直線の垂直条件

【解説】

--図2--

　初めに，2直線y=mx+k…(1) とy=m'x+k'…(2) とが垂直であるかどうかは，切片k, k'の値には関係ないことに注意しましょう．
　右図のような(1)と(2)が垂直であるかどうかを調べたいときに，(1)の代わりに(1)を上下に平行移動した直線(1')を使っても結果は変わりません．同様にして(2)の代わりに(2)を上下に平行移動した直線(2')を使っても結果は変わりません．
　このようにして，切片が0となる２つのグラフy=mx…(1') とy=m'x…(2') で調べると有利です．

左図のように，２つの直線y=mx…(1') とy=m'x…(2') について傾きm, m'が２つとも正のとき（右上がりのとき）や２つとも負のとき（右下がりのとき），これらのなす角は90°よりも小さくなりますので，２直線が垂直になることはできません．
　したがって，２直線y=mx…(1') とy=m'x…(2')が垂直になることができるのは，m, m'の一方が正の値（右上がりの直線）で他方が負の値（右下がりの直線）になっている場合です．
　ここでは右図のように，m>0, m'<0の場合を考えてみます．
　以下において

(A)三平方の定理を使う方法
(B)相似図形を使う方法
(C)ベクトルの垂直条件を使う方法

の３つ示して見ます．（１つ分かればよい）

(A)
　図2のように原点を通る２直線OAとOBが垂直になるには，△AOBが∠AOB=90°の直角三角形になればよい．
AC=m, OC=1だから，△AOCについて三平方の定理により
$AO=\sqrt{1^2+ m^2}$ …(1)

BCは長さだからBC=−m'．△BOCについて三平方の定理により
$BO=\sqrt{1^2+ (-m\apos)^2}=\sqrt{1+ m\apos ^2}$ …(2)

また，例えば,m=5>0, m'=−3<0の場合に，温度計で5°と−3°の温度差が5−(−3)とするように
AB=m−m'…(3)
　△AOBについて∠AOB=90°となる条件を三平方の定理により求めると
$AO^2+ BO^2=AB^2$
　(1)(2)(3)を代入すると
$(1+ m^2)+(1+ m\apos^2)=(m-m\apos)^2$
2=−2mm'
したがって
mm'=−1

(B)
　△AOB=90°のとき，

∠AOC+∠BOC=90°
∠AOC+∠OAC=90°
だから∠BOC=∠OAC

また，
∠AOC+∠BOC=90°
∠OBC+∠BOC=90°
だから∠AOC=∠OBC

これらから，△AOC∽△OBCとなるから

OC:CA=BC:CO
1:m=−m':1
mm'=−1

(C)
　ベクトルを習っているときは，ベクトルの垂直条件を考えれば簡単にできます．
ベクトル $\vec{v}=(1,m)$ と $\vec{u}=(1,m\apos)$ が垂直となるのは，それらの内積 $\vec{v}\cdot\vec{u}$ が0になるときだから

1+mm'=0
mm'=−1

［例外］

　上記の(A)(B)(C)はいずれも２直線の方程式がy=mx+kとy=m'x+k'の形に書ける場合を扱っていますが，一方がy軸に平行な場合には，この形には書けません．
　そこで，一方がy軸に平行な直線x=cのときは，直線のグラフを思い浮かべてx軸に平行な直線y=kは垂直であると判断します．（これらは原点を通るかどうかには関係なく，式の形から直ちに答えるとよい）
【例】
[1]
　直線y=1と直線x=3とはx軸に平行な直線とy軸に平行な直線だから互いに垂直
※y切片の値1，x切片の値3は何でもよい

[2]
　直線2x+4=0と直線3y−1=0とはy軸に平行な直線とx軸に平行な直線だから互いに垂直
※x切片の値−2，y切片の値 $\frac{1}{3}$ は何でもよい