ベクトルと図形（平面・空間/私大入試問題）

■ベクトルの絶対値の変形■ ==基本★==

\(\displaystyle \small |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2=1\) …(#1)

\(\displaystyle \small |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2+2\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}+|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2=4\) …(#2)

\(\displaystyle \small |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2+4\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}+4|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2=16\) …(#3)

(#1)を(#2)(#3)に代入

\(\displaystyle \small 2\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}+|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2=3\) …(#2')

\(\displaystyle \small 4\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}+4|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2=15\) …(#3')

(#2')×4−(#3')

\(\displaystyle \small 4\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=-3\)

\(\displaystyle \small \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=-\frac{3}{4}\) …（答）

2つのベクトル \(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}},\hspace{5px}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) のなす角を \(\theta\) とすると
△ABCの面積は \(\small \displaystyle S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|\cdot|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|\cos\theta\) だから
残りの \(\small \displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|,\hspace{5px}\cos\theta\) を求めて使う

(#2')に，(1)で求めた内積を代入する

\( \small \displaystyle -\frac{3}{2}+|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2=3\)

\( \small \displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2=\frac{9}{2}\)

\( \small \displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\frac{3}{\sqrt{2}}\)

\( \small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=-\frac{3}{4}\) から \(\cos\theta,\hspace{3px}\sin\theta\) を求める

\( \small \displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|\cdot|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|\cos\theta=-\frac{3}{4}\)

\( \small \displaystyle 1\cdot\frac{3}{\sqrt{2}}\times\cos\theta=-\frac{3}{4}\)

\( \small \displaystyle \cos\theta=-\frac{3}{4}\times\frac{\sqrt{2}}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{4}\)

\( \small \displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\frac{2}{16}}=\frac{\sqrt{14}}{4}\)

\(\small \displaystyle S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|\cdot|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|\cos\theta\)

\(\small \displaystyle =\frac{1}{2}\times 1\times\frac{3}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{14}}{4}=\frac{3\sqrt{7}}{8} \) …（答）

【問題】

　三角形OABにおいて，OA=4, OB=3, AB=\(\small \sqrt{21}\) である．OAの中点をMとし，点Oから直線BMに垂線OHを下ろす．\(\small \vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\hspace{3px} \vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) とおいて，次の問いに答えよ．

(1)　内積 \(\small \vec{a}\cdot\vec{b}\) の値を求めよ．

(2)　三角形OABの面積を求めよ．

(3)　\(\small \overrightarrow{\mathrm{OH}}\) を \(\vec{a},\hspace{3px}\vec{b}\) を用いて表せ．

（2025年津田塾大）

(1)

《余弦定理(の変形)》
3辺の長さから角を求める

\(\small \displaystyle \cos\theta=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

\(\small a=4,b=3,c=\sqrt{21}\)，∠BOA=θとすると

(別解)
　\(\small |\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}\)
から直接計算できる
　\(\small 21=16+9-2\vec{a}\cdot\vec{b}\)
　\(\small \displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{4}{2}=2\) …（答）

\(\small \displaystyle \cos\theta=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

\(\small \displaystyle =\frac{4^2+3^2-(\sqrt{21})^2}{2\times 4\times 3}\)

\(\small \displaystyle =\frac{4}{24}=\frac{1}{6}\)

\(\small \vec{a}\cdot\vec{b}=ab\cos\theta\)

\(\small \displaystyle =4\times 3\times\frac{1}{6}=2 \) …（答）

(2)

《三角形の面積》

\(\small \displaystyle S=\frac{1}{2}ab\sin\theta\)

\(\small \displaystyle \cos\theta=\frac{1}{6}\) だから

\(\small \displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-(\frac{1}{6})^2}=\frac{\sqrt{35}}{6}\)

\(\small \displaystyle S=\frac{1}{2}\times 4\times 3\times \frac{\sqrt{35}}{6}\)

\(\small \displaystyle =\sqrt{35}\) …（答）

\(\vec{a}\) \(\vec{b}\)

(3)

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{1}{2}\vec{a}\)

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BM}}=\frac{1}{2}\vec{a}-\vec{b}\)

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{BM}}\) とおける

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\vec{b}+t(\frac{1}{2}\vec{a}-\vec{b})=\frac{t}{2}\vec{a}+(1-t)\vec{b}\)

そこで，\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp\overrightarrow{\mathrm{BM}}\) となるような \(t\) の値を求めると

\(\small \displaystyle \{\frac{t}{2}\vec{a}+(1-t)\vec{b}\}\cdot(\frac{1}{2}\vec{a}-\vec{b})=0\)

\(\small \displaystyle \frac{t}{4}|\vec{a}|^2+\frac{1-t}{2}\vec{a}\cdot\vec{b}-\frac{t}{2}\vec{a}\cdot\vec{b}-(1-t)|\vec{b}|^2=0\)

\(\small \displaystyle \frac{t}{4}\times 16+\frac{1-t}{2}\times 2-\frac{t}{2}\times 2-(1-t)\times 9=0\)

\(\small \displaystyle 4t+1-t-t-9+9t=0\)

\(\small \displaystyle 11t=8\)

\(\small \displaystyle t=\frac{8}{11}\)

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{4}{11}\vec{a}+\frac{3}{11}\vec{b}\) …（答）

【問題】

　△ABCにおいて，AB=5, BC=7, CA=8とする．このとき，∠Aの大きさはアであり，\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\)イである．また，この△ABCの外接円の半径はウであり，その外接円の中心をPとするとき，\(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\)エである．

（2025年明治学院大）

《余弦定理》
3辺の長さから角を求める

\(\displaystyle \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

a=BC, b=CA, c=AB とおくと

\(\displaystyle \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

\(\displaystyle =\frac{8^2+5^2-7^2}{2\times 8\times 5}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}\)

\(\displaystyle A=\frac{\pi}{3}\) →ア …（答）

\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)

\(\displaystyle =|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|\cdot|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|\cos A\)

\(\displaystyle =5\times 8\times \frac{1}{2}=20\) →イ …（答）

《正弦定理》

\(\small\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\)

\(\small\displaystyle \frac{7}{\sin \dfrac{\pi}{3}}=2R\) より
\(\small\displaystyle R=7\times \frac{2}{\sqrt{3}}\times\frac{1}{2}\)
\(\small\displaystyle =\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}\) →ウ …（答）

三角形を作っている「2つのベクトルの内積」は，「3辺の長さ」で表せる
\(|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}\) より

\(\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-|\vec{a}-\vec{b}|^2}{2}\)

この式は，上記の余弦定理を次の形に書いたものと同じ

\(\displaystyle ab\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\)

\(|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=5,\hspace{5px}|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=8,\hspace{5px}|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=7\)
\(|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|=R\) を次の式に代入する

\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2-|\overrightarrow{\mathrm{AP}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2}{2}\)

\(\displaystyle =\frac{R^2+5^2-R^2}{2}=\frac{25}{2}\) …（答）

【問題】

　各辺の長さがAB=1, BC=\(\small \sqrt{5}\), CA=\(\small\sqrt{2}\) である三角形ABCの外接円Kの中心をOとする．また，\(\small \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b},\hspace{5px}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c}\) とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　内積 \(\small \vec{b}\cdot\vec{c}\) を求めよ．

(2)　円Kの半径を求めよ．

(3)　\(\small \overrightarrow{\mathrm{AO}}\) を\(\small \vec{b},\hspace{3px}\vec{c}\) を用いて表せ．

（2025年東京電機大学）

\(1\) \(\sqrt{2}\) \(\sqrt{5}\) \(\vec{b}\) \(\vec{c}\)

(1)

《余弦定理》
3辺の長さから角を求める

\(\displaystyle \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

\(\displaystyle\small \cos A=\frac{1^2+(\sqrt{2})^2-(\sqrt{5})^2}{2\times 1\times \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle\small =\frac{1+2-5}{2\sqrt{2}}=\frac{-2}{2\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle\small =-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle\small \vec{b}\cdot\vec{c}=1\times\sqrt{2}\times(-\frac{1}{\sqrt{2}})=-1\) …（答）

《正弦定理》

\(\small\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\)

(2)
　\(\small\displaystyle \frac{a}{\sin A}=2R\) により \(R\) を求める
　ここで，\(\small\displaystyle\cos A=-\frac{1}{\sqrt{2}}\) により
　\(\small\displaystyle \sin A=\sqrt{1-(-\frac{1}{\sqrt{2}})^2}=\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) だから
\(\small\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}=2R\)
　\(\small\displaystyle R=\sqrt{5}\times\sqrt{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{10}}{2}\) …（答）
→解答を隠す←

\(\vec{b}\) \(\vec{c}\)

　AOの延長が外接円と交わる点をDとすると，ADは直径になるから，∠ABD=90°, ∠ACD=90°になる
　そこで，\(\small \overrightarrow{\mathrm{AO}}=s\vec{b}+t\vec{c}\) とおくと
\(\small \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BD}}=0\) により

\(\displaystyle\small \vec{b}\cdot\{2s\vec{b}+2t\vec{c}-\vec{b}\}=0\)

\(\displaystyle\small (2s-1)\vec{b}\cdot\vec{b}+2t\vec{b}\cdot\vec{c}=0\)…①

\(\small \overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}}=0\) により

\(\displaystyle\small \vec{c}\cdot\{2s\vec{b}+2t\vec{c}-\vec{c}\}=0\)

\(\displaystyle\small 2s\vec{c}\cdot\vec{b}+(2t-1)\vec{c}\cdot\vec{c}=0\)…②

ここで，\(\small |\vec{b}|=1,\hspace{3px}|\vec{c}|=\sqrt{2},\hspace{3px}\vec{b}\cdot\vec{c}=-1\) だから

\(\displaystyle\small (2s-1)-2t=0\)…①'

\(\displaystyle\small -2s+2(2t-1)=0\)…②'

すなわち

\(\displaystyle\small \bigg\{\begin{array}{ll} 2s-2t=1 \cdots (1)' \\ s-2t=-1 \cdots (2)'\end{array}\)

(1)'−(2)'

\(\displaystyle\small s=2\)

(1)'に代入

\(\displaystyle\small t=\frac{3}{2}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AO}}=2\vec{b}+\frac{3}{2}\vec{c}\) …（答） →解答を隠す←

【問題】

(1)　△ABCにおいて，AB=6, AC=4, \(\displaystyle\cos A=\frac{1}{4}\) とする．△ABCの外心をHとし，直線AHが△ABCの外接円と交わる点のうち，点Aとは異なる点をPとする．このとき，

\(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\)	ス	\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\)	ソ	\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) である．
	セ		タ

(2)　△ABCにおいて，AB=5, AC=6, \(\displaystyle\cos A=\frac{1}{5}\) とする。△ABCの内心をKとし，直線AKが△ABCの内接円と交わる点のうち，点Aに近いほうの点をQとする．このとき，

\(\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\)	チ−\(\sqrt{\hspace{50px}}\)ツ	\(\overrightarrow{\mathrm{AK}}\) である．
	テ

（2025年早稲田大人間科学部）

Hが外心 ⇔ AHが半径 ⇔ APが直径という条件の使い方
ア) \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\perp\overrightarrow{\mathrm{BP}}\)
イ) \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2\)

　\(\mathrm{AB,AP}\) のなす角を \(\theta\) とすると，\(\mathrm{AP}\cos\theta=\mathrm{AB}\) だから \(\mathrm{AB\cdot AP}\cos\theta=\mathrm{AB\cdot AB}\)
　\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) についても同様

ア)
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b},\hspace{10px}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c},\hspace{10px}\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\vec{p}\) ，\(\vec{p}=s\vec{b}+t\vec{c}\) とおくと

\(\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\vec{p}-\vec{b}=(s-1)\vec{b}+t\vec{c}\)

\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\vec{b}\cdot\{(s-1)\vec{b}+t\vec{c}\}=0\)

\((s-1)\vec{b}\cdot\vec{b}+t\vec{b}\cdot\vec{c}=0\)

ここで

\(\displaystyle\vec{b}\cdot\vec{b}=36,\hspace{10px}\vec{b}\cdot\vec{c}=6\times 4\times\frac{1}{4}=6\) だから

\(\displaystyle 36(s-1)+6t=0\)

\(\displaystyle 6(s-1)+t=0\) …①

同様にして

\(\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\vec{p}-\vec{c}=s\vec{b}+(t-1)\vec{c}\)

\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\{s\vec{b}+(t-1)\vec{c}\}\cdot\vec{c}=0\)

\(s\vec{b}\cdot\vec{c}+(t-1)\vec{c}\cdot\vec{c}=0\)

\(6s+16(t-1)=0\)

\(3s+8(t-1)=0\) …②

連立方程式①②を解くと

\(\displaystyle s=\frac{8}{9},\hspace{5px}t=\frac{2}{3}\)

\(\displaystyle \vec{p}=\frac{8}{9}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}\)

\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{8}{9}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) …（答）

（別解）イ)
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b},\hspace{10px}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c},\hspace{10px}\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\vec{p}\) ，\(\vec{p}=s\vec{b}+t\vec{c}\) とおくと

\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2\) だから

\(s\vec{b}\cdot\vec{b}+t\vec{b}\cdot\vec{c}=|\vec{b}|^2\)

\(36s+6t=36\)

\(6s+t=6\) …③

\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^2\) だから

\(s\vec{b}\cdot\vec{c}+t\vec{c}\cdot\vec{c}=|\vec{cb}|^2\)

\(6s+16t=16\)

\(3s+8t=8\) …④

③④から，ア）のときと同様にして解ける
→解答を隠す←

《内接円の半径 \(r\) 》
内接円の半径を \(r\), 外接円の半径を \(R\) とすると三角形の面積 \(S\) は
\(\small\displaystyle \frac{1}{2}r(a+b+c)=S=\frac{abc}{4R}\)

\(\small\displaystyle \cos A=\frac{1}{5}\) だから

\(\small\displaystyle \sin A=\sqrt{1-(\frac{1}{5})^2}=\frac{2\sqrt{6}}{5}\)

余弦定理により

\(\small\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)

\(\small\displaystyle =6^2+5^2-2\times 6\times 5\times\frac{1}{5}=49 \)

\(\small\displaystyle a=7\)

正弦定理により

\(\small\displaystyle \frac{a}{\sin A}=2R\)

\(\small\displaystyle \frac{7}{\dfrac{2\sqrt{6}}{5}}=2R\)

\(\small\displaystyle R=7\times\frac{5}{2\sqrt{6}}\times\frac{1}{2}=\frac{35}{4\sqrt{6}}\)

\(\small\displaystyle \frac{1}{2}r(a+b+c)=\frac{abc}{4R}\) により

\(\small\displaystyle \frac{1}{2}r(5+6+7)=\frac{5\times 6\times 7}{4\times\dfrac{35}{4\sqrt{6}}}\)

\(\small\displaystyle 9r=6\sqrt{6}\)

\(\small\displaystyle r=\frac{2}{3}\sqrt{6}\)

《内心の位置ベクトル》
内心の位置ベクトルを \(\overrightarrow{\mathrm{OK}}\) とすると
\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OK}}=\frac{a\vec{a}+b\vec{b}+c\vec{c}}{a+b+c}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b},|\vec{b}|=5\)
\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c},|\vec{c}|=6\)
\(\small\displaystyle \vec{b}\cdot\vec{c}=5\times 6\times \frac{1}{5}=6\) を用いて
\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AK}}=\frac{6\vec{b}+5\vec{c}}{7+6+5}=\frac{6\vec{b}+5\vec{c}}{18}\)
の大きさを計算すると

\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AK}}|^2=\frac{1}{18^2}(6^2\times 5^2+5^2\times 6^2+2\times 5\times 6\times 6)\)

\(\small\displaystyle =\frac{2160}{18^2}=\frac{2^2\times 5}{3}\)

\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AK}}|=\frac{2\sqrt{15}}{3}\)

\(\small\displaystyle \mathrm{AK=AQ+}r\) だから

\(\small\displaystyle \mathrm{AQ}=\frac{2\sqrt{15}}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{6}=\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3}\)

\(\small\displaystyle \mathrm{\frac{AQ}{AK}}=\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3}\times\frac{3}{2\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\)

\(\small\displaystyle =\frac{5-\sqrt{10}}{5}\)

難し過ぎる！！
（別解として）点Aに遠い方の点をQ'として，AQ･AQ'を使って、方べきの定理に持ち込む方法も考えられる

【問題】

　右図において，OA=5, OB=6, AB=7とする．△OABの頂点Oにおける内角の二等分線と，頂点Aにおける外角の二等分線の交点をCとする．Cから直線OAに下した垂線と直線OAとの交点をHとする．\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a},\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}\) とする．

(1)　内積 \(\small\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\)クである．

(2)　\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}\) を \(\vec{a},\vec{b}\) を用いて表すと

\(\small\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\)	ケ	\(\small\displaystyle\vec{a}+\)	サ	\(\small\displaystyle\vec{b}\)
	コ		シ

であり，\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=\)ス \(\sqrt{\hspace{45px}}\) 　セ　　　　である．

(3)　\(\small\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\)	ソ	\(\small\displaystyle\vec{a}\) である．
	タ

(4)　\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{CH}}|=\)チ \(\sqrt{\hspace{45px}}\) 　ツ　　　　である．

(5)　△ABCの面積は	テ	\(\sqrt{\hspace{45px}}\) ナ　　　　である．
	ト

（2025年上智大経済学部）

\(\vec{a}\) \(\vec{b}\) \(5\) \(6\) \(7\)

\(\small \displaystyle \vec{a},\vec{b}\) のなす角を \(\theta\) とすると

\(\small \displaystyle \cos\theta=\frac{5^2+6^2-7^2}{2\times 5\times 6}=\frac{12}{60}=\frac{1}{5}\)

\(\small \displaystyle |\vec{a}|=5,|\vec{b}|=6,\cos\theta=\frac{1}{5}\) だから

\(\small \displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=5\times 6\times\frac{1}{5}=6\)

《角の二等分線方向のベクトル》
A)　\(\small \displaystyle \vec{a},\vec{b}\) の大きさに引きずられないように，各々の大きさで割って，それぞれの向きの単位ベクトルにすると，和が角の二等分線の方向に向く

\(\small \displaystyle s\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)\)

B)　角の二等分線に関する性質から，\(\small \displaystyle |\vec{a}|=a,|\vec{b}|=b\) を用いて，次の形の式を作ると，角の二等分線の方向に向く

\(\small \displaystyle t\left(\frac{b\vec{a}+a\vec{b}}{a+b}\right)\)

以下の解説では，A)を使って解いている

\(\vec{a}\) \(\vec{b}\) \(5\) \(6\) \(7\) \(3\sqrt{6}\) \(3\sqrt{15}\) \(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\) \(\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\) \(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\) \(\small\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|}\)

Cは∠BOAの二等分線上にあるから

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=s\left(\frac{\vec{a}}{5}+\frac{\vec{b}}{6}\right)\) …(#1)と書ける

また，Cは∠BAHの二等分線上にあるから

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\left(\frac{\vec{a}}{5}+\frac{\vec{b}-\vec{a}}{7}\right)\) …(#2)と書ける

\(\small \displaystyle \vec{a}\)∦\(\small \displaystyle \vec{b}\) かつ \(\small \displaystyle \vec{a},\vec{b}\ne\vec{0}\) だから(#1)(#2)の\(\small \displaystyle \vec{a},\vec{b}\) の係数を比較すると

\(\small \displaystyle \left\{\begin{array}{ll}\dfrac{s}{5}=1+\dfrac{t}{5}-\dfrac{t}{7} \\ \dfrac{s}{6}=\dfrac{t}{7}\end{array}\right.\)

この連立方程式を解くと

\(\small \displaystyle s=\frac{15}{2},t=\frac{35}{4}\)

(#1)に代入

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{15}{2}\left(\frac{\vec{a}}{5}+\frac{\vec{b}}{6}\right)=\frac{3}{2}\vec{a}+\frac{5}{4}\vec{b}\)

\(\small \displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^2=\frac{9}{4}\times 5^2+\frac{25}{16}\times 6^2+2\times\frac{3}{2}\times\frac{5}{4}\times 6=135 \)

\(\small \displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=\sqrt{135}=3\sqrt{15} \)

2つのベクトル \(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}},\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) のなす角を \(\phi\) とするとき

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\mathrm{OA\cdot OC}\cos\phi=\mathrm{OA\cdot OH}\)

であることに注意すると

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{3}{2}|\vec{a}|^2+\frac{5}{4}\vec{a}\cdot\vec{b}\)

\(\small \displaystyle =\frac{3}{2}\times 25+\frac{5}{4}\times 6=45\)

\(\small \displaystyle \mathrm{OA\cdot OH}=45\) より

\(\small \displaystyle \mathrm{OH}=9\)

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{9}{5}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)

［(4)の解答を見る］

直角三角形OHCにおいて，\(\small \displaystyle \mathrm{OC}=3\sqrt{15}, \mathrm{OH}=9\) だから

\(\small \displaystyle \mathrm{CH}=\sqrt{(3\sqrt{15})^2-9^2}=\sqrt{135-81}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}\)

［(5)の解答を見る］

∠BOAの二等分線がABと交わる点をDとおくと，(2)の解説B)の方法で

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{6\vec{a}+5\vec{b}}{11}\)

一方，(2)の結果から

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{6\vec{a}+5\vec{b}}{4}\)

したがって，△OABと△ABCとは，底辺の長さABが共通で，高さの比がOD:DC=4:7になるから，△OABの面積を \(\small\displaystyle\frac{7}{4}\) 倍すれば△ABCの面積になる

\(\small \displaystyle \mathrm{\triangle OAB}=\frac{1}{2}\times 5\times 6\times \sqrt{1-(\frac{1}{5})^2}=6\sqrt{6}\)

\(\small \displaystyle \mathrm{\triangle ABC}=\frac{7}{4}\times 6\sqrt{6}=\frac{21}{2}\sqrt{6}\)

（別解）
△AHCを辺AHを対称軸として折り返すと，CHを移した辺がABの垂線になるから， △ABCの高さは \(\small\displaystyle \mathrm{CH}=3\sqrt{6}\)

\(\small \displaystyle \mathrm{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times 7\times 3\sqrt{6}=\frac{21}{2}\sqrt{6}\)

【問題】

　Oを原点とする座標空間内に点A(3, 0, 0)をとる．点Aを通り \(\small \vec{d}=(-1,1,1)\) に平行な直線をlとし，直線l上の点で，原点からの距離が最小となる点をHとする．

(ⅰ)　点Hの座標はオである．ただし，オは(p, q, r)の形で答えよ．

(ⅱ)　bを正の実数とする．2点O, B(0, 0, b)を直径の両端とする球面上に点Hがあるとき，b=カである．このとき，△ABHの面積はキである．

（2025年関西学院大学）

［(i)の解答を見る］

(1) ♪～基本：★～♫

直線l上の点をPとすると

\(\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\vec{d}\)

\(=(3,0,0)+t(-1,1,1)=(3-t,t,t)\)

\(|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2=(3-t)^2+t^2+t^2\)

\(=3t^2-6t+9=3(t^2-2t)+9\)

\(=3(t-1)^2+6\)

は，\(t=1\) のとき最小となる．このとき

\(\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(2,1,1)\)

\(\mathrm{H}(2,1,1)\)

［(ii)の解答を見る］

(1) ♪～基本：★～♫

中心が \(\small\displaystyle (0,0,\frac{b}{2})\) で，半径が \(\small\displaystyle\frac{b}{2}\) の球の方程式は

\(\small\displaystyle x^2+y^2+(z-\frac{b}{2})^2=(\frac{b}{2})^2\)

この式に，\(H(2,1,1)\) を代入すると

\(\small\displaystyle 4+1+(1-\frac{b}{2})^2=(\frac{b}{2})^2\)

\(\small\displaystyle 4+1+1-b+\frac{b^2}{4}=\frac{b^2}{4}\)

\(\small\displaystyle b=6\)

《△OABの面積：平面･空間共通》
\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}},\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) のなす角を \(\theta\) とすると

\(\small\displaystyle S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OA}}||\overrightarrow{\mathrm{OB}}|\sin\theta\)

よく出る公式ですが
\(\small\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2-(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}})^2}\)
を無理に覚える必要はないでしょう

ここで，余弦定理から

\(\small\displaystyle \cos\theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}||\overrightarrow{\mathrm{OB}}|}\)を求め，これを使って

\(\small\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}\)を求めたらよい．

\(\small\displaystyle \mathrm{A}(3,0,0),\mathrm{B}(0,0,6),\mathrm{H}(2,1,1)\) より

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AH}}=(-1,1,1)\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-3,0,6)\)

\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AH}}|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}\)

\(\small\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\sqrt{9+0+36}=3\sqrt{5}\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=3+0+6=9\)

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AH}},\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) のなす角を \(\theta\) とすると

\(\small\displaystyle \cos\theta=\frac{9}{\sqrt{3}\times 3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\)

\(\small\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-\frac{3}{5}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\)

△ABHの面積は

\(\small\displaystyle S=\frac{1}{2}\times \sqrt{3}\times 3\sqrt{5}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{6}}{2}\)

【問題】

Oを原点とする座標空間に，3点

\(\mathrm{A(6,\hspace{2px}2,\hspace{2px}0),\hspace{2px}B(2,\hspace{2px}6,\hspace{2px}0),\hspace{2px}C(2,\hspace{2px}4,\hspace{2px}2)}\)

がある．
ベクトル \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) と \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) の内積は，

\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\)アイ

である．
三角形OABの内角∠AOBの大きさを \(\theta\) とする．

\(\cos\theta=\)	ウ
	エ

であり，三角形OABの面積はオカである．
線分ABを1:3に内分する点をDとする．
Dの座標は，D(キ, ク, 0 )である．
直線BC上に点Eがあり，Eは，\(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=4\) を満たすとする．
rを実数とする．

\(\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+r\overrightarrow{\mathrm{BC}}\)

とすると，r=	ケ	である．
	コ

点Cからxy平面に下した垂線と，xy平面の交点をHとする．
直線CHと平面ODEの交点をFとする．
s, tを実数とする．

\(\overrightarrow{\mathrm{OF}}=s\overrightarrow{\mathrm{OD}}+t\overrightarrow{\mathrm{OE}}\)

とすると，s=	サシ	，t=	セソ	である．
	ス		タ

Fのz座標は，	チツ	である．
	テ

四面体OABCの体積をV，四面体ODBFの体積をWとするとき，

\(W\)	\(=\)	ト
\(V\)	\(=\)	ナ

である．

（2025年法政大学）

［アイの解答を見る］

\(\small\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(6,2,0),\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(2,6,0)\) だから

\(\small\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=6\times 2+2\times 6+0\times 0=24\) →アイ

［ウエの解答を見る］

\(\small \displaystyle \cos\theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{\mathrm{OA\cdot OB}}\)

\(\small \displaystyle =\frac{24}{2\sqrt{10}\times 2\sqrt{10}}=\frac{3}{5}\) →ウエ

［オカの解答を見る］

\(\small \displaystyle \cos\theta=\frac{3}{5}\) だから \(\small\displaystyle\sin\theta=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}\)

\(\small \displaystyle S=\frac{1}{2}\mathrm{OA\cdot OB}\sin\theta=\frac{1}{2}\times2\sqrt{10}\times 2\sqrt{10}\times\frac{4}{5}\)

\(\small \displaystyle =16\) →オカ

［キクの解答を見る］

《内分点の座標》
\(\small \displaystyle \mathrm{A}(x_1,y_1,z_1),\mathrm{B}(x_2,y_2,z_2)\) を \(m:n\) に内分する点 \(\mathrm{P}\) の座標は \(\small\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n},\frac{nz_1+mz_2}{m+n}\right)\)

\(\small \displaystyle \left(\frac{3\times 6+1\times 2+0}{1+3},\frac{3\times 2+1\times 6+0}{1+3},0\right)\)

\(\small \displaystyle =(5,3,0)\) →キク

［ケコの解答を見る］

\(\small \displaystyle \mathrm{A(6,2,0),B(2,6,0),C(2,4,2)}\) のとき

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(2,6,0),\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(0,-2,2),\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-4,4,0)\) だから

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+r\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(2,6,0)+r(0,-2,2)\)

\(\small \displaystyle =(2,6-2r,2r)\)

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OE}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=4\) より

\(\small \displaystyle -8+4(6-2r)+0=4\)

\(\small \displaystyle 8r=12\)

\(\small \displaystyle r=\frac{3}{2}\) →ケコ

［サ～テの解答を見る］

ケコの結果から

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OE}}=(2,6-2\times\frac{3}{2},2\times\frac{3}{2})=(2,3,3)\)

\(\mathrm{CF}\) は \(xy\) 平面垂直な直線で，\(x=2,y=4,z\)は任意という形に書けるから

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OF}}=s\overrightarrow{\mathrm{OD}}+t\overrightarrow{\mathrm{OE}}\)

\(\small \displaystyle =s(5,3,1)+t(2,3,3)=(2,4,z)\) とおくと

\(\small \displaystyle \left\{\begin{array}{lll}5s+2t=2\cdots(1) \\ 3s+3t=4\cdots(2)\\ 3t=z\cdots(3) \end{array}\right.\)

この連立方程式を解くと

\(\small \displaystyle s=-\frac{2}{9},t=\frac{14}{9},z=\frac{14}{3}\) → サ～テ

［トナの解答を見る］

\(\small \displaystyle \frac{W}{V}=\frac{3}{4}\times\frac{\dfrac{14}{3}}{2}=\frac{7}{4}\) →トナ

《内分点・外分点の位置ベクトル：要約》

(1) ♪～教科書に書かれている公式～♫

\(m\) \(n\) \(\vec{a}\) \(\vec{b}\) \(\vec{p}\)

　2点A, Bの位置ベクトルをそれぞれ \(\small \displaystyle \vec{a},\vec{b}\) とし，線分ABをm:nに内分する点を \(\small \displaystyle \mathrm{P}(\vec{p})\) とすると，

\(\small \displaystyle \vec{p}=\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}\)

■第1の特徴■：素直じゃない式
ABを内分する比がm:nであるとき，式で \(\vec{a}\) に掛ける数字は，見かけで遠い方の数字n， \(\vec{b}\) に掛ける数字は，見かけで遠い方の数字mになっていることに注意

■第2の特徴■：n,mの符号
n,mの符号が正のとき，内分点を表す．一方が負のときは，外分点を表す．（両方とも負のときは，両方とも正と同じ）

\(\small\displaystyle \frac{-n\vec{a}-m\vec{b}}{-m-n}=\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}\)

■第3の特徴■：n+mが分母と分子で等しいこと
分母の係数m, nの和と，分子の係数n, mの和が等しいときだけ，Pは，線分AB上にある．

例　\(\small\displaystyle \vec{p}=\frac{2\vec{a}+3\vec{b}}{5}\)

そうでないときは，(2)に述べる応用版になる．

例　\(\small\displaystyle \vec{q}=\frac{2\vec{a}+3\vec{b}}{6}\)

(2) ♪～分母と分子の係数の和が一致しないとき～♫

\(m\) \(n\) \(\vec{a}\) \(\vec{b}\) \(\vec{q}\)

　\(\small\displaystyle \vec{q}=\frac{2\vec{a}+3\vec{b}}{6}\) のように，分母の係数と分子の係数の和が一致しないときは，

①　まず，分子の係数に合わせた分母を作り

②　次に，その定数倍で元の位置ベクトルを見直す

\(\small\displaystyle \vec{q}=\frac{\textcolor{red}{5}}{6}\times\frac{2\vec{a}+3\vec{b}}{\textcolor{red}{5}}\)

これにより， \(\small\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\) は，線分ABの内分点を表す位置ベクトル \(\small\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) を，定数倍（拡大または縮小）したベクトルであることが分かる.

(3) ♪～空間において，3点を通る平面上のベクトル～♫

　3点A, B, Cの位置ベクトルをそれぞれ \(\small \displaystyle \vec{a},\vec{b},\vec{c}\) とし，線分ABをm:lに内分する点をDとすると，

\(\small\displaystyle \vec{p}=\frac{l\vec{a}+m\vec{b}+n\vec{c}}{l+m+n}\)

で表される点 \(\mathrm{P}(\vec{p})\) は，線分DCをn:(l+m)に内分する点になる．

（解説）
　はじめに，\(\small\displaystyle \vec{d}=\frac{l\vec{a}+m\vec{b}}{l+m}\) で表される点 \(\small\displaystyle \mathrm{D}(\vec{d})\) は，線分ABをm:lに内分する点になる．
　次に，線分DCをn:(l+m)に内分する点Pの位置ベクトル \(\small\displaystyle \vec{p}\) は

\(\small\displaystyle \vec{p}=\frac{(l+m)\vec{d}+n\vec{c}}{(l+m)+n}=\frac{(l+m)\dfrac{l\vec{a}+m\vec{b}}{l+m}+n\vec{c}}{(l+m)+n} \)

\(\small\displaystyle =\frac{l\vec{a}+m\vec{b}+n\vec{c}}{l+m+n} \)

■第1の特徴■：l, n, mの符号
l, n, mの符号が全部正のとき，△ABCの内部の点を表す．１つでも負のときは，外部の点を表す．（0のときは境界線上になる）

■第2の特徴■：l+n+mが分母と分子で等しいこと
分母の係数l, m, nの和と，分子の係数l, n, mの和が等しいときだけ，Pは，△ABCと同一の平面上にある．

例　\(\small\displaystyle \vec{p}=\frac{2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}}{9}\)

そうでないときは，(4)に述べる応用版になる．

例　\(\small\displaystyle \vec{q}=\frac{2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}}{5}\)

(4) ♪～分母と分子の係数の和が一致しないとき～♫

\(\) \(\) \(\) \(\) \(\)

　\(\small\displaystyle \vec{q}=\frac{2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}}{5}\) のように，分母の係数と分子の係数の和が一致しないときは，

①　まず，分子の係数に合わせた分母を作り

②　次に，その定数倍で元の位置ベクトルを見直す

\(\small\displaystyle \vec{q}=\frac{9}{5}\times\frac{2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}}{9}\)

これにより，△ABCと同一の平面上にある位置ベクトルを，定数倍（拡大または縮小）したベクトルであることが分かる.

(5) ♪～空間において，3点を通る平面上のベクトル～♫

～(3)と全く同じ内容の事は，次の形で書かれることがある～

　3点A, B, Cの位置ベクトルをそれぞれ \(\small \displaystyle \vec{a},\vec{b},\vec{c}\) とし，
(1)　まず，OからAまで進む（\(\small\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)）
(2)　次に， \(\small\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) の \(t\) 倍と \(\small\displaystyle\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) の \(u\) 倍を足すと，\(\small\displaystyle \mathrm{P}\) は，△ABCと同じ平面上にある

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{AB}}+u\overrightarrow{\mathrm{AC}} \)

\(\small\displaystyle \vec{p}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a})+u(\vec{c}-\vec{a}) \)

\(\small\displaystyle =(1-t-u)\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c} \)

\(1-t-u=s\) とおくと

\(\small\displaystyle \vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c} \)
\(\hspace{30px}\small\displaystyle (s+t+u=1) \)

（解説）

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+s\overrightarrow{\mathrm{BA}}+u\overrightarrow{\mathrm{BC}} \)

もしくは

\(\small\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s\overrightarrow{\mathrm{CA}}+t\overrightarrow{\mathrm{CB}} \)

から変形しても，同様の結果が得られる

■第1の特徴■：s, t, uの符号
s, t, uの符号が全部正のとき，△ABCの内部の点を表す．１つでも負のときは，外部の点を表す．（0のときは境界線上になる）

■第2の特徴■：s+t+u=1となること
s+t+u=1のときに限り，Pは，△ABCと同一の平面上にある．

例　\(\small\displaystyle \vec{p}=\frac{2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}}{9}\)

そうでないときは，(6)に述べる応用版になる．

例　\(\small\displaystyle \vec{q}=\frac{2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}}{5}\)

(6) ♪～s+t+u≠1とき～♫

\(\) \(\) \(\) \(\) \(\)

　\(\small\displaystyle \vec{q}=0.4\vec{a}+0.6\vec{b}+0.8\vec{c}\) のように，s+t+u≠1ときは，

①　まず，s+t+u=1となる式作り

②　次に，その定数倍で元の位置ベクトルを見直す

\(\small\displaystyle \vec{q}=0.4\vec{a}+0.6\vec{b}+0.8\vec{c}\)

\(\small\displaystyle =\frac{9}{5}\times\frac{2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}}{9}\)

これにより，△ABCと同一の平面上にある位置ベクトルを，定数倍（拡大または縮小）したベクトルであることが分かる.

【問題】

　四面体OABCにおいて,\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}+2\overrightarrow{\mathrm{AP}}+3\overrightarrow{\mathrm{BP}}+4\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\vec{0}\)を満たす点をPとし，\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a},\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c},\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\vec{p}\) とおく．

(1)　\(\small \displaystyle \vec{p}\) を \(\small \displaystyle \vec{a},\vec{b},\vec{c}\) を用いて表すと，

\(\vec{p}=\)	ア	\(\vec{a}+\)	ウ	\(\vec{b}+\)	カ	\(\vec{c}\) である．
	イ		エオ		キ

(2)　直線OPと平面ABCの交点をHとする．\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\vec{h}\) を \(\small \displaystyle \vec{a},\vec{b},\vec{c}\) を用いて表すと，

\(\vec{h}=\)	ク	\(\vec{a}+\)	コ	\(\vec{b}+\)	シ	\(\vec{c}\) である．
	ケ		サ		ス

(3)　直線CHと辺ABの交点をQとすると，

\(\small \displaystyle \mathrm{\frac{AQ}{QB}}=\)	セ	である．
	ソ

（2025年昭和薬科大学）

\(\small \displaystyle \vec{p}+2(\vec{p}-\vec{a})+3(\vec{p}-\vec{b})+4(\vec{p}-\vec{c})=\vec{0}\)

\(\small \displaystyle 10\vec{p}=2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}\)

\(\small \displaystyle \vec{p}=\frac{2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}}{10}\)

\(\small \displaystyle \vec{p}=\frac{1}{5}\vec{a}+\frac{3}{10}\vec{b}+\frac{2}{5}\vec{c}\)

\(\small \displaystyle \vec{p}=\frac{9}{10}\times\frac{2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}}{9}\)

だから

\(\small \displaystyle \vec{h}=\frac{2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}}{9}\)

\(\small \displaystyle =\frac{2}{9}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{4}{9}\vec{c}\)

\(\small \displaystyle \vec{h}=\frac{2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}}{9}\)

であるから，右図のようになり

\(\small \displaystyle \mathrm{\frac{AQ}{QB}}=\frac{3}{2}\)

【問題】

　一辺の長さが1の正四面体OABCを考える．辺OAを2:1に内分する点をD，線分DBを2:1に内分する点をEとする．さらに，点Eから直線OCに垂線EFを下す．\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a},\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b},\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}\) とするとき，以下のアからコにあてはまる数または式を解答欄に記入せよ．

(1)　次の3つの内積を求めよ．

\(\small \displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\)ア,　\(\small \displaystyle \vec{b}\cdot\vec{c}=\)イ,　\(\small \displaystyle \vec{c}\cdot\vec{a}=\)ウ

(2)　次の3つベクトルを， \(\small \displaystyle \vec{a},\vec{b},\vec{c}\) を用いて表せ．

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\)エ,　\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\)オ,　\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\)カ

(3)　内積 \(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ED}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{EF}}\) を求めると，\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ED}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\)キである．また，三角形DEFの面積Sを求めると，
S=クである．

(4)　三角形DEFの重心をGとし，直線OGと平面ABCの交点をHとする．\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}\) と \(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}\) を \(\small \displaystyle \vec{a},\hspace{3px}\vec{b},\hspace{3px}\vec{c}\) を用いて表すと，

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\)ケ，\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\)コ

である．

（2025年京都薬科大学）

\(\vec{a}\) \(\vec{b}\) \(\vec{c}\)

♪～基本★～♫

\(\small \displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=1\times 1\times \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}\)

\(\small \displaystyle \vec{b}\cdot\vec{c}=1\times 1\times \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}\)

\(\small \displaystyle \vec{c}\cdot\vec{a}=1\times 1\times \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}\)

♪～基本★～♫

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{2}{3}\vec{a}\)

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{DB}}=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}(\vec{b}-\frac{2}{3}\vec{a})\)

\(\small \displaystyle =\frac{2}{9}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}\)

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OF}}=k\vec{c}\) とおき，\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{EF}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OC}}\) となるように \(k\) の値を定める

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{EF}}=k\vec{c}-\frac{2}{9}\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b}\)

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{EF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=0\) となるには

\(\small \displaystyle (k\vec{c}-\frac{2}{9}\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b})\cdot\vec{c}=0\)

\(\small \displaystyle k|\vec{c}|^2-\frac{2}{9}\vec{a}\cdot\vec{c}-\frac{2}{3}\vec{b}\cdot\vec{c}=0\)

\(\small \displaystyle k-\frac{1}{9}-\frac{1}{3}=0\)

\(\small \displaystyle k=\frac{4}{9}\)

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{4}{9}\vec{c}\)

♪～難しい計算ではないが，地道に正確にやり抜く能力が必要★★～♫

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ED}}=\frac{2}{3}(\frac{2}{3}\vec{a}-\vec{b})\)

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{EF}}=\frac{4}{9}\vec{c}-\frac{2}{9}\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b}=\frac{2}{3}(\frac{2}{3}\vec{c}-\frac{1}{3}\vec{a}-\vec{b})\)

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ED}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{EF}}=(\frac{2}{3})^2(\frac{2}{3}\vec{a}-\vec{b})\cdot(\frac{2}{3}\vec{c}-\frac{1}{3}\vec{a}-\vec{b})\)

\(\small \displaystyle =(\frac{2}{3})^2(\frac{4}{9}\vec{a}\cdot\vec{c}-\frac{2}{3}\vec{b}\cdot\vec{c}-\frac{2}{9}|\vec{a}|^2+\frac{1}{3}\vec{a}\cdot\vec{b}-\frac{2}{3}\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2)\)

\(\small \displaystyle =\frac{4}{9}(\frac{2}{9}-\frac{1}{3}-\frac{2}{9}+\frac{1}{6}-\frac{1}{3}+1)=\frac{2}{9}\)…(#1)

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ED}},\overrightarrow{\mathrm{EF}}\) のなす角を \(\theta\) とするとき
\(\small \displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{ED}}|,|\overrightarrow{\mathrm{EF}}|,\overrightarrow{\mathrm{ED}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{EF}}\) から \(\cos\theta,\sin\theta\) を求めて

\(\small \displaystyle S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{ED}}||\overrightarrow{\mathrm{EF}}|\sin\theta\) を計算する

\(\small \displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{ED}}|^2=\frac{4}{9}(\frac{4}{9}|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-\frac{4}{3}\vec{a}\cdot\vec{b})\)

\(\small \displaystyle =\frac{4}{9}(\frac{4}{9}+1-\frac{2}{3})=\frac{28}{81}\)

\(\small \displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{ED}}|=\frac{2\sqrt{7}}{9}\)…(#2)

\(\small \displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{EF}}|^2\!=\!\frac{4}{9}(\frac{4}{9}|\vec{c}|^2\!+\!\frac{1}{9}|\vec{a}|^2\!+\!|\vec{b}|^2\!-\!\frac{4}{9}\vec{c}\cdot\vec{a}\!+\!\frac{2}{3}\vec{a}\cdot\vec{b}\!-\!\frac{4}{3}\vec{c}\cdot\vec{b})\)

\(\small \displaystyle =\frac{4}{9}(\frac{4}{9}+\frac{1}{9}+1-\frac{2}{9}+\frac{1}{3}-\frac{2}{3})=\frac{4}{9}\)

\(\small \displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{EF}}|=\frac{2}{3}\)…(#3)

(#1)(#2)(#3)より

\(\small \displaystyle \cos\theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{ED}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{EF}}}{|\overrightarrow{\mathrm{ED}}||\overrightarrow{\mathrm{EF}}|}=\frac{2}{9}\times\frac{9}{2\sqrt{7}}\times\frac{3}{2}=\frac{3}{2\sqrt{7}}\)

\(\small \displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-(\frac{3}{2\sqrt{7}})^2}=\frac{\sqrt{19}}{2\sqrt{7}}\)

\(\small \displaystyle S=\frac{1}{2}\times \frac{2\sqrt{7}}{9}\frac{2}{3}\times\frac{\sqrt{19}}{2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{19}}{27}\)

［(4)の解答を見る］

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{2}{3}\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{2}{9}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{4}{9}\vec{c}\) だから

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{3}(\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{2}{9}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{4}{9}\vec{c})\)

\(\small \displaystyle =\frac{2}{27}(4\vec{a}+3\vec{b}+2\vec{c})\)

上記の要約(4)で示したように，\(\small\displaystyle\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) の係数の和と分母の係数が等しいとき，ABCと同一の平面上にあるから

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{4\vec{a}+3\vec{b}+2\vec{c}}{9}\)

（別解）

\(\vec{a}\) \(\vec{b}\) \(\vec{c}\)

点 \(\small \mathrm{H}\) が△ABCと同一平面上にあるための条件，及び△ABCの内部にあるための条件は，通常，次の形で覚える

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}\)

\(\small \displaystyle (\textcolor{red}{s+t+u=1})\)…(#1)

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}\)

\(\small \displaystyle (\textcolor{blue}{s+t+u=1,\hspace{5px}s\gt 0,\hspace{5px}t\gt 0,\hspace{5px} u\gt 0})\)…(#2)

(#1)の簡単な説明：
点 \(\small \mathrm{H}\) が△ABCと同一平面上にあれば

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\vec{a}+k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+l\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)

\(\small \displaystyle =\vec{a}+k(\vec{b}-\vec{a})+l(\vec{c}-\vec{a})\)

\(\small \displaystyle =(1-k-l)\vec{a}+k\vec{b}+l\vec{c}\) と書ける（逆も言える）

すなわち

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}\)

\(\small \displaystyle (\textcolor{red}{s+t+u=1})\)

\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) の係数の和が1になることが，△ABCと同一平面上にあるために必要十分条件になる

これを用いて，(4)の問題を解くと

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=t\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{2t}{27}(4\vec{a}+3\vec{b}+2\vec{c})\)

で表される点 \(\mathrm{H}\) が，△ABCと同一平面上にあるための条件は

\(\small \displaystyle \frac{8t}{27}+\frac{6t}{27}+\frac{4t}{27}=1\)

\(\small \displaystyle 18t=27\)

\(\small \displaystyle t=\frac{3}{2}\)

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{2}{27}\times\frac{3}{2}(4\vec{a}+3\vec{b}+2\vec{c})=\frac{4\vec{a}+3\vec{b}+2\vec{c}}{9}\)

【問題】

　空間内に4点O, A, B, Cがあり，同一平面上にないものとする．

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a},\hspace{5px}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b},\hspace{5px}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}\)

とし，点D, Eをそれぞれ \(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\vec{a}+\vec{b},\hspace{5px}\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\vec{a}+\vec{c}\) となるようにとる．次の問いに答えよ．

(1)　線分DEを2:3に内分する点をPとするとき， \(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\) を \(\small \displaystyle \vec{a},\hspace{3px}\vec{b},\hspace{3px}\vec{c}\) で表せ．

(2)　点A, C, Dを通る平面と直線OPの交点をQとするとき，\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}\) を \(\small \displaystyle \vec{a},\hspace{3px}\vec{b},\hspace{3px}\vec{c}\) で表せ．

(3)　面積の比△OAQ:△APQを求めよ．

（2025年日本女子大学）

♪～基本★～♫

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{3(\vec{a}+\vec{b})+2(\vec{a}+\vec{c})}{2+3}=\frac{5\vec{a}+3\vec{b}+2\vec{c}}{5}\)

\(\small \displaystyle =\vec{a}+\frac{3}{5}\vec{b}+\frac{2}{5}\vec{c}\)

\(\vec{a}\) \(\vec{b}\) \(\vec{c}\)

3点 \(\small \displaystyle \mathrm{A}(\vec{a}),\hspace{3px}\mathrm{C}(\vec{c}),\hspace{3px}\mathrm{D}(\vec{a}+\vec{b})\) を通る平面 \(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}\) の方程式は

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s\vec{a}+t\vec{c}+u(\vec{a}+\vec{b})\)

\(\small \displaystyle =(s+u)\vec{a}+u\vec{b}+t\vec{c}\)

\(\small \displaystyle (s+t+u=1)\)

と書ける
このとき，\(\small \displaystyle k\overrightarrow{\mathrm{OP}}= \overrightarrow{\mathrm{OQ}}\) となるには

\(\small \displaystyle k\vec{a}+\frac{3k}{5}\vec{b}+\frac{2k}{5}\vec{c}=(s+u)\vec{a}+u\vec{b}+t\vec{c}\)

\( \displaystyle \left\{\begin{array}{lll}k=s+u\\ \dfrac{3}{5}k=u \\ \dfrac{2}{5}k=t\\ s+t+u=1\end{array}\right.\)

\( \displaystyle\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{lll}k=\dfrac{5}{7}\\ s=\dfrac{4}{7}\\t=\dfrac{2}{7}\\u=\dfrac{3}{7}\end{array}\right.\)

\(\small \displaystyle\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{5}{7}\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{5}{7}\times\frac{5\vec{a}+3\vec{b}+2\vec{c}}{5}=\frac{5\vec{a}+3\vec{b}+2\vec{c}}{7}\)

△OAQと△APQは，底辺の比がOQ:PQで，高さが共通だから，面積の比は，底辺の比がOQ:PQに等しい

\(\small \displaystyle\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{5}{7}\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) だから

OQ:PQ=5:2

【問題】

　面積が20である正方形ABCDを底面とし，面積が15である合同な二等辺三角形を各側面とする正四角錘O-ABCDを考える．

(1)　辺OAの長さはト \(\sqrt{\hspace{45px}}\) 　ナ　　　　である．

(2)　辺OAを3:1に内分する点をP，辺OCの中点をQとし，3点B, P, Qを通る平面αで正四角錘O-ABCDを切断する．平面αと辺ODとの交点をRとするとき，

\(\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\)	ニ	\(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\)
	ヌ

である．

(3)　頂点Aを始点とし，正四角錘O-ABCDの側面上を移動して辺OB上の点を通って辺OC上の点まで至る道を考える．このとき，長さが最小の道をlとし，lの終点をT，lとOBの交点をSとする．

lの長さは	ネ	\(\sqrt{\hspace{45px}}\) ハ　　　　であり
	ノ

\(\overrightarrow{\mathrm{OT}}=\)	ヒ	\(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)， \(\overrightarrow{\mathrm{OS}}=\)	ヘ	\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)
	フ		ホ

である．

（2025年上智大学経済・理工学部）

\(\small \displaystyle 2\sqrt{5}\) \(h\)

♪～基本★～♫
正方形ABCDの1辺の長さは

\(\small \displaystyle \sqrt{20}=2\sqrt{5}\)

側面の二等辺三角形の高さを \(h\) とすると

\(\small \displaystyle \frac{1}{2}\times 2\sqrt{5}h=15\)

\(\small \displaystyle h=\frac{15}{\sqrt{5}}=3\sqrt{5}\)

三平方の定理により

\(\small \displaystyle \mathrm{OA}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(3\sqrt{5})^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)

《3点を通る平面の方程式》
3点\(A(\vec{a},B(\vec{b}),C(\vec{c})\)を通る平面の方程式は
\(\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}\)
　　\((s+t+u=1)\)

3点\(\small \displaystyle \mathrm{P}(\frac{3}{4}\vec{a}),\mathrm{B}(\vec{b}),\mathrm{Q}(\frac{1}{2}\vec{c})\)を通る平面の方程式は

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{3s}{4}\vec{a}+t\vec{b}+\frac{u}{2}\vec{c}\) …(#1)

一方， \(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) を満たすから

\(\small \displaystyle \vec{d}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}\) …(#2)

(#1)(#2)より

\(\small \displaystyle k(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})=\frac{3s}{4}\vec{a}+t\vec{b}+\frac{u}{2}\vec{c}\)

\(\small \displaystyle (s+t+u=1)\)

\( \displaystyle \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{llll} k=\dfrac{3s}{4} \\ -k=t \\ k=\dfrac{u}{2} \\ s+t+u=1\end{array}\right.\)

\(\small \displaystyle \Longleftrightarrow k=\frac{3}{7},(s=\frac{4}{7},t=-\frac{3}{7},u=\frac{6}{7})\)

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{3}{7}\overrightarrow{\mathrm{OD}}\)

\(\vec{a}\) \(\vec{b}\) \(\vec{c}\) \(\theta\) \(\theta\) \(5\sqrt{2}\) \(5\sqrt{2}\) \(2\sqrt{5}\) \(2\sqrt{5}\)

展開図で考える
\(\small\displaystyle \vec{a},\vec{b}\) のなす角を \(\theta\) とすると，余弦定理により

\(\small \displaystyle \cos\theta\)

\(\small \displaystyle=\frac{(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2-(2\sqrt{5})^2}{2\times 5\sqrt{2}\times 5\sqrt{2}}\)

\(\small \displaystyle=\frac{80}{100}=\frac{4}{5}\)

２倍角公式により

\(\small \displaystyle \cos 2\theta=2\cos^2\theta-1=2(\frac{4}{5})^2-1=\frac{7}{25}\)

\(\small \displaystyle \sin 2\theta=\sqrt{1-(\frac{7}{25})^2}=\frac{24}{25}\)

\(\small \displaystyle l=5\sqrt{2}\times\sin 2\theta=5\sqrt{2}\times\frac{24}{25}=\frac{24}{5}\sqrt{2}\)

\(\small \displaystyle \mathrm{OT}=5\sqrt{2}\times\cos 2\theta=5\sqrt{2}\times\frac{7}{25}=\frac{7}{5}\sqrt{2}\)

\(\small \displaystyle \mathrm{\frac{OT}{OC}}=\frac{7}{5}\sqrt{2}\times\frac{1}{5\sqrt{2}}=\frac{7}{25}\)

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OT}}=\frac{7}{25}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)

\(\small \displaystyle \mathrm{OS}\cos \theta=\mathrm{OT}\) だから

\(\small \displaystyle \mathrm{OS}=\frac{\mathrm{OT}}{\cos\theta}=\frac{7}{5}\sqrt{2}\times\frac{5}{4}=\frac{7}{4}\sqrt{2}\)

\(\small \displaystyle \frac{\mathrm{OS}}{\mathrm{OB}}=\frac{7}{4}\sqrt{2}\times\frac{1}{5\sqrt{2}}=\frac{7}{20}\)

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OS}}=\frac{7}{20}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)

【問題】

　四面体OABCを考え，\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c} \) とする．辺OAを2:1に内分する点をP，辺BCを2:1に内分する点をQとする．このとき，\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}, \overrightarrow{\mathrm{OQ}} \) をそれぞれ\(\small \displaystyle \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) のうち必要なものを用いて表すと \(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}= \)(h)， \(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}= \)(i)となる．
さらに，三角形BPQの重心をG，3点A, B, Cを通る平面と直線OGの交点をRとする．このとき，\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}} \) を\(\small \displaystyle \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) のうち必要なものを用いて表すと \(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}= \)(j)となる．

（2025年明治薬科大学）

［解答を見る］

\(\) \(\)

♪～内分点の公式:基本★～♫
\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{2}{3}\vec{a} \) → (h)
\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{\vec{b}+2\vec{c}}{3}\) → (i)
\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{3}(\frac{2}{3}\vec{a}+\vec{b}+\dfrac{\vec{b}+2\vec{c}}{3}) \)
　　\(\small \displaystyle =\frac{2\vec{a}+4\vec{b}+2\vec{c}}{9} \)

前述の要約(3)で述べたように，分子の係数の和と分母の係数が等しいときに，3点A, B, Cを通る平面上にある

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{2\vec{a}+4\vec{b}+2\vec{c}}{2+4+2}=\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c} \) →(j)

→解答を隠す←

【問題】

　図のような平行六面体OABD−CEFGが∠AOB=∠AOC=90°,∠BOC=60°, OA=OB=OC=1を満たす．\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a},\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}\) とおく．

(1)　内積 \(\small \displaystyle \vec{b}\cdot\vec{c}\) を求めよ．

(2)　\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OF}}\) を \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) で表せ．

(3)　線分AFを \(\small t:(1-t)\)
\((0\lt t\lt 1)\) に内分する点をPとする．\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\) を \(\vec{a},\vec{b},\vec{c},\) および \(t\) で表せ．

(4)　(3)のとき，△ABCが定める平面と直線OPとの交点をQとする．\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}\) を \(\vec{a},\vec{b},\vec{c},\) および \(t\) で表せ．

(5)　(4)のとき，\(\small \displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|\) を最小にする \(t\) の値を求めよ．

（2025年南山大学理工学部）

♪～基本★～♫
\(\small |\vec{b}|=|\vec{c}|=1,\)∠BOC=60°だから

\(\small \displaystyle \vec{b}\cdot\vec{c}=1\times 1\times \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}\)

♪～基本★～♫
\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{DF}}\)

\(\small \displaystyle =\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\)

♪～基本★～♫
\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-t)\vec{a}+t(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\)

\(\small \displaystyle =\vec{a}+t\vec{b}+t\vec{c}\)

［(4)の解答を見る］

♪～平面と直線の交点：★★～♫

△ABCが定める平面上の点をQとすると

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{l\vec{a}+m\vec{b}+n\vec{c}}{l+m+n}\)

分母の係数の和が分子の係数の和に等しい

ここで，(3)の結果を次の形に変形する

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\vec{a}+t\vec{b}+t\vec{c}\)

\(\small \displaystyle =(1+2t)\frac{\vec{a}+t\vec{b}+t\vec{c}}{1+2t}\)

\(\small \displaystyle =(1+2t)\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\)

したがって

\(\small \displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{\vec{a}+t\vec{b}+t\vec{c}}{1+2t}\)