三角関数の2倍角公式,半角公式

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■三角関数の２倍角公式,半角公式（練習問題）　この頁では２倍角公式，半角公式を使う簡単な計算問題を扱います．【例題１】　αが第２象限の角で，sinα=のとき，次の値を求めてください． sin 2α, cos 2α, tan 2α （解答） cos2α=1−sin2α=1−= cosα=− (<0) だから sin 2α=2sinα·cosα=2××(−)=− cos 2α=cos2α−sin2α=−= tan 2α==(−)÷=− …この問題ではtanαの値をまだ求めていないので，上記のように求めることができます．tanα=−の値を求めてからtan 2αの２倍角公式を使う方法もあります．【例題２】 sin22.5°の値を求めてください．半角公式を使えば，　cos 2αの値が分かる⇒sin α, cos α, tan αの値が求まる．この問題では　cos45°の値が分かる⇒sin22.5°, cos22.5°, tan22.5°の値が求まる．（解答） sin222.5°=== sin22.5°= (>0)	【２倍角公式】　２倍角公式は加法定理においてα=βとおけば得られます． ○sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβにおいてα=βとおくと， sin2α=2sinα·cosα ○cos(α+β)=cosα·cosβ−sinα·sinβにおいてα=βとおくと， cos2α=cos2α−sin2α =1−2 sin2α (←cos2α=1−sin2αにより変形) =2 cos2α−1 (←sin2α=1−cos2αにより変形) ○tan(α+β)=においてα=βとおくと， tan2α= 【半角公式】　半角公式はcos2αの公式を逆に解けば得られます．（sin2α, tan2αの公式からは得られません．） ○cos2α=1−2 sin2αを逆に解くと sin2α= すなわち $\sin\alpha=\pm\sqrt{\frac{1-\cos 2\alpha}{2}}$ …αの象限で符号を選ぶ ○cos2α=2 cos2α−1を逆に解くと cos2α= すなわち $\cos\alpha=\pm\sqrt{\frac{1+\cos 2\alpha}{2}}$ …αの象限で符号を選ぶ ○tan2α=により tan2α= すなわち $\tan\alpha=\pm\sqrt{\frac{1-\cos 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}}$ …αの象限で符号を選ぶ
【問題１】　αが第３象限の角で，cosα=−のとき，次の値を求めてください． sin 2α, cos 2α, tan 2α 空欄に入るものを右の選択肢から選んでください．
αは第３象限の角だからsinα<0になり， sinα=−=(1) だから	− − −
sin2α=2sinα·cosα=(2)	− − −
cos2α=cos2α−sin2α=(3)	− − −
tan2α==(4)	4 −4 −
【問題２】　<α<π, sinα=のとき，次の値を求めてください． sin 2α, cos 2α, tan 2α 空欄に入るものを右の選択肢から選んでください．
αは第２象限の角だからcosα<0になり， cosα=−=(1) だから	− −
sin2α=2sinα·cosα=(2)	− −
cos2α=cos2α−sin2α=(3)	− −
tan2α==(4)	3 −3 −
【問題３】　sin67.5°の値を求めてください．空欄に入るものを右の選択肢から選んでください．
sin267.5°==(1)	− −
sin67.5°>0だから，sin67.5°=(2)	− −
【問題４】　0<α<90°, cosα=のときsin値を求めてください．空欄に入るものを右の選択肢から選んでください．
sin2==(1)	− −
0°<<45°, sin>0だから，sin=(2)	− −
【問題５】　<α<π, sinα=のときcos値を求めてください．空欄に入るものを右の選択肢から選んでください．
<α<π, cosα<0だからcosα=(1)	− −
cos2==(2)	− −
<<, cos>0によりcos=(3)	− −

（参考） $15^{\circ}$ の整数倍となる角の三角関数一覧（30°，45°の整数倍を除く）･･･結果を覚える必要はない

表１
$\theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
$15^{\circ}=\frac{\pi}{12}$	$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$2-\sqrt{3}$

差が15°であって，かつ，１つずつの三角関数の値が分かる2つの角度（45°と30°）を選び（他の組60°と45°などでもよい），三角関数の加法定理を用いて次のように計算できます．
$\sin 15^{\circ}=\sin(45^{\circ}-30^{\circ})$
$=\sin 45^{\circ}\cos 30^{\circ}-\cos 45^{\circ}\sin 30^{\circ}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
$\cos 15^{\circ}=\cos(45^{\circ}-30^{\circ})$
$=\cos 45^{\circ}\cos 30^{\circ}+\sin 45^{\circ}\sin 30^{\circ}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
$\tan 15^{\circ}=\tan(45^{\circ}-30^{\circ})$
$=\frac{\tan 45^{\circ}-\tan 30^{\circ}}{1+\tan 45^{\circ}\tan 30^{\circ}}$
$=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+ 1\times \frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+ 1}=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$
$=2-\sqrt{3}$
などと求められます．
また， $\tan 15^{\circ}$ は $\sin 15^{\circ}$ と $\cos 15^{\circ}$ の結果を使って
$\tan 15^{\circ}=\frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 15^{\circ}}=\frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$
$\tan 15^{\circ}=\frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 15^{\circ}}=\frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2}{6-2}=\frac{8-2\sqrt{12}}{4}$
$=\frac{8-5\sqrt{3}}{4}=2-\sqrt{3}$
のように求めてもよい．

半角公式を利用して求める場合は
$\sin 15^{\circ}=\sqrt{\frac{1-\cos 30^{\circ}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}$
$=\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{8}}=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
$\cos 15^{\circ}=\sqrt{\frac{1+\cos 30^{\circ}}{2}}=\cdots$
などとできます．

表２
$\theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
$75^{\circ}=\frac{5\pi}{12}$	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$2+\sqrt{3}$

(1) $\sin 75^{\circ},\hspace{5}\cos 75^{\circ},\hspace{5}\tan 75^{\circ}$ の値は，75°=45°+30°, 75°=120°−45°のように和や差が75°となる2つの角度の組合せを考えて，三角関数の加法定理を使って計算することができます．
$\sin 75^{\circ}=\sin(45^{\circ}+ 30^{\circ})$
$=\sin 45^{\circ}\cos 30^{\circ}+\cos 45^{\circ}\sin 30^{\circ}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
(2) また，半角公式を使って求めることもできます．
$\cos 75^{\circ}=\sqrt{\frac{1+\cos 150^{\circ}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}$
$=\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{8}}=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
(3) さらに，表１の15°の三角関数の値を求めた後では，数学Ⅰで習う三角関数の性質を使って簡単に求めることができます．

数学Ⅰの公式 $\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta$ を使うと
$\sin 75^{\circ}=\sin(90^{\circ}-15^{\circ})=\cos 15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

数学Ⅰの公式 $\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta$ を使うと
$\cos 75^{\circ}=\cos(90^{\circ}-15^{\circ})=\sin 15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

数学Ⅰの公式 $\tan(90^{\circ}-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}$ を使うと
$\tan 75^{\circ}=\tan(90^{\circ}-15^{\circ})=\frac{1}{\tan 15^{\circ}}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$
$=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$

以下，数学Ⅰで登場する次の公式を利用することができます．

表３
$\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta$	$\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta$	$\tan(90^{\circ}-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}$
$\sin(90^{\circ}+\theta)=\cos\theta$	$\cos(90^{\circ}+\theta)=-\sin\theta$	$\tan(90^{\circ}+\theta)=-\frac{1}{\tan\theta}$
$\sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta$	$\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta$	$\tan(180^{\circ}-\theta)=-\tan\theta$
$\sin(180^{\circ}+\theta)=-\sin\theta$	$\cos(180^{\circ}+\theta)=-\cos\theta$	$\tan(180^{\circ}+\theta)=\tan\theta$
$\sin(270^{\circ}-\theta)=-\cos\theta$	$\cos(270^{\circ}-\theta)=-\sin\theta$	$\tan(270^{\circ}-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}$
$\sin(270^{\circ}+\theta)=-\cos\theta$	$\cos(270^{\circ}+\theta)=\sin\theta$	$\tan(270^{\circ}+\theta)=-\frac{1}{\tan\theta}$
$\sin(360^{\circ}-\theta)=-\sin\theta$	$\cos(360^{\circ}-\theta)=\cos\theta$	$\tan(360^{\circ}-\theta)=-\tan\theta$

上記の公式を使うと，これらの値は次のようになります．
４種類の値
$s=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},\hspace{5}c=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},$ $t=2-\sqrt{3},\hspace{5}\frac{1}{t}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$
とその符号を変えたものだけから成り立っています．

表（まとめ）
$\theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
$15^{\circ}=\frac{\pi}{12}$	$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$2-\sqrt{3}$
$75^{\circ}=\frac{5\pi}{12}$	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$2+\sqrt{3}$
$105^{\circ}=\frac{7\pi}{12}$	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$-2-\sqrt{3}$
$165^{\circ}=\frac{11\pi}{12}$	$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$-2+\sqrt{3}$
$195^{\circ}=\frac{13\pi}{12}$	$-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$2-\sqrt{3}$
$255^{\circ}=\frac{17\pi}{12}$	$-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$2+\sqrt{3}$
$285^{\circ}=\frac{19\pi}{12}$	$-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$-2-\sqrt{3}$
$345^{\circ}=\frac{23\pi}{12}$	$-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$-2+\sqrt{3}$

（参考） $22.5^{\circ}$ の整数倍となる角の三角関数一覧（45°の整数倍を除く）･･･結果を覚える必要はない

表４
$\theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
$22.5^{\circ}=\frac{\pi}{8}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\sqrt{2}-1$

半角公式を使うと，45°のような三角関数の値からその半分の角22.5°の三角関数の値を求めることができます．
(1) $\sin\alpha=\pm\sqrt{\frac{1-\cos 2\alpha}{2}}$ （符号は象限で判断）
を $\alpha=22.5^{\circ}=\frac{\pi}{8}$ の場合に適用すると
$\sin 22.5^{\circ}=\sqrt{\frac{1-\cos 45^{\circ}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$
$=\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$
※分子の二重根号ははずれません。（ $\sqrt{\frac{4-2\sqrt{2}}{2}}$ と変形しても，積が2，和が4となる２つの整数は見つからないから）
(2) $\cos\alpha=\pm\sqrt{\frac{1+\cos 2\alpha}{2}}$ （符号は象限で判断）
を $\alpha=22.5^{\circ}=\frac{\pi}{8}$ の場合に適用すると
$\cos 22.5^{\circ}=\sqrt{\frac{1+\cos 45^{\circ}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$
$=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$
※この二重根号もはずれません．
(3) $\tan 22.5^{\circ}=\frac{\sin 22.5^{\circ}}{\cos 22.5^{\circ}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}}$
$=\sqrt{\frac{(2-\sqrt{2})^2}{4-2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$

表５
$\theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
$67.5^{\circ}=\frac{3\pi}{8}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\sqrt{2}+ 1$

67.5°の場合も135°の半分ということを使って，半角公式から三角関数の値を求めることもできますが，右図のように67.5°=90°−22.5°であることを利用すれば表３の関係から簡単に求めることができます．
sin67.5°
=sin(90°−22.5°)
=cos22.5°
cos67.5°
=cos(90°−22.5°)
=sin22.5°
$\tan 67.5^{\circ}=\tan(90^{\circ}-22.5^{\circ})=\frac{1}{\tan 22.5^{\circ}}=\cot 22.5^{\circ}$

同様にして，次の表が得られます．この表は４種類の値
$s=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2},\hspace{5}c=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2},$ $t=\sqrt{2}-1,\hspace{5}\frac{1}{t}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+ 1$
とその符号を変えたものだけから成り立っています．

表（まとめ２）
$\theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
$22.5^{\circ}=\frac{\pi}{8}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\sqrt{2}-1$
$67.5^{\circ}=\frac{3\pi}{8}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\sqrt{2}+ 1$
$112.5^{\circ}=\frac{5\pi}{8}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$-\sqrt{2}-1$
$157.5^{\circ}=\frac{7\pi}{8}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$-\sqrt{2}+ 1$
$202.5^{\circ}=\frac{9\pi}{8}$	$-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\sqrt{2}-1$
$247.5^{\circ}=\frac{11\pi}{8}$	$-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\sqrt{2}+ 1$
$292.5^{\circ}=\frac{13\pi}{8}$	$-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$-\sqrt{2}-1$
$337.5^{\circ}=\frac{15\pi}{8}$	$-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$-\sqrt{2}+ 1$

さらに半角公式を利用して $11.25^{\circ}=\frac{\pi}{16},\hspace{5}\frac{\pi}{32},\hspace{5}\frac{\pi}{64}$ などの三角関数も求めることができますが･･･
$\cos\alpha=\pm\sqrt{\frac{1+\cos 2\alpha}{2}}$ （符号は象限で判断）
を $\alpha=11.25^{\circ}=\frac{\pi}{16}$ の場合に適用すると
$\cos\frac{\pi}{16}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}{4}}$
$=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}$
このように三重根号になり，はずれません．
同様にして
$\cos\frac{\pi}{32}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2}$
このように四重根号になります．

参考： $\sin\theta$ の値
$\sin\frac{\pi}{16}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}$
$\sin\frac{3\pi}{16}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}}{2}$
$\sin\frac{5\pi}{16}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}}{2}$
$\sin\frac{7\pi}{16}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}$

（参考） $18^{\circ}=\frac{\pi}{10}$ の整数倍となる角の三角関数一覧･･･結果を覚える必要はない

表６
$\theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
$18^{\circ}=\frac{\pi}{10}$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\frac{\sqrt{10+ 2\sqrt{5}}}{4}$	$\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}$
$36^{\circ}=\frac{\pi}{5}$	$\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$	$\frac{\sqrt{5}+ 1}{4}$	$\sqrt{5-2\sqrt{5}}$
$54^{\circ}=\frac{3\pi}{10}$	$\frac{\sqrt{5}+ 1}{4}$	$\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$	$\frac{\sqrt{25+ 10\sqrt{5}}}{5}$
$72^{\circ}=\frac{2\pi}{5}$	$\frac{\sqrt{10+ 2\sqrt{5}}}{4}$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\sqrt{5+ 2\sqrt{5}}$

$18^{\circ}+ 72^{\circ}=90^{\circ}\hspace{5}(\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi}{5}=\frac{\pi}{2})$
$36^{\circ}+ 54^{\circ}=90^{\circ}\hspace{5}(\frac{\pi}{5}+\frac{3\pi}{10}=\frac{\pi}{2})$
であるから，18°と36°の三角関数を求めると残りは埋まります．

$\theta=18^{\circ}$ とすると， $2\theta+ 3\theta=90^{\circ}$ により
$\sin 2\theta=\cos 3\theta$
倍角公式および３倍角公式により
$2\sin\theta\cos\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$
ここで $\cos\theta\ne 0$ だから
$2\sin\theta=4\cos^2\theta-3$
$2\sin\theta=4(1-\sin^2\theta)-3$
$4\sin^2\theta+ 2\sin\theta-1=0$
$\sin\theta=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\hspace{5}(\gt 0)$

$\cos\theta=\sqrt{1-\Bigl(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\Bigr)^2}=\sqrt{\frac{16-(6-2\sqrt{5})}{4^2}}$
$=\frac{\sqrt{10+ 2\sqrt{5}}}{4}$

36°については
$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2\frac{\sqrt{5}-1}{4}\cdot\frac{\sqrt{10+ 2\sqrt{5}}}{4}$
$=\frac{\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2(10+ 2\sqrt{5})}}{8}=\frac{\sqrt{(6-2\sqrt{5})(10+ 2\sqrt{5})}}{8}$
$=\frac{\sqrt{(6-2\sqrt{5})(10+ 2\sqrt{5})}}{8}$
$=\frac{\sqrt{60-20\sqrt{5}+ 12\sqrt{5}-20}}{8}=\frac{\sqrt{40-8\sqrt{5}}}{8}$
$=\frac{2\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$
などとします．

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