を通るから
−c+d=0
d(≠0)を用いてa, b,cを表すと
a=−d, b=d, c=d
平面の方程式は
−dx+dy+dz+d=0
x−y−z−1=0･･･（答）

(2)
H(p, q, r)とおくと， $\vec{DH}=(p-1,q-1,r-1)$
$\vec{DH}\perp\vec{AB}$ だから
$-(p-1)-(q-1)=0$
$p+ q=2$ ･･･①
$\vec{DH}\perp\vec{AC}$ だから
$-(p-1)-(r-1)=0$
$p+ r=2$ ･･･②
H(p, q, r)は平面α上にあるから
p−q−r−1=0･･･③
①②③を解くと
$p=\frac{5}{3},q=\frac{1}{3},r=\frac{1}{3}$
$H(\frac{5}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ ･･･（答）

（別解）
点D(1, 1, 1)を通り，平面αの法線ベクトル $\vec{n}=(1,-1,-1)$ に平行な直線上の点H(p, q, r)は
$\vec{OH}=\vec{OD}+ t\vec{n}$
の形に書くことができる．すなわち
$(p,q,r)=(1,1,1)+ t(1,-1,-1)$
$=(1+ t,1-t,1-t)$
点H(p, q, r)が平面αの方程式x−y−z−1=0を満たすから
(1+t)−(1−t)−(1−t)−1=0
1+t−1+t−1+t−1=0
3t=2
$t=\frac{2}{3}$
$H(\frac{5}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ ･･･（答）

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【問題18】★★受
　座標空間内に3点A(1, 1, 2), B(3, 5, 7), C(4, 4, 5)がある．また，s, tは実数であるとして，点P(s, t, 4)を考える．
(1) 点Pが3点A, B, Cを通る平面上にあるためのs, tの関係式を求めよ．
(2) 点Pが直線AB上にあるときのs, tの値を求めよ．
(3) 点Pが3点A, B, Cを通る平面上を動くとき，その軌跡により三角形ABCは二つの部分に分けられる．この二つの部分の面積の比の値rを求めよ．ただし，r≧1とする．

（2014年度大阪府立大工学部）

［解説を読む］

(1)
点Pは３点A, B, Cを含む平面上にあるから，k, lを実数として，次の形に書ける．
$\vec{AP}=k\vec{AB}+ l\vec{AC}$
$\vec{OP}=\vec{OA}+ k\vec{AB}+ l\vec{AC}$
(s, t, 4)=(1, 1, 2)+k(2, 4, 5)+l(3, 3, 3)

s=1+2k+3l･･･①
t=1+4k+3l･･･②
4=2+5k+3l･･･③
①②③からk, lを消去してs, tの関係式を作る
②−①
t−s=2k･･･④
③−②
4−t=1+k･･･⑤
④−⑤×2
3t−s−8=−2
3t−s=6･･･（答）
(2)
$\vec{OP}=\vec{OA}+ k\vec{AB}$ が成り立つから
(s, t, 4)=(1, 1, 2)+k(2, 4, 5)

s=1+2k･･･①
t=1+4k･･･②
4=2+5k･･･③
③より
$k=\frac{2}{5}$
①②にそれぞれ代入すると
$s=\frac{9}{5},\hspace{2}t=\frac{13}{5}$ ･･･（答）
(3)

• ２点A, Bを通る直線上に点Pがある
$\vec{OP}=\vec{OA}+ k\vec{AB}$
　　（kは実数）
次の形もよく出てくる
$\vec{OP}=s\vec{OA}+ t\vec{AB}$
　　（s+t=1, s, tは実数）

• AB:AD=1:α, AC:AE=1:βのとき
△ABC:△ADE=1:αβ

s=1+2k+3l･･･①
t=1+4k+3l･･･②
4=2+5k+3l･･･③
①②③から3t−s=6のとき，s, tを消去してk, lの関係式を作ると
3(1+4k+3l)−(1+2k+3l)=6
3+12k+9l−1−2k−3l=6
10k+6l=4
5k+3l=2･･･(*)
$\frac{5}{2}k+\frac{3}{2}l=1$

$\vec{OP}=\vec{OA}+ k\vec{AB}+ l\vec{AC}$
$\frac{5}{2}k+\frac{3}{2}l=1$
となるから
$k\apos=\frac{5}{2}k,\hspace{2}l\apos=\frac{3}{2}l$
とおくと

$\vec{OP}=\vec{OA}+\frac{2}{5}k\apos\vec{AB}+\frac{2}{3}l\apos\vec{AC}$
$k\apos+ l\apos=1$
すなわち

$\vec{OP}=\vec{OA}+ k\apos(\frac{2}{5}\vec{AB})+ l\apos(\frac{2}{3}\vec{AC})$
$k\apos+ l\apos=1$

となるから，AD:DB=2:1, AE:EC=2:3となる点を各々D, Eとすると

$\vec{OP}=\vec{OA}+ k\apos\vec{AD}+ l\apos\vec{AE}$
$k\apos+ l\apos=1$
となって，Pは直線DE上にある.
　したがって
$\Delta ACB:\Delta AED=1\hspace{2}:\hspace{2}\frac{2}{5}\times\frac{2}{3}=1\hspace{2}:\hspace{2}\frac{4}{15}$
　　△AED : ⏢DECB=4:11
$r=\frac{11}{4}\hspace{5}(\underset{=}{\gt}1)$ ･･･（答）

（別解）
(2)の結果から， $AD=\frac{2}{5}AB$
また，(*)からk=0のとき， $l=\frac{2}{3}$ だから
$AE=\frac{2}{3}AC$
　したがって
$\Delta ACB:\Delta AED=1\hspace{2}:\hspace{2}\frac{2}{5}\times\frac{2}{3}=1\hspace{2}:\hspace{2}\frac{4}{15}$
　　△AED : ⏢DECB=4:11
$r=\frac{11}{4}\hspace{5}(\underset{=}{\gt}1)$ ･･･（答）

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