群数列（入試問題）

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== 群数列（入試問題） ==
難易度の目安

基　本：★☆☆

普　通：★★☆

やや難：★★★

【問題1】★☆☆
　自然数1, 2, 3, 4, 5, 6, ･･･を次のような群に分ける．
| 1 | 2, 3 | 4, 5, 6 | 7, 8, 9, 10 | ･･･
　このとき，200は番目の群に含まれる．

（2000年度神奈川大理学部）

［解説を読む］

このとき，第k群にはk項が属しているから，第1群から第n群の末項までには，
$\frac{n(n+ 1)}{2}$
項がある．したがって，200が第n群に属しているときは
$\frac{(n-1)n}{2}\lt 2000\underset{=}{\lt}\frac{n(n+ 1)}{2}$
$f(n)=\frac{n(n+ 1)}{2}$
は単調増加関数で
$\frac{19\times 20}{2}=190\lt 200\underset{=}{\lt}\frac{20\times 21}{2}=210$
だから，200は，第20群に属している･･･（答）
→解説を隠す←

【問題2】★☆☆

　数列 $\frac{1}{1},\hspace{2}\frac{1}{2},\hspace{2}\frac{2}{2},\hspace{2}\frac{1}{3},\hspace{2}\frac{2}{3}$ $,\hspace{2}\frac{3}{3},\hspace{2}\frac{1}{4},\hspace{2}\frac{2}{4},\hspace{2}\frac{3}{4},$ $\frac{4}{4},\hspace{2}\cdots\hspace{2}$ において， $\frac{5}{11}$ は第項である．また，初項から第49項までの和はである．

（2000年度日本大薬学部）

［解説を読む］

　次のように群に分ける

$\frac{1}{1}|\hspace{2}\frac{1}{2},\hspace{2}\frac{2}{2}|\hspace{2}\frac{1}{3},\hspace{2}\frac{2}{3}$ $,\hspace{2}\frac{3}{3}|\hspace{2}\frac{1}{4},\hspace{2}\frac{2}{4},\hspace{2}\frac{3}{4},$ $\frac{4}{4}|\hspace{2}\cdots\hspace{2}$
　このとき，求める項は，第11群の第5項である
　ところで，第k群にはk項が属しているから，第1群から第10群の末項までには，
$\frac{10\times 11}{2}=55$
項がある．第60項･･･（答）
　第9群の末項は，元の数列の
$\frac{9\times 10}{2}=45$
項になる．
　第k群の項の和は
$\frac{1}{k}\times(1+ 2+\cdots + k)=\frac{1}{k}\times\frac{k(k+ 1)}{2}=\frac{k+ 1}{2}$
　第k群までの項の和は
$\sum_{k=1}^9\frac{k+ 1}{2}=\frac{\frac{9\times 10}{2}+ 9}{2}=27$
　これに第10項の4項の和は
$\frac{1}{10}\times(1+ 2+\cdots + 4)=\frac{1}{10}\times\frac{4\times 5}{2}=1$
　結局，27+1=28･･･（答）
→解説を隠す←

【問題3】★☆☆

　数列 $\frac{1}{1},\hspace{2}\frac{1}{2},\hspace{2}\frac{2}{2},\hspace{2}\frac{1}{3},\hspace{2}\frac{2}{3}$ $,\hspace{2}\frac{3}{3},\hspace{2}\frac{1}{4},\hspace{2}\frac{2}{4},\hspace{2}\frac{3}{4},$ $\frac{4}{4},\hspace{2}\frac{1}{5},\hspace{2}\frac{2}{5},\hspace{2}\frac{3}{5},\hspace{2}\frac{4}{5},\hspace{2}\frac{5}{5}\hspace{2}\cdots\hspace{2}$
について，第2014項を求めよ．

（2014年度津田塾大学芸学部）

［解説を読む］

次のように群に分ける

　 $\frac{1}{1}|\hspace{2}\frac{1}{2},\hspace{2}\frac{2}{2}|\hspace{2}\frac{1}{3},\hspace{2}\frac{2}{3}$ $,\hspace{2}\frac{3}{3}|\hspace{2}\frac{1}{4},\hspace{2}\frac{2}{4},\hspace{2}\frac{3}{4},$ $\frac{4}{4}|\hspace{2}\frac{1}{5},\hspace{2}\frac{2}{5},\hspace{2}\frac{3}{5},\hspace{2}\frac{4}{5},\hspace{2}\frac{5}{5}|\hspace{2}\cdots\hspace{2}$
このとき，第k群にはk項が属しているから，第1群から第n群の末項までには，
$\frac{n(n+ 1)}{2}$
項がある．したがって，第2014項が第n群に属しているときは
$\frac{(n-1)n}{2}\lt 2014\underset{=}{\lt}\frac{n(n+ 1)}{2}$
$f(n)=\frac{n(n+ 1)}{2}$
は単調増加関数で
$\frac{62\times 63}{2}=1953\lt 2014\underset{=}{\lt}\frac{63\times 64}{2}=2016$
だから，第2014項は，第63群の第47+14=61項
$\frac{61}{63}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題4】★☆☆

　数列 $\frac{1}{1},\hspace{2}\frac{1}{2},\hspace{2}\frac{2}{2},\hspace{2}\frac{1}{3},\hspace{2}\frac{2}{3},\hspace{2}\frac{3}{3},\hspace{2}\cdots,$ $\frac{1}{n},\hspace{2}\frac{2}{n},\hspace{2}\frac{3}{n},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\frac{n}{n},\hspace{2}\cdots$ について，

(1) $\frac{99}{100}$ という値が初めてあらわれるのは第何項か．
(2)　第2005項の値を求めよ．

（2005年度群馬大工学部）

［解説を読む］

※　値が初めてとは･･･例えば， $\frac{1}{2}$ という「値」は， $\frac{2}{4}$ の項でも $\frac{3}{6}$ の項でも出てくるので「初めにあらわれる」のはどの項かという問題が出てくる

(1)
$\frac{1}{1}|\hspace{2}\frac{1}{2},\hspace{2}\frac{2}{2}|\hspace{2}\frac{1}{3},\hspace{2}\frac{2}{3},\hspace{2}\frac{3}{3}|\hspace{2}\cdots,$ $|\frac{1}{n},\hspace{2}\frac{2}{n},\hspace{2}\frac{3}{n},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\hspace{2}\frac{n}{n}|\hspace{2}\cdots$
のように分母が等しい項によって群に分けると，第n群にはn項が属することになる．
$\frac{99}{100}$
は第100群の第99項であるが，第100群の第100項までには
$1+ 2+ 3++\cdots+ 100=\frac{100\times 101}{2}=5050$
項あるから，その１つ前は第5049項･･･（答）
(2)
　第2005項が第何群の第何項かを調べる

　第n−1群の末項までには， $\frac{(n-1)n}{2}$ 項あり，第n群の末項までには $\frac{n(n+ 1)}{2}$ 項あるから
$\frac{(n-1)n}{2}\lt 2005\underset{=}{\lt}\frac{n(n+ 1)}{2}$
となるnを求める．
$\frac{62\times 63}{2}=1953\lt 2005\lt\frac{63\times 64}{2}=2016$
だから，第2005項は1953+52=2005により，第63群の第52項になる
$\frac{52}{63}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題5】★☆☆
　次のように，第n群がn個の分数を含むように分けられた数列がある．

$\frac{1}{1}|\hspace{2}\frac{2}{2},\hspace{2}\frac{1}{2}|\hspace{2}\frac{3}{3},\hspace{2}\frac{2}{3},\hspace{2}\frac{1}{3}|$ $\frac{4}{4},\hspace{2}\frac{3}{4},\hspace{2}\frac{2}{4},\hspace{2}\frac{1}{4}|\frac{5}{5}\hspace{2},\hspace{2}\cdots$
　次の設問に答えよ．
(1) 第n群に属するすべての分数の和を求めよ．

(2) 初めから数えて, 最初に $\frac{1}{100}$ となるのは第何項目か．
(3) 初めから数えて，第100項目にある分数を求めよ．

（2011年度岡山理科大理学部）

［解説を読む］

(1)
第n群に属する分数は，分母がnで分子は，
　　　n, n−1, n−2, ...,3,2,1

$\frac{n(n+ 1)}{2}\times\frac{1}{n}=\frac{n+ 1}{2}$ ･･･（答）
(2)
最初に $\frac{1}{100}$ となるのは，第100群の末項だから
元の数列で言えば，第 $\frac{100\times 101}{2}=5050$ 項･･･（答）
(3)
第100項が第n群に属するとすれば
$\frac{(n-1)n}{2}\lt 100\underset{=}{\lt}\frac{n(n+ 1)}{2}$

　ここで， $f(n)=\frac{n(n+ 1)}{2}$ は単調増加関数
$\frac{13\times 14}{2}=91\lt 100\lt\frac{14\times 15}{2}=105$
であるから，第14群の第9項
$\frac{14-9+ 1}{14}=\frac{6}{14}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題6】★☆☆

　数列 $\frac{1}{1},\hspace{2}\frac{1}{2},\hspace{2}\frac{2}{2},\hspace{2}\frac{1}{3},\hspace{2}\frac{2}{3}$ $,\hspace{2}\frac{3}{3},\hspace{2}\cdots\hspace{2},\frac{1}{n},\hspace{2}\frac{2}{n},\hspace{2}\cdots\hspace{2}$ $\frac{n-1}{n},\hspace{2}\frac{n}{n},\hspace{2}\cdots\hspace{2}$
を次のような群に分ける．
$\frac{1}{1}|\hspace{2}\frac{1}{2},\hspace{2}\frac{2}{2}|\hspace{2}\frac{1}{3},\hspace{2}\frac{2}{3}$ $,\hspace{2}\frac{3}{3}|\hspace{2}\cdots\hspace{2}|\frac{1}{n},\hspace{2}\frac{2}{n},\hspace{2}\cdots\hspace{2}$ $\frac{n-1}{n},\hspace{2}\frac{n}{n}|\hspace{2}\cdots\hspace{2}$
第1群第2群第3群第n群
(1) 第28群に入るすべての項の和を求めよ．
(2) 第n群の最初の項が第何項かを求めよ．
(3) 第2016項を求めよ．

（2016年度滋賀大教育学部）

［解説を読む］

(1)
第28群に入る項は
$\frac{1}{28},\hspace{2}\frac{2}{28},\hspace{2}\frac{3}{28},\hspace{2}\cdots\hspace{2}\frac{28}{28}$
だから，それらの和は
$\frac{1}{28}\times (1+ 2+ 3+\hspace{2}\cdots\hspace{2}+ 28)=\frac{1}{28}\times\frac{28\times 29}{2}=\frac{29}{2}$ ･･･（答）
(2)
第n−1群の末項までには
$1+ 2+ 3+\hspace{2}\cdots\hspace{2}+ (n-1)=\frac{(n-1)n}{2}$
項あるから
$\frac{(n-1)n}{2}+ 1=\frac{n^2-n+ 2}{2}$ 項･･･（答）
(3)
第2016項が第n群に属するとすれば
$\frac{(n-1)n}{2}\lt 2016\underset{=}{\lt}\frac{n(n+ 1)}{2}$

　ここで， $f(n)=\frac{n(n+ 1)}{2}$ は単調増加関数
$\frac{62\times 63}{2}=1953\lt 2016\lt\frac{63\times 64}{2}=2016$
であるから，第2016項は第63群の第63項
$\frac{63}{63}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題7】★★☆

1	3	4	10	11	･･･
2	5	9	12	･･･	･･･
6	8	13	･･･	･･･	･･･
7	14	･･･	･･･	･･･	･･･
15	17	･･･	･･･	･･･	･･･
16	･･･	･･･	･･･	･･･	･･･

　自然数を右の図のように並べる．
(1)　nが偶数のとき，１番上の段の左からn番目の数をnの式で表せ．
(2)　nが奇数のとき，１番上の段の左からn番目の数をnの式で表せ．
(3)　1000は左から何番目，上から何段目にあるか．

（2000年度岩手大）

［解説を読む］

　次のような群数列を考える
1 | 2, 3 | 4, 5, 6 | 7, 8, 9, 10 |･･･
(1)
　nが偶数のとき，第n群に属する項は，右上がりに並んでおり，求めるものは第n群の末項である．
　第k群（1≦k≦n）にはk個の項が属しているから，n群の末項は元の自然数の列において
$1+ 2+ 3+\cdots+ n=\frac{n(n+ 1)}{2}$
番目の数になる．
$\frac{n(n+ 1)}{2}$ ･･･（答）
(2)
　nが奇数のとき，第n群に属する項は，左下がりに並んでおり，求めるものは第n群の初項である．
　n−1群の末項までには，元の自然数の列のうちで
$1+ 2+ 3+\cdots+ (n-1)=\frac{(n-1)n}{2}$
項あるから，求めるものはその次の数
$\frac{(n-1)n}{2}+ 1=\frac{n^2-n+ 2}{2}$ ･･･（答）
(3)
　1000が第n群に属するとすれば
$\frac{(n-1)n}{2}\lt 1000\underset{=}{\lt}\frac{n(n+ 1)}{2}$

　ここで， $\frac{n(n+ 1)}{2}$ は単調増加関数で，
n=44のとき990，n=45のとき1035になるから，1000は第45群に属する．
　第44群の末項が990だから，1000は第45群の10番目
　１番上の段で左から45番目にある項から9個左で進むと「左から36番目」･･･（答）
　１番上の段で左から45番目にある項から9個下に進むと「上から10段目」･･･（答）
→解説を隠す←

【問題8】★★☆

　座標平面上の自然数を成分とする

点(m, n)に，有理数 $\frac{n}{m}$ を対応させる．右図のように，点(1, 1)から矢印の順番に従って，対応する有理数を並べ，次のような数列をつくる．

$\frac{1}{1},\hspace{2}\frac{1}{2},\hspace{2}\frac{2}{2},\hspace{2}\frac{2}{1},\hspace{2}\frac{1}{3},\hspace{2}\frac{2}{3}$ $,\hspace{2}\frac{3}{3},\hspace{2}\frac{3}{2},\hspace{2}\frac{3}{1},\hspace{2}\frac{1}{4},\hspace{2}\frac{2}{4},\hspace{2}\frac{3}{4},$ $\frac{4}{4},\hspace{2}\frac{4}{3},\hspace{2}\frac{4}{2},\hspace{2}\frac{4}{1}\hspace{2}\cdots\hspace{2}$
　このとき，次の問いに答えなさい．

(1) 有理数 $\frac{11}{8}$ が初めて現れるのは第何項かを求めなさい．
(2) 第160項を求めなさい．
(3) 第1000項までに，値が2となる項の総数を求めなさい．

（2011年度山口大教育学部）

［解説を読む］

　次のように群数列に分ける

$\frac{1}{1}|\hspace{2}\frac{1}{2},\hspace{2}\frac{2}{2},\hspace{2}\frac{2}{1}|\hspace{2}\frac{1}{3},\hspace{2}\frac{2}{3}$ $,\hspace{2}\frac{3}{3},\hspace{2}\frac{3}{2},\hspace{2}\frac{3}{1}|\hspace{2}\frac{1}{4},\hspace{2}\frac{2}{4},\hspace{2}\frac{3}{4},$ $\frac{4}{4},\hspace{2}\frac{4}{3},\hspace{2}\frac{4}{2},\hspace{2}\frac{4}{1}|\hspace{2}\cdots\hspace{2}$
　第k群は2k−1項から成り，そのうちの初めのk項の分母はkで，後のk−1項は過分数で分子がkとなっている．
(1)
　過分数で分子が11となるのは，第11群．そのうちの分母が8となるのは，(･･･,11,10,9,8)の並びを見れば，第14項. 　第11群の第8項は，元の数列では
$\sum_{k=1}^{10}(2k-1)+ 14=2\times\frac{10\times 11}{2}-10+ 14=114$
　第114項･･･（答）
(2)
第n群の末項までには
$\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n(n+ 1)-n=n^2$
項あるから
$(n-1)^2\lt 160\underset{=}{\lt}n^2$
$12^2=144\lt 160\underset{=}{\lt}13^2=169$
元の数列の第160項は，第13群の第16項：(･･･,13,12,11,10,..)の並びを見ると，分母は10
$\frac{13}{10}$ ･･･（答）
(3)
値が2となる項は
$\frac{2}{1},\hspace{2}\frac{4}{2},\hspace{2}\frac{6}{3},\hspace{2}\cdots$
偶数に1項ずつ含まれている．
$(n-1)^2\lt 1000\underset{=}{\lt}n^2$
$31^2=961\lt 1000\underset{=}{\lt}32^2=1024$
だから，第32群の第39項が元の数列の第1000項
(...,32,31,30,29,28,27,26,25,..)の並びを見ると，第1000項は，分母が25で分子が32となり，値は2よりも小さい．
したがって，第31群までに含まれる項を数えるとよいから，15項･･･（答） →解説を隠す←

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