三角関数の公式プラス

== 三角関数の公式（プラス） == 【このページの目標】

　三角関数の加法定理，２倍角公式，半角公式，積和の公式，和積の公式などの教科書レベルの基本公式は，前のページにあります．
　このページでは，その基本公式を使って，あと一歩応用的な式を作る練習をします．
　このページの内容を覚える必要はありませんが，「そういう式もありだな」という事実を押さえておくことと，「必要になったらいつでも作れる」という能力を身に着けてもらうことがこのページの目標です．

※以下，一般の角度について成り立つ関係式は $\alpha,\hspace{5}\beta,\hspace{5}\gamma$ で表し，特に△ABCの内角の場合，すなわちA+B+C=πの場合に成り立つ関係式はA, B, Cで表すことにする．

加法定理

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ …(基本)
$\sin(\alpha+\beta+\gamma)$
$=\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma+\sin\beta\cos\gamma\cos\alpha$
$+\sin\gamma\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$ …(1.1)

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ …(基本)
$\cos(\alpha+\beta+\gamma)$
$=\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma$
$-\cos\beta\sin\gamma\sin\alpha-\cos\gamma\sin\alpha\sin\beta$ …(1.2)

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$ …(基本)
$\tan(\alpha+\beta+\gamma)$
$=\frac{\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma-\tan\alpha\tan\beta\tan\gamma}{1-\tan\alpha\tan\beta-\tan\beta\tan\gamma-\tan\gamma\tan\alpha}$ …(1.3)

（解説）
(1.1)←
$\sin(\alpha+\beta+\gamma)=\sin\{(\alpha+\beta)+\gamma\}$
$=\sin(\alpha+\beta)\cos\gamma+\cos(\alpha+\beta)\sin\gamma$
$=(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\cos\gamma$
$+(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\sin\gamma$
$=\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma+\sin\beta\cos\gamma\cos\alpha$
$+\sin\gamma\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$ （終）

(1.2)←
$\cos(\alpha+\beta+\gamma)=\cos\{(\alpha+\beta)+\gamma\}$
$=\cos(\alpha+\beta)\cos\gamma-\sin(\alpha+\beta)\sin\gamma$
$=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\cos\gamma$
$-(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\sin\gamma$
$=\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma$
$-\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma$ $=\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma$
$-\cos\beta\sin\gamma\sin\alpha-\cos\gamma\sin\alpha\sin\beta$ （終）

(1.3)←
$\tan(\alpha+\beta+\gamma)=\tan\{(\alpha+\beta)+\gamma\}$
$=\frac{\tan(\alpha+\beta)+\tan\gamma}{1-\tan(\alpha+\beta)\tan\gamma}$
$=\frac{\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}+\tan\gamma}{1-\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\tan\gamma}$
$=\frac{\tan\alpha+\tan\beta+(1-\tan\alpha\tan\beta)\tan\gamma}{(1-\tan\alpha\tan\beta)-(\tan\alpha+\tan\beta)\tan\gamma}$
$=\frac{\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma-\tan\alpha\tan\beta\tan\gamma}{1-\tan\alpha\tan\beta-\tan\beta\tan\gamma-\tan\gamma\tan\alpha}$ （終）

倍角公式

※sin2α, sin4α, sin6α, ..はsinαだけでは表せない（cosαと混ざる）
それ以外は同じ種類のsinα, cosα, tanαのｎ次式で表せる．（ただし，tannαはtanαの分数式）

$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ …(基本)
$\sin 3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha$ …(基本)
$\sin 4\alpha=4\sin\alpha\cos\alpha-8\sin^3\alpha\cos\alpha$ …(2.1)
$\sin 5\alpha=5\sin\alpha-20\sin^3\alpha+ 16\sin^5\alpha$ …(2.2)
$\sin 6\alpha=6\sin\alpha\cos\alpha-32\cos^3\alpha\sin\alpha+ 32\cos^5\alpha\sin\alpha$ …(2.3)

※sinnαは，
nが偶数の場合は，sinαとcosαを使って表せる．←（例外）
nが奇数の場合は，sinαのn次式で表せる．

sin(n+1)α=2sinnαcosα−sin(n−1)α…(*)
(n≧1)と書ける．
（右辺を積和の公式で変形すると左辺に等しいことが分かる）

$\sin n\alpha\cos\alpha=\dfrac{1}{2}(\sin(n+1)\alpha+\sin(n-1)\alpha) $
だから
$2\sin n\alpha\cos\alpha-\sin(n-1)\alpha $
$=\sin(n+1)\alpha+\sin(n-1)\alpha-\sin(n-1)\alpha $
$=\sin(n+1)\alpha $

（解説）
(2.1)←(*)
$\sin 4\alpha=2\sin 3\alpha\cos\alpha-\sin2\alpha$
$=2(3\sin\alpha-4\sin^3\alpha)\cos\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha$
$=4\sin\alpha\cos\alpha-8\sin^3\alpha\cos\alpha$ （終）
最終形としては，見かけの異なる様々な形があり得る．
$8\sin\alpha\cos^3\alpha-4\sin\alpha\cos\alpha$ …(2.1’)

(2.2)←(*)
$\sin 5\alpha=2\sin 4\alpha\cos\alpha-\sin3\alpha$
$=2(4\sin\alpha\cos\alpha-8\sin^3\alpha\cos\alpha)\cos\alpha$
$-(3\sin\alpha-4\sin^3\alpha)$
$=8\sin\alpha\cos^2\alpha-16\sin^3\alpha\cos^2\alpha-3\sin\alpha+ 4\sin^3\alpha$
$=8\sin\alpha(1-\sin^2\alpha)-16\sin^3\alpha(1-\sin^2\alpha)$
$-3\sin\alpha+ 4\sin^3\alpha$
$=5\sin\alpha-20\sin^3\alpha+ 16\sin^5\alpha$ …(終)

(2.3)←(*)
最終形としては，見かけの異なる様々な形があり得る．
$6\sin\alpha\cos\alpha-32\cos^3\alpha\sin\alpha+ 32\cos^5\alpha\sin\alpha$ …(2.3)
$6\cos\alpha\sin^5\alpha-20\cos^3\alpha\sin^3\alpha+ 6\cos^5\alpha\sin\alpha$ …(2.3’)
$6\sin\alpha\cos\alpha-32\cos\alpha\sin^3\alpha+ 32\cos\alpha\sin^5\alpha$ …(2.3”)

$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
$=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$ …(基本)
$\cos 3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$ …(基本)
$\cos 4\alpha=8\cos^4\alpha-8\cos^2\alpha+ 1$ …(2.4)
$\cos 5\alpha$
$=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha+ 5\cos\alpha$ …(2.5)
$\cos 6\alpha$
$=32\cos^6\alpha-48\cos^4\alpha+ 18\cos^2\alpha-1$ …(2.6)

α=0のとき，cosα=1, cos nα=1だから，係数の和は１になる

※cosnαはcosαのn次の多項式で表せる．

cos(n+1)α=2cosnαcosα−cos(n−1)α…(**)
(n≧1)と書ける．
（右辺を積和の公式で変形すると左辺に等しいことが分かる）
Ⅰ cos2αはcosαの2次式
Ⅱ coskαがcosαのk次式で，cos(k−1)αがcosαのk−1次式ならば，この式の右辺はcosαのk+1次式になる．
　数学的帰納法により，すべての自然数nについて，cosnαがcosαのn次式であると言える．

（解説）
(2.4)←(**)
cos4α=2cos3αcosα−cos2α
=2(4cos3α−3cosα)cosα−(2cos2α−1)
=8cos4α−8cos2α+1…(終)
(2.5)←(**)
cos5α=2cos4αcosα−cos3α
=2(8cos4α−8cos2α+1)cosα−(4cos3α−3cosα)
=16cos5α−20cos3α+5cosα…(終)
(2.6)←(**)
cos6α=2cos5αcosα−cos4α
=2(16cos5α−20cos3α+5cosα)cosα
−(8cos4α−8cos2α+1)
=32cos6α−48cos4α+18cos2α−1…(終)

$\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$ …(基本)
$\tan 3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}$ …(2.7)
$\tan 4\alpha=\frac{4\tan\alpha-4\tan^3\alpha}{1-6\tan^2\alpha+\tan^4\alpha}$ …(2.8)

tannαはtanαのn次の分数式で表せる．

$\tan (n+ 1)\alpha=\frac{\tan n\alpha+\tan\alpha}{1-\tan n\alpha\tan\alpha}$
(n≧1)と書ける．（加法定理）
この式を使って，次々にtan(n+1)αを求めていくと
ア） $\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$
のように，tannαの分母がtanαのn次式になっている場合は，tan(n+1)αは分子がtanαのn+1次式になる．（やって見れば分かる）
イ）tannαの分子がtanαのn次式になっている場合は，tan(n+1)αは分母がtanαのn+1次式になる．（やって見れば分かる）
ア）イ）より，ｎが偶数のときは，分母がtanαのn次式になり，ｎが奇数のときは，分子がtanαのn次式になる．

（解説）
(2.7)←
$\tan 3\alpha=\frac{\tan 2\alpha+\tan\alpha}{1-\tan 2\alpha\tan\alpha}=\frac{\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}+\tan\alpha}{1-\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\tan\alpha}$
$=\frac{2\tan\alpha+(1-\tan^2\alpha)\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha-2\tan\alpha\tan\alpha}=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}$ …(終)
(2.8)←
$\tan 4\alpha=\frac{\tan 3\alpha+\tan\alpha}{1-\tan 3\alpha\tan\alpha}=\frac{\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}+\tan\alpha}{1-\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}\tan\alpha}$
$=\frac{(3\tan\alpha-\tan^3\alpha)+(1-3\tan^2\alpha)\tan\alpha}{(1-3\tan^2\alpha)-(3\tan\alpha-\tan^3\alpha)\tan\alpha}$
$=\frac{4\tan\alpha-4\tan^3\alpha}{1-6\tan^2\alpha+\tan^4\alpha}$ …(終)

三角関数の累乗→倍角

※累乗の形を避けたい積分計算などでは，次のように倍角を用いて，被積分関数を線形な関数に直す方法も利用できる

$\sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2}$ …(3.1)
$\sin^3\alpha=\frac{3\sin\alpha-\sin 3\alpha}{4}$ …(3.2)
$\sin^4\alpha=\frac{3-4\cos 2\alpha+\cos 4\alpha}{8}$ …(3.3)
$\sin^5\alpha=\frac{10\sin\alpha-5\sin 3\alpha+\sin 5\alpha}{16}$ …(3.4)

$\cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}$ …(3.5)
$\cos^3\alpha=\frac{3\cos\alpha+\cos 3\alpha}{4}$ …(3.6)
$\cos^4\alpha=\frac{3+ 4\cos 2\alpha+\cos 4\alpha}{8}$ …(3.7) $\cos^5\alpha=\frac{10\cos\alpha+ 5\cos 3\alpha+\cos 5\alpha}{16}$ …(3.8)

$\tan^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}$ …(3.9)
$\tan^3\alpha=\frac{3\sin\alpha-\sin 3\alpha}{3\cos\alpha+\cos 3\alpha}$ …(3.10)
$\tan^4\alpha=\frac{3-4\cos 2\alpha+\cos 4\alpha}{3+ 4\cos 2\alpha+\cos 4\alpha}$ …(3.11)
$\tan^5\alpha=\frac{10\sin\alpha-5\sin 3\alpha+\sin 5\alpha}{10\cos\alpha+ 5\cos 3\alpha+\cos 5\alpha}$ …(3.12)

（解説）
(3.1)←
$\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ を$\sin^2\alpha$について解くと
$\sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2}$ …(終)
(3.2)←
$\sin 3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha$ を$\sin^3\alpha$について解くと
$\sin^3\alpha=\frac{3\sin\alpha-\sin 3\alpha}{4}$ …(終)
さらに，この式を変形すると
(3.3)←
$\sin^4\alpha=\sin^3\alpha\sin\alpha=(\frac{3\sin\alpha-\sin 3\alpha}{4})\sin\alpha$
$=\frac{1}{4}(3\sin^2\alpha-\sin 3\alpha\sin\alpha)$
$=\frac{1}{4}\{3\frac{1-\cos 2\alpha}{2}+\frac{1}{2}(\cos 4\alpha-\cos 2\alpha)\}$
$=\frac{3-4\cos 2\alpha+\cos 4\alpha}{8}$ …(終)
同様にして
(3.4)←
$\sin^5\alpha=\sin^4\alpha\sin\alpha=(\frac{3-4\cos 2\alpha+\cos 4\alpha}{8})\sin\alpha$
$=\frac{1}{8}(3\sin\alpha-4\cos 2\alpha\sin\alpha+\cos 4\alpha\sin\alpha)$
$=\frac{1}{8}\{3\sin\alpha-2(\sin 3\alpha-\sin\alpha)+\frac{1}{2}(\sin 5\alpha-\sin 3\alpha)\}$
$=\frac{10\sin\alpha-5\sin 3\alpha+\sin 5\alpha}{16}$ …(終)

（解説）
(3.5)←
$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1$ を$ \cos^2\alpha $について解くと
$\cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}$ …(終)
(3.6)←
$\cos 3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$ を$\cos^3\alpha $について解くと
$\cos^3\alpha=\frac{3\cos\alpha+\cos 3\alpha}{4}$ …(終)
(3.7)←
$\cos 4\alpha=8\cos^4\alpha-8\cos^2\alpha+ 1$ を$ \cos^4\alpha $について解くと
$\cos^4\alpha=\frac{\cos 4\alpha+ 8\cos^2\alpha-1}{8}$
$=\frac{1}{8}\{\cos 4\alpha+ 8\frac{1+ \cos 2\alpha}{2}-1\}$
$=\frac{1}{8}(\cos 4\alpha+ 4+ 4\cos 2\alpha-1)$
$=\frac{1}{8}(3+ 4\cos 2\alpha+ \cos 4\alpha)$ …(終)
(3.8)←
$\cos 5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha+ 5\cos\alpha$ を$ \cos^5\alpha $について解くと
$\cos^5\alpha=\frac{1}{16}(\cos 5\alpha+ 20\cos^3\alpha-5\cos\alpha)$
$=\frac{1}{16}(\cos 5\alpha+ 20\frac{3\cos\alpha+\cos 3\alpha}{4}-5\cos\alpha)$
$=\frac{1}{16}(\cos 5\alpha+ 15\cos\alpha+ 5\cos 3\alpha-5\cos\alpha)$
$=\frac{1}{16}(10\cos\alpha+ 5\cos 3\alpha+\cos 5\alpha)$ …(終)
(3.9)～(3.12)←
それぞれ正弦の式を余弦の式で割れば得られる

積和の公式

$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}$ …(基本)
$\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}$ …(基本)
$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}$ …(基本)
$\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}$ …(基本)

$\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$
$=\frac{1}{4}\{-\sin(\alpha+\beta+\gamma)+\sin(-\alpha+\beta+\gamma)$
$+\sin(\alpha-\beta+\gamma)+\sin(\alpha+\beta-\gamma)\}$ …(4.1)
$\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma$
$=\frac{1}{4}\{-\cos(\alpha+\beta+\gamma)+\cos(-\alpha+\beta+\gamma)$
$+\cos(\alpha-\beta+\gamma)-\cos(\alpha+\beta-\gamma)\}$ …(4.2)
$\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma$
$=\frac{1}{4}\{\sin(\alpha+\beta+\gamma)-\sin(-\alpha+\beta+\gamma)$
$+\sin(\alpha-\beta+\gamma)+\sin(\alpha+\beta-\gamma)\}$ …(4.3)
$\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$
$=\frac{1}{4}\{\cos(\alpha+\beta+\gamma)+\cos(-\alpha+\beta+\gamma)$
$+\cos(\alpha-\beta+\gamma)+\cos(\alpha+\beta-\gamma)\}$ …(4.4)

（解説）
(4.1)←
$\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$
$=-\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}\sin\gamma$
$=-\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)\sin\gamma-\cos(\alpha-\beta)\sin\gamma\}$
$=-\frac{1}{2}\bigl[\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta+\gamma)-\sin(\alpha+\beta-\gamma)\}$
$-\frac{1}{2}\{\sin(\alpha-\beta+\gamma)-\sin(\alpha-\beta-\gamma)\}\bigr]$
$=-\frac{1}{4}\{\sin(\alpha+\beta+\gamma)-\sin(\alpha+\beta-\gamma)$
$-\sin(\alpha-\beta+\gamma)+\sin(\alpha-\beta-\gamma)\}$
$=\frac{1}{4}\{-\sin(\alpha+\beta+\gamma)+\sin(\alpha+\beta-\gamma)$
$+\sin(\alpha-\beta+\gamma)+\sin(-\alpha+\beta+\gamma)\}$ …(終)
(4.2)以下も同様にして，積和の公式を繰り返し適用すれば得られる．
結果的には，sinが奇数個→sinの式，sinが偶数個→cosの式になる

≪ $A+ B+ C=\pi$ のとき≫
$\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$ …(5.1)
$\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}=\frac{1}{4}(\sin A+\sin B+\sin C)$
$-\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$ …(5.2)

この式は(5.1)のAの代わりに−Aを代入しても得られない．それは，A+B+C=πのとき，−A+B+C=πとはならないからである．以下においても同様

$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=4\sin A\sin B\sin C$ …(5.3)
$\sin A\sin B\sin C=\frac{1}{4}(\sin 2A+\sin 2B+\cos 2C)$
$-\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=4\sin A\cos B\cos C$ …(5.4)

$\cos A+\cos B+\cos C=4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}+ 1$ …(5.5)
$\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}=\frac{1}{4}(\cos A+\cos B+\cos C-1)$
$-\cos A+\cos B+\cos C=4\sin\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}-1$ …(5.6)
$\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=-4\cos A\cos B\cos C-1$ …(5.7)
$\cos A\cos B\cos C=-\frac{1}{4}(\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C+ 1)$
$-\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=-4\cos A\sin B\sin C+ 1$ …(5.8)

$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$ …(5.9)
$\tan 2A+\tan 2B+\tan 2C=\tan 2A\tan 2B\tan 2C$ …(5.10)
$\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}+\tan\frac{C}{2}\tan\frac{A}{2}=1$ …(5.11)
$\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{B}{2}+\cot\frac{C}{2}=\cot\frac{A}{2}\cot\frac{B}{2}\cot\frac{C}{2}$ …(5.12)

（解説）
(5.1)←
$\sin A+\sin B+\sin C=2\sin\frac{A+ B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+ \sin C$
$=2\sin (\frac{\pi-C}{2})\cos\frac{A-B}{2}+ \sin C$
$=2\sin (\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2})\cos\frac{A-B}{2}+ 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$
$=2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}+ 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$
$=2\cos\frac{C}{2}(\cos\frac{A-B}{2}+ \sin\frac{C}{2})$
$=2\cos\frac{C}{2}(\cos\frac{A-B}{2}+ \sin\frac{\pi-A-B}{2})$
$=2\cos\frac{C}{2}\{\cos\frac{A-B}{2}+ \sin(\frac{\pi}{2}-\frac{A+ B}{2})\}$
$=2\cos\frac{C}{2}(\cos\frac{A-B}{2}+ \cos\frac{A+ B}{2})$
$=2\cos\frac{C}{2}(\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}+\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}$
$+\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}-\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2})$
$=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$ …(終)
(5.2)も同様にして示される
(5.3)←
$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C$
$=2\sin(A+ B)\cos(A-B)+\sin 2C$
$=2\sin(\pi-C)\cos(A-B)+ 2\sin C\cos C$
$=2\sin C\cos(A-B)+ 2\sin C\cos C$
$=2\sin C\{\cos(A-B)+\cos C\}$
$=2\sin C\{\cos(A-B)+\cos (\pi-A-B)\}$
$=2\sin C\{\cos(A-B)-\cos (A+ B)\}$
$=4\sin C\sin A\sin B$ …(終)
(5.4)～(5.8)も同様にして示される

（解説）
(5.9)←
$\tan A=\tan (\pi-B-C)=-\tan(B+ C)$
$=-\frac{\tan B+\tan C}{1-\tan B\tan C}$
分母を払うと
$\tan A(1-\tan B\tan C)=-\tan B-\tan C$
$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$ …(終)
(5.10)←
$\tan 2A=\tan (2\pi-2B-2C)=-\tan(2B+ 2C)$
$=-\frac{\tan 2B+\tan 2C}{1-\tan 2B\tan 2C}$
分母を払うと
$\tan 2A(1-\tan 2B\tan 2C)=-\tan 2B-\tan 2C$
$\tan 2A+\tan 2B+\tan 2C=\tan 2A\tan 2B\tan 2C$ …(終)
(5.11)←
$\tan(\frac{A}{2}+\frac{B}{2})=\frac{\tan\frac{A}{2}+\tan\frac{B}{2}}{1-\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}}$
$\tan(\frac{A}{2}+\frac{B}{2})=\tan(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2})=\frac{1}{\tan\frac{C}{2}}$
したがって
$\frac{\tan\frac{A}{2}+\tan\frac{B}{2}}{1-\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}}=\frac{1}{\tan\frac{C}{2}}$
分母を払うと
$\tan\frac{A}{2}\tan\frac{C}{2}+\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}=1-\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}$
$\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}+\tan\frac{C}{2}\tan\frac{A}{2}=1$
(5.12)←
(5.11)の両辺を $\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}$ で割ると得られる

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