| (1) 正12角形の頂点を結んでできる三角形の総数を m とし，対角線の総数を n とするとき，m , n の組合せとして正しいのはどれか． １． m=15 , n=12 |
【組合せ】
 12C3==220 上の図で青の○を付けたものは，頂点を２つ選んだ例で，このように２つの頂点を決めるとそれらを結ぶ対角線が１つ決まる．ただし，これらの中には「対角線」でなく「辺」となるものが12個含まれている（1と２，２と３の組など隣り合うものを選んだ場合）のでこれを引く 12C2−12==54 |
| (2) 次の図のように６本の平行線と８本の平行線が交わっているとき，この図の中に平行四辺形は何個できるか．（例：図中黄色及び青で示したような図形も各々１個の平行四辺形と数える．）
１． 35 |
【組合せ】
 例えば，上の図において黄色の平行四辺形は，横線 a〜 f から２本（a と c ）を選び，斜め線 1〜 8 から２本（3 と 4 ）を選んだ場合の図形となっている．青の平行四辺形は各々c と e， 5 と 8 を選んだ場合の図形． そこで，総数を求めると 横線の選び方は 6C2==15 通り 斜め線の選び方は 8C2==28 通り 平行四辺形の総数は 15×28=420 |
| (3) 360 の正の約数（1 及び 360 を含む）の個数を m，それらの総和を n とすると，m , n の値は次のうちどれか． １． m=9 , n=719 |
【積の法則】
《約数の個数と総和》
360=23325 だから，○ p , q , r , ... を素数とするとき，N=paqbrc... と素因数分解される整数 N の約数の個数は (a+1)(b+1)(c+1)··· ○約数の総和は (1+p+p2+···+pa)(1+q+q2+···+qb)(1+r+r2+···+rc)(···) ※この式を展開したとき，すべての項が１回ずつ登場する． その約数の個数は (3+1)(2+1)(1+1)=24 個， 約数の総和は (1+2+4+8)(1+3+9)(1+5)=1170 |
| (4) １組のトランプの絵札12枚から，種類も数字も異なる３枚のカードを選ぶ方法を m 通りとし，それらを１列に並べる方法を n 通りとすると，m , n の値は次のうちどれか． １． m=12 , n=72 |
【積の法則】 ○１列に並べる方法 n を調べると，１枚目はどれでもよいから12通り． その各々について，２枚目は種類も数字も異なるカードから取るから，取り方は6通り． その各々について，3枚目は前２枚と種類も数字も異なるカードから取るから，取り方は2通り． n=12×6×2=144 ○異なる3枚のカードの並べ方 n は，選び方 m の3! 倍あるから，m=n÷3!=24 |
| (5) ４桁の電話番号の千，百，十，一の位の数を各々 a , b , c , d とするとき，9742 のように a>b>c>d となるもの，9774 のように a≧b≧c≧d となるものは各々何通りあるか． １． 90 通り，810 通り |
【組合せ，重複組合せ】 ○異なる４個の数字を選べば，並べ方は決まる→順序が決められている順列=組合せ 10C4=210 ○重複を許して４個の数字を選べば，並べ方は決まる→重複組合せ 10H4=13C4=715 |
| (6) x+y+x+w=14 （x , y , z , w≧1）を見たす整数解 （x , y , z , w）の個数を求めよ．また，小，中，大，特大の４個のさいころを投げたとき出る目の和が 14 となる場合の数を求めよ． １． 286 通り，146 通り |
【重複組合せ，場合の数】 ○14個のボールを x , y , z , w≧1 となるように分けるには，初めに１個ずつ渡しておき，残り10個を分ければよい． ４人に重複を許して10個のボールを分ける方法を求めると，4H10=13C10=286 ○上記の解には x=11 , y=1 , z=1 , w=1 のように x , y , z , w>6 となるものも含まれているので，さいころの場合にそのまま適用することはできない．  同様にして， x+y=2 , z+w=12 → 1×1=1通り x+y=3 , z+w=11 → 2×2=4通り x+y=4 , z+w=10 → 3×3=9通り ･･･ x+y=7 , z+w=7 → 6×6=36通り ･･･ x+y=12 , z+w=2 → 1×1=1通り 全部で 1+4+9+16+25+36+25+16+9+4+1=146 通り |
| (7) (x2−2x+ )7 の展開式における x 5 の係数を求めよ． １． 93   お疲れさまでした 写真は京都御苑 |
【多項定理】
(a+b+c)n の展開式における apbqcr の係数は
( ただし，p , q , r≧0 , p+q+r=n ）
（証明） ○最近の高校の教科書では，二項定理を何回も適用して説明することが多い． ((a+b)+c)n の展開式における (a+b)n−rcr の係数は nCr (a+b)n−r の展開式における apbq の係数は n−rCq だから結局，n−rCq nCr== ここで，n−q−r=p だから （※同じものがあるときの順列の総数を用いて直接示すこともできる） (x2−2x+)7 の展開式の一般項は (x2)p (−2x)q ()r=(−2)q 3r x2p+q−r だから 2p+q−r=5 …(1), p+q+r=7 …(2), p,q,r≧0 を解く． (1)+(2)より 3p+2q=12 だから p≦4 また 3p=2(6−q) だから p は偶数 → p=0,2,4 （ここまで絞れなくても，p=1,3 のとき，q,r が整数にならないので自然に分かる．解くと言うよりは，順に代入していくと考えるとよい．） ア） p=0 のとき，q=6 , r=1 このとき係数は (−2)6 31=1344 イ） p=2 のとき，q=3 , r=2 このとき係数は (−2)3 32=−15120 ウ） p=4 のとき，q=0 , r=3 このとき係数は (−2)0 33=945 合計 −12831 |
