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■解説 ※定数項や１次式，２次式など単項式や多項式で表わされる式を整式という．
【 要約 】
（証明）整式 A を 整式 B で割ると，商が Q 余りが R になるとき， (1) A÷B=Q … R ⇔ A=BQ+R (2) 余り R の次数は，割る式 B の次数よりも低い． （ B が１次 → R は定数） （ B が２次 → R は１次，定数） （ B が３次 → R は２次，１次，定数） A÷B=Q … R のとき， (1)  A=BQ+R が成り立つ．（余りはかけ算に参加しない．） (2) 数の割り算では，割る数が取り除ける限り取り除くので，余りは割る数よりも小さい． 多項式の割り算では，割る式よりも次数が低くなるまで取り除くので，余りは割る式よりも次数が低い． （蛇足）･･･割り算が何段階かに分けて行われるときも，上の説明でよい･･･ 数の割り算でも，多項式の割り算でも上の□のように１段階で終わることは少なく，通常次のように，何段階かに分かれる． |
数の割り算の場合
 (1)  |
| 例１ 整式 A を x2+1 で割ると，商が 2x - 1 余りが x+3 になるとき，整式 A を求めよ． （答案） A=(x2+1)(2x - 1)+(x+3)=2x3 - x2+3x+2 …(答) |
例２ 整式 x3+x2 - x+2 を整式 B で割ると，商が x - 1 余りが 2x+1 になるとき，整式 B を求めよ． （答案） x3+x2 - x+2=B (x - 1)+(2x+1) B (x - 1)=x3+x2 - x+2 -(2x+1)=x3+x2 - 3x+1 B=(x3+x2 - 3x+1)÷(x - 1)=x2+2x - 1 …(答)
＃危険な落とし穴＃
A÷B=Q … R であっても A÷Q=B … R とはならないことに注意（この問題では，Ｑ：１次式で割って，余りが１次式となることはない．） したがって， x3+x2 - x+2 を x - 1 で割っても，求めるものは得られない． |
