■期待値≪解説≫
(1) 初めに右のような表を作る. (2) 変数×確率の積を作る. (3) それらの合計が期待値 期待値とは,小中学校以来使っている用語で言えば,平均値のことである. ○ 右の例を一般化して,次の表から平均値(=期待値)を求めるには次のようにすればよい.
※ f は頻度(度数) frequency の頭文字
得点合計は S=x1f1+x2f2+ ··· +xnfn 期待値(=平均値)は ![]() =x1+x2+…xn E= この式は確率 pk= を用いて次のように書ける. 1p1+x2p2+ ··· +xnpn E=x ※ 期待値は Expectation の頭文字をとって E で表わされることが多い.
次の表はある試験を受けた40人の生徒の得点と人数の一覧表であるとする. ○ この40人の得点の平均値は次のようにして求められる. 10点の人が4人いるから,これらの小計は 10+10+10+10=10×4 20点の人が8人いるから,これらの小計は 20+20+…+20=20×8 合計は 10×4+20×8+30×16+40×8+50×4 合計を総人数で割れば平均値になるから 平均値は E= ○ 人数(度数)と確率には次の関係がある.
○ 上の計算は人数 n を使って行ったが,この計算は確率 p を使えば次のように書ける. E=10×+20×+30×+40×+50× ⇒ まとめ: 得点1×確率1+得点2×確率2+得点3×確率3+・・・ が平均値になる.
あるくじの賞金と本数は右の表のようになっている.このくじを1本引くときの賞金の期待値を求めよ. ○ 単に平均値と考えるときは,次の計算になる. 合計は 10×4+20×3+30×2+40×1=200(円) 平均値は =20(円) ○ 期待値の計算では,まず次の表を作る.
期待値 E=10×+20×+30×+40×=4+6+6+4=20(円)
例題2
(答案)さいころを投げて出た目の10倍の金額をもらえることにしたとき,このさいころを1回投げたときにもらえる金額の期待値を求めよ. 表が書いてない → 表を作る.
次に,変数×確率を足していく.この問題では,変数は「出た目」ではなくその10倍 期待値 E=10×+20×+30×+40×+50×+60×=35
例題3
(答案)赤玉4個白玉3個の計7個が入っている袋から,3個の玉を同時に取り出すとき,出てくる赤玉の個数の期待値を求めよ. 表が書いてない → 表を作る.個々の確率は「気長に,ていねいに」計算する.・・・この数字を埋めるのが山場.
期待値 E=0×+1×+2×+3×= |
≪問題1≫
解説
次に,(変数)×(確率)の和を求める |
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解説
右の表により |
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解説
赤玉1個白玉1個が出る確率は 赤玉2個白玉0個が出る確率は 右の表から, |
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解説
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解説 例えば,100円硬貨が裏,10円硬貨のうち1枚が表,1枚が裏→10円となる確率は となる. 他の場合も計算すると,確率分布表は次のようになる.
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解説 紙=パー,石=グー,鋏=チョキ,以下パグチと略す 手の出し方の総数は N=33=27 通り (ア)1人勝ちとなるのは,パググのような出し方で 勝者の手の決め方が 3 通り(敗者の手は自動的に決まる) 勝者の決め方が 3C1=3 通り n=9 通りだから,確率は (イ)2人勝ちとなるのは,パパグのような出し方で 勝者の手の決め方が 3 通り(敗者の手は自動的に決まる) 勝者の決め方が 3C2=3 通り n=9 通りだから,確率は (ウ)アイコ(勝者0人)となるのは, 全員同じ手を出す(パパパなど)のが 3 通り 3種類の手が出るのが 3!=6 通り n=9 通りだから,確率は 勝者の人数の期待値は ![]() ![]() |
■[個別の頁からの質問に対する回答][期待値について/17.5.29]
期待値の問題(3)についてhelpの赤1、白1はなぜ6/10なのでしょうか。
■[個別の頁からの質問に対する回答][期待値について/17.3.18]
=>[作者]:連絡ありがとう.計算の根拠はhelpに示した通りですが,6/10をなぜ3/5にしないのかという質問でしたら,約分してから通分するのなら何も触らない方が間違いが少ないからです. 訂正です。確率/期待値/問5 のhelpについて
『…100硬貨が裏、100円硬貨のうち1枚が表、1枚が裏→10円となる確率は…』とありますが、
正しくは、『…100硬貨が裏、【10】円硬貨のうち1枚が表、1枚が裏→10円となる確率は…』ではないでしょうか?
いつもお世話になっています。ありがとうございます。
=>[作者]:連絡ありがとう.入力ミスですので訂正しました. |