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【2013年度センター試験.数学�U･B】第3問（選択問題）
(1)　数列{pn}は次を満たすとする。
\( \displaystyle p_1=3,\hspace{3px}p_{n+1}=\frac{1}{3}p_n+ 1\hspace{10px}(n=1,\hspace{2px}2,\hspace{2px}3,\hspace{2px}\cdots) \)･･･�@
数列{pn}の一般項と，初項から第n項までの和を求めよう。まず，�@から

pn+1−

ア

イ

=\( \displaystyle \frac{1}{3}\Big( \)pn−

ア

イ

\( \displaystyle \Big) \)(n=1, 2, 3, ···)

となるので，数列{pn}の一般項は

pn=

1

ウ・エn−2

+

オ

カ

である。したがって，自然数nに対して

\( \displaystyle \sum_{k=1}^np_k= \)

キ

ク

\( \displaystyle \Big( \)1−

1

ケn

\( \displaystyle \Big) \)+

コn

サ

である。

(1)
→解説を隠す←

（答案）
漸化式\( \displaystyle p_{n+1}=\frac{1}{3}p_n+1 \)の特性方程式を解く
\( \displaystyle \alpha=\frac{1}{3}\alpha+1 \)
\( \displaystyle \alpha=\frac{3}{2} \)
これを使って，原点をαだけ平行移動すると，等比数列になる
\( \displaystyle p_{n+ 1}-\frac{3}{2}=\frac{1}{3}\big(p_n-\frac{3}{2}\big) \)→ア,イ
→解説を隠す←

数列{pn}の一般項は
\( \displaystyle p_{n}-\frac{3}{2}=\big(p_1-\frac{3}{2}\big)\big(\frac{1}{3}\big)^{n-1} \)
p1=2を代入
\( \displaystyle p_{n}=\frac{3}{2}\times\big(\frac{1}{3}\big)^{n-1}+\frac{3}{2}=\frac{1}{2\cdot 3^{n-2}}+\frac{3}{2} \)→ウ,エ,オ,カ
\( \displaystyle \sum_{k=1}^np_k \)
において，オ,カに対応する部分の和は
\( \displaystyle \frac{3}{2}n \)
ウ,エに対応する第1項の部分の和は，初項\( \displaystyle \frac{3}{2} \)，公比\( \displaystyle \frac{1}{3} \)，項数nの等比数列の和だから
\( \displaystyle \frac{3}{2}\!\times\!\frac{(\dfrac{1}{3})^n-1}{\dfrac{1}{3}-1}\!=\!-\frac{9}{4}\!\times\!\Big\{(\frac{1}{3})^n\!-\!1\Big\}\!=\!\frac{9}{4}\times(1\!-\!\frac{1}{3^n}) \)
結局
\( \displaystyle \sum_{k=1}^np_k=\frac{9}{4}(1-\frac{1}{3^n})+\frac{3n}{2} \)→キ,ク,ケ,コ,サ
→解説を隠す←

(2)　正の数からなる数列{an}は，初項から第3項がa1=3, a2=3, a3=3であり，すべての自然数nに対して
\( \displaystyle a_{n+ 3}=\frac{a_{n}+ a_{n+ 1}}{a_{n+ 2}} \)　･･･�A
を満たすとする。また，数列{bn}, {cn}を，自然数nに対して，bn=a2n−1, cn=a2nで定める。数列{bn}, {cn}の一般項を求めよう。まず，�Aから

\( \displaystyle a_{4}=\frac{a_{1}+ a_{2}}{a_{3}}= \)シ\( \displaystyle ,\hspace{2px}a_{5}=3,\hspace{2px}a_6= \)

ス

セ

\( \displaystyle ,\hspace{2px}a_{7}=3 \)

である。したがって，b1=b2=b3=b4=3となるので
bn=3　（n=1, 2, 3, ･･･）･･･�B
と推定できる。
　�Bを示すためには，b1=3から，すべての自然数nに対して
bn+1=bn　･･･�C
であることを示せばよい。このことを「まず，n=1のとき�Cが成り立つことを示し，次に，n=kのとき�Cが成り立つと仮定すると，n=k+1のときも�Cが成り立つことを示す方法」を用いて証明しよう。この方法をソという。ソに当てはまるものを，次の⓪〜�Bのうちから一つ選べ。

(2)
\( \displaystyle a_{4}=\frac{a_{1}+ a_{2}}{a_{3}}=\frac{6}{3}=2 \)→シ
\( \displaystyle a_{5}=\frac{a_{2}+a_{3}}{a_{4}}=\frac{6}{2}=3 \)
\( \displaystyle a_{6}=\frac{a_{3}+ a_{4}}{a_{5}}=\frac{5}{3} \)→ス,セ
\( \displaystyle a_{7}=\frac{a_{4}+ a_{5}}{a_{6}}=\frac{5}{\frac{5}{3}}=3 \)
�A 数学的帰納法→ソ
bn=a2n−1は，数列{an}の奇数番目の項を並べたもの
cn=a2nは，数列{an}の偶数番目の項を並べたもの
→解説を隠す←

［�T］ n=1のとき，b1=3, b2=3であることから�Cは成り立つ。
［�U］ n=kのとき，�Cが成り立つ，すなわち
bk+1=bk
と仮定する。n=k+1のとき，�Aのnに2kを代入して得られる等式と，2k−1を代入して得られる等式から

bk+2=

ck+タk+1

チk+1

，ck+1=

ツk+ck

テk+1

のなるので，bk+2は

bk+2=

(トk+ナk+1)ニk+1

bk+ck

と表される。したがって，�Dにより，bk+2=bk+1が成り立つので，�Cはn=k+1のときにも成り立つ。
［�T］,［�U］により，すべての自然数nに対して�Cの成り立つことが証明された。
　したがって，�Bが成り立つので，数列{bn}の一般項はbn=3である。
　次に，�Aのnを2n−1に置き換えて得られる等式と�Bから
\( \displaystyle c_{n+ 1}=\frac{1}{3}c_n+ 1\hspace{10px}(n=1,\hspace{2px}2,\hspace{2px}3,\hspace{2px}\cdots ) \)
となり，c1=ヌであることと�@から，数列{cn}の一般項は，(1)で求めた数列{pn}の一般項と等しくなることがわかる。

�Aのnに2kを代入して得られる等式は
\( \displaystyle a_{2k+ 3}=\frac{a_{2k}+ a_{2k+ 1}}{a_{2k+ 2}} \)
2k−1を代入して得られる等式は
\( \displaystyle a_{2k+ 2}=\frac{a_{2k-1}+ a_{2k}}{a_{2k+ 1}} \)
ここで，bn=a2n−1, cn=a2nだから，上記の２つの式はbn, cnを用いて，次の形に書ける．
\( \displaystyle b_{k+ 2}=\frac{c_{k}+ b_{k+ 1}}{c_{k+ 1}} \)→タ,チ
\( \displaystyle c_{k+ 1}=\frac{b_{k}+ c_{k}}{b_{k+ 1}} \)→ツ,テ
c1=a2=3→ヌ →解説を隠す←

【2014年度センター試験.数学�U･B】第3問（選択問題）
　数列{an}の初項は6であり，{an}の階差数列は初項が9，公差が4の等差数列である。
(1)　a2=アイ，a3=ウエである。数列{an}の一般項を求めよう。{an}の階差数列の第n項がオn+カであるから，数列{an}の一般項は
an=キnク+ケn+コ　･･･�@
である。

(1)
{an}の階差数列を数列{dn}とすると，{dn}は，初項が9，公差が4の等差数列であるから，
dn=9+4(n−1)=4n+5
したがって
a2=a1+d1=6+9=15→アイ
a3=a1+d1+d2=6+9+13=28→ウエ
階差数列の第n項は
dn=9+4(n−1)=4n+5→オ,カ
数列{an}の一般項は
ア） n=1のとき，a1=6
イ） n≧2のとき
\( \displaystyle a_n=6+\sum_{k=1}^{n-1}(4k+ 5) \)
\( \displaystyle =6+ \frac{4(n-1)n}{2}+ 5(n-1) \)
\( \displaystyle =6+ 2(n-1)n+ 5(n-1)=2n^2+ 3n+ 1 \)
ア）イ）をまとめると，
n≧1のとき，an=2n2+3n+1と書ける→キ,ク,ケ,コ
→解説を隠す←

(2)　数列{bn}は，初項が\( \displaystyle \frac{2}{5} \)で，漸化式
\( \displaystyle b_{n+ 1}=\frac{a_n}{a_{n+ 1}-1}b_n\hspace{10px}(n=1,\hspace{2px},2\hspace{2px},3\hspace{2px}\cdot\cdot\cdot) \)　･･･�A

を満たすとする。b2=

サ

シス

である。数列{bn}の一般項

と初項から第n項までの和Snを求めよう。
　�@，�Aにより，すべての自然数nに対して

bn+1=

セn+ソ

セn+タ

bn　･･･�B

が成り立つことがわかる。

(2)
a1=6, a2=15，\( \displaystyle b_{1}=\frac{2}{5} \)
だから
\( \displaystyle b_{2}=\frac{a_1}{a_{2}-1}b_1=\frac{6}{15-1}\times\frac{2}{5}=\frac{6}{14}\times\frac{2}{5}=\frac{6}{35} \)→サ,シ,ス
an=2n2+3n+1だから
\( \displaystyle b_{n+ 1}=\frac{a_n}{a_{n+ 1}-1}b_n \)
\( \displaystyle =\frac{2n^2+ 3n+ 1}{2(n+ 1)^2+ 3(n+ 1)+ 1-1}b_n \)
\( \displaystyle =\frac{2n^2+ 3n+ 1}{2n^2+ 7n+ 5}b_n \)
\( \displaystyle =\frac{\cancel{(n+ 1)}(2n+ 1)}{\cancel{(n+ 1)}(2n+ 5)}b_n \)
\( \displaystyle =\frac{2n+ 1}{2n+ 5}b_n \)→セ,ソ,タ
→解説を隠す←

　ここで
cn=(セn+ソ)bn　･･･�C
とするとき，�Bをcnとcn+1を用いて変形すると，すべての自然数nに対して
(セn+チ)cn+1=(セn+ツ)cn
が成り立つことがわかる。これにより
dn=(セn+テ)cn　･･･�D
とおくと，すべての自然数nに対して，dn+1=dnが成り立つことがわかる。d1=トであるから，すべての自然数nに対して，dn=トである。したがって，�Cと�Dにより，数列{bn}の一般項は

bn=

ト

(セn+ソ)(セn+テ)

である。また

bn=

ナ

セn+ソ

−

ニ

セn+テ

が成り立つことを利用すると，数列{bn}の初項から第n項までの和Snは

Sn=

ヌn

ネn+ノ

であることがわかる。

�C→cn=(2n+1)bn
�B→\( \displaystyle b_{n+ 1}=\frac{2n+ 1}{2n+ 5}b_n \)
�Cから\( \displaystyle b_{n}=\frac{c_n}{2n+1} \)
これを�Bに代入する
\( \displaystyle \frac{c_{n+ 1}}{2(n+ 1)+ 1}=\frac{\cancel{2n+ 1}}{2n+ 5}\times\frac{c_n}{\cancel{2n+ 1}} \)
\( \displaystyle (2n+ 5)c_{n+ 1}=(2n+ 3)c_n \)→チ,ツ
これにより，\( \displaystyle d_n=(2n+ 3)c_n \)とおくと→テ
\( \displaystyle d_{n+ 1}=d_n \)が成り立つ．
\( \displaystyle d_{1}=(2+ 3)c_1=5\times 3\times\frac{2}{5}=6 \)→ト
�Cと�Dにより，数列{bn}の一般項は
\( \displaystyle b_{n}=\frac{c_n}{n+ 1}=\frac{6}{(2n+ 1)(2n+ 3)} \)
\( \displaystyle =3\{\frac{1}{2n+ 1}-\frac{1}{2n+ 3}\} \)
\( \displaystyle =\frac{3}{2n+ 1}-\frac{3}{2n+ 3} \)→ナ,ニ
　数列{bn}の和は，次の左欄のように「縦書き」にすると見やすく分かりやすいが，形式美を好む人は右欄のように書いてもよい．（参考書や受験雑誌の解答例も右欄の(#)ように，「一般項が共通で番号だけがずれた形」に書かれることが多い）

→解説を隠す←

【2015年度センター試験.数学�U･B】第3問（選択問題）
　自然数nに対し，2nの一の位の数をanとする。また、数列{bn}は
\( \displaystyle b_1=1,\hspace{2px}b_{n+1}=\frac{a_nb_n}{4}\hspace{10px}(n=1,\hspace{2px}2,\hspace{2px}3,\hspace{2px}\cdots) \)･･･�@
を満たすとする。
(1)　a1=2, a2=ア，a3=イ，a4=ウ，a5=エである。このことから，すべての自然数nに対して，aオ=anとなることがわかる。オに当てはまるもの を，次の⓪〜�Cのうちから一つ選べ。

(1)　小さい数字で規則性を見つける

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	...
2n	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	...
1の位の数	2	4	8	6	2	4	8	6	2	4	...

a1=2, a2=4, a3=8, a4=6, a5=2→ア,イ,ウ,エ
1の位の数は，2→4→8→6→が繰り返されるから，an+4=an→�B オ（⓪ a5n=anも成り立つが，「一つ選べ」という問題だから，分かりやすい�Bを答にすればよい）
→解説を隠す←

(2)　数列{bn}の一般項を求めよう。�@を繰り返し用いることにより

bn+4=

an+3an+2an+1an

2カ

(n=1, 2, 3, ･･･)

が成り立つことがわかる。ここで，an+3an+2an+1an=3·2キ

であることから，bn+4=

ク

ケ

bnが成り立つ。このこと

から，自然数kに対して

b4k−3=\( \displaystyle \Big( \)

コ

サ

\( \displaystyle \Big) \)k−1，

b4k−2=

シ

ス

\( \displaystyle \Big( \)

コ

サ

\( \displaystyle \Big) \)k−1

b4k−1=

セ

ソ

\( \displaystyle \Big( \)

コ

サ

\( \displaystyle \Big) \)k−1，

b4k=

\( \displaystyle \Big( \)

コ

サ

\( \displaystyle \Big) \)k−1

である。

(2)
�@を繰り返し用いると
\( \displaystyle b_{n+ 1}=\frac{a_{n}b_{n}}{4} \)
\( \displaystyle b_{n+ 2}=\frac{a_{n+ 1}b_{n+ 1}}{4} \)
\( \displaystyle b_{n+ 3}=\frac{a_{n+ 2}b_{n+ 2}}{4} \)
\( \displaystyle \times\hspace{1px})\hspace{5px}b_{n+ 4}=\frac{a_{n+ 3}b_{n+ 3}}{4} \)
\( \displaystyle b_{n+ 4}\cancel{b_{n+ 3}}\cancel{b_{n+ 2}}\cancel{b_{n+ 1}} \)
\( \displaystyle =\frac{a_{n+ 3}\cancel{b_{n+ 3}}}{4}\times\frac{a_{n+ 2}\cancel{b_{n+ 2}}}{4}\times\frac{a_{n+ 1}\cancel{b_{n+ 1}}}{4}\times\frac{a_{n}b_{n}}{4} \)
\( \displaystyle b_{n+ 4}=\frac{a_{n+ 3}\hspace{2px}a_{n+ 2}\hspace{2px}a_{n+ 1}\hspace{2px}a_{n}}{4^4}\hspace{2px}b_n \)
\( \displaystyle =\frac{a_{n+ 3}a_{n+ 2}a_{n+ 1}a_{n}}{2^8}b_n \) →カ
n+3, n+2, n+1, nは連続する4個の自然数だから，オの結果から，順序は別として，an+3, an+2, an+1, anには，2, 4, 8, 6が1個ずつ含まれる．
an+3an+2an+1an=2·4·8·6=24·1·2·4·3=3·27→キ
カ,キの結果を用いると
\( \displaystyle b_{n+ 4}=\frac{a_{n+ 3}a_{n+ 2}a_{n+ 1}a_{n}}{2^8}b_n \)
\( \displaystyle =\frac{3\cdot 2^7}{2^8}b_n=\frac{3}{2}b_n \) →ク,ケ
�@により
\( \displaystyle b_1=1 \)
\( \displaystyle b_{2}=\frac{a_1b_1}{4}=\frac{2\times 1}{4}=\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle b_{3}=\frac{a_2b_2}{4}=\frac{4\times \frac{1}{2}}{4}=\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle b_{4}=\frac{a_3b_3}{4}=\frac{8\times \frac{1}{2}}{4}=1 \)
ク,ケの結果から，自然数k=1, 2, 3, ···に対して
\( \displaystyle b_5\!=\!\frac{3}{2}b_1\!=\!\frac{3}{2},\hspace{10px}b_9\!=\!\frac{3}{2}b_5\!=\!(\frac{3}{2})^2,\hspace{10px}b_{13}\!=\!\frac{3}{2}b_9\!=\!(\frac{3}{2})^31 \)
\( \displaystyle b_{4k-3}=(\frac{3}{2})^{k-1} \) →コ,サ
\( \displaystyle b_6=\frac{3}{2}b_2=\frac{1}{2}\times\frac{3}{2},\hspace{10px}b_{10}=\frac{3}{2}b_6=\frac{1}{2}\times(\frac{3}{2})^2 \)
\( \displaystyle b_{4k-2}=\frac{1}{2}\times(\frac{3}{2})^{k-1} \) →シ,ス
\( \displaystyle b_7=\frac{3}{2}b_3=\frac{1}{2}\times\frac{3}{2},\hspace{10px}b_{11}=\frac{3}{2}b_7=\frac{1}{2}\times(\frac{3}{2})^2 \)
\( \displaystyle b_{4k-1}=\frac{1}{2}\times(\frac{3}{2})^{k-1} \)→セ,ソ
\( \displaystyle b_8\!=\!\frac{3}{2}b_4\!=\!\frac{3}{2},\hspace{3px}b_{12}\!=\!\frac{3}{2}b_8\!=\!(\frac{3}{2})^2,\hspace{3px}b_{16}\!=\!\frac{3}{2}b_{12}\!=\!(\frac{3}{2})^3 \)
\( \displaystyle b_{4k}=(\frac{3}{2})^{k-1} \)
→解説を隠す←

(3)　\( \displaystyle S_n=\sum_{j=1}^nb_j \)とおく。自然数mに対して

S4m=タ\( \displaystyle \Big( \)

コ

サ

\( \displaystyle \Big) \)m−チ

である。
(4)　積b1b2···bnをTnとおく。自然数kに対して

b4k−3b4k−2b4k−1b4k=

1

ツ

\( \displaystyle \Big( \)

コ

サ

\( \displaystyle \Big) \)テ(k−1)

であることから，自然数mに対して

T4m=

1

ツm

\( \displaystyle \Big( \)

コ

サ

\( \displaystyle \Big) \)トm2−ナm

である。また，T10を計算すると，T10=

3ニ

2ヌネ

である。

(3)
\( \displaystyle S_{4m}=\sum_{j=1}^{4m}b_j \)
\( \displaystyle =\hspace{10px}(b_1+ b_5+ b_9+\cdots+ b_{4m-3}) \)
\( \displaystyle \hspace{10px}+(b_2+ b_6+ b_{10}+\cdots+ b_{4m-2}) \)
\( \displaystyle \hspace{10px}+(b_3+ b_7+ b_{11}+\cdots+ b_{4m-1}) \)
\( \displaystyle \hspace{10px}+(b_4+ b_8+ b_{12}+\cdots+ b_{4m}) \)
\( \displaystyle =\sum_{k=1}^{m}b_{4k-3}+\sum_{k=1}^{m}b_{4k-2}+\sum_{k=1}^{m}b_{4k-1}+\sum_{k=1}^{m}b_{4k} \)
\( \displaystyle =\sum_{k=1}^{m}\{b_{4k-3}+ b_{4k-2}+ b_{4k-1}+ b_{4k}\} \)
\( \displaystyle =\sum_{k=1}^{m}\Big\{(\frac{3}{2})^{k-1}+ \frac{1}{2}\times(\frac{3}{2})^{k-1}+ \frac{1}{2}\times(\frac{3}{2})^{k-1}+ (\frac{3}{2})^{k-1}\Big\} \)
\( \displaystyle =3\sum_{k=1}^{m}(\frac{3}{2})^{k-1} \)
\( \displaystyle =3\frac{\big(\frac{3}{2}\big)^m-1}{\frac{3}{2}-1} \)
\( \displaystyle =6\Big\{\big(\frac{3}{2}\big)^m-1\Big\} \)
\( \displaystyle =6\big(\frac{3}{2}\big)^m-6 \)→タ,チ
(4)
b4k−3b4k−2b4k−1b4k
\( \displaystyle =(\frac{3}{2})^{k-1}+ \frac{1}{2}\times(\frac{3}{2})^{k-1}+ \frac{1}{2}\times(\frac{3}{2})^{k-1}+ (\frac{3}{2})^{k-1} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{4}(\frac{3}{2})^{4(k-1)} \) →ツ,テ
\( \displaystyle T_{4m}=\frac{1}{4}(\frac{3}{2})^{4(1-1)}\times\frac{1}{4}(\frac{3}{2})^{4(2-1)}\times\cdots\times\frac{1}{4}(\frac{3}{2})^{4(m-1)} \)
\( \displaystyle =\big(\frac{1}{4}\big)^m\big(\frac{3}{2}\big)^{\displaystyle\tiny{4\sum_{k=1}^m(k-1)}} \)
\( \displaystyle =\big(\frac{1}{4}\big)^m\big(\frac{3}{2}\big)^{4\times\frac{(m-1)m}{2}}=\big(\frac{1}{4}\big)^m\big(\frac{3}{2}\big)^{2m(m-1)} \)
\( \displaystyle =\big(\frac{1}{4}\big)^m\big(\frac{3}{2}\big)^{2m^{^2}-2m} \) →ト,ナ
\( \displaystyle T_{10}=T_8\times b_9b_{10}=\frac{1}{4^2}\times\big(\frac{3}{2}\big)^{4}\times\big(\frac{3}{2}\big)^{2}\times\frac{1}{2}\times\big(\frac{3}{2}\big)^{2} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2^5}\times\big(\frac{3}{2}\big)^{8}=\frac{3^8}{2^{13}} \) →ニ,ヌ,ネ
→解説を隠す←

【2016年度センター試験.数学�U･B】第3問（選択問題）
　真分数を分母の小さい順に，分母が同じ場合には分子の小さい順に並べてできる数列
\( \displaystyle \frac{1}{2},\hspace{3px}\frac{1}{3},\hspace{3px}\frac{2}{3},\hspace{3px}\frac{1}{4},\hspace{3px}\frac{2}{4},\hspace{3px}\frac{3}{4},\hspace{3px}\frac{1}{5},\hspace{3px}\cdots \)
を{an}とする。真分数とは，分子と分母がともに自然数で，分子が分母より小さい分数のことであり，上の数列では，約分できる形の分数も含めて並べている。以下の問題に分数形で解答する場合は，解答上の注意にあるように，それ以上約分できない形で答えよ。

(1)　a15=

ア

イ

である。また，分母に初めて8が現れる

項は，aウエである。
(2)　kを2以上の自然数とする。数列{an}において，\( \displaystyle \frac{1}{k} \)が初めて現れる項を第Mk項とし，\( \displaystyle \frac{k-1}{k} \)が初めて現れる項を第Nk項とすると

Mk=

オ

カ

k2−

キ

ク

k+ケ

Nk=

コ

サ

k2−

シ

ス

k

である。よって，a104=

セソ

タチ

である。

(1)
　次のように群数列に分ける
1群2群3群4群
\( \displaystyle |\hspace{3px}\frac{1}{2}|\hspace{3px}\frac{1}{3},\hspace{3px}\frac{2}{3}|\hspace{3px}\frac{1}{4},\hspace{3px}\frac{2}{4},\hspace{3px}\frac{3}{4}|\hspace{3px}\frac{1}{5},\hspace{3px}\cdots \)
　このとき，第m群の第n項と元の数列の第k項との関係を調べると，第m群の末項までには
1+2+3+･･･+m=\( \displaystyle \frac{m(m+1)}{2} \)項ある
\( \displaystyle \frac{5\times 6}{2}=15 \)
だから，元の数列の第15項，すなわちa15は，第5群の末項，すなわち，第5項であるから
\( \displaystyle a_{15}=\frac{5}{6} \)→ア,イ
　分母に初めて8が現れるのは，第7群の初項
ところで，第6群の末項までにある項数は
\( \displaystyle \frac{6\times 7}{2}=21 \)
であるから，求めるものは，その次の項a22→ウ,エ
(2)
数列{an}において，\( \displaystyle \frac{1}{k} \)が初めて現れる項は，第k−1群の第1項だから，{an}の第
\( \displaystyle \frac{(k-2)(k-1)}{2}\!+\! 1\!=\!\frac{k^2-3k+ 4}{2}\!=\!\frac{1}{2}k^2\!-\!\frac{3}{2}k\!+\! 2 \)
番目の項，すなわち
\( \displaystyle M_k=\frac{1}{2}k^2-\frac{3}{2}k+ 2 \) →オ,カ,キ,ク,ケ
\( \displaystyle \frac{k-1}{k} \)が初めて現れる項は，第k−1群の第k−1項，すなわち
\( \displaystyle N_k=\frac{1}{2}k^2-\frac{3}{2}k+ 2+ (k-2) \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2}k^2-\frac{1}{2}k \) →コ,サ,シ,ス
\( \displaystyle \frac{14\times 15}{2}=105 \)だから，a105は，第14群の末項（第14項）．したがって，a104は，第14群の第13項
\( \displaystyle a_{104}=\frac{13}{15} \)→セソ,タチ
→解説を隠す←

(3)　kを2以上の自然数とする。数列{an}の第Mk項から

第Nk項までの和は，

ツ

テ

k−

ト

ナ

である。したがって，

数列{an}の初項から第Nk項までの和は

ニ

ヌ

k2−

ネ

ノ

k

である。よって

\( \displaystyle \sum_{n=1}^{103}a_n= \)

ハヒフ

ヘホ

である。

(3)
第Mk項から第Nk項までは，分母がすべてkで，分子が各々1, 2, 3, ... , k−1だから，それらの和は
\( \displaystyle \frac{1}{k}\!\times\!\frac{(k-1)k}{2}\!=\!\frac{k-1}{2}\!=\!\frac{1}{2}k\!-\!\frac{1}{2} \)→ツ,テ,ト,ナ (#1)
数列{an}の初項から第Nk項までの和は，上記の結果(#1)に対して，2, 3, ..., kまでの和を求めるとよいから
\( \displaystyle \sum_{j=2}^k\big(\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}\big)=\sum_{j=1}^k\big(\frac{1}{2}j-\frac{1}{2}\big)-\big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\big) \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2}\times\frac{k(k+ 1)}{2}-\frac{1}{2}k \)
\( \displaystyle =\frac{1}{4}k^2-\frac{1}{4}k \) →ニ,ヌ,ネ,ノ
a1+a2+a3+･･･+a103は第14群（k=15）の末項（第N14項）までの和から，(a104+a105)を取り除けばよい
\( \displaystyle \frac{15^2-15}{4}-\big(\frac{13}{15}+\frac{14}{15}\big) \)
\( \displaystyle =\frac{15\times 14}{4}-\frac{27}{15}=\frac{15\times 7}{2}-\frac{9}{5} \)
\( \displaystyle =\frac{525-18}{10}=\frac{507}{10} \) →ハヒフ,ヘホ
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【2017年度センター試験.数学�U･B】第3問（選択問題）
　以下において考察する数列の項は，すべて実数であるとする。
(1)　等比数列{sn}の初項が1，公比が2であるとき
s1s2s3=ア，s1+s2+s3=イ
である。 (2)　{sn}を初項x，公比rの等比数列とする。a, bを実数（ただしa≠0）とし，{sn}の最初の3項が
s1s2s3=a3　･･･�@
s1+s2+s3=b　･･･�A
を満たすとする。このとき
xr=ウ　･･･�B
である。さらに，�A�Bを用いてr, a, bの満たす関係式を求めると
エr2+(オ−カ)r+キ=0　･･･�C
を得る。�Cを満たす実数rが存在するので
クa2+ケab−b2≦0　･･･�D
である。
　逆に，a, bが�Dを満たすとき，�B�Cを用いてr, xの値を求めることができる。

(1)
sn=2n−1だから
s1s2s3=20×21×22=8→ア
s1+s2+s3=20+21+22=1+2+4=7→イ
(2)
sn=x·rn−1とおける
s1s2s3=x·r0×x·r1×x·r2=(xr)3=a3･･･�@
�@より（xr, aが実数だから）
xr=a→ウ･･･�B
また，�Aより
x+xr+xr2=b
x(1+r+r2)=b･･･�A'
�Bから\( \displaystyle x=\frac{a}{r} \)として�A'に代入すると
\( \displaystyle \frac{a}{r}(1+ r+ r^2)=b \)
a(1+r+r2)=br
ar2+(a−b)r+a=0→エ,オ,カ,キ･･･�C
�Cをrに関する2次方程式として，判別式Dを求めると
D=(a−b)2−4a2≧0
3a2+2ab−b2≦0→ク,ケ･･･�D
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(3)　a=64, b=336のとき，(2)の条件�@，�Aを満たし，公比が1より大きい等比数列{sn}を考える。�B，�Cを用いて{sn}の公比rと初項xを求めると,r=コ，x=サシである。
　{sn}を用いて，数列{tn}を
tn=snlogコsn　(n=1, 2, 3, ･･･)
と定める。このとき,{tn}の一般項は
tn=(n+ス)·コn+セである。{tn}の初項から第n項までの和Unは，Un−コUnを計算することにより

Uk=

ソn+タ

チ

・コn+ツ−

テト

ナ

であることがわかる。

(3)
xr=64･･･�@"
x(1+r+r2)=336･･･�A"
�@"を�A"に代入してxを消去する
\( \displaystyle \frac{64}{r}(1+ r+ r^2)=336 \)
4(1+r+r2)=21
4r2−17r+4=0
(4r−1)(r−4)=0
仮定によりr>1だから
r=4→コ
これを�@"に代入
x=16→サ,シ
tn=snlog4sn=4n+1·log4(4n+1)
=4n+1·(n+1)
=(n+1)·4n+1→ス,セ
Un=2·42+3·43+4·44+･･･+n·4n+(n+1)·4n+1
− ) 4Un=2·43+3·44+4·45+･･･+n·4n+1+(n+1)·4n+2
−3Un=2·42+(43+44+･･･+4n)−(n+1)·4n+1
\( \displaystyle =32+\frac{4^3(4^{n-1}-1)}{4-1}-(n+ 1)4^{n+ 2} \)
\( \displaystyle =32+\frac{4^{n+ 2}-64}{3}-(n+ 1)4^{n+ 2} \)
\( \displaystyle =\frac{96+ 4^{n+ 2}-64-3\times(n+ 1)4^{n+ 2}}{3} \)
\( \displaystyle =\frac{32+\{1-3(n+ 1)\}4^{n+ 2}}{3} \)
\( \displaystyle =\frac{32+(-3n-2)4^{n+ 2}}{3} \)
\( \displaystyle U_n=\frac{(3n+ 2)}{9}\cdot 4^{n+ 2}-\frac{32}{9} \) →ソ,タ,チ,ツ,テ,ト,ナ
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【2018年度センター試験.数学�U･B】第3問（選択問題）
　第4項が30，初項から第8項までの和が288である等差数列を{an}とし，{an}の初項から第n項までの和をSnとする。また，第2項が36，初項から第3項までの和が156である等比数列で公比が1よりも大きいものを{bn}とし，{bn}の初項から第n項までの和をTnとする。 (1)　{an}の初項はアイ，公差はウエであり
Sn=オn2−カキn
である。 (2)　{bn}の初項はクケ，公比はコであり
Tn=サ(シn−ス)
である。

(1)
{an}の初項をa，公差をdとおくと
a4=a+3d=30･･･�@
\( \displaystyle S_8=\frac{8(2a+ 7d)}{2}=4(2a+ 7d)=288 \) ･･･�A
�A÷4
2a+7d=72･･･�A’
�@×2
2a+6d=60･･･�@’
�A’−�@’
d=12→ウエ
�@に代入
a=−6→アイ
\( \displaystyle S_n=\frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}=\frac{n\{-12+ 12(n-1)\}}{2} \)
\( \displaystyle =n(6n-12)=6n^2-12n \)→オ,カキ
{bn}の初項をb，公比をr (>1)とおくと
b2=br=36･･･�B
b1+b2+b3=b(1+r+r2)=156･･･�C
r>1(r≠0)により，�Bからbを消去して�Cに代入する
\( \displaystyle \frac{36}{r}(1+ r+ r^2)=156 \)
36(1+r+r2)=156r
3(1+r+r2)=13r
3r2−10r+3=0
(3−1)(r−3)=0
r>1により
r=3→コ
これを�Bに代入すると
b=12→クケ
\( \displaystyle T_n=\frac{b(r^n-1)}{r-1}=\frac{12(3^n-1)}{3-1}=6(3^n-1) \) →サ,シ,ス
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(3)　数列{cn}を次のように定義する。
\( \displaystyle c_k=\sum_{k=1}^n(n-k+ 1)(a_k-b_k) \)
\( \displaystyle =n(a_1\!-\!b_1)\!+\! (n\!-\!1)(a_2\!-\!b_2)\!+\!\cdots \!+\!2(a_{n-1}\!-\!b_{n-1})\!+\! (a_n\!-\!b_n) \)
(n=1, 2, 3, ･･･)
たとえば
c1=a1−b1,c2=2(a1−b1)+(a2−b2)
c3=3(a1−b1)+2(a2−b2)+(a3−b3)
である。数列{cn}の一般項を求めよう。
　{cn}の階差数列を{dn}とする。dn=cn+1−cnであるから，dn=セを満たす。セに当てはまるものを，次の⓪〜�Fのうちから一つ選べ。



したがって，(1)と(2)により
dn=ソn2−2·タn+チ
である。cn=ツテトであるから，{cn}の一般項は
cn=ナn3−ニn2+n+ヌ−タn+ネ
である。

(3)
\( \displaystyle c_n\!=\!n(a_1\!-\!b_1)\!+\! (n\!-\!1)(a_2\!-\!b_2)\!+\!\cdots \!+\!2(a_{n-1}\!-\!b_{n-1})\!+\! (a_n\!-\!b_n) \)
\( \displaystyle c_{n\!+\! 1}\!=\!(n\!+\! 1)(a_1\!-\!b_1)\!+\! (n)(a_2\!-\!b_2)\!+\!\cdots \!+\! 2(a_{n}\!-\!b_{n})\!+\! (a_{n\!+\! 1}\!-\!b_{n\!+\! 1}) \)
だから
\( \displaystyle c_{n+ 1}-c_n=(a_1-b_1)+ (a_2-b_2)+\cdots + (a_{n}-b_{n})+ (a_{n+ 1}-b_{n+ 1}) \)
\( \displaystyle d_n=c_{n+ 1}-c_n=S_{n+ 1}-T_{n+ 1} \)→ �Dセ
(1)(2)の結果を用いると
\( \displaystyle d_n=S_{n+ 1}-T_{n+ 1}=6(n+ 1)^2-12(n+ 1)-6(3^{n+ 1}-1) \)
\( \displaystyle =6n^2+ \cancel{12n}+\cancel{6}-\cancel{12n}-\cancel{12}-6\times 3^{n+ 1}+\cancel{6} \)
\( \displaystyle =6n^2-2\times 3^{n+2} \)→ソ,タ,チ
\( \displaystyle c_1=a_1-b_1=-6-12=-18 \)→ツ,テ,ト
\( \displaystyle c_n=c_1+\sum_{k=1}^{n-1}d_k \)
\( \displaystyle =-18+\sum_{k=1}^{n-1}(6k^2-2\times 3^{k+ 2}) \)
\( \displaystyle =-18+ (n-1)n(2n-1)-\frac{54(3^{n-1}-1)}{3-1} \)
\( \displaystyle =-18+ 2n^3-3n^2+ n-27(3^{n-1}-1) \)
\( \displaystyle =2n^3-3n^2+ n+ 9-3^{n+ 2} \)→ナ,ニ,ヌ,ネ
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【2019年度センター試験.数学�U･B】第3問（選択問題）
　初項が3，公比が4の等比数列の初項から第n項までの和をSnとする。また，数列{Tn}は，初項が−1であり，{Tn}の階差数列が数列{Sn}であるような数列とする。
(1)　S2=アイ，T2=ウである。 (2)　{Sn}と{Tn}の一般項は，それぞれ
Sn=エオ−カ

Tn=

キク

ケ

−n−

コ

サ

である。ただし，オとクについては，当てはまるものを，次の⓪〜�Cのうちから一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。

(1)
S2=3+12=15→アイ
T2=T1+S1=−1+3=2→ウ
(2)
\( \displaystyle S_n=\frac{3(4^n-1)}{4-1}=4^n-1 \) →エ,オ,カ
\( \displaystyle T_n=-1+\sum_{k=1}^{n-1}(4^k-1) \)
\( \displaystyle =-1+\frac{4(4^{n-1}-1)}{4-1}-(n-1) \)
\( \displaystyle =-1+\frac{4^{n}-4}{3}-n+ 1 \)
\( \displaystyle =\frac{4^n}{3}-n-\frac{4}{3} \) →キ,ク,ケ,コ,サ
→解説を隠す←

(3)　数列{an}は，初項が−3であり，漸化式
nan+1=4(n+1)an+8Tn (n=1, 2, 3, ···)
を満たすとする。{an}の一般項を求めよう。
　そのために，\( \displaystyle b_n=\frac{a_n+2T_n}{n} \)により定められる数列{bn}を考える。{bn}の初項はシスである。
　{Tn}は漸化式
Tn+1=セTn+ソn+タ　(n=1, 2, 3, ···)
を満たすから，{bn}は漸化式
bn+1=チbn+ツ　(n=1, 2, 3, ···)
を満たすことがわかる。よって，{bn}の一般項は
bn=テト・チナ−ニ
である。ただし，ナについては，当てはまるものを，次の⓪〜�Cのうちから一つ選べ。
　したがって，{Tn}，{bn}の一般項から{an}の一般項を求めると

an=

ヌ(ネn+ノ)チナ+ハ

ヒ

である。

(3) \( \displaystyle b_1=a_1+ 2T_1=(-3)+(-2)=-5 \) →シス
(2)の結果から
\( \displaystyle T_n=\frac{4^n}{3}-n-\frac{4}{3} \)
だから
\( \displaystyle T_{n+ 1}=\frac{4^{n+ 1}}{3}-(n+ 1)-\frac{4}{3} \)
\( \displaystyle =4\times\frac{4^{n}}{3}-(n+1)-\frac{4}{3} \)
\( \displaystyle =4(T_n+ n+\frac{4}{3})-(n+ 1)-\frac{4}{3} \)
\( \displaystyle =4T_n+ 3n+ 3 \) →セ,ソ,タ
\( \displaystyle na_{n+ 1}=4(n+ 1)a_n+ 8T_n \)･･･(#1)
\( \displaystyle b_n=\frac{a_n+ 2T_n}{2} \)･･･(#2)
\( \displaystyle T_{n+ 1}=4T_n+ 3n+ 3 \)･･･(#3)
(#2)を(#1)に代入して\( \displaystyle a_n \)を消去する
\( \displaystyle n\{(n+ 1)b_{n+ 1}-2T_{n+ 1}\}=4(n+ 1)(nb_n-2T_n)+ 8T_n \)
\( \displaystyle n(n+ 1)b_{n+ 1} \)
\( \displaystyle =4n(n+ 1)b_n+ 2nT_{n+ 1}-8(n+ 1)T_n+ 8T_n \)
\( \displaystyle =4n(n+ 1)b_n+ 2nT_{n+ 1}-8nT_n \)･･･(#4)
(#3)を(#4)に代入
\( \displaystyle =4n(n+ 1)b_n+ 2nT_{n+ 1}-8nT_n \)
\( \displaystyle \!=\!4n(n\!+\! 1)b_n\!+\! 2n(4T_n\!+\! 3n\!+\! 3)\!-\!8(n\!+\! 1)T_n\!+\! 8T_n \)
\( \displaystyle =4n(n+ 1)b_n+ 6n(n+ 1) \)･･･(#5)
(#5)の両辺を\( \displaystyle n(n+ 1)\hspace{10px}(\ne 0) \)で割る
\( \displaystyle b_{n+ 1}=4b_n+ 6 \)→チ,ツ (#6)
(#6)より
\( \displaystyle b_{n+ 1}+ 2=4(b_n+ 2) \)
と変形できるから，数列\( \displaystyle \{b_n+2\} \)は公比4の等比数列になる
\( \displaystyle b_{n}+ 2=(b_1+ 2)\times 4^{n-1}=-3\times4^{n-1} \)
\( \displaystyle b_{n}=-3\times4^{n-1}-2 \)→テ,ト,ナ,ニ (#7)
\( \displaystyle a_{n}=nb_n-2T_n \)に
\( \displaystyle T_n=\frac{4^n}{3}-n-\frac{4}{3} \)
\( \displaystyle b_{n}=-3\times4^{n-1}-2 \)
を代入する
\( \displaystyle a_{n}=n(-3\times4^{n-1}-2)-2(\frac{4^n}{3}-n-\frac{4}{3}) \)
\( \displaystyle =-3n\times4^{n-1}-\cancel{2n}-\frac{2\times 4^n}{3}+ \cancel{2n}+ \frac{8}{3} \)
\( \displaystyle =\frac{-(9n+ 8)\times 4^{n-1}+ 8}{3} \) →ヌ,ネ,ノ,ハ,ヒ
→解説を隠す←

【2020年度センター試験.数学�U･B】第3問（選択問題）
　数列{an}は，初項が0であり，n=1, 2, 3, ···のとき次の漸化式を満たすものとする。
\( \displaystyle a_{n+ 1}\!=\!\frac{n\!+\! 3}{n\!+\! 1}\{3a_n\!+\! 3^{n+ 1}\!-\!(n\!+\! 1)(n\!+\! 2)\} \) ･･･�@
(1)　a2=アである。
(2)　\( \displaystyle b_n=\frac{a_n}{3^n(n+ 1)(n+ 2)} \)とおき，数列{bn}の一般項を求めよう。
　{bn}の初項b1はイである。�@の両辺を\( \displaystyle 3^{n+ 1}(n+ 2)(n+ 3) \)で割ると

bn+1=bn+

ウ

(n+エ)(n+オ)

−\( \displaystyle \Big( \)

1

カ

\( \displaystyle \Big)^{n+1} \)

を得る。ただし，エ<オとする。
　したがって，

bn+1−bn=\( \displaystyle \Big( \)

キ

n+エ

−

キ

n+オ

\( \displaystyle \Big) \)−\( \displaystyle \Big( \)

1

カ

\( \displaystyle \Big)^{n+1} \)

である。

(1)
\( \displaystyle a_2=\frac{4}{2}(0+ 3^2-2\times 3)=9 \) →ア
(2)
\( \displaystyle a_2=\frac{4}{2}(0+ 3^2-2\times 3)=9 \) →イ
�@の両辺を\( \displaystyle 3^{n+ 1}(n+ 2)(n+ 3) \)で割ると
\( \displaystyle \frac{a_{n+ 1}}{3^{n+ 1}(n+ 2)(n+ 3)} \)
\( \displaystyle =\frac{n+ 3}{(n\!+\! 1)\!\times\! 3^{n+ 1}(n\!+\! 2)(n\!+\! 3)}\{3a_n\!+\! 3^{n+ 1}\!-\!(n\!+\! 1)(n\!+\! 2)\} \)
\( \displaystyle =\frac{a_n}{3^{n}(n+ 1)(n+ 2)}+\frac{1}{(n+ 1)(n+ 2)}-\frac{1}{3^{n+ 1}} \)
\( \displaystyle b_{n+ 1}=b_n+\frac{1}{(n+ 1)(n+ 2)}-\frac{1}{3^{n+ 1}} \) →ウ,エ,オ,カ
\( \displaystyle b_{n+ 1}b_n=\frac{1}{n+ 1}-\frac{1}{n+ 2}-\frac{1}{3^{n+ 1}} \) →キ
→解説を隠す←

　nを2以上の自然数とするとき

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\Big( \)

キ

k+エ

−

キ

k+オ

\( \displaystyle \Big) \)=

1

ク

\( \displaystyle \Big( \)

n−ケ

n+コ

\( \displaystyle \Big) \)

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\Big( \)

1

カ

\( \displaystyle \Big)^{k+1} \)

=

サ

シ

−

ス

セ

\( \displaystyle \Big( \)

1

カ

\( \displaystyle \Big)^{n} \)

が成り立つことを利用すると

bn=

n−ソ

タ(n+チ)

+

セ

ス

\( \displaystyle \Big( \)

1

カ

\( \displaystyle \Big)^{n} \)

が得られる。これはn=1のときも成り立つ。

\( \displaystyle =\frac{1}{2}-\frac{1}{n+ 1}=\frac{n-1}{2(n+ 1)} \)→ク,ケ,コ
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\big(\frac{1}{3}\big)^{k+1} \)は，初項\( \displaystyle \frac{1}{9} \)，公比\( \displaystyle \frac{1}{3} \)，項数n−1の等比数列の和だから
\( \displaystyle \frac{\dfrac{1}{9}\{1-(\dfrac{1}{3})^{n-1}\}}{1-\dfrac{1}{3}}=\frac{1}{9}\times\frac{3}{2}\{1-(\frac{1}{3})^{n-1}\} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{6}\times\{1-(\frac{1}{3})^{n-1}\}=\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times(\frac{1}{3})^{n} \)→サ,シ,ス,セ
\( \displaystyle b_n=\frac{n-1}{2(n+1)}-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\times(\frac{1}{3})^{n} \)
\( \displaystyle =\frac{3(n-1)-n-1}{6(n+ 1)}+\frac{1}{2}\times(\frac{1}{3})^{n} \)
\( \displaystyle =\frac{2n-4}{6(n+ 1)}+\frac{1}{2}\times(\frac{1}{3})^{n} \)
\( \displaystyle =\frac{2(n-2)}{6(n+1)}+\frac{1}{2}\times(\frac{1}{3})^{n} \)
\( \displaystyle =\frac{n-2}{3(n+ 1)}+\frac{1}{2}\times(\frac{1}{3})^{n} \) →ソ,タ,チ
→解説を隠す←

(3)　(2)により，{an}の一般項は

an=ツn−テ(n2−ト)+

(n+ナ)(n+ニ)

ヌ

で与えられる。ただし，ナ<ニとする。
　このことから，すべての自然数nについて，anは整数となることがわかる。
(4)　kを自然数とする。a3k，a3k+1，a3k+2を3で割った余りはそれぞれネ，ノ，ハである。また，{an}の初項から第2020項までの和を3で割った余りはヒである。

(3)
\( \displaystyle a_n=3^n(n+ 1)(n+ 2)b_n \)
\( \displaystyle =3^n(n+ 1)(n+ 2)\{\frac{n-2}{3(n+ 1)}+\frac{1}{2}\times(\frac{1}{3})^{n}\} \)
\( \displaystyle =3^{n-1}(n+ 2)(n-2)+\frac{(n+ 1)(n+ 2)}{2} \)
\( \displaystyle =3^{n-1}(n^2-4)+\frac{(n+ 1)(n+ 2)}{2} \) →ツ,テ,ト,ナ,ニ,ヌ
(4)
\( \displaystyle a_{3k}=3^{3k-1}(9k^2-4)+\frac{(3k+ 1)(3k+ 2)}{2} \)
k≧1のとき，第1項は3で割り切れる．
第2項は\( \displaystyle \frac{(3k\!+\! 1)(3k\!+\! 2)}{2}=\frac{9k^2\!+\! 9k\!+\! 2}{2}=9\times\frac{k(k\!+\! 1)}{2}\!+\! 1 \)
ここで，連続2整数の積k(k+1)は２で割り切れるから，\( \displaystyle \frac{k(k+ 1)}{2} \)は整数．したがって，第2項は3で割ると1余る．
結局，a3kを3で割った余りは1→ネ
\( \displaystyle a_{3k+ 1}=3^{3k}\{(3k+ 1)^2-4\}+\frac{(3k+ 2)(3k+ 3)}{2} \)
k≧1のとき，第1項は3で割り切れる．
第2項は\( \displaystyle \frac{3(3k+ 2)(k+ 1)}{2}=\frac{3\{3k(k+ 1)+ 2(k+ 1)\}}{2} \)
\( \displaystyle =9\times\frac{k(k+ 1)}{2}+ 3(k+ 1) \)
連続2整数の積k(k+1)は２で割り切れるから，\( \displaystyle \frac{k(k+1)}{2} \)は整数．したがって，\( \displaystyle 9\times\frac{k(k+1)}{2} \)は9の倍数（3の倍数）．また，3(k+1)は3の倍数．
以上により，a3k+1を3で割った余りは0→ノ
\( \displaystyle a_{3k+ 2}=3^{3k+ 1}\{(3k+ 2)^2-4\}+\frac{(3k+ 3)(3k+ 4)}{2} \)
k≧1のとき，第1項は3で割り切れる．
第2項は\( \displaystyle \frac{3(k+ 1)(3k+ 4)}{2}=\frac{9k(k+ 1)+ 12(k+ 1)}{2} \)
\( \displaystyle =9\times\frac{k(k+ 1)}{2}+ 6(k+ 1) \)
連続2整数の積k(k+1)は２で割り切れるから，\( \displaystyle \frac{k(k+1)}{2} \)は整数．したがって，\( \displaystyle 9\times\frac{k(k+1)}{2} \)は9の倍数（3の倍数）．また，6(k+1)は3の倍数．
以上により，a3k+2を3で割った余りは0→ハ
→解説を隠す←