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次の2次方程式の解を求めて下さい．
【問題1】
解答を見る\( 2x^2-5x-1=0 \)
２次方程式の解の公式
（Ⅰ） \( ax^2+bx+c=0\hspace{10px}(a\ne 0)\) \(\Downarrow\) \( x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \) に対して \( a=2,\hspace{10px}b=-5,\hspace{10px}c=-1 \) を代入します \( x=\dfrac{5\pm\sqrt{25+8}}{4} \) \( =\dfrac{5\pm\sqrt{33}}{4} \)･･･（答） |
【問題2】
解答を見る\( 3x^2-4x-5=0 \)
２次方程式の解の公式
（Ⅱ） \( ax^2+2b'x+c=0\hspace{10px}(a\ne 0)\) \(\Downarrow\) \( x=\dfrac{-b'\pm\sqrt{b'\hspace{2px}^2-ac}}{a} \) に対して \( a=3,\hspace{10px}b'=-2,\hspace{10px}c=-5 \) を代入します \( x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+15}}{3} \) \( =\dfrac{2\pm\sqrt{19}}{3} \)･･･（答） |
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【問題3】
解答を見る\( x^2+5=0 \)
２次方程式の解の公式
（Ⅱ） \( ax^2+2b'x+c=0\hspace{10px}(a\ne 0)\) \(\Downarrow\) \( x=\dfrac{-b'\pm\sqrt{b'\hspace{2px}^2-ac}}{a} \) に対して \( a=1,\hspace{10px}b'=0,\hspace{10px}c=5 \) を代入します \( x=\dfrac{0\pm\sqrt{-5}}{1} \) \( =\pm\sqrt{5}i \)･･･（答）
※右に示した公式による解き方の他に，もっと簡単に
\( x^2=a\rightarrow x=\pm\sqrt{a} \) と考えてもよい |
【問題4】
解答を見る\( x^2-7x+11=0 \)
２次方程式の解の公式
（Ⅰ） \( ax^2+bx+c=0\hspace{10px}(a\ne 0)\) \(\Downarrow\) \( x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \) に対して \( a=1,\hspace{10px}b=-7,\hspace{10px}c=11 \) を代入します \( x=\dfrac{7\pm\sqrt{49-44}}{2} \) \( =\dfrac{7\pm\sqrt{5}}{2} \)･･･（答） |
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【問題5】
解答を見る\( x^2+6x+2=0 \)
２次方程式の解の公式
（Ⅱ） \( ax^2+2b'x+c=0\hspace{10px}(a\ne 0)\) \(\Downarrow\) \( x=\dfrac{-b'\pm\sqrt{b'\hspace{2px}^2-ac}}{a} \) に対して \( a=1,\hspace{10px}b'=3,\hspace{10px}c=2 \) を代入します \( x=\dfrac{-3\pm\sqrt{9-2}}{1} \) \( =-3\pm\sqrt{7} \)･･･（答） |
【問題6】
解答を見る\( x^2=-4 \)
２次方程式の解の公式
（Ⅱ） \( ax^2+2b'x+c=0\hspace{10px}(a\ne 0)\) \(\Downarrow\) \( x=\dfrac{-b'\pm\sqrt{b'\hspace{2px}^2-ac}}{a} \) に対して \( a=1,\hspace{10px}b'=0,\hspace{10px}c=4 \) を代入します \( x=\dfrac{0\pm\sqrt{-4}}{1} \) \( =\pm\sqrt{2}i \)･･･（答）
※右に示した公式による解き方の他に，もっと簡単に
\( x^2=a\rightarrow x=\pm\sqrt{a} \) と考えてもよい |
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【問題7】
解答を見る\( 2x^2+\sqrt{3}x+2=0 \)
２次方程式の解の公式
（Ⅰ） \( ax^2+bx+c=0\hspace{10px}(a\ne 0)\) \(\Downarrow\) \( x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \) に対して \( a=2,\hspace{10px}b=\sqrt{3},\hspace{10px}c=2 \) を代入します ※係数が無理数\(\sqrt{3}\)の場合でも，解の公式が使える \( x=\dfrac{-\sqrt{3}\pm\sqrt{3-16}}{4} \) \( =\dfrac{-\sqrt{3}\pm\sqrt{13}i}{4} \)･･･（答） |
【問題8】
解答を見る\( 4x^2-8x+3=0 \)
２次方程式の解の公式
（Ⅱ） \( ax^2+2b'x+c=0\hspace{10px}(a\ne 0)\) \(\Downarrow\) \( x=\dfrac{-b'\pm\sqrt{b'\hspace{2px}^2-ac}}{a} \) に対して \( a=4,\hspace{10px}b'=-4,\hspace{10px}c=3 \) を代入します \( x=\dfrac{4\pm\sqrt{16-12}}{4} \) \( x=\dfrac{4\pm 2}{4} \) 分ければ簡単になる式は，分けて答えなければならない \( x=\dfrac{6}{4},\hspace{4px}\dfrac{2}{4} \) \( x=\dfrac{3}{2},\hspace{4px}\dfrac{1}{2} \)･･･（答）
※この問題は，因数分解で解いてもよい
\( (2x-3)(2x-1)=0 \) \( x=\dfrac{3}{2},\hspace{4px}\dfrac{1}{2} \)･･･（答） |
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【問題9】
解答を見る\( 2x^2-(2\sqrt{2}-1)x-\sqrt{2}=0 \)
２次方程式の解の公式
\( x=\dfrac{2\sqrt{2}-1\pm\sqrt{(2\sqrt{2}-1)^2+8\sqrt{2}}}{4} \)（Ⅰ） \( ax^2+bx+c=0\hspace{10px}(a\ne 0)\) \(\Downarrow\) \( x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \) に対して \( a=2,\hspace{10px}b=-(2\sqrt{2}-1),\hspace{10px}c=-\sqrt{2} \) を代入します ※係数が無理数の場合でも，解の公式が使える \( =\dfrac{2\sqrt{2}-1\pm\sqrt{8-4\sqrt{2}+1+8\sqrt{2}}}{4} \) \( =\dfrac{2\sqrt{2}-1\pm\sqrt{9+4\sqrt{2}}}{4} \) \( =\dfrac{2\sqrt{2}-1\pm\sqrt{9+2\sqrt{8}}}{4} \)
二重根号の外し方：和が9で積が8となる２数は8と1
\( =\dfrac{2\sqrt{2}-1\pm(2\sqrt{2}+1)}{4} \)⇒\(\sqrt{8}+\sqrt{1} \) \( =\dfrac{4\sqrt{2}}{4},\hspace{5px}-\dfrac{2}{4} \) \( =\sqrt{2},\hspace{5px}-\dfrac{1}{2}\)･･･（答）
この問題は，因数分解によって解く方が簡単になる
原式から \( (x-\sqrt{2})(2x+1)=0 \) \( x=\sqrt{2},\hspace{5px}-\dfrac{1}{2}\)･･･（答） |
【問題10】
解答を見る\( 4x^2-4\sqrt{3}x+3=0 \)
２次方程式の解の公式
（Ⅱ） \( ax^2+2b'x+c=0\hspace{10px}(a\ne 0)\) \(\Downarrow\) \( x=\dfrac{-b'\pm\sqrt{b'\hspace{2px}^2-ac}}{a} \) に対して \( a=4,\hspace{10px}b'=-2\sqrt{3},\hspace{10px}c=3 \) を代入します \( x=\dfrac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{12-12}}{4} \) \( x=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)(重解)･･･(答) \(\pm 0\)となる場合は，重解になる
※この問題は，因数分解で解いてもよい
\( (2x-\sqrt{3})^2=0 \) \( x=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)(重解)･･･(答) |