| (1) 70 人の学生について通学手段を調査したところ，電車を利用する学生は 24 人，バスを利用する学生は 27 人，自転車を利用する学生は 32 人，電車もバスも利用する学生は 7 人，バスも自転車も利用する学生は 11 人，自転車も電車も利用する学生は 9 人，３種類とも利用する学生は 3 人で，他は徒歩だけで通学していた． 徒歩だけで通学している学生は何人か． 
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(1) ※ この文脈で「電車を利用する」とは，「電車だけを利用する」という意味ではなく，「少なくとも電車を利用する（他の手段も利用する者も含まれる）」という意味に理解する．（そうでなければ電車，バス，自転車の利用者合計が70人を越えてしまう．）  n(A∪B∪C) =n(A)+n(B)+n(C) - n(A∩B) - n(B∩C) - n(C∩A) +n(A∩B∩C) =24+27+32 - 7 - 11 - 9+3=59 ○ 求めるのは，水色で示した部分の人数 （全体の人数） - n(A∪B∪C) =70 - 59=11 ※ この基本公式は，すぐ使えるようにしておくとよい．公式に代入すれば直ちに解答にたどり着く問題も少なくない． |
| (2) 50 人の学生が食堂でトーストを食べたとき，トーストに何をつけたか尋ねたところ，バターをつけた学生は 18 人，ハチミツをつけた学生は 27 人，ジャムをつけた学生は 25 人，バターもハチミツもつけた学生は 6 人，ハチミツもジャムもつけた学生は 12 人，ジャムもバターもつけた学生は 7 人，３種類ともつけた学生は 2 人であった． バターだけをつけた学生は何人か． |
(2) 公式だけでは分かりにくい問題は，ベン図を描いて考える．その際，分かっている部分には数値を書き込むとよい．この問題は次の図のように，単なる引き算で解決できる．（この問題では使用しない数字が幾つかある．） 
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| (3) 200 以下の正の整数で 6 , 7 , 8 のいずれでも割り切れないものは何個あるか．  |
(3) ○ (1)の問題と同様にして，6 で割り切れる数の集合を A で，7 で割り切れる数の集合を B で，8 で割り切れる数の集合を C で表わすとき，少なくとも１つで割り切れる個数は n(A∪B∪C) =n(A)+n(B)+n(C) - n(A∩B) - n(B∩C) - n(C∩A) +n(A∩B∩C) で求められ いずれでも割り切れない個数は （全体の個数 200） - n(A∪B∪C) で求められる． ○ 例えば 6 で割り切れる数，すなわち 6 の倍数は 200÷7=28 ··· 4 から求められる． ○ 6 と 7 の両方で割り切れる数，すなわち 42 の倍数は 200÷42=4 ··· 32 から求められる．→ n(A∩B)=4 同様にして 200÷56=3 ··· 32 から→ n(B∩C)=3 200÷24=8 ··· 8 から→ n(C∩A)=8 ○ 6 7 , 8 のいずれでも割り切れる数，すなわち 168 の倍数は 200÷168=1 ··· 32 から→ n(A∩B∩C)=1 ○ 以上から n(A∪B∪C) =n(A)+n(B)+n(C) - n(A∩B) - n(B∩C) - n(C∩A) +n(A∩B∩C)=33+28+25 - 4 - 3 - 8+1=72 （全体の個数 200） - n(A∪B∪C)=200 - 72=128 |
| (4) 3 桁の正の整数で 3 , 4 , 5 のうち２つ以上で割り切れるものは何個あるか． 
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※ 3 桁の正の整数とは 100 から 999 までの整数をいう． ※ 1から始まっているのではなく，100以上で各々最初に当てはまる数がずれているので，割り算だけでは倍数の個数は求まらない．そこで，1〜999の範囲で該当するものから1〜99までの範囲で該当するものを引けば100〜999までの範囲で該当するものが求まる． ○ ベン図を描いて次のように数字を埋めていくとよい．  （75+45+60 - 15 ではないので注意．60 の倍数を２回数えてはいけない．） |
