内分点，外分点の座標

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【平面上の内分点，外分点の座標】
　２点 $A(x_1,\hspace{5}y_1),\hspace{5}B(x_2,\hspace{5}y_2)$ を結ぶ線分ABを
(1)　m : nに内分する点Pの座標は
$P\Big(\frac{nx_1+ mx_2}{m+ n},\hspace{5}\frac{ny_1+ my_2}{m+ n}\Big)$
　特に，中点(１：１に内分する点)Mの座標は
$M\Big(\frac{x_1+ x_2}{2},\hspace{5}\frac{y_1+ y_2}{2}\Big)$
(2)　m : n (m≠n)に外分する点Qの座標は
$Q\Big(\frac{-nx_1+ mx_2}{m-n},\hspace{5}\frac{-ny_1+ my_2}{m-n}\Big)$

（解説）

　以下の解説は，多くの教科書に書かれているものとほぼ同じです．

(1)←

以下においては， $x_2\gt x_1$ の場合の図をもとにして解説するが，結果は $x_2\underline{\le}x_1$ の場合も成り立つ．

中学2年生で習う平行線の性質，または中学校3年生で習う相似図形の性質を使うと，右図においてAP : BP=m : nのとき,
A'P' : B'P'=m : n
したがって
$(x-x_1)\hspace{5}:\hspace{5}(x_2-x)=m\hspace{5}:\hspace{5}n$
$n(x-x_1)=m(x_2-x)$
$nx-nx_1=mx_2-mx$
$mx+ nx=nx_1+ mx_2$
$(m+ n)x=nx_1+ mx_2$
$x=\frac{nx_1+ mx_2}{m+ n}$
　y座標についても同様に示すことができる．
　中点の公式はm=n=1とすると得られる．

(2)←

以下においては， $x_2\gt x_1$ かつ $m\gt n$ の場合の図をもとにして解説するが，結果は $x_2\underline{\le}x_1$ や $m\lt n$ の場合も成り立つ．

中学2年生で習う平行線の性質，または中学校3年生で習う相似図形の性質を使うと，右図においてAQ : BQ=m : nのとき,
A'Q' : B'Q'=m : n
したがって
$(x-x_1)\hspace{5}:\hspace{5}(x-x_2)=m\hspace{5}:\hspace{5}n$
$n(x-x_1)=m(x-x_2)$
$nx-nx_1=mx-mx_2$
$-nx_1+ mx_2=mx-nx$
$-nx_1+ mx_2=(m-n)x$
$x=\frac{-nx_1+ mx_2}{m-n}$
　y座標についても同様に示すことができる．
⇒このように，内分公式のｎのところに−ｎを代入すると，外分公式になる

※よくある間違いに注意

　座標の値が $x_1,\hspace{5}x_2,\hspace{5}y_1,\hspace{5}y_2$ の4個，比率の値がm, nの２個，合計6個の値があるので，初心者ではこれらが「もつれて」間違ってしまう場合があります．次の３点に注意しましょう．

(1)　ｘ座標とｙ座標を「混ぜない」こと
(2)　ｍとｎは「クロスして掛ける」こと
(3)　外分公式では，「ｎだけを負にする」こと

(1)　ｘ座標とｙ座標を「混ぜない」こと

　 $x_1$ と $x_2$ でxを作ること， $y_1$ と $y_2$ でyを作ること．
#1つの点のx座標とy座標を混ぜてしまう間違いが多い#
　〇：正しい計算↓

　×：よくある間違い答案↓
　

＃自家受粉になっている＃

【例１】
　２点A(1, 2), B(3, 4)を結ぶ線分ABを5 : 6に内分する点の座標は

間違い ⇒ $\Big(\frac{6\times 1+ 5\times\fbox{2}}{5+ 6},\hspace{5}\frac{6\times\fbox{3}+ 5\times 4}{5+ 6}\Big)$
正しい ⇒ $\Big(\frac{6\times 1+ 5\times\fbox{3}}{5+ 6},\hspace{5}\frac{6\times\fbox{2}+ 5\times 4}{5+ 6}\Big)$

(2)　ｍとｎは「クロスして掛ける」こと

　図の見かけ上は，Aの座標 $x_1$ に近い方の比率がｍで，Bの座標 $x_2$ に近い方の比率がｎであるが，公式としては
$x=\frac{nx_1+ mx_2}{m+ n}$
$y=\frac{ny_1+ my_2}{m+ n}$
であるから，分母にあるｍ，ｎを分子に掛けるときは「クロスして掛ける」ことになります．
（見かけにダマされてはいけない「意地悪」「へそ曲げ」の公式となっています）
　証明は，上で行ったので，ここでは別の解釈を示してみます．
$x=\frac{n}{m+ n}x_1+\frac{m}{m+ n}x_2$
のように分けて見ると，２つの係数の和は１です．
$\frac{n}{m+ n}+\frac{m}{m+ n}=1$
　このとき， $x_2$ に掛けてある数字 $\frac{m}{m+ n}$ が $x_1$ に掛けてある数字 $\frac{n}{m+ n}$ よりも大きければ， $x_2$ の影響を強く受け， $x_2$ に近い場所に来るはずです．

　例えば， $m\hspace{5}:\hspace{5}n=9\hspace{5}:\hspace{5}1$ のとき，
$x=0.1x_1+ 0.9x_2\hspace{5},\hspace{10}(0.1+ 0.9=1)$
になっています．このとき， $x_2$ には $x_1$ の9倍の数字が掛けてあって（加重平均），非常に $x_2$ に近い点になります．だから，Ａからの距離の比ｍが大きいほど $x_2$ に近付くという事情が，公式に反映されています．
⇒大きい数字が掛けてある方の点に近くなる

(3)　外分公式では，「ｎだけを負にする」こと

　外分公式
$\Big(\frac{-nx_1+ mx_2}{m-n},\hspace{5}\frac{-ny_1+ my_2}{m-n}\Big)$ …(*1)
のｘ座標，ｙ座標のいずれも分母と分子の両方に−1を掛けても，分数には１を掛けることになって，元の式と同じ値になるから
$\Big(\frac{nx_1-mx_2}{-m+ n},\hspace{5}\frac{ny_1-my_2}{-m+n}\Big)$ …(*2)
と書いてもよい．さらに，分母が負の数になってしまうと，計算間違いしやすくなるので，これを防ぐために「ｍとｎの符号は大きい方を正に，小さい方を負にする」…(*3)と教える先生もいます.
　(*1)(*2)(*3)とも正しく，実際，筆者も「どれでもよい」と教えてきましたが，教育心理的にはそれは「できる生徒向けの説明」かもしれません．同値な式を一巡聞いておくのはよいことですが，まとめとしては１つの公式を確実に身に着ける方がよいでしょう．苦手な生徒向けとしては，正しいからと言って，何を言ってもよいとは限らず，揺れのある表現で言われると，判断で迷って，形が混ざってしまうミスを誘発しやすいので，
外分公式では，「ｎだけを負にする」
と決める方が間違いが少なくなると考えられます．
　特に，(*1)(*2)を並べて教えると，「外分では，ｍ，ｎを負にすればいいんだな」と単純化して覚える生徒が見られ，
$\Big(\frac{-nx_1-mx_2}{-m-n},\hspace{5}\frac{-ny_1-my_2}{-m-n}\Big)$ …(*4)
にしてしまうことがあります．実際には，(*4)の分母分子に−1を掛けると分かるように，次の内分公式と同じものになります．［(*1)(*2)(*3)は外分公式，(*4)は内分公式］
$\Big(\frac{nx_1+ mx_2}{m+ n},\hspace{5}\frac{ny_1+ my_2}{m+ n}\Big)$
⇒２つとも負にすると，元に戻ってしまう．

公式を確実に身に着けるための問題

【問題１】　次の各点の座標を求めてください．（選択肢の中から正しいものをクリック）

※暗算でやるのは無理ですから，別途計算用紙で計算してから答えてください．まぐれ当たりで合っても実力はつきません．

(1)
　2点A(3, 4),B(5, 6)を結ぶ線分ABを2：1に内分する点の座標

解説やり直す

$(\frac{10}{3},\hspace{5}\frac{16}{3})$ $(\frac{11}{3},\hspace{5}\frac{14}{3})$ $(\frac{13}{3},\hspace{5}\frac{16}{3})$ $(\frac{19}{3},\hspace{5}\frac{17}{3})$

$\Big(\frac{1\times 3+ 2\times 5}{2+ 1},\hspace{5}\frac{1\times 4+ 2\times 6}{2+ 1}\Big)=\Big(\frac{13}{3},\hspace{5}\frac{16}{3}\Big)$ …（答）

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(2)
　2点A(3, 5),B(4, 6)を結ぶ線分ABを1:2に内分する点の座標

解説やり直す

$(\frac{10}{3},\hspace{5}\frac{16}{3})$ $(\frac{11}{3},\hspace{5}\frac{14}{3})$ $(\frac{11}{3},\hspace{5}\frac{17}{3})$ $(\frac{13}{3},\hspace{5}\frac{16}{3})$

$\Big(\frac{2\times 3+ 1\times 4}{1+ 2},\hspace{5}\frac{2\times 5+ 1\times 6}{1+ 2}\Big)=\Big(\frac{10}{3},\hspace{5}\frac{16}{3}\Big)$ …（答）

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(3)
　2点A(3, −5),B(4, −6)を結ぶ線分ABを3:2に内分する点の座標

解説やり直す

$(-\frac{1}{5},\hspace{5}0)$ $(-\frac{9}{5},\hspace{5}-2)$ $(\frac{17}{5},\hspace{5}-\frac{27}{5})$ $(\frac{18}{5},\hspace{5}-\frac{28}{5})$

$\Big(\frac{2\times 3+ 3\times 4}{3+ 2},\hspace{3}\frac{2\times(-5)+ 3\times(-6)}{3+ 2}\Big)=\Big(\frac{18}{5},\hspace{3}-\frac{28}{5}\Big)$ …(答)

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(4)
　2点A(−3, 5),B(−4, 6)を結ぶ線分ABを1:2に外分する点の座標

解説やり直す

$(-5,\hspace{5}7)$ $(-\frac{10}{3},\hspace{5}\frac{16}{3})$ $(-2,\hspace{5}4)$ $(1,\hspace{5}4)$

$\Big(\frac{(-2)\times (-3)+ 1\times(-4)}{1-2},\hspace{3}\frac{(-2)\times 5+ 1\times 6}{1-2}\Big)=(-2,\hspace{3}4)$ …(答)

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(5)
　2点A(3, −4), B(5, −6)を結ぶ線分ABを2:3に外分する点の座標

解説やり直す

(−18, −28) (−1, 0) (9, −10) (17, 27)

$\Big(\frac{(-3)\times 3+ 2\times 5}{2-3},\hspace{3}\frac{(-3)\times (-4)+ 2\times (-6)}{2-3}\Big)=(-1,\hspace{3}0)$ …(答)

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(6)
　2点A(−3, −4), B(−5, 6)を結ぶ線分ABを1:3に外分する点の座標

解説やり直す

$(-6,\hspace{2px}11)$ $(-\frac{7}{2},\hspace{2px}-\frac{3}{2})$ $(-2,\hspace{2px}-9)$ $(-\frac{5}{2},\hspace{2px}-\frac{21}{2})$

$\Big(\frac{(-3)\times (-3)+ 1\times (-5)}{1-3},\hspace{3}\frac{(-3)\times (-4)+ 1\times 6)}{1-3}\Big)=(-2,\hspace{3}-9)$ …(答)

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(7)
　2点A(−3, −5), B(5, 6)を結ぶ線分ABを2:5に内分する点の座標

解説やり直す

$(-\frac{5}{3},\hspace{5}\frac{13}{3})$ $(-\frac{5}{7},\hspace{5}-\frac{13}{7})$ $(-\frac{25}{3},\hspace{5}-\frac{37}{3})$ $(\frac{31}{3},\hspace{5}\frac{40}{3})$

$\Big(\frac{5\times (-3)+ 2\times 5}{2+ 5},\hspace{3}\frac{5\times (-5)+ 2\times 6)}{2+ 5}\Big)=(-\frac{5}{7},\hspace{5}-\frac{13}{7})$ …(答)

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(8)
　2点A(3, 4), B(−5, −6)を結ぶ線分ABを3:2に外分する点の座標

解説やり直す

(−21, −26) $(-\frac{9}{5},\hspace{5}-2)$ (6, −8) (19, 24)

$\Big(\frac{(-2)\times 3+ 3\times (-5)}{3-2},\hspace{3}\frac{(-2)\times 4+ 3\times (-6))}{3-2}\Big)=(-21,\hspace{5}-26)$ …(答)

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ゆっくり考える問題（教科書レベル）

【問題２】　（選択肢の中から正しいものをクリック）

(1)
　点A(−1, 2)に関して点B(3, −4)と対称な点Pの座標を求めてください．

解説やり直す

(−5, 8) (1, −1) (2, −2) (7, −10)

［未知数を(x, y)とおいて，方程式で解く方法］
　Ａに関してＢと対称な点がＰであるとは，右図の茶色で示したように，点Ａを対称の中心としてＢとＰが点対称であるということ．
　このためには，ＢＰの中点がＡになればよい．
P(x, y)とおくと
$\frac{3+ x}{2}=-1,\hspace{10}\frac{-4+ y}{2}=2$
を解くと
$(x,\hspace{5}y)=(-5,\hspace{5}8)$ …(答)

［未知数を使わずに，算数で解く方法］
　Ａに関してＢと対称な点がＰであるとは，右図の灰色で示したように，ＢＡを2：1に外分する点がＰであるということ
$\Big(\frac{(-1)\times 3+ 2\times (-1)}{2-1},\hspace{5}\frac{(-1)\times (-4)+ 2\times 2}{2-1}\Big)=(-5,\hspace{5}8)$ …(答)

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［平行四辺形の２つの対角線は，互いに他を二等分することを使って，次の問題を解いてください］
(2)
　４点A, B, C, Dをこの順にたどると平行四辺形になるという．
　A(2, 2), B(−1, 1), C(0, 3)のとき，点Dの座標を求めてください．

解説やり直す

(−3, 2) (1, 0) (3, 4) (4, 5)

ＡＣの中点とＢＤの中点が一致すればよい
$D(x,\hspace{5}y)$ とおくと
$\frac{2+ 0}{2}=\frac{x-1}{2}$
$\frac{2+ 3}{2}=\frac{y+ 1}{2}$
より
$D(3,\hspace{5}4)$ …(答)

※もし，３点Ａ，Ｂ，Ｃの座標が与えられていて，「平行四辺形の第４の頂点を求めよ」という問題であれば，右図のように，回り方の順序が３通り考えられるので，(1)ＡＣの中点がＢＤの中点と一致する場合，(2)ＢＣの中点がＡＤの中点と一致する場合，(1)ＡＢの中点がＣＤの中点と一致する場合の３通りの答えを書かなければならない．

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(3) 少し難しいかも
△ABCの頂点A, B, Cについて，ABの中点をP，PCの中点をQ，BCを2 : 1に内分する点をRとすると，QはARを何対何に内分しますか．

解説やり直す

1 : 1 2 : 1 3 : 1 4 : 1

$A(a_1,\hspace{3}a_2),\hspace{3}B(b_1,\hspace{3}b_2),\hspace{3}C(c_1,\hspace{3}c_2)$ とおくと
$P(\frac{a_1+ b_1}{2},\hspace{3}\frac{a_2+ b_2}{2})$
$R(\frac{b_1+ 2c_1}{3},\hspace{3}\frac{b_2+ 2c_2}{3})$
$Q(\frac{\frac{a_1+ b_1}{2}+ c_1}{2},\hspace{3}\frac{\frac{a_2+ b_2}{2}+ c_2}{2})=(\frac{a_1+ b_1+ 2c_1}{4},\hspace{3}\frac{a_2+ b_2+ 2c_2}{4})$
ここで，Qの座標をA, Rの座標を使って表すと，
$Q(\frac{a_1+ 3\frac{b_1+ 2c_1}{3}}{4},\hspace{3}\frac{a_2+ 3\frac{b_2+ 2c_2}{3}}{4})$
と書けるから
QはARを３：１に内分する…(答)

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(4) 少し難しいかも
m>n>0とするとき，線分ABをm : nに内分する点をP，m : nに外分する点をQとおくと，点Bは線分PQを何対何に内分しますか．

解説やり直す

1 : 1 (m−n) : n

(m−n) : (m+n) 2m : (m+n)

$A(a_1,\hspace{3}a_2),\hspace{3}B(b_1,\hspace{3}b_2)$ とおくと
$P(\frac{na_1+ mb_1}{m+ n},\hspace{3}\frac{na_2+ mb_2}{m+ n})=(p_1,\hspace{3}p_2)$
$Q(\frac{-na_1+ mb_1}{m-n},\hspace{3}\frac{-na_2+ mb_2}{m-n})=(q_1,\hspace{3}q_2)$
$p_1,\hspace{3}p_2,\hspace{3}q_1,\hspace{3}q_2$ を既知数， $a_1,\hspace{3}a_2,\hspace{3}b_1,\hspace{3}b_2$ を未知数として，連立方程式を解く
ｘ成分は
$na_1+ mb_1=(m+ n)p_1$
$-na_1+ mb_1=(m-n)q_1$
より
$b_1=\frac{(m+ n)p_1+ (m-n)q_1}{2m}$
$=\frac{(m+ n)p_1+ (m-n)q_1}{(m-n)+(m+ n)}$
ｙ成分も同様にして
$b_2=\frac{(m+ n)p_2+ (m-n)q_2}{(m-n)+(m+ n)}$
以上により，BはPQを(m−n) : (m+n)に内分する…(答)

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