ベクトルのなす角（成分から）

== ベクトルのなす角 ==

【要約】
２つのベクトル $\vec{a},\vec{b}$ の成分が $\vec{a}=(a_1,a_2),\vec{b}=(b_1,b_2)$ のように与えられているとき，内積の定義
$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\hspace{2}|\vec{b}|\cos \theta$
において，
$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2$
$|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|=\sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2}\cdot \sqrt{{b_1}^2 + {b_2}^2}$
のように求めることができるから，これらを使って
$\cos \theta=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ …(1)
のように角θの余弦を計算することができる．

○さらに，次の角度については筆算の場合でも，cos θの値から角θが求まる．

θ	0	$\frac{\pi}{6}$ $ \dfrac{\pi}{6} $	$\frac{\pi}{4}$ $ \dfrac{\pi}{4} $	$\frac{\pi}{3}$ $ \dfrac{\pi}{3} $	$\frac{\pi}{2}$ $ \dfrac{\pi}{2} $	$\frac{2\pi}{3}$ $ \dfrac{2\pi}{3} $	$\frac{3\pi}{4}$ $ \dfrac{3\pi}{4} $	$\frac{5\pi}{6}$ $ \dfrac{5\pi}{6} $	π
cos θ	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$ $ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $	$\frac{\sqrt{2}}{2}$ $ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $	$\frac{1}{2}$ $ \dfrac{1}{2} $	0	$-\frac{1}{2}$ $ -\dfrac{1}{2} $	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $ -\dfrac{\sqrt{2}}{2} $	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $ -\dfrac{\sqrt{3}}{2} $	−1

○通常の場合，これ以外の角度については，コンピュータや三角関数表によらなければ角θの値は求められない．

【例】
$\cos \theta=\frac{1}{2}$ と計算できれば $\theta=\frac{\pi}{3}$ （またはθ=60°）と答えることができる．

この角度は「結果を覚えているから答えられる」のであって，次の例のように結果を覚えていない角度については，このようには答えられない．

【例】
$\cos \theta=\frac{1}{3}$ となった場合，高校では逆三角関数を扱わないのでθ=...の形にはできない．

そもそも，ベクトルの成分と角θをつなぐ公式(1)は
$\theta=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
ではなく
$\cos \theta=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
の形をしており，cosθの値までしか求まらない．

このような問題では，必要に応じて「θは $\cos \theta=\frac{1}{3}$ となる角」などと文章で答えるとよい．

【例題1】
$\vec{a}=(\sqrt{3},\hspace{5}1),\hspace{5}\vec{b}=(0,\hspace{5}2)$ のとき２つのベクトル $\vec{a},\hspace{5}\vec{b}$ のなす角θを求めなさい。（度で答えよ）

（答案）
$\mid\vec{a}\mid=\sqrt{(\sqrt{3})^2+ 1^2}=\sqrt{4}=2$
$\mid\vec{b}\mid=\sqrt{0^2+ 2^2}=\sqrt{4}=2$
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\sqrt{3}\times0+ 1\times 2=2$
だから
$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\mid\vec{a}\mid\cdot\mid\vec{b}\mid}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
θ=60° …(答)

【例題2】
$\vec{a}=(1,\hspace{5}2),\hspace{5}\vec{b}=(-1,\hspace{5}3)$ のとき２つのベクトル $\vec{a},\hspace{5}\vec{b}$ のなす角θを求めなさい。（度で答えよ）

（答案）
$\mid\vec{a}\mid=\sqrt{1^2+ 2^2}=\sqrt{5}$
$\mid\vec{b}\mid=\sqrt{(-1)^2+ 3^2}=\sqrt{10}$
$\vec{a}\cdot\vec{b}=-1+ 6=5$
だから
$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\mid\vec{a}\mid\cdot\mid\vec{b}\mid}=\frac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
θ=45° …(答)

【例題3】
$\vec{a}=(1,\hspace{5}1),\hspace{5}\vec{b}=(1,\hspace{5}2)$ のとき，２つのベクトル $\vec{a},\hspace{5}\vec{b}$ のなす角をθとするとき， $\cos\theta$ の値を求めなさい．

（答案）
$\mid\vec{a}\mid=\sqrt{1^2+ 1^2}=\sqrt{2}$
$\mid\vec{b}\mid=\sqrt{1^2+ 2^2}=\sqrt{5}$
$\vec{a}\cdot\vec{b}=1+ 2=3$
だから
$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\mid\vec{a}\mid\cdot\mid\vec{b}\mid}=\frac{3}{\sqrt{2}\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$ …(答)

【問題】

正しいと思う選択肢をクリック（タップ）すれば，採点結果と解説が出ます．解答しなければ解説は出ません．

(1)　２つのベクトル $\vec{a}=(2,1),\vec{b}=(2,6)$ のなす角を求めてください．（答は度で）解説

0° 30° 45° 60° 90° 120°

$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\times 2+ 1\times 6=10$
$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+ 1^2}=\sqrt{5}$ ， $|\vec{b}|=\sqrt{2^2+ 6^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ だから
$\cos \theta=\frac{10}{\sqrt{5}\times 2\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
θ=45°…（答） →解説を隠す←

(2)　２つのベクトル $\vec{a}=(1,0),\vec{b}=(1,\sqrt{3})$ のなす角を求めてください．（答は度で）解説

0° 30° 45° 60° 90° 120°

$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 1+ 0\times \sqrt{3}=1$
$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+ 0^2}=1$ ， $|\vec{b}|=\sqrt{1^2+ (\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2$ だから
$\cos \theta=\frac{1}{2}$
θ=60°…（答） →解説を隠す←

(3)　２つのベクトル $\vec{a}=(1,-3),\vec{b}=(1,2)$ のなす角を求めてください．（答は度で）解説

45° 60° 90° 120° 135° 150°

$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 1+ (-3)\times 2=-5$
$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+ (-3)^2}=\sqrt{10}$ ， $|\vec{b}|=\sqrt{1^2+ 2^2}=\sqrt{5}$ だから
$\cos \theta=\frac{-5}{\sqrt{10}\sqrt{5}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$
θ=135°…（答） →解説を隠す←

(4)　２つのベクトル $\vec{a}=(2,-1),\vec{b}=(2,4)$ のなす角を求めてください．（答は度で）解説

45° 60° 90° 120° 135° 150°

$\vec{a}\cdot \vec{b}=2\times 2+ (-1)\times 4=0$
だから
θ=90°…（答） →解説を隠す←

(5)　２つのベクトル $\vec{a}=(1,3),\vec{b}=(3,1)$ のなす角をθとするとき，cosθの値を求めてください．解説

$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{4}{5}$

$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 3+ 3\times 1=6$
$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+ 3^2}=\sqrt{10}$ ， $|\vec{b}|=\sqrt{3^2+ 1^2}=\sqrt{10}$ だから
$\cos \theta=\frac{6}{\sqrt{10}\sqrt{10}}=\frac{3}{5}$ …（答）
（※この問題では，角度までは求まりませんが，cosθの値は求められます） →解説を隠す←

【ベクトルの垂直条件】…（直交条件）
$\vec{a}\ne \vec{0},\hspace{5}\vec{b}\ne \vec{0}$ のとき，
$\vec{a}\perp \vec{b}\leftarrow \rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=0$

※垂直(直角，90°)は１つの角度に過ぎませんが，実際に出会う問題は垂直条件(直交条件)を求めるものの方が多いので，この公式は重要

（解説）
$\vec{a}\cdot\vec{b}=0\hspace{5}\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\hspace{5}\cos\theta=0\hspace{5}\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\hspace{5}\theta=90^{\circ}$

（参考）
大学では，内積が０になる場合は $\vec{a}=\vec{0},\hspace{5}\vec{b}=\vec{0}$ の場合も含めて，「垂直」「直交」と定義しますが，
高校では零ベクトル $\vec{0}$ の向きは考えないことになっていますので，「２つのベクトルが垂直である」というためには
$\vec{a}\perp \vec{b}\leftarrow \rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=0$
だけでなく
$\vec{a}\ne \vec{0},\hspace{5}\vec{b}\ne \vec{0}$
も示すことになっています．
ただし， $\vec{a},\hspace{5}\vec{b}$ として(0 , 0)以外の定数の成分が与えられているとき，それが零ベクトルでないことは自明ですので，「 $\vec{a}\ne \vec{0},\hspace{5}\vec{b}\ne \vec{0}$ 」の断り書きは省略できます．