漸化式（大学入試問題）

\(\small\displaystyle n\geqq 2\) のとき

\(\small\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(k+1)(k+2)\) …(*)

\(\small\displaystyle =2+\sum_{k=1}^{n-1}\left\{\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}-\frac{k(k+1)(k+2)}{3}\right\}\)

階段型の式の総和は，公式がある ⇒ (参考)

\(\small\displaystyle =2+\frac{n(n+1)(n+2)}{3}-\frac{6}{3}\)

\(\small\displaystyle =\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\)

\(\small\displaystyle n=1\) のときも，この関係が成り立つ

\(\small\displaystyle a_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\)…（答）

（別解）(*)の変形の部分

\(\small\displaystyle a_n=2+\sum_{k=1}^{n-1}(k^2+3k+2)\)

\(\small\displaystyle =2+\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}+\frac{3(n-1)n}{2}+2(n-1)\)

\(\small\displaystyle =\frac{12+(n-1)n(2n-1)+9(n-1)n+12(n-1)}{6}\)

\(\small\displaystyle =\frac{12+2n^3-3n^2+n+9n^2-9n+12n-12}{6}\)

内容は簡単だが，計算が長くなる

\(\small\displaystyle =\frac{2n^3+6n^2+4n}{6}\)

\(\small\displaystyle =\frac{n^3+3n^2+2n}{3}\)

\(\small\displaystyle =\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\)

（参考）
階段型になっている数列の総和（連続自然数の積の和）は，教科書では扱われないこともあるが，受験的には(1)～(3)は求め方・結果とも必須，(i)～(iii)は結果までは覚えずに，求め方を覚えておくとよい

(1)　\(\small\displaystyle \sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}\)

(2)　\(\small\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\)

(3)　\(\small\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\)

\(\small\displaystyle \cdots\cdots\)

\(\small\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\) ← この式は，簡単にならない

(i)　\(\small\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\)

(ii)　\(\small\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{2!}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right\}\)

(iii) \(\small\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}=\frac{1}{3}\left\{\frac{1}{3!}-\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\right\}\)

（証明）　いずれも，各項を「1次高い式の差で表す」と「中間項が消える」ことを利用する．
(2)←

\(\small\displaystyle \textcolor{red}{k(k+1)}=\frac{\textcolor{red}{k(k+1)}(k+2)}{3}-\frac{(k-1)\textcolor{red}{k(k+1)}}{3}\) だから

\(\small\displaystyle 1\cdot 2=\textcolor{red}{\bcancel{\textcolor{#333333}{\frac{1\cdot 2\cdot 3}{3}}}}-\frac{0\cdot 1\cdot 2}{3}\)

\(\small\displaystyle 2\cdot 3=\textcolor{blue}{\bcancel{\textcolor{#333333}{\frac{2\cdot 3\cdot 4}{3}}}}-\textcolor{red}{\bcancel{\textcolor{#333333}{\frac{1\cdot 2\cdot 3}{3}}}}\)

\(\small\displaystyle 3\cdot 4=\textcolor{#009900}{\bcancel{\textcolor{#333333}{\frac{3\cdot 4\cdot 5}{3}}}}-\textcolor{blue}{\bcancel{\textcolor{#333333}{\frac{2\cdot 3\cdot 4}{3}}}}\)

\(\small\displaystyle \cdots \cdots \cdots \)

\(\small\displaystyle +)\hspace{20px} n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}-\textcolor{#009900}{\bcancel{\textcolor{#333333}{\frac{(n-1)n(n+1)}{3}}}}\)

\(\small\displaystyle \sum_{k=1}^n k(k+1)= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}-\frac{0\cdot 1\cdot 2}{3}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\) ∎

(ii)←　(−3)次式 \(\small\displaystyle \frac{1}{k(k+1)(k+2)}\) よりも１次高い式は，(−2)次式 \(\small\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}\)

\(\small\displaystyle \frac{1}{k\textcolor{red}{(k+1)}(k+2)}=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{k\textcolor{red}{(k+1)}}-\frac{1}{\textcolor{red}{(k+1)}(k+2)}\right\}\) だから

\(\small\displaystyle \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{1\cdot 2}-\textcolor{red}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{2\cdot 3}}}}\right\}\)

\(\small\displaystyle \frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}=\frac{1}{2}\left\{\textcolor{red}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{2\cdot 3}}}}-\textcolor{blue}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{3\cdot 4}}}}\right\}\)

\(\small\displaystyle \frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}=\frac{1}{2}\left\{\textcolor{blue}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{3\cdot 4}}}}-\textcolor{#009900}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{4\cdot 5}}}}\right\}\)

\(\small\displaystyle \cdots \cdots \cdots \)

\(\small\displaystyle +)\hspace{20px} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left\{\textcolor{#009900}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{n(n+1)}}}}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right\}\)

\(\small\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}= \frac{1}{2}\left\{\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right\}\) ∎

【問題1.2】
　数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) の階差数列を \(\small\displaystyle \{b_n\}\) ，すなわち

\(\small\displaystyle bn=a_{n+1}-a_n\hspace{5px}(n=1,2,3,\cdots)\)

とする．次の問いに答えよ．

(1)　\(\small\displaystyle a_n=-\frac{1}{n} \) のとき，\(\small \displaystyle b_n \) を\(\small\displaystyle n \) の式で表せ．

(2)　\(\small\displaystyle b_n=\frac{1}{n(n+1)} \) のとき，\(\small \displaystyle a_n \) を\(\small\displaystyle n \) の式で表せ．ただし， \(\small\displaystyle a_1=1\) とする．

(3)　数列 \(\small\displaystyle \{b_n\}\) が以下を満たすとき，\(\small \displaystyle a_n \) を\(\small\displaystyle n \) の式で表せ．ただし， \(\small\displaystyle a_1=1\) とする．

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{ll}b_1=1 \\ b_n=n(n+1)\hspace{20px}\small{(n\geqq 2)}\end{array}\right. \)

（2025年早稲田大学社会科学部）

\(\small\displaystyle b_n=a_{n+1}-a_n=-\frac{1}{n+1}-(-\frac{1}{n})=\frac{1}{n(n+1)}\)

答案の途中経過を書くときに，慣れないうちは，前述の参考のように「縦書きにする」のが見やすいが，受験向きの参考書では，次のように「表現の式」と「番号」の組合せを変えることによって，形式的に処理することがよく行われる．

\(\small \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k+1}=\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k} \)

これにより，\(\small \frac{1}{k} \) という形の項について

[1][2][3]…[n-1]

−)　[2][3]…[n-1][n]

[1]　　　　−　[n]

\(\small \displaystyle n\geqq 2\) のとき

\(\small \displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)} \)

\(\small \displaystyle =1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) \)

\(\small \displaystyle =1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}-\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k} \)

\(\small \displaystyle =1+\frac{1}{1}-\frac{1}{n} \)

\(\small \displaystyle =2-\frac{1}{n} \)

\(\small \displaystyle n=1\) のときもこれで成り立つから

\(\small \displaystyle a_n=2-\frac{1}{n}\)

\(\small \displaystyle (n=1,2,3,\cdots)\)

\(\small \displaystyle n\geqq 2\) のとき

\(\small \displaystyle a_n=a_1+b_1+\sum_{k=2}^{n-1}k(k+1) \)

\(\small \displaystyle =1+1+\sum_{k=2}^{n-1}\left\{\frac{k(k+1)(k+2)}{3}-\frac{(k-1)k(k+1)}{3}\right\} \)

\(\small \displaystyle =2+\sum_{k=2}^{n-1}\frac{k(k+1)(k+2)}{3}-\sum_{k=1}^{n-2}\frac{k(k+1)(k+2)}{3} \)

\(\small f(n-1)-f(1)\) が残る

\(\small \displaystyle =2+\frac{(n-1)n(n+1)}{3}-\frac{1\cdot 2\cdot 3}{3} \)

\(\small \displaystyle =\frac{(n-1)n(n+1)}{3} \)

\(\small \displaystyle n=1\) のときも，上記の式でよい

\(\small \displaystyle a_n=\frac{(n-1)n(n+1)}{3} \hspace{5px}(n=1,2,3,\cdots)\)

（別解）･･･階段型になっている数列の総和（連続自然数の積の和）の公式を覚えていない場合の答案

\(\small \displaystyle a_n=a_1+b_1+\sum_{k=2}^{n-1}k(k+1) \)

\(\small \displaystyle =2+\sum_{k=2}^{n-1}(k^2+k) \)

\(\small \displaystyle =2+\left\{\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}-1\right\}+\left\{\frac{(n-1)n}{2}-1\right\} \)

\(\small \displaystyle =\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}\frac{(n-1)n}{2} \)

\(\small \displaystyle =\frac{(n-1)n}{6}\times\left(2n-1+3\right) \)

\(\small \displaystyle =\frac{(n-1)n(n+1)}{3} \)

【問題1.3】
　数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) は \(\small\displaystyle a_1=0,\hspace{5px}a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n(n+2)}\) \(\small\displaystyle (n=1,2,3,\cdots)\) を満たすとする．

(1)　\(\small\displaystyle \frac{1}{n(n+2)}=\hspace{4px}\)	\(\small\displaystyle 1\)	\(\small\displaystyle\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)\) である
	ア

(2)　\(\small\displaystyle a_6=\hspace{4px}\)	イウ	である
	エオ

(3)　\(\small\displaystyle a_n=\hspace{4px}\)	カ\(\small\displaystyle n^2-n-\)キ	\(\small\displaystyle (n=1,2,3,\cdots)\) である
	ク\(\small\displaystyle n^2+\)ケ\(\small\displaystyle n\)

（2025年金沢工業大学工学部他）

\(\small\displaystyle \frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)\)

□−∅
□−♠
∅−∀
♠−□
∀−□

「桂馬跳びの形」に消えて，先頭と末尾に２項ずつ残る

\(\small\displaystyle \textcolor{red}{\bcancel{\textcolor{#333333}{a_2}}}-a_1=\frac{1}{2}\left(\textcolor{red}{\boxed{\textcolor{#333333}{\frac{1}{1}}}}-\textcolor{pink}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{3}}}}\right)\)

\(\small\displaystyle \textcolor{blue}{\bcancel{\textcolor{#333333}{a_3}}}-\textcolor{red}{\bcancel{\textcolor{#333333}{a_2}}}=\frac{1}{2}\left(\textcolor{red}{\boxed{\textcolor{#333333}{\frac{1}{2}}}}-\textcolor{cyan}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{4}}}}\right)\)

\(\small\displaystyle \textcolor{#009900}{\bcancel{\textcolor{#333333}{a_4}}}-\textcolor{blue}{\bcancel{\textcolor{#333333}{a_3}}}=\frac{1}{2}\left(\textcolor{pink}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{3}}}}-\textcolor{magenta}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{5}}}}\right)\)

\(\small\displaystyle \textcolor{#aa4422}{\bcancel{\textcolor{#333333}{a_5}}}-\textcolor{#009900}{\bcancel{\textcolor{#333333}{a_4}}}=\frac{1}{2}\left(\textcolor{cyan}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{4}}}}-\textcolor{red}{\boxed{\textcolor{#333333}{\frac{1}{6}}}}\right)\)

\(\small\displaystyle +)\hspace{20px} a_6-\textcolor{#aa4422}{\bcancel{\textcolor{#333333}{a_5}}}=\frac{1}{2}\left(\textcolor{magenta}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{5}}}}-\textcolor{red}{\boxed{\textcolor{#333333}{\frac{1}{7}}}}\right)\)

\(\small\displaystyle a_6-a_1=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}\right)\)
\(\small\displaystyle a_6=\frac{25}{42}\)
→隠す←

\(\small\displaystyle n\geqq 2\) のとき

\(\small\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)\)

\(\small\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\textcolor{red}{\boxed{\textcolor{#333333}{\frac{1}{1}}}}-\textcolor{pink}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{3}}}}\right)\)

\(\small\displaystyle +\frac{1}{2}\left(\textcolor{red}{\boxed{\textcolor{#333333}{\frac{1}{2}}}}-\textcolor{cyan}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{4}}}}\right)\)

\(\small\displaystyle +\frac{1}{2}\left(\textcolor{pink}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{3}}}}-\textcolor{magenta}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{5}}}}\right)\)

\(\small\displaystyle +\frac{1}{2}\left(\textcolor{cyan}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{4}}}}-\textcolor{#009900}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{6}}}}\right)\)

\(\small\displaystyle \cdots \cdots \cdots \)

\(\small\displaystyle +\frac{1}{2}\left(\textcolor{#333333}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{n-2}}}}-\textcolor{red}{\boxed{\textcolor{#333333}{\frac{1}{n}}}}\right)\)

\(\small\displaystyle +\frac{1}{2}\left(\textcolor{#333333}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{n-1}}}}-\textcolor{red}{\boxed{\textcolor{#333333}{\frac{1}{n+1}}}}\right)\)

\(\small\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)

\(\small\displaystyle =\frac{3n^2-n-2}{4n^2+4n}\)

\(n=1\) のときも，これで成り立つ
よって，\(\small\displaystyle a_n=\frac{3n^2-n-2}{4n^2+4n}\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\) →隠す←

【問題1.4】
　次の条件によって定められる数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) の一般項を求めよ．

\(\small\displaystyle a_1=-1,\hspace{5px}a_{n+1}=a_n+2\cdot 3^{n-1}\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\)

（2022年中央大学経済学部他）

階差数列は

\(\small\displaystyle b_n=a_{n+1}-a_n=2\cdot 3^{n-1}\)

\(\small\displaystyle \sum_{k=1}^{\textcolor{red}{n-1}}\) ならどうなるのか
\(\small\displaystyle 2\cdot 3^{\textcolor{red}{k-1}}\) ならどうなるのか
相互に影響するのか？

\(\small\displaystyle \textcolor{red}{\Downarrow}\)

迷わずに，《3要素》
初項:\(\small\displaystyle \textcolor{red}{a}\)，公比:\(\small\displaystyle \textcolor{blue}{r}\)，項数:\(\small\displaystyle \textcolor{#009900}{n}\)
を読み込んで
\(\small\displaystyle \frac{\textcolor{red}{a}(\textcolor{blue}{r}^{\textcolor{#009900}{n}}-1)}{\textcolor{blue}{r}-1}\) に代入するだけ

になるから

\(\small\displaystyle n\geqq 2\) のとき

\(\small\displaystyle a_n=-1+\sum_{k=1}^{n-1}2\cdot 3^{k-1}\)

Σ記号の部分
　初項\(\small\displaystyle k=1\Rightarrow 2\cdot 3^{1-1}=\textcolor{red}{2}\)，公比:\(\small\displaystyle \textcolor{blue}{3}\)，項数:\(\small\displaystyle \textcolor{#009900}{n-1}\)

\(\small\displaystyle a_n=-1+\frac{2(3^{n-1}-1)}{3-1}\)

\(\small\displaystyle =3^{n-1}-2\)

\(n=1\) のときも，これで成り立つ
→隠す←

【例題2】
　\(\small\displaystyle a_1=2,\hspace{3px}a_{n+1}=4a_n+3\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\) により定められた数列の一般項を求めよ．

（2011年山梨大学教育人間科学部）

（解答）

\(\small\displaystyle a_{n+1}+1=4(a_n+1)\)

と変形すると，数列\(\small\displaystyle \{a_n+1\}\) は，公比\(\small\displaystyle 4\) の等比数列になるから

\(\small\displaystyle a_{n}+1=(a_1+1)\times 4^{n-1}\)

\(\small\displaystyle =3\times 4^{n-1}\)

\(\small\displaystyle a_{n}=3\times 4^{n-1}-1\)

A)　特性方程式 \(\small\displaystyle x=4x+3\) の解が \(\small\displaystyle \alpha=-1\) であることから

\(\small\displaystyle a_{n+1}-\alpha=4(a_n-\alpha)\)

の \(\small\displaystyle \alpha\) に \(\small\displaystyle -1\) を代入したと考える（普通の考え方）
B)　特性方程式という考え方が使えない場合（変数 \(\small n\) が係数に含まれる場合）も含めて，広く適用できる考え方として，次のように考えてもよい．

\(\small\displaystyle a_{n+1}-\alpha=4(a_n-\alpha)\)

となる \(\small\displaystyle \alpha\) を「係数比較によって」求めると

\(\small\displaystyle -4\alpha+\alpha=3 \Longrightarrow \alpha=-1\)

【問題2.1】
　数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) が \(\small\displaystyle a_1=3,\hspace{3px}a_{n+1}=3a_n+2\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\) で定められている．

(1)(3)　略

(2)　数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) の一般項を求めよ．

（2014年北海学園大経済,経営学部）

\(\small\displaystyle a_{n+1}-\alpha=3(a_n-\alpha)\) とおく

\(\small\displaystyle -3\alpha+\alpha=2\) より

\(\small\displaystyle \alpha=-1\)

\(\small\displaystyle a_{n+1}+1=3(a_n+1)\)

数列 \(\small\displaystyle \{a_n+1\}\) は，初項 \(\small\displaystyle a_1+1=4\) 公比 \(\small\displaystyle 3\) の等比数列をなすから

\(\small\displaystyle a_{n}+1=4\times 3^{n-1}\)

\(\small\displaystyle a_{n}=4\times 3^{n-1}-1\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\)

【問題2.2】
　次の条件によって定められる数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) がある．

\(\small\displaystyle a_1=2,\hspace{5px}3a_{n+1}-4a_n+1=0\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\)

(1)　

(2)(3)　略

（2014年福井大医学部）

A) 特性方程式：\(\small\displaystyle x=\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}\) の解が，\(\small\displaystyle \alpha=1\) と考える
B) \(\small\displaystyle a_{n+1}-\alpha=\frac{4}{3}(a_n-\alpha)\) の係数比較により，\(\small\displaystyle \alpha=1\) と考える
どちらでもできる

\(\small\displaystyle a_{n+1}=\frac{4}{3}a_n-\frac{1}{3}\)

\(\small\displaystyle a_{n+1}-1=\frac{4}{3}(a_n-1)\)

数列 \(\small\displaystyle \{a_n+1\}\) は，初項 \(\small\displaystyle a_1-1=1\)，公比 \(\small\displaystyle \frac{4}{3}\) の等比数列をなすから

\(\small\displaystyle a_{n}-1= (\frac{4}{3})^{n-1}\)

\(\small\displaystyle a_{n}= (\frac{4}{3})^{n-1}+1\)

\(\small\displaystyle (n=1,2,3,\cdots)\)

【例題3】

(1)　\(\small\displaystyle a_1=1,\hspace{3px}a_{n+1}=a_n+n\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\) により定められる数列の一般項を求めよ．

(2)　\(\small\displaystyle a_1=1,\hspace{3px}a_{n+1}=a_n+n^2+n\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\) により定められる数列の一般項を求めよ．

(3)　\(\small\displaystyle a_1=1,\hspace{3px}a_{n+1}=2a_n+n\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\) により定められる数列の一般項を求めよ．

(4)　\(\small\displaystyle a_1=0,\hspace{3px}a_{n+1}=3a_n+n+1\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\) により定められる数列の一般項を求めよ．

(5)　\(\small\displaystyle a_1=2,\hspace{3px}a_{n+1}=2a_n+n^2+n\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\) により定められる数列の一般項を求めよ．

（解答）
(1)
　基本の考え方で，階差数列 \(\small \{b_n\}\) から元の数列 \(\small \{a_n\}\) を求めるには
\(\small n\geqq 2\) のとき

\(\small\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}k\)

\(\small\displaystyle =1+\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n^2-n+2}{2}\)

\(\small n=1\) のときも，これで成り立つ

（別解）
\(\small\displaystyle a_{n+1}=a_n+\textcolor{red}{\boxed{\textcolor{#333333}{n}}}\) において \(\small n\) は１次式だから，２次式 \(\small F(n)=pn^2+qn+r\) を用いると

\(\small\displaystyle a_{n+1}-F(n+1)=a_n-F(n)\) と書ける．係数比較により，次の形になる

\(\small\displaystyle a_{n+1}-\frac{n(n+1)}{2}=a_n-\frac{(n-1)n}{2}\)

だから

\(\small\displaystyle \{a_n-\frac{(n-1)n}{2}\}\) は公比1の等比数列

♪～友達の友達は友達だ，その友達の友達もみな友達だ～♪

\(\small\displaystyle a_n-\frac{(n-1)n}{2}=a_{n-1}-\frac{(n-2)(n-1)}{2}=\cdots=a_1-\frac{0\times 1}{2}\)

どこで切ってもみな同じ，～あぁぁ～金太郎飴の世界だ～

\(\small\displaystyle a_n-\frac{(n-1)n}{2}=a_1-\frac{0\times 1}{2}\)

\(\small\displaystyle a_n=\frac{(n-1)n}{2}+1=\frac{n^2-n+2}{2}\)

(2)
　基本の考え方で，階差数列 \(\small \{b_n\}\) から元の数列 \(\small \{a_n\}\) を求めるには
\(\small n\geqq 2\) のとき

\(\small\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}k(k+1)\)

\(\small\displaystyle =1+\frac{(n-1)n(n+1)}{3}=\frac{n^3-n+3}{3}\)

\(\small n=1\) のときも，これで成り立つ

（別解）
\(\small\displaystyle a_{n+1}=a_n+\textcolor{red}{\boxed{\textcolor{#333333}{n^2+n}}}\) において \(\small n^2+n\) は2次式だから，3次式 \(\small F(n)=pn^3+qn^2+rn+s\) を用いる

\(\small\displaystyle a_{n+1}-F(n+1)=a_n-F(n)\) と書ける．係数比較により，次の形になる

♪～友達の友達は友達だ，その友達の友達もみな友達だ～♪

\(\small\displaystyle a_{n+1}-\frac{n(n+1)(n+2)}{3}=a_n-\frac{(n-1)n(n+1)}{3}\)

\(\small\displaystyle =a_{n-1}-\frac{(n-2)(n-1)n}{3}=\cdots=a_1-\frac{0\times 1\times 2}{3}\)

どこで切ってもみな同じ，～あぁぁ～金太郎飴の世界だ～

\(\small\displaystyle a_n-\frac{(n-1)n(n+1)}{3}=a_1-\frac{0\times 1\times 2}{3}\)

\(\small\displaystyle a_n=\frac{(n-1)n}{2}+1=\frac{n^2-n+2}{2}\)

(3)
　係数に変数 \(\small n\) が入っているときは，特性方程式を使えないことに注意
\(\small\displaystyle a_{n+1}=2a_n+\textcolor{red}{\boxed{\textcolor{#333333}{n}}}\) において \(\small n\) は1次式だから，1次式 \(\small g(n)=pn+q\) を用いる

\(\small\displaystyle a_{n+1}-\{p(n+1)+q\}=2\{a_n-(pn+q)\}\)

の係数比較により

\(\small\displaystyle -2(pn+q)+p(n+1)+q=n\)

\(\small\displaystyle -pn=n, -q+p=0\Longrightarrow p=q=-1\)

\(\small\displaystyle a_{n+1}+n+2=2(a_n+n+1)\)

数列 \(\small \{a_n+n+1\}\) は公比 \(\small 2\) の等比数列をなす

\(\small\displaystyle a_n+n+1=(a_1+1+1)\times 2^{n-1}\)

\(\small\displaystyle a_n=3\times 2^{n-1}-n-1\)

\(\small n=1\) のときも，これで成り立つ

（別解）

\(\small \displaystyle a_{1}=1,a_2=2a_1+1=3\) だから
\(\small \displaystyle b_1=a_2-a_1=2\)

階差数列を \(\small b_n=a_{n+1}-a_n\) とする

\(\small \displaystyle a_{n+1}=2a_n+n\)

\(\small \displaystyle -)\hspace{16px}a_{n}=2a_{n-1}+(n-1)\)

\(\small \displaystyle b_{n}=2b_{n-1}+1\)

\(\small \displaystyle b_{n}+1=2(b_{n-1}+1)\)

数列 \(\small \{b_n+1\}\) は公比 \(\small 2\) の等比数列をなす

\(\small \displaystyle b_{n}+1=(b_{1}+1)\times 2^{n-1}=3\times 2^{n-1}\)

\(\small \displaystyle b_{n}=3\times 2^{n-1}-1\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\)

\(\small \displaystyle a_{n}=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}3\times 2^{k-1}-1\)

\(\small \displaystyle =1+\frac{3(2^{n-1}-1)}{2-1}-(n-1)\)

\(\small \displaystyle =3\times 2^{n-1}-n-1\)

\(\small n=1\) のときも，これで成り立つ

(4)
\(\small\displaystyle a_{n+1}=3a_n+\textcolor{red}{\boxed{\textcolor{#333333}{n+1}}}\) において \(\small n+1\) は1次式だから，1次式 \(\small g(n)=pn+q\) を用いる

\(\small\displaystyle a_{n+1}-\{p(n+1)+q\}=3\{a_n-(pn+q)\}\)

の係数比較により

\(\small\displaystyle -3(pn+q)+p(n+1)+q=n+1\)

\(\small\displaystyle -2pn=n, -2q+p=1\Longrightarrow p=-\frac{1}{2},q=-\frac{3}{4}\)

\(\small\displaystyle a_{n+1}+\frac{1}{2}(n+1)+\frac{3}{4}=3(a_n+\frac{1}{2}n+\frac{3}{4})\)

数列 \(\small \{a_n+\frac{1}{2}n+\frac{3}{4}\}\) は公比 \(\small 3\) の等比数列をなす

\(\small\displaystyle a_n+\frac{1}{2}n+\frac{3}{4}=(a_1+\frac{1}{2}+\frac{3}{4})\times 3^{n-1}\)

\(\small\displaystyle a_n=\frac{5}{4}\times 3^{n-1}-\frac{1}{2}n-\frac{3}{4}\)

\(\small n=1\) のときも，これで成り立つ

（別解）

\(\small \displaystyle a_{1}=0\)
\(\small \displaystyle a_2=3a_1+1+1=2\) だから
\(\small \displaystyle b_1=a_2-a_1=2\)

階差数列を \(\small b_n=a_{n+1}-a_n\) とする

\(\small \displaystyle a_{n+1}=3a_n+n+1\)

\(\small \displaystyle -)\hspace{16px}a_{n}=3a_{n-1}+n\)

\(\small \displaystyle b_{n}=3b_{n-1}+1\)

\(\small \displaystyle b_{n}+\frac{1}{2}=3(b_{n-1}+\frac{1}{2})\)

数列 \(\small \{b_n+\frac{1}{2}\}\) は公比 \(\small 3\) の等比数列をなす

\(\small \displaystyle b_{n}+\frac{1}{2}=(b_{1}+\frac{1}{2})\times 3^{n-1}\)

\(\small \displaystyle b_{n}=\frac{5}{2}\times 3^{n-1}-\frac{1}{2}\)

\(\small \displaystyle a_{n}=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{5}{2}\times 3^{k-1}-\frac{1}{2}\right)\)

\(\small \displaystyle =\frac{5}{2}\times \frac{3^{n-1}-1}{3-1}-\frac{1}{2}(n-1)\)

\(\small \displaystyle =\frac{5}{4}(3^{n-1}-1)-\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}\)

\(\small \displaystyle =\frac{5}{4}\times 3^{n-1}-\frac{1}{2}n-\frac{3}{4}\)

\(\small n=1\) のときも，これで成り立つ

(5)
\(\small\displaystyle a_{n+1}=2a_n+\textcolor{red}{\boxed{\textcolor{#333333}{n^2+n}}}\) において \(\small n^2+n\) は2次式だから，2次式 \(\small g(n)=pn^2+qn+r\) を用いる

\(\small\displaystyle a_{n+1}-\{p(n+1)^2+q(n+1)+r\}=2\{a_n-(pn^2+qn+r)\}\)

の係数比較により

\(\small\displaystyle p=-1,q=-3,r=4\)

\(\small\displaystyle a_{n+1}+(n+1)^2+3(n+1)+4=2(a_n+n^2+3n+4)\)

数列 \(\small \{a_n+n^2+3n+4\}\) は公比 \(\small 2\) の等比数列をなす

\(\small\displaystyle a_n+n^2+3n+4=(a_1+1+3+4)\times 1^{n-1}\)

\(\small\displaystyle a_n=10\times 2^{n-1}-n^2-3n-4\)

\(\small n=1\) のときも，これで成り立つ

（別解）
第2階差数列まで遡って計算することもできる（長い計算になる）

【問題3.1】
　漸化式 \(\small\displaystyle a_1=1, a_{n+1}=2a_n+n\) によって定まる数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) に対して， \(\small\displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k=\)タチツテである．

（2014年玉川大学工学部）

\(\small\displaystyle a_{n+1}-\{p(n+1)+q\}=2\{a_n-(pn+q)\}\) となる \(\small p,q\)を求める

係数比較により

\(\small\displaystyle p=q=-1\)

\(\small\displaystyle a_{n+1}+n+2=2(a_n+n+1)\)

数列 \(\small \{a_n+n+1\}\) は公比 \(\small 2\) の等比数列をなす

\(\small\displaystyle a_{n}+n+1=(a_1+1+1)\times 2^{n-1}\)

\(\small\displaystyle a_{n}=3\times 2^{n-1}-n-1\)

\(\small\displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k=\sum_{k=1}^{10}\left(3\times 2^{k-1}-k-1\right)\)

\(\small\displaystyle =3\times \frac{2^{10}-1}{2-1}-\frac{10\times 11}{2}-10\)

\(\small\displaystyle =3\times 1023-55-10\)

\(\small\displaystyle =3004\)

【問題3.2】
　数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) は \(\small\displaystyle a_1=0,\hspace{5px} a_{n+1}=2a_n+2n-1\)
\(\small\displaystyle (n=1,2,3,\cdots)\) を満たすとする．このとき，数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) の一般項を求めよ。

（2025年東京電機大学工学部他）

\(\small\displaystyle \{a_n+(pn+q)\}\) とおいてもよい．好みで決めたらよい

\(\small\displaystyle a_{n+1}-\{p(n+1)+q\}\)

\(\small\displaystyle =2\{a_n-(pn+q)\}\)
となる \(\small p,q\)を求める

　係数比較により
\(\small\displaystyle p=-2,q=-1\)

\(\small\displaystyle a_{n+1}+2n+3=2(a_n+2n+1)\)

数列 \(\small \{a_n+2n+1\}\) は公比 \(\small 2\) の等比数列をなす

\(\small\displaystyle a_{n}+2n+1=(a_1+2+1)\times 2^{n-1}\)

\(\small\displaystyle a_{n}=3\times 2^{n-1}-2n-1\)

【問題3.3】
　数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) が \(\small\displaystyle a_1=2,\hspace{5px} a_{n+1}=3a_n+2^n\hspace{5px} (n=1,2,3,\cdots)\) を満たすとき，\(\small\displaystyle a_2=\)ア，\(\small\displaystyle a_3=\)イである．
　また，漸化式を変形すると，
\(\small\displaystyle a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+\)ウ\(\small )\)となることから，数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) の一般項は，\(\small\displaystyle a_n=\)エである．

（2016年大阪工業大学工学部）

\(\small\displaystyle a_1=2, a_{2}=3a_1+2^1=8\) →ア

\(\small\displaystyle a_{3}=3a_2+2^2=28\)　→イ

\(\small\displaystyle a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+2^n)\)　→ウ

数列 \(\small \{a_n+2^n\}\) は公比 \(\small 2\) の等比数列をなす

\(\small\displaystyle a_{n}+2^{n}=(a_1+2^1)\times 2^{n-1}\)

\(\small\displaystyle a_{n}=4\times 2^{n-1}-2^n\)　→エ

《\(\small\displaystyle S_n \Rightarrow a_n\) 関係式》

【例題4】
　数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) の初項から第 \(n\) 項までの和 \(\small\displaystyle S_n\) が \(\small S_n=3a_n+2n\) で表されるとき，次の問いに答えよ．

(1)　\(\small a_1\) と \(\small a_2\) を求めよ．

(2)　\(\small a_n\) を \(\small n\) の式で表せ．

（2016年東北学院大学）

\(\small\displaystyle S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n\) だから
\(\small\displaystyle \textcolor{red}{\boxed{\textcolor{#333333}{S_n-S_{n-1}}}}=a_n\) となる
※階差数列の定義とは番号がずれることに注意
\(\small\displaystyle \textcolor{red}{\boxed{\textcolor{#333333}{a_{n+1}-a_{n}}}}=b_n\) となる

（解答）
(1)
\(\small a_1=S_1=3a_1+2\)
　\(\small a_1=-1\)
\(\small a_1+a_2=S_2=3a_2+4\)
　\(\small -1+a_2=3a_2+4\)
　\(\small\displaystyle a_2=-\frac{5}{2}\)
(2)

\(\small S_n=3a_n+2n\)

\(\small -)\hspace{10px} S_{n-1}=3a_{n-1}+2(n-1)\)

\(\small a_n=3a_n-3a_{n-1}+2\)

\(\small 2a_n=3a_{n-1}-2\)

\(\small\displaystyle a_n=\frac{3}{2}a_{n-1}-1\)

特性方程式 \(\small\displaystyle x=\frac{3}{2}x-1\) の解 \(\small\displaystyle \alpha=2\) を用いると，次のように変形できる

\(\small\displaystyle a_n-2=\frac{3}{2}(a_{n-1}-2)\)

数列 \(\small \{a_n-2\}\) は公比 \(\small\displaystyle \frac{3}{2}\) の等比数列をなす

\(\small\displaystyle a_n-2=(a_{1}-2)\times\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}\)

\(\small\displaystyle a_n=-3\times\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}+2\)

【問題4.1】
　数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) の初項 \(\small\displaystyle a_1\) から第 \(\small\displaystyle n\) 項 \(\small\displaystyle a_n\) までの和を \(\small\displaystyle S_n\) と表す．すべての自然数 \(\small\displaystyle n\) に対して \(\small\displaystyle S_n=-\frac{3}{4}a_n+2n+5\) が成り立つとする．このとき

\(\small\displaystyle a_1=\)ア

\(\small a_{n+1}=\hspace{3px}\)	イ	\(\small a_{n}+\)	エ	\(\small\hspace{20px} (n=1,2,3,\cdots)\)
	ウ		オ

である．これより

\(\small a_{n}=\hspace{0px}\)カ×\(\bigg(\)	キ	\(\small \Bigg)^{n-1}+\)	ケ\(\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\)
	ク

となる．

（2014年東京理科大学）

\(\small\displaystyle n=1\) を代入

\(\small\displaystyle a_1=-\frac{3}{4}a_1+2+5\)

\(\small\displaystyle a_1=4\) →ア

\(\small\displaystyle S_{n+1}=-\frac{3}{4}a_{n+1}+2(n+1)+5\)

\(\small\displaystyle -)\hspace{10px} S_{n}=-\frac{3}{4}a_{n}\hspace{14px}+2n\hspace{34px}+5\)

特性方程式で解く場合：\(\small\displaystyle x=\frac{3}{7}x+\frac{8}{7}\) より
　\(\small\displaystyle \alpha=2\)

係数比較で解く場合：\(\small\displaystyle a_{n+1}-\alpha=\frac{3}{7}(a_{n}-\alpha)\) より
　\(\small\displaystyle \alpha=2\)

\(\small\displaystyle a_{n+1}=-\frac{3}{4}a_{n+1}+\frac{3}{4}a_{n}+2\)

\(\small\displaystyle \frac{7}{4}a_{n+1}=\frac{3}{4}a_{n}+2\)

\(\small\displaystyle a_{n+1}=\frac{3}{7}a_{n}+\frac{8}{7}\)

　　→イウエオ

\(\small\displaystyle a_{n+1}-2=\frac{3}{7}\left(a_{n}-2\right)\)

数列 \(\small \{a_n-2\}\) は公比 \(\small\displaystyle \frac{3}{7}\) の等比数列をなす

\(\small\displaystyle a_n-2=(a_{1}-2)\times\left(\frac{3}{7}\right)^{n-1}\)

\(\small\displaystyle a_n=2\times\left(\frac{3}{7}\right)^{n-1}+2\)

【問題4.2】
　数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) の初項から第 \(\small\displaystyle n\) 項までの和 \(\small\displaystyle S_n\) が \(\small\displaystyle S_n=2a_n-5n+3\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\) を満たすとき，\(\small\displaystyle a_1=\)エ，\(\small\displaystyle a_2=\)オである．また，\(\small\displaystyle a_{n+1}\) を \(\small\displaystyle a_{n}\) を用いて表すと，\(\small\displaystyle a_{n+1}=\) カであり，数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) の一般項は，\(\small\displaystyle a_{n}=\)キである．

（2021年関西学院大学）

\(\small\displaystyle a_1=2a_1-5+3\)

\(\small\displaystyle a_1=2\) →エ

\(\small\displaystyle a_1+a_2=2a_2-10+3\)

\(\small\displaystyle a_2=9\) →オ

\(\small\displaystyle S_n=2a_n-5n+3\)

\(\small\displaystyle -)\hspace{10px} S_{n-1}=2a_{n-1}-5(n-1)+3\)

特性方程式で解く場合：\(\small\displaystyle x=2x+5\) より
　\(\small\displaystyle \alpha=-5\)

係数比較で解く場合：\(\small\displaystyle a_{n+1}-\alpha=2(a_{n}-\alpha)\) より
　\(\small\displaystyle \alpha=-5\)

\(\small\displaystyle a_n=2a_n-2a_{n-1}-5\)

\(\small\displaystyle a_n=2a_{n-1}+5\) →カ

\(\small\displaystyle a_n+5=2(a_{n-1}+5)\)

数列 \(\small \{a_n+5\}\) は公比 \(\small\displaystyle 2\) の等比数列をなすから

\(\small\displaystyle a_n+5=(a_{1}+5)\times 2^{n-1}\)

\(\small\displaystyle a_n=7\times 2^{n-1}-5\) →キ

【問題4.3】
　数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) の初項 \(\small\displaystyle a_1\) から第 \(\small\displaystyle n\) 項 \(\small\displaystyle a_n\) までの和 \(\small\displaystyle S_n\) が \(\small\displaystyle S_n=2a_n+n^2-n\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\) をみたすとする．

(1)(2)(3)　略

(4)　\(\small\displaystyle a_n\) を \(\small\displaystyle n\) の式で表せ．

（2014年大阪府立大学現代システム科学域）

(1)～(3)が誘導問題となっているが，それを見ずに解く場合
(4)

\(\small\displaystyle S_n=2a_n+n^2-n\)

\(\small\displaystyle -)\hspace{10px}S_{n-1}=2a_{n-1}+(n-1)^2-(n-1)\)

\(\small\displaystyle a_n=2a_n-2a_{n-1}+2n-2\)

\(\small\displaystyle a_n-2n-2=2\{a_{n-1}-2(n-1)-2\}\)

\(\small\displaystyle \{a_n-2n-2\}\) は公比 \(\small\displaystyle 2\) の等比数列で

\(\small\displaystyle a_1=2a_1+1^2-1\)
\(\small\displaystyle a_1=0\)

\(\small\displaystyle a_1-2-2=-4\) だから

\(\small\displaystyle a_n-2n-2=-4\times 2^{n-1}\)

\(\small\displaystyle a_n= 2^{n+1}+2n-2\)

《分数型の漸化式》

【例題5】
　数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) が，条件 \(\small\displaystyle a_1=\frac{5}{2},\hspace{3px}a_{n+1}=4-\frac{3}{a_n}\)
\(\small\displaystyle (n=1,2,3,\cdots)\) によって定まっているとする．

(1)(2)　略

(3)　数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) の一般項を求めよ．

（2016年青山学院大学理工学部）

（解答）･･･(1)(2)のヒントを読まない場合の定型的な答案
特性方程式 \(\small\displaystyle x=4-\frac{3}{x}\) を解く

\(\small\displaystyle x^2=4x-3\)

\(\small\displaystyle x^2-4x+3=0\) の解は \(\small\displaystyle \alpha=1, \beta=3\)

数列 \(\small\displaystyle \left\{\frac{a_n-\alpha}{a_n-\beta}\right\}\) を作る

\(\small\displaystyle a_{n+1}-1=3-\frac{3}{a_n}=\frac{3(a_n-1)}{a_n}\)

\(\small\displaystyle a_{n+1}-3=1-\frac{3}{a_n}=\frac{a_n-3}{a_n}\)

\(\small\displaystyle \frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}-3}=3\times\frac{a_n-1}{a_n-3}\)

\(\small\displaystyle b_1=\frac{a_1-1}{a_1-3}\)
\(\small\displaystyle =\frac{\frac{5}{2}-1}{\frac{5}{2}-3}=-3\)

\(\small\displaystyle b_n=\frac{a_n-1}{a_n-3}\) とおくと

\(\small\displaystyle b_{n+1}=3b_n\)

\(\small\displaystyle \{b_n\}\) は公比 \(\small\displaystyle 3\) の等比数列になるから

\(\small\displaystyle b_n=b_1\times 3^{n-1}=-3^n\)

\(\small\displaystyle \frac{a_n-1}{a_n-3}=-3^n\)

\(\small\displaystyle a_n-1=-3^n a_n+3^{n+1}\)

\(\small\displaystyle (3^n+1)a_n=3^{n+1}+1\)

\(\small\displaystyle a_n=\frac{3^{n+1}+1}{3^n+1}\)

【問題5.1】
　数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) を

\(\small\displaystyle a_1=2,\hspace{3px}a_{n+1}=\frac{a_n+2}{2a_n+1}\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\)

で定める．また，数列 \(\small\displaystyle \{b_n\}\) は

\(\small\displaystyle b_{n}=\frac{a_n-1}{a_n+1}\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\)

を満たす．次の問いに答えよ．

(1)　\(\small\displaystyle b_{n+1}\) を \(\small\displaystyle b_{n}\) を用いて表せ．

(2)　\(\small\displaystyle \{b_n\}\) の一般項を求めよ．

(3)　\(\small\displaystyle \{a_n\}\) の一般項を求めよ．

（2017年和歌山大学）

⇒　誘導に従えば，自然に解ける～♪

\(\small\displaystyle b_{n+1}=\frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}+1}=\frac{\dfrac{a_n+2}{2a_n+1}-1}{\dfrac{a_n+2}{2a_n+1}+1}\)

\(\small\displaystyle =\frac{\dfrac{a_n+2-2a_n-1}{2a_n+1}}{\dfrac{a_n+2+2a_n+1}{2a_n+1}}=\frac{a_n+2-2a_n-1}{a_n+2+2a_n+1}\)

\(\small\displaystyle =\frac{-a_n+1}{3a_n+3}=\frac{-(a_n-1)}{3(a_n+1)}=-\frac{1}{3}\times\frac{a_n-1}{a_n+1}\)

\(\small\displaystyle =-\frac{1}{3}b_n\)

(1)の結果から，\(\small\displaystyle \{b_n\}\) は公比 \(\small\displaystyle -\frac{1}{3}\) の等比数列で， \(\small\displaystyle b_1=\frac{a_1-1}{a_1+1}=\frac{1}{3}\) だから

\(\small\displaystyle b_n=\frac{1}{3}\times\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}=-\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}=-\frac{1}{(-3)^n}\)

\(\small\displaystyle \frac{a_n-1}{a_n+1}=-\frac{1}{(-3)^n}\)

\(\small\displaystyle \left\{(-3)^n+1\right\}a_n=(-3)^n-1\)

\(\small\displaystyle a_n=\frac{(-3)^n-1}{(-3)^n+1}\)

【問題5.2】
　次の条件によって定められる数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) がある．

\(\small\displaystyle a_1=1,\hspace{3px}a_{n+1}=\frac{4a_n+2}{a_n+3}\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\)

(1)　方程式

\(\small\displaystyle x=\frac{4x+2}{x+3}\)

の2つの解 \(\small\displaystyle \alpha,\beta\) を求めなさい．ただし， \(\small\displaystyle \alpha\gt\beta\) とする．

(2)　(1)で求めた \(\small\displaystyle \alpha,\beta\) を用いて，数列 \(\small\displaystyle \{b_n\}\) を

\(\small\displaystyle b_{n}=\frac{a_n-\alpha}{a_n-\beta}\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\)

と定める．\(\small\displaystyle b_1\) を求めなさい．さらに， \(\small\displaystyle \{b_n\}\) が等比数列になることを示しなさい．

(3)　\(\small\displaystyle a_n\) の一般項を求めなさい．

（2025年龍谷大学）

⇒　分数型漸化式：よく出る形

\(\small\displaystyle x=\frac{4x+2}{x+3}\)

\(\small\displaystyle x^2+3x=4x+2\hspace{10px}(x\ne -3)\)

\(\small\displaystyle x^2-x-2=0\hspace{10px}(x\ne -3)\)

\(\small\displaystyle (x-2)(x+1)=0\hspace{10px}(x\ne -3)\)

\(\small\displaystyle x=2,-1\)

\(\small\displaystyle \alpha\gt\beta\) だから

\(\small\displaystyle \alpha=2,\beta=-1\)

\(\small\displaystyle b_1=\frac{a_1-2}{a_1+1}=-\frac{1}{2}\)

次に

\(\small\displaystyle b_{n+1}=\frac{a_{n+1}-2}{a_{n+1}+1}=\frac{\dfrac{4a_n+2}{a_n+3}-2}{\dfrac{4a_n+2}{a_n+3}+1}\)

\(\small\displaystyle =\frac{\dfrac{4a_n+2-2a_n-6}{a_n+3}}{\dfrac{4a_n+2+a_n+3}{a_n+3}}\)

\(\small\displaystyle =\frac{2a_n-4}{5a_n+5}\)

\(\small\displaystyle =\frac{2(a_n-2)}{5(a_n+1)}\)

\(\small\displaystyle =\frac{2}{5}\times\frac{a_n-2}{a_n+1}=\frac{2}{5}b_n\)

したがって，\(\small\displaystyle \{b_n\}\) は公比\(\small\displaystyle \frac{2}{5}\) の等比数列になる →隠す←

(2)の結果から

\(\small\displaystyle b_n=b_1\times\left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}=-\frac{1}{2}\times\left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}\)

\(\small\displaystyle \frac{a_n-2}{a_n+1}=-\frac{1}{2}\times\left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}=-\frac{2^{n-2}}{5^{n-1}}\)

\(\small\displaystyle 5^{n-1}a_n-2\times 5^{n-1}=-2^{n-2}a_n-2^{n-2}\)

\(\small\displaystyle (5^{n-1}+2^{n-2})a_n=2\times 5^{n-1}-2^{n-2}\)

\(\small\displaystyle a_n=\frac{2\times 5^{n-1}-2^{n-2}}{5^{n-1}+2^{n-2}}\)

《分数型の漸化式で，分子の定数項がない場合》

【例題6】
　数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) が次の式で定められるとき，以下の各問いの答えのみを解答用紙に記せ．

\(\small\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}{3a_n+1}\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots),\hspace{5px}a_1=\frac{1}{2}\)

(1)　\(\small\displaystyle a_n\) を\(\small\displaystyle n\) の式で表せ．

(2)(3)略

（2017年日本医科大学）

　分数型の漸化式で，分子の定数項がない場合，\(\small\displaystyle \frac{1}{a_n}\) を作ってみる

（解答）

\(\small\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=3+\frac{1}{a_n}\)

\(\small\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}\) とおく

\(\small\displaystyle b_1=\frac{1}{a_1}=2\)

\(\small\displaystyle b_{n+1}=3+b_n\)

数列 \(\small \{b_n\}\) は公差 \(\small\displaystyle 3\) の等差数列をなすから

\(\small\displaystyle b_{n}=b_1+3(n-1)=3n-1\)

\(\small\displaystyle a_{n}=\frac{1}{3n-1}\)

【問題6.1】
　\(\small\displaystyle a_1=\frac{1}{2},a_{n+1}=\frac{a_n}{2-a_n}\) で与えられる数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) の \(\small\displaystyle a_{11}\) を求めよ．

（2016年奈良県立医科大学）

\(\small\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2}{a_n}-1\)

A) 特性方程式を用いる場合

\(\small\displaystyle x=2x-1\Rightarrow x=1\)

B) 係数比較でやる場合

\(\small\displaystyle b_{n+1}-\alpha=2(b_n-\alpha)\)

\(\small\displaystyle \Rightarrow \alpha=1\)

\(\small\displaystyle \frac{1}{a_{n}}=b_n\) とおくと

\(\small\displaystyle b_{n+1}=2b_n-1\)

\(\small\displaystyle b_{n+1}-1=2(b_n-1)\)

数列 \(\small \{b_n\}\) は公比 \(\small\displaystyle 2\) の等比数列をなすから

\(\small\displaystyle b_{n}-1=(b_1-1)\times 2^{n-1}\)

\(\small\displaystyle b_{n}= 2^{n-1}+1\)

\(\small\displaystyle a_{n}=\frac{1}{b_n}=\frac{1}{2^{n-1}+1}\)

\(\small\displaystyle a_{11}=\frac{1}{2^{10}+1}=\frac{1}{1025}\)

【問題6.2】
　次の条件によって定められる数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) の一般項を求めよ．

\(\small\displaystyle a_1=\frac{1}{2},a_{n+1}=\frac{a_n}{3+2a_n}\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\)

（2021年東京都市大学情報工学部他）

\(\small\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{3}{a_n}+2\)

A) 特性方程式を用いる場合

\(\small\displaystyle x=3x+2\Rightarrow x=-1\)

B) 係数比較でやる場合

\(\small\displaystyle b_{n+1}-\alpha=3(b_n-\alpha)\)

\(\small\displaystyle \Rightarrow \alpha=-1\)

\(\small\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}\) とおく

\(\small\displaystyle b_{n+1}=3b_n+2\)

\(\small\displaystyle b_{n+1}+1=3(b_n+1)\)

数列 \(\small \{b_n+1\}\) は公比 \(\small\displaystyle 3\) の等比数列をなすから

\(\small\displaystyle b_{n}+1=(b_1+1)\times 3^{n-1}\)

\(\small\displaystyle b_{n}= 3^{n}-1\)

\(\small\displaystyle a_{n}= \frac{1}{3^{n}-1}\)

《3項間漸化式の解き方》
　定数係数 \(\small\displaystyle a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0\) の場合

\(\small\displaystyle a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n)\) となる \(\small\displaystyle \alpha,\beta\) を求める

(A)　\(\small\displaystyle \alpha,\beta\) が異なる2つの解となるとき

\(\small\displaystyle a_{n+1}-\alpha a_{n}=(a_{2}-\alpha a_1)\beta^{n-1}\)･･･①

\(\small\displaystyle a_{n+1}-\beta a_{n}=(a_{2}-\beta a_1)\alpha^{n-1}\)･･･②
から \(\small\displaystyle a_n\) を求めることができる

(B)　\(\small\displaystyle \alpha=\beta\) の形で重解となるとき

\(\small\displaystyle a_{n+1}-\alpha a_{n}=(a_{2}-\alpha a_1)\alpha^{n-1}\) を２項間漸化式として解く

【例題7】
　条件 \(\small\displaystyle a_1=1,a_2=2, a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n \) \(\small\displaystyle (n=1,2,3,\cdots) \)で定められる数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) の一般項を求めよ．

（2014年山梨大学工学部他）

（解答）

\(\small\displaystyle a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n)\) となる \(\small\displaystyle \alpha,\beta\) を求める

\(\small\displaystyle a_{n+2}-(\alpha+\beta) a_{n+1}+\alpha\beta a_n=0 \)　と

\(\small\displaystyle a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=0 \) 　の係数比較により

\(\small\displaystyle \alpha+\beta=3,\alpha\beta=2 \)
→ (1) \(\small\displaystyle \alpha=1,\beta=2\)
　 (2) \(\small\displaystyle \alpha=2,\beta=1\)

(1)より

\(\small\displaystyle a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n) \)

\(\small\displaystyle \{a_{n+1}-a_n\} \) は公比2の等比数列をなすから

\(\small\displaystyle a_{n+1}-a_n=(a_2-a_1)\times 2^{n-1}=2^{n-1} \) …(1')

(2)より

\(\small\displaystyle a_{n+2}-2a_{n+1}=a_{n+1}-2a_n \)

\(\small\displaystyle \{a_{n+1}-2a_n\} \) は全て等しいから

\(\small\displaystyle a_{n+1}-2a_{n}=a_{2}-2a_1=0 \) …(2')

(1')−(2')

\(\small\displaystyle a_n=2^{n-1}\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots) \)

【問題7.1】
　次の条件によって定められる数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) がある．

\(\small\displaystyle a_1=1, a_2=5,a_{n+2}-4a_{n+1}-12a_n=0 \)

このとき，次の問いに答えよ．ただし，\(\small\displaystyle n=1,2,3,\cdots \) とする．

(1)(3)　略

(2)　数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) の一般項を求めよ．

（2016年北海学園大学経済学部他）

\(\small\displaystyle a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n) \) となる \(\small\displaystyle \alpha,\beta \) を求める

\(\small\displaystyle a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n) \) 　と

\(\small\displaystyle a_{n+2}-4a_{n+1}-12a_n=0 \) 　の係数比較により

\(\small\displaystyle \alpha+\beta=4, \alpha\beta=-12 \)
→ (1) \(\small\displaystyle \alpha=6,\beta=-2\)
　 (2) \(\small\displaystyle \alpha=-2,\beta=6\)

(1)より

\(\small\displaystyle a_{n+2}-6a_{n+1}=-2(a_{n+1}-6a_n) \)

\(\small\displaystyle \{a_{n+1}-6a_n\} \) は公比−2の等比数列をなすから

\(\small\displaystyle a_{n+1}-6a_n=(a_2-6a_1)\times (-2)^{n-1}=(-1)\times 2^{n-1} \) …(1')

(2)より

\(\small\displaystyle a_{n+2}+2a_{n+1}=6(a_{n+1}+2a_n) \)

\(\small\displaystyle \{a_{n+1}+2a_n\} \) は公比6の等比数列をなすから

\(\small\displaystyle a_{n+1}+2a_{n}=(a_{2}+2a_1)\times 6^{n-1}=7\times 6^{n-1}\) …(2')

{(2')−(1')}/8

\(\small\displaystyle a_{n}=\frac{7\times 6^{n-1}+(-2)^{n-1}}{8}\)

【問題7.2】
　自然数の数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) を次のように定める．

\(\small\displaystyle a_1=1, a_2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+6a_n\hspace{5px}(n=1,2,3,\cdots) \)

(1)　自然数 \(\small\displaystyle n \) に対し，\(\small\displaystyle a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_n) \) をみたすような数 \(\small\displaystyle p,q \) を求めることにより，数列 \(\small\displaystyle \{a_n\}\) の一般項を求めよ．

(2)～(4)　略

（2016年和歌山県立医科大学）

\(\small\displaystyle a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_n)\) 　と

\(\small\displaystyle a_{n+2}=a_{n+1}+6a_n \) 　の係数比較により

\(\small\displaystyle p+q=1, pq=-6 \)
→ (1) \(\small\displaystyle p=-2,q=3\)
　 (2) \(\small\displaystyle p=3, q=-2\)

(1)より

\(\small\displaystyle a_{n+2}+2a_{n+1}=3(a_{n+1}+2a_n) \)

\(\small\displaystyle \{a_{n+1}+2a_n\} \) は公比3の等比数列をなすから

\(\small\displaystyle a_{n+1}+2a_n=(a_2+2a_1)\times 3^{n-1}=3^n \) …(1')

(2)より

\(\small\displaystyle a_{n+2}-3a_{n+1}=-2(a_{n+1}-3a_n) \)

\(\small\displaystyle \{a_{n+1}-3a_n\} \) は公比−2の等比数列をなすから

\(\small\displaystyle a_{n+1}-3a_{n}=(a_{2}-3a_1)\times (-2)^{n-1}=(-2)^{n}\) …(2')

{(1')−(2')}/5

\(\small\displaystyle a_{n}=\frac{3^n-(-2)^n}{5} \)

《連立漸化式の解き方》

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} a_{n+1}=pa_n+qb_n \\ b_{n+1}=ra_n+sb_n\end{array}\right.\)

　の場合

\(\small\displaystyle a_{n+1}-\alpha b_{n+1}=\beta(a_{n}-\alpha b_n)\) となる \(\small\displaystyle \alpha,\beta\) を求める

(A)　\(\small\displaystyle \alpha,\beta\) が異なる2つの解となるとき

\(\small\displaystyle a_{n+1}-\alpha b_{n+1}=(a_{1}-\alpha b_1)\beta^{n-1}\)･･･①

\(\small\displaystyle a_{n+1}-\beta b_{n+1}=(a_{1}-\beta b_1)\alpha^{n-1}\)･･･②
から \(\small\displaystyle a_n,b_n\) を求めることができる

(B)　\(\small\displaystyle \alpha=\beta\) の形で重解となるとき

\(\small\displaystyle a_{n}-\alpha b_{n}=(a_{1}-\alpha b_1)\alpha^{n-1}\) を元の式に代入して， \(\small\displaystyle \{a_n\}\) または \(\small\displaystyle \{b_n\}\) の一方だけの漸化式に直せる

【例題8】
　2つの数列 \(\small\displaystyle \{a_n\},\{b_n\} \) を次のように定める．

\(\small\displaystyle a_1=1,\hspace{10px}b_1=2,\)

\(\small\displaystyle a_{n+1}=2a_n+b_n,\hspace{5px}2b_{n+1}=a_n+3b_n \hspace{5px}(n=1,2,3,\cdots) \)

(1)(2)　略

(3)　\(\small\displaystyle a_n,b_n\) をそれぞれ \(\small\displaystyle n\) を用いて表せ．

（2016年香川大学工学部他）

（解答）

\(\small\displaystyle a_{n+1}-\alpha b_{n+1}=\beta(a_{n}-\alpha b_n)\) となる \(\small\displaystyle \alpha,\beta\) を求める

\(\small\displaystyle a_{n+1}-\alpha b_{n+1}=2a_n+b_n-\alpha(\frac{a_n+3b_n}{2})\)

と \(\small\displaystyle \beta(a_{n}-\alpha b_n)\) を係数比較する

\(\small\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} 2-\frac{\alpha}{2}=\beta \\ 1-\frac{3\alpha}{2}=-\alpha\beta\end{array}\right.\)
→ (1) \(\small\displaystyle \alpha=2,\beta=1\)
　 (2) \(\small\displaystyle \alpha=-1, \beta=\frac{5}{2}\)

(1)より

\(\small\displaystyle a_{n+1}-2b_{n+1}=a_{n}-2b_n\)

\(\small\displaystyle \{a_{n}-2b_n\} \) は全て等しいから

\(\small\displaystyle a_{n}-2b_n=a_1-2b_1=-3 \) …(1')

(2)より

\(\small\displaystyle a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{5}{2}(a_{n}+b_n)\)

\(\small\displaystyle \{a_{n}+b_n\} \) は公比 \(\small\displaystyle \frac{5}{2}\) の等比数列をなすから

\(\small\displaystyle a_{n}+b_n=(a_1+b_1)\times\left(\frac{5}{2}\right)^{n-1}=3\times\left(\frac{5}{2}\right)^{n-1} \) …(2')

{(1')+2×(2')}/3

\(\small\displaystyle a_{n}=2\times\left(\frac{5}{2}\right)^{n-1}-1 \)

{(2')−(1')}/3

\(\small\displaystyle b_{n}=\left(\frac{5}{2}\right)^{n-1}+1 \)

【問題8.1】
　\(\small\displaystyle a_1=5,\hspace{10px}b_1=3,\hspace{10px}a_{n+1}=3a_n+b_n,\hspace{10px}b_{n+1}=a_n+3b_n\)
\(\small\displaystyle\hspace{0px}(n=1,2,3,\cdots)\) で定められた2つの数列 \(\small\displaystyle \{a_n\},\{b_n\} \) がある．

(1)　\(\small\displaystyle c_n=a_n+b_n,\hspace{5px}d_n=a_n-b_n \) とおくと，\(\small\displaystyle c_1=\)サ，
\(\small\displaystyle d_1=\)シ，\(\small\displaystyle c_n=\)ス･セ\(\small\displaystyle ^n\)，\(\small\displaystyle d_n=\)ソ\(\small\displaystyle ^n\)\(\hspace{0px}(n=1,2,3,\cdots)\)である．

(2)　(1)の結果より，

\(\small\displaystyle a_n=\)タ\(\small\displaystyle ^n+\)チ\(\small\displaystyle ^{n-1}\)， \(\small\displaystyle b_n=\)ツ\(\small\displaystyle ^n-\)テ\(\small\displaystyle ^{n-1}\)

\(\hspace{0px}(n=1,2,3,\cdots)\)である．

（2021年金沢工業大学工学部他）

\(\small\displaystyle c_1=a_1+b_1=8 \)

\(\small\displaystyle d_1=a_1-b_1=2 \)

\(\small\displaystyle a_{n+1}+b_{n+1}=4(a_n+b_n) \) だから

\(\small\displaystyle c_{n+1}=4c_n \)

\(\small\displaystyle \{c_n\} \) は公比4の等比数列になる

\(\small\displaystyle c_n=c_1\times 4^{n-1}=2\times 4^n \)

\(\small\displaystyle a_{n+1}-b_{n+1}=2(a_n-b_n) \) だから

\(\small\displaystyle d_{n+1}=2d_n \)

\(\small\displaystyle \{d_n\} \) は公比2の等比数列になる

\(\small\displaystyle d_n=d_1\times 2^{n-1}=2^n \)

\(\small\displaystyle a_n=\frac{c_n+d_n}{2}=\frac{2\times 4^n+2^n}{2}=4^n+2^{n-1} \)

\(\small\displaystyle b_n=\frac{c_n-d_n}{2}=\frac{2\times 4^n-2^n}{2}=4^n-2^{n-1} \)

【問題8.2】
　\(\small\displaystyle p_1=4,q_1=-1\) であり，自然数 \(\small\displaystyle n\) に対して \(\small\displaystyle p_{n+1}=-p_n-6q_n,\hspace{10px} q_{n+1}=p_n+4q_n\) で定められた数列 \(\small\displaystyle \{p_n\},\{q_n\} \) を考える．

(1)　全ての自然数 \(\small\displaystyle n\) に対して等式

\(\small\displaystyle p_{n+1}+aq_{n+1}=b(p_n+aq_n)\)

が成り立つような実数 \(\small\displaystyle a,b\) の組を求めよ．

(2)　一般項 \(\small\displaystyle p_n,q_n\) を求めよ．

（2011年津田塾大学情報科学科）

\(\small\displaystyle p_{n+1}+aq_{n+1}=(-p_n-6q_n)+a(p_n+4q_n)\) と

\(\small\displaystyle b(p_n+aq_n)\) の係数を比較する

\(\small\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} -1+a=b \\ -6+4a=ab \end{array}\right.\)
→ (1) \(\small\displaystyle a=2,b=1\)
　 (2) \(\small\displaystyle a=3, b=2\)

(1)より

\(\small\displaystyle p_{n+1}+2q_{n+1}=p_n+2q_n\)

\(\small\displaystyle \{p_{n}+2q_n\} \) は全て等しいから

\(\small\displaystyle p_{n}+2q_n=(p_1+2q_1)=2 \) …(1')

(2)より

\(\small\displaystyle p_{n+1}+3q_{n+1}=2(p_{n}+3q_n)\)

\(\small\displaystyle \{p_{n}+3q_n\} \) は公比 \(\small\displaystyle 2\) の等比数列をなすから

\(\small\displaystyle p_{n}+3q_n=(p_1+3q_1)\times 2^{n-1}=2^{n-1} \) …(2')

(2)−(1)

\(\small\displaystyle q_n=2^{n-1}-2 \)

(1')に代入

\(\small\displaystyle p_n=2-2(2^{n-1}-2)=6-2^{n} \)

【問題8.3】
　\(\small\displaystyle p,q\) を定数とし，2つの数列 \(\small\displaystyle \{a_n\},\{b_n\} \) を次の式で定める．

\(\small\displaystyle a_1=p,\hspace{5px}a_{n+1}=2a_n,\hspace{5px}b_1=q,\hspace{5px}b_{n+1}=3a_n+b_n\)

\(\small\displaystyle (n=1,2,3,\cdots)\)

数列 \(\small\displaystyle \{a_n\},\{b_n\} \) の一般項を求めよ．

（2011年信州大学理学部）

(1)　\(\small\displaystyle \{a_n\} \) は単独で解ける形になっていて，その結果を使って \(\small\displaystyle \{b_n\} \) を求めることができる．

(2)　最初から最後まで \(\small\displaystyle \{a_n\},\{b_n\} \) の連立漸化式として扱うこともできる．

(1)

\(\small\displaystyle a_1=p,\hspace{5px}a_{n+1}=2a_n\) より， \(\small\displaystyle \{a_n\} \) は公比2の等比数列だから

\(\small\displaystyle a_{n}=a_1\times 2^{n-1}=p\times 2^{n-1}\)

これを，\(\small\displaystyle b_{n+1}=3a_n+b_n\) に代入すると

\(\small\displaystyle b_{n+1}=3p\times 2^{n-1}+b_n\)

\(\small\displaystyle \{b_n\} \) の階差数列が与えられていることになる

\(\small\displaystyle b_{n+1}-b_n=3p\times 2^{n-1}\)

\(\small\displaystyle n\geqq 2 \) のとき

\(\small\displaystyle b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1}(3p\times 2^{k-1})\)

\(\small\displaystyle b_n=q+3p\times\frac{ 2^{n-1}-1}{2-1})\)

\(\small\displaystyle =q+3p\times(2^{n-1}-1)=3p\times 2^{n-1}-3p+q\)

（\(\small\displaystyle n=1 \) のときもこれでよい）

(2)別解

\(\small\displaystyle a_{n+1}-\alpha b_{n+1}=\beta(a_{n}-\alpha b_n)\) となる \(\small\displaystyle \alpha,\beta\) を求める

\(\small\displaystyle a_{n+1}-\alpha b_{n+1}=2a_n-\alpha(3a_n+b_n)\)

と \(\small\displaystyle \beta(a_{n}-\alpha b_n)\) を係数比較する

\(\small\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} 2-3\alpha=\beta \\ -\alpha=-\alpha\beta\end{array}\right.\)
→ (1) \(\small\displaystyle \alpha=0,\beta=2\)
　 (2) \(\small\displaystyle \alpha=, \beta=\frac{1}{3}\)

(1)より

\(\small\displaystyle a_{n+1}=2a_n\)

\(\small\displaystyle \{a_{n}\} \) は公比 \(\small\displaystyle 2\) の等比数列をなすから

\(\small\displaystyle a_{n}=p\times 2^{n-1} \) …(1')

(2)より

\(\small\displaystyle a_{n+1}-\frac{1}{3}b_{n+1}=a_n-\frac{1}{3}b_n\)

\(\small\displaystyle \{a_{n}-\frac{1}{3}b_n\} \) は全て等しいから

\(\small\displaystyle a_{n}-\frac{1}{3}b_n=a_1-\frac{1}{3}b_1=p-\frac{q}{3} \) …(2')

(1')−(2')

\(\small\displaystyle \frac{1}{3}b_n=p\times 2^{n-1}-p+\frac{q}{3} \)

\(\small\displaystyle b_n=3p\times 2^{n-1}-3p+q\)

《係数に \(\small n\) が含まれる漸化式》

　特性方程式は使えないことに注意
　何らかの置きかえによって，等比数列や階差数列にならないか，試してみる

【例題9】
　次の条件によって定められる数列 \(\small\displaystyle \{a_n\} \) がある．

\(\small\displaystyle a_1=1, a_n=\frac{2n}{n-1}a_{n-1}\hspace{10px}(n=2,3,\cdots)\)

(1)　数列 \(\small\displaystyle \{a_n\} \) の一般項を求めよ．

(2)　略

（2014年高崎経済大学）

(1)（解答）

\(\small\displaystyle \frac{a_n}{n}=2\frac{a_{n-1}}{n-1}\hspace{10px}(n=2,3,\cdots)\)

\(\small\displaystyle \frac{a_{n+1}}{n+1}=2\frac{a_{n}}{n}\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\)

\(\small\displaystyle b_n=\frac{a_{n}}{n}\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\) とおくと，\(\small\displaystyle \{b_n\}\) は公比2の等比数列だから

\(\small\displaystyle b_n=b_1\times 2^{n-1}=2^{n-1}\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\)

\(\small\displaystyle \frac{a_n}{n}=2^{n-1}\)

\(\small\displaystyle a_n=n2^{n-1}\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\)

【問題9.1】
　次の条件によって定められる数列 \(\small\displaystyle \{a_n\} \) がある．

\(\small\displaystyle a_1=\frac{2}{3}, a_{n+1}=\frac{a_n}{(4n+2)a_n+1}\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\)

このとき，次の問いに答えよ．ただし，\(\small\displaystyle n=1,2,3,\cdots\) とする．

(1)　\(\small\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n} \) とおく．\(\small\displaystyle b_{n+1} \) を \(\small\displaystyle b_{n} \) と \(\small\displaystyle n \) の式で表せ．

(2)　数列 \(\small\displaystyle \{b_n\} \) の一般項を求めよ．

(3)　\(\small\displaystyle \sum_{k=1}^na_k \) を求めよ．

（2025年北海学園大学）

\(\small\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=4n+2+\frac{1}{a_n}\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots)\) だから

\(\small\displaystyle b_1=\frac{3}{2},b_{n+1}=4n+2+b_n\)

階差数列が \(\small\displaystyle b_{n+1}-b_n=4n+2\) になるから

\(\small\displaystyle b_{n}=b_1+\sum_{k=1}^{n-1}(4k+2)\)

\(\small\displaystyle =\frac{3}{2}+2(n-1)n+2(n-1)\)

\(\small\displaystyle =\frac{3}{2}+2(n-1)(n+1)\)

\(\small\displaystyle =\frac{3+4n^2-4}{2}=\frac{4n^2-1}{2}\)

（\(\small\displaystyle n=1 \) のときもこれでよい）
→隠す←

\(\small\displaystyle a_n=\frac{2}{4n^2-1}=\frac{2}{(2n-1)(2n+1)}\)

\(\small\displaystyle (1-\textcolor{red}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{3}}}})\)

\(\small\displaystyle +(\textcolor{red}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{3}}}}-\textcolor{blue}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{5}}}})\)

\(\small\displaystyle +(\textcolor{blue}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{5}}}}-\textcolor{#009900}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{7}}}})\)

\(\small\displaystyle \cdots\cdots\)

\(\small\displaystyle +(\textcolor{#aa4433}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{2n-1}}}}-\frac{1}{2n+1})\)

\(\small\displaystyle =1-\frac{1}{2n+1}\)

\(\small\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=1}^n\frac{2}{(2k-1)(2k+1)}\)

\(\small\displaystyle =\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)\)

\(\small\displaystyle =\textcolor{red}{\boxed{ \textcolor{#333333}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{2k-1}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k-1}} }}\)

\(\small\displaystyle =1-\frac{1}{2n+1}\)

\(\small\displaystyle =\frac{2n}{2n+1}\)

（\(\small\displaystyle n=1 \) のときもこれでよい）

受験参考書では，Σ記号内の式をそろえて，形式的に処理する左記のような答案が普通であるが，これになじめない場合は，右のように「縦書き」にして重なるものを消せばよい．

【問題9.2】
　関係式 \(\small\displaystyle a_1=1,na_{n+1}-(n+1)a_n=1\hspace{10px}(n=1,2,\cdots) \)
によって定義される数列 \(\small\displaystyle \{a_n\} \) の一般項を求めたい． \(\small\displaystyle b_n=\frac{a_n}{n}\hspace{10px}(n=1,2,\cdots) \) とおいて数列 \(\small\displaystyle \{b_n\} \) の一般項を求めることにより， \(\small\displaystyle a_n \) を求めよ．

（2011年長崎大医学部）

両辺を

\(\small\displaystyle n(n+1)\) で割ると

\(\small\displaystyle \frac{a_{n+1}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=\frac{1}{n(n+1)}\)

\(\small\displaystyle b_n=\frac{a_n}{n} \) とおくと

\(\small\displaystyle b_{n+1}-b_n=\frac{1}{n(n+1)}\hspace{10px}(n=1,2,\cdots) \)

\(\small\displaystyle \{b_n\} \) の階差数列が与えられていることになるから，\(\small\displaystyle \{b_n\} \) は次の式で求められる

\(\small\displaystyle (1-\textcolor{red}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{2}}}})\)

\(\small\displaystyle +(\textcolor{red}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{2}}}}-\textcolor{blue}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{3}}}})\)

\(\small\displaystyle +(\textcolor{blue}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{3}}}}-\textcolor{#009900}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{4}}}})\)

\(\small\displaystyle \cdots\cdots\)

\(\small\displaystyle +(\textcolor{#aa4433}{\cancel{\textcolor{#333333}{\frac{1}{n-1}}}}-\frac{1}{n})\)

\(\small\displaystyle =1-\frac{1}{n}\)

\(\small\displaystyle n\geqq 2 \) のとき

\(\small\displaystyle b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)}\)

\(\small\displaystyle =1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)

\(\small\displaystyle =1+\textcolor{red}{\boxed{ \textcolor{#333333}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}} }}\)

\(\small\displaystyle =1+1-\frac{1}{n}=2-\frac{1}{n}\)

\(\small\displaystyle n=1 \) のときも，この式で合う

\(\small\displaystyle a_n=nb_n=2n-1\)

【問題9.3】
　数列 \(\small\displaystyle \{a_n\} \) は \(\small\displaystyle a_1=1,\hspace{5px} a_{n+1}=\frac{n+2}{n+1}(a_n+2n)-n\)
\(\small\displaystyle (n=1,2,3,\cdots) \) をみたすとする．

(1)　\(\small\displaystyle b_{n}=\frac{a_n}{n+1}\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots) \) とおくとき，\(\small\displaystyle b_{n+1} \) を \(\small\displaystyle b_{n} \) で表せ．

(2)　さらに \(\small\displaystyle c_{n}=b_n-\frac{2}{n+1}\hspace{10px}(n=1,2,3,\cdots) \) とおくとき，\(\small\displaystyle c_{n+1} \) を \(\small\displaystyle c_{n} \) で表せ．

(3)　数列 \(\small\displaystyle \{c_n\} \) の一般項を求めよ．

(4)　数列 \(\small\displaystyle \{a_n\} \) の一般項を求めよ．

（2014年大同大学工学部）

ノーヒントで解くのは難しいが，誘導に従えば，自然に解ける

両辺を \(\small\displaystyle n+2(\ne 0) \) で割る

\(\small\displaystyle \frac{a_{n+1}}{n+2}=\frac{a_n}{n+1}+\frac{2n}{n+1}-\frac{n}{n+2}\)

\(\small\displaystyle b_{n}=\frac{a_n}{n+1} \) とおくと

\(\small\displaystyle b_{n+1}=b_n+\frac{2n}{n+1}-\frac{n}{n+2}\)

\(\small\displaystyle =b_n+\frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)}\)

\(\small\displaystyle c_{n}=b_n-\frac{2}{n+1} \) とおくと

\(\small\displaystyle c_{n+1}+\frac{2}{n+2}=c_n+\frac{2}{n+1}+\frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)}\)

\(\small\displaystyle c_{n+1}=c_n+1\)

\(\small\displaystyle b_{1}=\frac{a_1}{2}=1 \)
\(\small\displaystyle c_{1}=b_1-\frac{2}{2}=0 \)

\(\small\displaystyle n\geqq 2 \) のとき

\(\small\displaystyle c_{n}=c_1+\sum_{k=1}^{n-1}1\)

\(\small\displaystyle =n-1\)

\(\small\displaystyle n=1 \) のときも，この式で合う
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(4)の解答を見る ↓

\(\small\displaystyle b_{n}=c_n+\frac{2}{n+1}\)

\(\small\displaystyle =n-1+\frac{2}{n+1}\)

\(\small\displaystyle a_n=(n+1)b_n=(n+1)(n-1)+2\)

\(\small\displaystyle =n^2+1\)

【問題9.4】
　数列 \(\small\displaystyle \{a_n\} \) は，

\(\small\displaystyle a_1=2,\hspace{5px} (n+1)a_{n+1}-3(n+2)a_n=2n^2+6n+4 \)

\(\small\displaystyle (n=1,2,3,\cdots) \) で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　\(\small\displaystyle b_{n}=\frac{a_n}{n+1} \) とおくとき，\(\small\displaystyle b_{n+1} \) と \(\small\displaystyle b_{n} \) の関係式を求めよ．

(2)　\(\small\displaystyle b_n \) を \(\small\displaystyle n\) を用いて表せ．

(3)　\(\small\displaystyle a_n \) を \(\small\displaystyle n\) を用いて表せ．

（2018年香川大学）

ノーヒントで解くのは難しいが，誘導に従えば，自然に解ける

\(\small\displaystyle a_n=(n+1)b_n,a_{n+1}=(n+2)b_{n+1} \) を代入する

\(\small\displaystyle (n+1)(n+2)b_{n+1}-3(n+2)(n+1)b_n\)

\(\small\displaystyle =2n^2+6n+4=2(n+1)(n+2)\)

両辺を \(\small\displaystyle (n+1)(n+2)（\ne 0) \) で割る

\(\small\displaystyle b_{n+1}-3b_n=2\)

特性方程式（または係数比較）を使う

\(\small\displaystyle b_{n+1}+1=3(b_n+1)\)

数列 \(\small\displaystyle \{b_{n}+1\} \) は公比 \(\small\displaystyle 3\) の等比数列をなすから

\(\small\displaystyle b_{n}+1=(b_1+1)\times 3^{n-1}\)

\(\small\displaystyle b_{n}=2\times 3^{n-1}-1\)

\(\small\displaystyle a_{n}=(n+1)\left(2\times 3^{n-1}-1\right)\)